Определение эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов

Содержание
1 Введение 3
2 Определение эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов 17
2.1 Известные методы вычисления эквивалентных термомеханических параметров дискретных систем........................................................ 17
2.2 Основные гипотезы. Длинноволнопое приближение.......................... 20
2.3 Кинематика идеального кристалла в длинноволновом приближении............ 22
2.4 Эквивалентные параметры для кристаллов с парными силовыми взаимодействиями ..................................................................... 24
2.4.1 Тензор напряжений................................................. 24
2.4.2 Вектор теплового потока........................................... 27
2.4.3 Сравнение различных выражений для тензора напряжений.............. 29
2.4.4 Пример: вычисление напряжений вокруг пары краевых дислокаций . 34
2.5 Эквивалентные параметры для кристаллов с многочастичными взаимодействиями ..................................................................... 37
2.5.1 Особенности вычисления напряжений в кристаллах с многочастичными взаимодействиями................................................... 37
2.5.2 Различные представления силы, действующей между двумя частицами 38
2.5.3 Тензор напряжений................................................. 42
2.5.4 Вектор теплового потока........................................... 45
2.5.5 Пример вычисления напряжений в кристалле с многочастичными
взаимодействиями.................................................. 47
2.6 Эквивалентные параметры для кристаллов с парными моментными взаимодействиями .................................................................. 51
2.6.1 Моментные взаимодействия.......................................... 51
2.6.2 Тензор напряжений................................................. 52
2.6.3 Тензор моментных напряжений. Частицы с шаровым тензором инерции 54
2.6.4 Вектор теплового потока. Частицы с шаровым тензором инерции . . 56
2.6.5 Эквивалентные термомеханические параметры систем несферических
частиц............................................................ 57
2.7 Вывод уравнений состояния идеальных кристаллов........................... 58
2.7.1 Различные подходы к получению уравнений состояния ................ 58
2.7.2 Разделение основных величин на холодную и тепловую компоненты . 60
2.7.3 Первое приближение. Уравнение Ми-Грюнайзсна....................... 64
2.7.4 Важные частные случаи............................................. 66
2.7.5 Коэффициент теплового расширения.................................. 67
2.7.6 Особые точки функции Грюнайзена................................... 68
2.7.7 Сравнение с классическими моделями................................ 69
1
2.7.8 Второе приближение. Уравнение состояния, нелинейное по тепловой энергии................................................................. 70
2.7.9 Зависимость коэффициента Грюнайзена от деформированного состояния ................................................................... 73
2.7.10 Вывод уравнений состояния идеальных кристаллов с многочастичными взаимодействиями................................................... 75
3 Описание термомеханических параметров графена 79
3.1 Различные подходы к описанию механических свойств графема .............. 79
3.2 Построение моментного потенциала взаимодействия......................... 80
3.2.1 Общие соотношения................................................. 80
3.2.2 Представление потенциала как функции векторов и тензоров поворота частиц............................................................. 82
3.2.3 Представление потенциала как функции векторов, жестко связанных
с частицами....................................................... 84
3.3 Построение моментного потенциала для sp2 углерода....................... 92
3.3.1 Общая форма потенциала............................................ 92
3.3.2 Построение функций, входящих в потенциал ......................... 94
3.3.3 Ограничения на выбор радиуса обрезания............................ 99
3.4 Описание термомеханических характеристик графена........................101
3.4.1 Калибровка параметров моментного потенциала при отсутствии теплового движения....................................................... 101
3.4.2 Калибровка параметров моментного потенциала при температуре 300АТ103
3.4.3 Определение упругих и прочностных характеристик графена при отсутствии тепловоз движения.............................................109
3.4.4 Определение коэффициента теплового сжатия графена.................111
4 Заключение 114
5 Приложения 116
5.1 Использование кватернионов для описания кинематики частиц...............116
5.2 Использование алгоритма “leap-frog” для численного интегрирования уравнений движения..............................................................118
2
1 Введение
"If in some cataclysm all scientific knowledge were to be destroyed and only one sentence passed on to the next generation of creatures, what statement would contain the most information in the fewest words? I believe it is the atomic hypothesis that all things are made of atoms-little particles that move around in perpetual motion, attracting each other when they are a little distance apart, but repelling upon being squeezed into one another. In that one sentence, you will see there is an enormous amount of information about the world, if just a little imagination and thinking are applied (c) Richard Feynman
Актуальность темы
Для решения задач механики, в которых по той или иной причине нарушается сплошность материала, на практике часто применяются дискретные способы описания, основанные на методах молекулярной динамики и дискретных элементов. При этом важно
сравнение результатов, полученных дискретными методами, с аналогичными результата-
*
ми, полученными на основе хорошо разработанного аппарата механики сплошных сред. Примером структур, для описания которых применяются как дискретные, так и континуальные подходы, являются наноструктуры. Необходимость согласования дискретного и континуального подходов делает актуальной проблему определения эквивалентных термомеханических параметров, таких как тензоры напряжений и вектор теплового потока, для дискретных систем.
