ОГЛАВЛЕНИЕ
Основные обозначения.....................................................3
Введение.................................................................4
Глава 1. Основы теории идеального жесткопластического тела.............10
1.1. Теория плоской деформации....................................12
1.2. Соотношения вдоль линий скольжения...........................16
1.3. Интегрирование уравнений плоской деформации..................18
1.4. Определение полей деформаций.................................21
1.5. Критерии разрушения и неединственность решения...............28
1.6. Построение полного решения...................................32
Глава 2. Пластическое течение в окрестности скругленного углового
выреза с постоянным углом раскрытия............................35
2.1. Обзор работ..................................................35
2.2. Вывод уравнения свободной поверхности........................39
2.3. Траектории движения частиц...................................53
2.4. Определение радиусов кривизны поля линий скольжения..........63
2.5. Диссипация энергии и полнота решения.........................80
Глава 3. Пластическое течение в окрестности скругленного углового
выреза с переменным углом раскрытия............................95
3.1. Постановка задачи............................................95
3.2. Вывод уравнения свободной поверхности.......................101
3.3. Траектории движения частиц..................................113
3.4. Диссипация энергии и полнота решения....................... 123
Глава 4. Применение модели к решению упругопластических задач.........141
4.1. Сравнение с экспериментами..................................142
4.2. Критерий перехода от затупления к разрушению в вершине......145
4.3. Численно-аналитический метод оценки диссипации энергии......147
Заключение............................................................148
Библиографический список............................................. 149
3
Основные обозначения
/ - время
6 — половина угла раскрытия углового выреза у — угол между касательной к плоской кривой с осью Ох Г - обозначение зависимости Е — свободная поверхность р - радиус кривизны свободной поверхности Е а, Р - криволинейная система координат, связанная с полем линий скольжения (р — угол между касательной к а -линии скольжения и осью Ох /?, 5 — радиусы кривизны а, Р-линий скольжения и, V - проекции скоростей перемещений на а, р-линии скольжения
V 'п — штрихом обозначается производная по параметру у Р — точкой обозначается производная по времени г
V — скорость растяжения образца £Г|Пах — максимальная скорость сдвига
- объемная плотность диссипации энергии
4
Введение
Оценка качества конструкционных материалов с позиции континуальной механики разрушения занимает прочное место при разработке новых материалов и проектировании различного рода ответственных конструкций. Формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке является важнейшим моментом в механике разрушения. Первостепенную роль в развитии трещин играет предшествующая разрушению пластическая деформация. Анализ пластических течений в окрестностях резкого изменения форм является актуальным, поскольку может служить основой для расчета необходимой энергии разрушения.
В общем случае под разрушением понимается не только распад тела на части. В понятие разрушения входит также необратимое пластическое течение, которое характеризуется остаточными деформациями и приводит к исчерпанию несущей способности. Напряженно-деформированное состояние, приобретенное в процессе службы, сопровождается рассеянием работы внутренних сил. Применение теории идеального жссткопластического тела к задачам механики разрушения актуально, поскольку она позволяет рассчитывать один из главных параметров истории деформирования — диссипацию механической энергии.
Модель идеального жесткопластического тела является наиболее разработанным разделом теории пластичности. В этой постановке полностью пренебрегают упругими деформациями. Теория идеального жесткопластического тела базируется на экстремальном принципе неравновесной термодинамики — принципе максимума Мизеса, который можно рассматривать как вариант формулировки принципа Онзагера. Жесткопластический анализ позволяет успешно описывать различные технологические процессы (такие как волочение, прессование, прокатка), решать задачи о внедрении штампов различной формы и растяжении образцов, ослабленных вырезами. Особый интерес представляет исследование задач с
5
учетом изменения геометрии свободных поверхностей. Модель идеального жесткопластического тела является предельной по отношению к другим более сложным моделям деформируемых сред (упрочняющемуся жесткопластическому телу, упрочняющемуся упругопластическому телу и т. п.). Поэтому решения, полученные в ее рамках, могут служить оценкой для более сложных процессов деформирования.