В настоящей работе подход к определению эквивалентных термомеханичсскнх параметров разрабатывается на примере идеальных кристаллов. Идеальные кристаллы, с одной стороны, являются удобной математической моделью, позволяющей проводить аналитические выкладки. С другой стороны, с развитием нанотехнологий становится возможным создание практически бездефектных кристаллов, близких к идеальным. В частности, перспективным материалом с низкой плотностью дефектов является графен.
Подход к определению эквивалентных термомеханических параметров может использоваться для интерпретации и верификации результатов, полученных методами молекулярной динамики и дискретных элементов. Задача интерпретации результатов возникает при решении дискретными методами задач, требующих рассмотрения также методами континуальной механики. Кроме того, определение эквивалентных термомеханических параметров необходимо при построении законов взаимодействия в дискретных средах (атомарных, гранулированных, сыпучих и т.п.) В частности, и данной работе проводится построение потенциала для описания механических свойств графена.
Определение эквивалентных термомеханических параметров дискретных систем важно также при решении задач механики деформируемого твердого тела связанными дискретно-континуальными методами. В основу данных методов положено представление моделируемого объекта в виде двух частей, одна из которых описывается дискретными методами,
3
а другая — континуальными. При этом для корректного сопряжения указанных частей необходимо вычисление эквивалентных термомеханических параметров дискретной системы в области сопряжения.
Другой важной проблемой механики деформируемого твердого тела, для решения которой могут быть использованы выражения для эквивалентных термомеханических параметров, является уточнение существующих и конструирование новых определяющих соотношений (уравнений состояния). Определяющие соотношения необходимы для моделирования поведения сплошных сред при различных термомеханических воздействиях.
Таким образом, разработка подходов к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов является актуальной проблемой современной механики деформируемого твердого тела.
Методика исследования
Основным методом исследования, используемым в данной диссертационной работе, является метод динамики частиц (в частности, молекулярной динамики), основанный на представлении вещества в виде совокупности взаимодействующих материальпых точек или твердых тел, поведение которых описывается законами классической механики. Данный метод используется в диссертационной работе как для аналитических выкладок (определения связи эквивалентных термомеханических параметров с параметрами дискретной системы, получения уравнений состояния), так и для компьютерного моделирования (в частности, деформирования и разрушения графена). Более подробное описание метода приведено ниже.
Цель работы
Целью дайной работы является разработка подходов к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов при различных видах межатомных, взаимодействий.
Научную новизну
работы составляют следующие результаты, выносимые на защиту:
1. Развит подход к определению эквивалентных термомеханических параметров идеальных кристаллов с произвольными многочастичными взаимодействиями. Получены выражения, связывающие тензор напряжений Коши, тензор напряжений Пиола и вектор теплового потока с параметрами кристалла на микроуровне. Проведено сравнение с аналогичными выражениями, используемыми в литературе.
2. Развит подход к получению уравнений состояния идеальных кристаллов, основанный на использовании выражений для эквивалентных термомеханических парамст-
4
рои. Для кристаллов с парными силовыми взаимодействиями выведено уравнение состояния в форме Мн-Гюнайзена. Получено уточненное уравнение состояния, нелинейное по тепловой энергии. Проведено сравнение полученных результатов с известными экспериментальными данными.
3. Проведено обобщение предложенного подхода к определению эквивалентных термо-механических параметров идеальных кристаллов на случай моментных взаимодействий. Получены выражения, связывающие тензор напряжений, тензор моментных напряжении и вектор теплового потока с параметрами кристалла на мнкроуровне.
4. Разработан моментный потенциал, позволяющий проводить трехмерное моделирование процессов деформирования и разрушения графена методом молекулярной динамики. Получены аналитические выражения, связывающие параметры потенциала с характеристиками углерод-углеродной связи.
5. Проведена калибровка параметров моментного потенциала с использованием молекулярно-динамического моделирования деформирования и разрушения графена при отсутствии теплового движения и при температуре 300/С. Показано, что предложенный потенциал позволяет описать все упругие и прочностные характеристики графена в пределах погрешности экспериментальных данных.
Достоверность полученных результатов
Достоверность результатов достигается использованием апробированных физических моделей, сравнением с экспериментальными данными, применением современных методов и вычислительных средств и известных методик моделирования, использованием при вычислениях тестовых моделей, допускающих точное аналитическое решение.
Практическая значимость работы
Полученные выражения для эквивалентных макропараметров могут быть использованы для верификации, трактовки и сравнения результатов молекулярно-динамического моделирования с расчетами на основе механики сплошных сред. Данные выражения позволяют вычислять в ходе молекулярно-динамического или дискретно-элементного моделирования эквивалентные параметры в кристаллах с произвольными многочастичкыми взаимодействиями. Полученные уравнения состояния могут быть использованы в пакетах прикладных программ, таких как, например Ь8-0\ТЧА, для моделирования высокоскоростных процессов в деформируемых твердых телах методом конечных элементов. Моментный потенциал, предлагаемый в работе может применяться для моделирования поведения графена и прочих углеродных наноструктур с зр2 гибридизацией при различных физико-механичсскнх воздействиях. В частности, это может потребоваться при разработке графеновых нанорезонаторов. Практическая значимость работы подтверждается
успешным применением данного потенциала для решения прикладных задач, таких как исследование деформирования и разрушения графена при растяжении.
Апробация работы
Результаты работы докладывались на семинарах Института проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), кафедры “Теоретическая механика” СПбГПУ, Института Геохимии и Аналитической Химии им. Вернадского В.И. РАН (Москва), а также па всероссийских и международных конференциях: “Advanced Problcms in Mechanics” (Санкт-Петербург, 2005, 2006. 2007, 2008, 2010, 2011), Всероссийский съезд но теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), XVI Всероссийская школа-конференция молодых ученых “Математическое моделирование в естественных науках” (Пермь, 2007), The Sixth International conférence on Engineering Computational Technology (Greece, Athens, 2008), Всероссийская конференция “Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела” (Пермь, 2008), Первая научно-техническая конференция молодых специалистов ОАО “КБСМ” (Санкт-Петербург, 2009), Workshop on Moleeular Dynamics (UK, Warwîck, 2009), IUTAM Symposium on “The Vibration Analysis of Structures with Uncertainties” (St. Petersburg, 2009), Joint US-Russian conférence “Advances in Material Science” (Czech Rcpublic, Prague, 2009), Международная научно-практическая конференция “Неделя науки СПбГПУ’ (Санкт-Петербург, 2007, 2008, 2009, 2010).
Публикации по теме исследования
а) Публикации в изданиях, входящих в перечень ВАК и монографиях:
1. Кузькин В.А., Кривцов А.М. Простейшая модель для аналитического вывода уравнения состояния идеальных кристаллов Ц Вести. С.-Пстсрб. ун-та. Сер. 1, 2007, Вып. 3, С. 24-31.
2. Кузькин В.Л., Кривцов А.М. Моделирование деформирования и разрушения, фибриллярных структур // Вычисл. мех. сплош. сред. 2008. Т. 1, е 3. С. 76-84.
3. Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов: учебное пособие // Под ред. Кривцова А.М., СПб. Изд-во СПбГПУ, 2009. - 144 с.
4. Кузькин В.А., Мнхалюк Д.С. Применение численного моделирования для идентификации параметров модели Джонсона-Кука при высокоскоростном деформировании алюминия // Вычисл. мех. сплош. сред. Т.З, ©1, 2010. С. 32-43.
5. Kuzkin V.A. Interatomic force in Systems with multibody interactions // Phys. Rev. E 82, 016704 (2010).
6. Кривцов A.М., Кузькин В.A. Получение уравнений состояния идеальных кристаллов простой структуры // Известия РАН. Механика твердого тела, No. 3, 2011, с. 67-82.
6
7. Kovalev О.О., Kuzkin V.A. Analytical expressions for bulk moduli and frequencies of voluinetrical vibrations of fullercnes C20 and C60 // Nanosystems: physics, chemistry, mathematics, 2011, 2 (2), P. 65-70.
8. Кузькин В.А., Кривцов A.M. Описание механических свойств графена с использованием частиц с вращательными степенями свободы // ДАН, 2011, том 440, ЛЧ (направлено в печать]
б) Другие публикации:
1. Кузькин В.А., Кривцов А.М.. Получение уравнений состоянии идеальных кристаллов // XXXV Неделя науки СПбГПУ, 20-25 ноября 2006. Материалы межвузовской научной конференции. 2006. С. 108-110.
2. Kuzkin V.A. Equation of state for the particle in the potential well // Proc. of XXXIV Summer School - Conference “Advanced Problems in Mechanics”. St. Petersburg. 2006.
P. 323-329.
3. Kuzkin V.A., Tikhonova M.S. Equation of state for Gaussian chain // Proc. of XXXVI Summer School - Conference “Advanced Problems in Mechanics”. St. Petersburg. 2008.
P. 401-409.
4. Kuzkin V.A. Comparison of approaches based on statistical physics and particle dynamics for equations of state derivation// Proc. of XXXVI Summer School - Conference “Advanced Problems in Mechanics”. St. Petersburg. 2008. P. 409-41.9.
5. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Microscopic Derivation of the Equation of State for Perfect Crystals // Proceedings of the Sixth International Conference on Engineering Computational Technology, M. Papadrakakis, and B.H.V. Topping (Editors), Civil-Coinp Press, Stirlingshire, Scotland, paper 145, 2008.
6. Кузьки» В.А., Тихонова M.C., Кривцов A.M. К вывод)' уравнений состояния одномерной цепочки // XXXVII Неделя науки СПбГПУ, 2008. Материалы межвузовской научной конференции, 2008.
7. Kuzkin V.A. Equivalent thermo-mechanical parameters for perfect crystals with arbitrary multibody potential // Proc. of XXXVII Summer School - Conference “Advanced Problems in Mechanics”. St. Petersburg. 2009.
8. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Thermo-mechanical effects in perfect crystals with arbitrary multibody potential // Proc. of Joint U.S. Russia conference on Advances in Material Science, Prague, 2009, II, pp. 30-34.
9. Тан Ч.З., Кузькин В.А. Исследование зависимости коэффициента Грюнайзена от вида деформирования // XXXVIII Неделя науки СПбГПУ, 2009. Материалы межвузовской научной конференции, 2009, с. 108-110.
7
10. Kuzkin V.A. Comment on the calculation of forces for multibody interatomic potentials // arXiv:1003.5267vl (cond-mat.mtrl-sci)
11. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Thermo-mechanical effects in perfect crystals // Proc. of IUTAM Symposium on The Vibration Analysis of Structures with Uncertainties, 2009, pp. 403-416.
12. Kuzkin V.A., Krivtsov A.M. Equivalent thermo-mechanical parameters for perfect crystals // arXiv: 1004.3008 [cond-mat.mtrl-sci]
13. Ковалев O.O., Кузькин В.А. вычисление модулей объемного сжатия фуллеренов С20 и С60 // XXXIX Неделя науки СПбГПУ, 2010. Материалы межвузовской научной конференции, 2010. С. 107-109.