Область применимости жестко пластического анализа к решению прикладных задач можно иллюстрировать с помощью диаграммы а - е. Традиционное применение идеальной пластичности к задачам обработки металлов давлением состоит в фиксировании предела текучести между значениями ау (предел текучести) и ав (предел прочности).
Малоиспользуемая область применения в теоретических исследованиях -продолжение диаграммы <т - с за предел прочности сгв по жесткопластическому закону. Вместе с этим, данный вид экстраполяции
<УТ
используется во всех конечно-
элементных пакетах программ типа ЛЫ8У8. Разработка области
применения идеальной пластичности является одной из задач данной работы.
Особенностью жесткопластического анализа является неединственность положения и вида пластической области, и вместе с тем, неединственность поля скоростей перемещений, определяющего изменение геометрии тела. Преимущества заключаются в возможности:
- построения аналитического описания пластических течений с учетом изменения геометрии свободных поверхностей;
- оценки предельных (конечных) значений тензоров напряжений и деформаций в окрестностях резкого изменения геометрических форм тела (включая угловые точки).
6
11ервые работы по теории пластичности были выполнены в семидесятых годах XIX века Б. Сен-Венаном и М. Леви, которым принадлежит создание одного из вариантов теории пластичности, а также получение основных уравнений задачи плоской деформации. В 1909 г. опубликована работа А. Хаар и Т. Кармана, в которой была сделана попытка вывода основных уравнений из вариационного принципа. В статье Р. Мизеса (1913 г.) система уравнений Сен-Венана - Леви дополнилась условием пластичности, которое раньше было получено М. Губером. Г. Генки, Л. Прандтль и Р. Мизес вывели основные уравнения различных вариантов теории пластичности и получили решения задачи плоской деформации. В 20-х годах XX века в ряде работ были опубликованы результаты экспериментальной проверки различных гипотез.
Вопросам и задачам теории идеальной пластичности посвящены многочисленные работы: Б.Д. Аннина, Г.И. Быковцева, X. Гейрингер, Г. Генки, Б.А. Друянова, Д.Д. Ивлева, А.Ю. Ишлинского, Л.М. Качанова, В.Д. Клюшникова, Ю.В. Немировского, Р.И. Непершина, В.В. Соколовского, Р. Хилла, С.А. Христиановича и др.
Важнейшим моментом в механике трещин является формулировка условия локального разрушения в рассматриваемой точке контура трещины. Критерий разрушения не следует из уравнений равновесия и движения механики сплошной среды. Он является дополнительным краевым условием при решении вопроса о предельном равновесии тела с трещиной. Наиболее просто формулируется условие локального разрушения в теории квазихрунких трещин, когда пластическая область у вершины трещины мала по сравнению с длиной трещины и размерами образца. Если в области вершины трещины произошла заметная пластическая деформация, или образец находится в области общей текучести, то локальные напряжения и деформации уже нельзя рассчитать, используя значение приложенного напряжения. Использование обычных численных методов приводит к значительным трудностям. Поэтому разработка методов оценки напряженно-деформированного состояния в окрестности вершины трещины представляет собой актуальную задачу.
7
Крайний случай (по отношению к линейной механике разрушения), когда пластическая область преобладает над упругой и охватывает все поперечное сечение тела, остается мало изученным. Трудности чисто пластического аспекта разрушения связаны с необходимостью анализа деформированного состояния при больших деформациях с учетом изменения геометрии свободных поверхностей тела. Из немногочисленных трудов, посвященных этому направлению, следует отметить работы А. Ванга, Дж. Джойса, Л.М. Качанова, Ф. Макклинтока.
Одной из основных причин разрушения является диссипация механической энергии в материале. Расчет диссипации энергии Ж при больших пластических деформациях представляет определенные трудности, вызванные необходимостью интегрирования вдоль пути деформирования частиц:
деформаций; /0 и / — время.
Анализ пластических течений в окрестности угловых и скругленных вырезов является актуальным, поскольку может служить основой для расчета необходимой энергии разрушения. Энергетический критерий разрушения является наиболее универсальным на сегодняшний день. Для жесткопластического тела он сформулирован в [71]: разрушение в заданной точке образца наступает при достижении объемной плотностью диссипации энергии Ж некоторого критического значения Ж*. Альтернативой энергетическому условию является использование деформационного критерия: разрушение в заданной точке образца наступает по достижении первым главным значением тензора конечных деформаций Альманси £, предельного
Здесь сг,у — тензор напряжений;
тензор скоростей
значения £,. Величины Ж* и Е+ есть пластические характеристики материала, определяемые экспериментально из испытаний на одноосное растяжение [31].
Целью данной работы является построение возможных пластических течений и расчет диссипации энергии в окрестности вершины скругленного углового выреза с учетом изменения геометрии свободной поверхности жестконластического тела. Решение подобных задач актуально для прогнозирования зарождения, распространения и остановки трещин в реальных конструкциях.
В первой главе представлены основные соотношения теории плоской деформации. Рассмотрены методы интегрирования уравнений плоской деформации с использованием двойных степенных рядов. Приведены методы расчета нолей деформаций. Введены критерии разрушения жесткопластических тел. Обозначены требования к построению и существованию полного решения задач теории идеального жесткопластического тела.
Во второй главе рассматривается пластическое течение в окрестности скругленного углового выреза с постоянным углом раскрытия 28. В первом параграфе приведен обзор работ, посвященных исследованию формы свободной поверхности ДО, образующейся при растяжении полосы со скругленным угловым вырезом. Во втором параграфе с помощью двойных степенных рядов определено поле скоростей перемещений в пластической области и предложен вывод аналитических уравнений свободной поверхности ДО. Уравнение ДО найдено в параметрическом виде. Параметрами являются: у — угол между касательной к ДО и осью Ох; время t. В третьем параграфе построены траектории частиц, сформировавших Д*)» и проанализирована их кинематика. В четвертом параграфе изложен алгоритм определения радиусов кривизны поля линий скольжения, основанный на использовании радиуса кривизны ДО- В пятом параграфе на основе полученных полей скоростей перемещений и радиусов кривизны исследована диссипация энергии в
9
пластической области и на линиях разрыва скоростей. Рассмотрен вопрос о полноте решения.
В третьей главе исследуется пластическое течение в окрестности скругленного выреза с переменным углом раскрытия. В первом параграфе определяется поле скоростей перемещений в двойных степенных рядах и устанавливается число неизвестных величин. Во втором параграфе предложен аналитический вывод уравнения свободной поверхности. В третьем параграфе рассмотрена кинематика частиц на свободной поверхности. В четвертом параграфе получено поле радиусов кривизны линий скольжения и исследована диссипация энергии частиц в пластической области. Рассмотрен вопрос о полноте решения.
Четвертая глава посвящена вопросу применения жесткопластических моделей к описанию процессов пластического течения в реальных телах. В первом параграфе проведено сравнение с численной схемой Л. Ванга по определению скоростей перемещений точек свободной поверхности и с экспериментом Дж. Джойса, исследовавшим форму Ц/). Во втором параграфе предложен энергетический критерий, позволяющий установить переход от непрерывного формообразования (затупления) к разрушению в вершине £(/). В третьем параграфе предложен численно-аналитический подход, позволяющий использовать пластическое течение, рассмотренное в главе 3, для описания поля диссипации энергии в окрестности скругленного выреза при решении упругопластических задач.
В работе принята тройная нумерация формул: первая цифра - номер главы, вторая - номер пункта; и двойная — нумерация рисунков: первая цифра — номер главы.
10
Глава 1. Основы теории идеального жесткопластического тела
В схеме идеального жесткопластического тела полностью пренебрегают упругими деформациями и упрочнением. Иными словами для модуля упругости принимается бесконечно большое значение оо), что
соответствует переходу к кривой с одной площадкой текучести (рис 1.1а). В такой постановке тело остается совершенно недеформируемым, пока напряженное состояние в нем не станет где-либо удовлетворять условию текучести и не возникнет возможность пластического течения. При этом некоторые части тела останутся жесткими, и нужно найти такое решение в пластических зонах, чтобы скорости на их границах соответствовали скоростям движения жестких частей [28].