14. Wolff M.F.H., Salikov V., Antonyuk S., Heinrich S., Kuzkin V.A., Schneider G.A. Discrete Element Modelling of ceramic/polymer composites // Proc. of Summer School - Conference “Advanced* Problems in Mechanics”. St. Petersburg. 2011, pp. 522-531
Структура и объем работы
Работа состоит из введения, двух глав и заключения. Работа содержит 130 страниц, 22 рисунка, список литературы содержит 170 наименований.
Различные методы описания термомеханических свойств кристаллов. Обзор литерауры
Для описания термомеханичсских эффектов в деформируемых твердых телах ка макроуровне применяется хорошо разработанный аппарат механики сплошных сред [39, 47, 51, 53). В основу механики сплошных сред положены, так называемые, балансовые соотношения — уравнения баланса массы, импульса, момента импульса и энергии, не зависящие от свойств описываемого материала. Для замыкания системы уравнений баланса используются определяющие соотношения [53] (уравнения состояния [28]). Данный аппарат широко применяется для описания поведения твердых тел при различных механических и тепловых нагрузках. В частности, моделируются такие процессы как тепловое расширение, теплопроводность, термоулругость [7, 51], ударные волны [11, 28, 54] и т.д. Описанию термомеханнического поведения твердых тел методами механики сплошных сред посвящена обширная литература. Рктория развития и современное состояние данной области отражено, в частности, в монографиях Б. Боли, Дж. Уэйнера [7]. Б.Л. Глушака, В.Ф. Ку-ропателко [11], В.Н. Жаркова, В.А. Калинина [20], B.C. Зарубина, Г.Н. Кувыркина [27], Я.Б. Зельдовича |28], В.И. Кондаурова, В.Е. Фортова [39], В. Новацкого (51) и других.
В задачах, где по той или иной причине нарушается сплошность материала, на ряду с континуальными методами описания тсрмомехаиического поведения твердых тел используются также дискретных методы, описанные ниже. В частности, совместное иснользова-
нас дискретных и континуальных методов актуально п задачах моделирования одноразмерных объектов [68, 61]. Рассмотрим дискретные методы, используемые в литературе для моделирования механических и тепловых свойств кристаллов. Данные методы можно разделить на две группы. Одни используют аппарат квантовой механики [41, 139, 116, 126], другие — классической механики [107, 65, 60, 34|. Рассмотрим сначала первую группу методов, часто называемую в литературе методами “ab initio”. Приведем также синонимы данного названия, часто используемые в литературе: расчет из первых принципов (first principles), on-the-fly, direct, extended Lagrangian, quantum chemical, Hcllmann-Fcynman, potential-free, quantum molecular dynamics (QMD). В рамках данной работы будем использовать название “ab initio”. Основная идея семейства методов, ab initio сформулирована, например, в работе [139]: “Идея, лежащая в основе метода ab initio состоит и вычислении сил, действующих па ядра на основе вычисления электронной структуры. Вычисления проводятся “на лету”(on-the-fly), т.с. во время моделирования, а не заранее, как в классической молекулярной динамике.” В основу метода положено решение нестационарного уравнения Шрсдингера для системы ионов и электронов. Данное уравнение может быть точно решено только и очень простых частных случаях (например, для атома водорода [41]), поэтому на практике используются существенные упрощения. В частности, во всех методах ab initio проводится разделение системы на две подсистемы: ионов и электронов, каждая из которых описывается своей системой уравнений. Поведение ионов описывается классическими уравнениями динамики Ныотона. Состояние электронной подсистемы в общем случае описывается нестационарным уравнением Шредипгера. В зависимости от используемых приближений и методов описания указанных выше подсистем различают три разновидности метода ab initio [139]:
• Молекулярная динамика Эренфеста [85]
• Молекулярная динамика Борна-Опиенгеймера
• Молекулярная динамика Кара-Паринелло [74]