а
Рис. 1.1. Идеальная жесткопластическая среда: а - реологическая кривая, б - механическая модель [2].
В теории идеального жесткопластического тела связь между компонентами тензора напряжений сту и компонентами тензора скоростей
деформаций Єц определяется ассоциированным законом пластического
течения:
еи=Лр^’ Лр~°' /’^' = 1’2’3’
(1.0.1)
11
где функции /р(іТу) удовлетворяют условию пластичности:
/рЦ)=°. Р = 1,2,...
(1.0.2)
тензор
скоростей деформаций, ^ — компоненты вектора скоростей перемещений, Яр -неопределенные скалярные множители, постоянные при определенных
определяющие поверхность текучести 2 для идеальной пластической среды в пространстве напряжений сгу, которая не изменяется при деформировании
материала. Ассоциированный закон течения отражает тот факт, что вектор є у
направлен по нормали к поверхности нагружения I, уравнение которой имеет
Следствием ассоциированного закона течения является теорема единственности поля напряжений (7у в пластической области. Поле скоростей
перемещений и скоростей деформаций при этом не единственно.
В качестве условия текучести идеального нормального изотропного пластического тела принимаются следующие условия [2]:
- условие постоянства максимального касательного напряжения (условие пластичности Треска-Сен-Венана)
значениях компонент скорости деформации; /р = /р (су у) - функции,
вид: /р[<7у)= 0.
(1.0.3)
- Энергетическое условие пластичности Мизеса
(<Ті - (Т2)~ +(<т2 ~ гг3)2 +(сг3 -<7\)2 = 2сгр;
(1.0.4)
12
(сГхх-О-ууУ + {<?уу - <У& У +(о’И-СГхс)2+6-(сг^+СГ^+0-^.)=2сг^.
В случае плоской деформации, условия (1.0.3) и (1.0.4) не влияют на вывод полной системы уравнений и приводят к одному соотношению:
{ахх ~ аууУ + ^тху =4к2, (1.0.5)
где к — максимальное касательное напряжение:
к =
СУ т
-г- по условию Треска - Сен - Венана, по условию Мизеса,
1л/3
<уг - предел текучести при линейном напряженном состоянии.
1.1. Теория плоской деформации
Теория плоской деформации является одним из наиболее разработанных разделов теории идеальной пластичности.
Система уравнений теории плоской деформации идеального жесткопластического тела впервые была установлена Сен-Венаиом [94] и содержит пять уравнений:
0(711 ОСТ\2 ■ ~ ОСТп'у ЗсТ 1 о
- уравнения равновесия: ■— ■ + - — = 0, — - - н——- = О ; (1.1.1)
0X1 дх2 дх2 ох 1 4 '
- условие текучести: (сг1 ] - ст22 )2 + 4сг122 = Лк2; (1.1.2)
- условие несжимаемости, которое является следствием ассоциированного закона пластического течения (1.0.1):
13
8 ц — Я
Ъ(У jj 00*22
— л[2{сг1 J — 0*22 ) “ 2(cr,, — 0*22 )] — 0 ,
'.-{(Уи + ГиЬУи- = 0-1-3)
- условие совпадения осей тензоров напряжений и скоростей деформации, которое также является следствием ассоциированного закона пластического течения. Пусть О — угол наклона главной оси напряжения сг, к оси 0' угол наклона главной оси скорости деформаций е\ к оси х. Угол О определяется из системы уравнений в компонентах тензора напряжений су~:
(<7,, - C7] )cOS 6 4- СГ12 sin 6 = О, (Tl2 COS в + (сг22 ~ )s*n 0-0,
откуда получаем tg20 = °*12
G\ 1 ~ ^22
Угол в' определяется из системы уравнений в компонентах тензора скоростей деформаций Sy :
(s, У - 8у )cOS в’ + £Г,2 sin в’ = О,
£п COS в' + (с22 — &\ )sin — О,
откуда согласно определению тензора скоростей деформаций еи = — (у; . + V,,)
_ 2g12 _ ^*2 3*1
* *„-*22 М_^2 *
cbt2
- Київ+380960830922