Достоинства и недостатки каждого из методов подробно обсуждаются в монографии [139]. В случае, когда динамика электронной подсистемы не представляет интереса для описания электронной системы используется стационарное уравнение Шредипгера. Приближенное решение данного уравнения часто называют проблемой определения электронной структуры [116]. В литературе для решения данной проблемы наиболее часто используются методы Хартри-Фоха и функционала плотности [106]. В методе Харгри-Фока волновая функция электронной подсистемы аппроксимируется с помощью набора базисных функций. Достоинства и недостатки данного метода описаны, например, в монографиях [116, 139]. К числу несомненных достоинств следует отнести возможность сравнения двух аппроксимаций волновой функции (из двух волновых функций ближе к точному решению та, которой соответствует меньшее значение энергии). Недостатком метода Хартри-Фока является чувствительность к выбору базисных функций и невозможность корректного описания свойств металлов [139]. Метод функционала плотности позволяет отказаться от на-
хождения волной функции системы. В основе данного метода лежат теоремы, доказанные Хоненбергом и Коном [106]. Данные теоремы показывают, что состояние системы полностью определяется, так называемой, электронной плотностью. Для этого доказывается, что энергия системы является функционалом электронной плотности. Основной проблемой метода является то, что точный вид функционала неизвестен. Поэтому на практике используются различные приближения [116, 139]. Метод функционала плотности широко применяется, в частности, для моделирования упругих свойств кристаллов [161, 95]. Отметим еще одну проблему, связанную с использованием метода функционала плотности. В рамках данного метода невозможно сравнить два различных приближения для. электронной плотности [116, 139]. Данное обстоятельство существенно усложняет проблему верификации результатов. Можно выделить два класса задач, при решении которых методы ab initio являются, на данный момент практически незаменимыми. Первый класс составляет моделирование систем, состоящих из большого числа различных типов атомов. При решении подобных задач методом молекулярной динамики [65] возникает проблема параметризации большого числа потенциалов взаимодействия. Второй класс составляют задачи в которых необходим учет динамики электронной подсистемы. Примером такой задачи является моделирование высокоинтенсивного лазерного воздействия на материал [114]. Указанные задачи выходят за рамки данной работы, поэтому методы ab initio в работе не используются.
В связи с необходимостью определения на каждом шаге электронной структуры методы ah initio требуют больших вычислительных ]>есурсов. В результате на данный момент возможно моделирование систем, состоящих максимум из нескольких тысяч атомов [139]. Для решения задач механики такого числа атомов часто не достаточно. Поэтому для описания механических свойств твердых тел в литературе предлагаются альтернативные методы [65, 61, 29]. В частности, широкое распространение получили, так называемые “стержневые” или “дискретно-континуальные” модели, впервые предложенные Одегар-дом [147] для моделирования углеродных структур. В рамках дискретно-континуальных моделей атомы соединяются пружинками или стержнями [132|, что позволяет стабилизировать ненлотноупакованные кристаллические решетки, такие как решетка графена. Подобные модели рассматривались и ранее, однако именно работа Одегарда привлекла внимание научной общественности. Данный подход получил развитие в работах Р.В. Гольдштейна, Д.С. Лисовснко, К.Б. Устинова, А.В. Немцова и [61, 14, 17, 16, 17, 56]. В частности, в работе [61] предлагается дискретно-континуальная модель нанотрубки. В работе [14] исследуется поведение нанотрубок при растяжении и кручении. В работах [16,17] определяются упругие свойства наноусов. В работе [56] проводится моделирование нано-пластин углерода. Основным преимуществом “дискретно-континуальных” моделей является простота их интуитивного восприятия. Фактически они позволяют применять хорошо разработанный аппарат механики стержней [50] к моделированию наноструктур. Поэтому “дискретно-континуальные” модели нашли широкое применение. Например, в работе [3] исследуется потеря устойчивости нанотрубки при кручении. В работе [4] рассматривается контактное взаимодействие двух нанотрубок. Несмотря на несомненные преимуще-