Неконсервативные задачи динамики роторных систем, содержащих жидкость

Содержание
Предисловие..............................................4
1. Введение 9
2. О методе исследования устойчивости в малом режима стационарного вращения роторных систем с жидкостью 17
2.1. Свойства симметрии уравнений и
круговые движения.............................. 18
2.2. Движение вязкой несжимаемой жидкости, содержа^ щейся в полости тела, в случае круговой прецессии . 19
2.2.1. Теорема о движении жидкости в полости пре-цессирующего ротора (плоская модель) .... 19
2.2.2. Теорема о движении жидкости в прецессирую-щем роторе с закрепленной точкой................. 23
2.2.3. Теорема о движении смазывающей жидкости гидродинамического подшипника в случае круговой прецессии ротора........................... 27
2.3. Схема метода исследования устойчивости......... 28
3. Устойчивость стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью 29
3.1. Постановка задачи.............................. 30
3.2. Свойства симметрии и круговая прецессия ....... 31
3.3. Гидродинамическая задача....................... 33
3.4. Вычисление гидродинамической силы.............. 35
3.5. Построение области устойчивости стационарного враг щения в плоскости параметров закрепления оси цилиндра .............................................. 38
3.6. Приложение..................................... 41
1
2
4. Устойчивость стационарного вращения цилиндра, содержащего стратифицированную жидкость 43
4.1. Условия устойчивости стационарного вращения цилиндра, заполненного слоисто-неоднородной вязкой несжимаемой жидкостью.................................... 43
4.1.1. Постановка задачи .......................... 44
4.1.2. Способ исследования устойчивости............. 45
4:1.3. Гидродинамическая задача..................... 46
4.1.4. Точное решение............................... 48
4.1.5. Приближенный метод решения гидродинамической задачи....................................... 50
4.1.6. Границы областей с различной степенью неустойчивости в пространстве параметров задачи 56
4.2. Условия устойчивости стационарного вращения ротора, заполненного непрерывно стратифицированной вязкой несжимаемой жидкостью............................. 59
4.2. 1............................................ 59
4.2. 2.............................................. 62
4.2. 3.............................................. 63
4.2. 4.............................................. 66
4.2. 5.............................................. 68
5. Устойчивость стационарного вращения роторной системы, имеющей закрепленную точку и полость с жидкостью 71
5.1. Постановка задачи................................ 71
5.2. Метод определения областей устойчивости............ 73
5.3. Гидродинамическая задача........................... 74
5.4. Решение квазиилоской задачи........................ 77
5.5. Учет влияния торцов.............................. 79
5.6. Вычисление компонентов сил, действующих со стороны жидкости на цилиндр................................... 84
5.7. Определение границ областей устойчивости в плоскости параметров закрепления оси цилиндра.................. 87
6. Исследование устойчивости режима стационарного вращения вертикального ротора на гидродинамических подшипниках. 92
6.1. Постановка задачи.................................. 93
6.2. Метод исследования устойчивости.................... 94
6.3. Гидродинамическая задача........................... 95
з
6.4. Вычисление гидродинамической силы...................... 98
6.5. Построение О-разбиения................................ 99
7. Бифуркация Андронова-Хопфа в динамике роторной системы с жидкостью. 102
7.1. О рождении периодического движения в задаче об устойчивости стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. 102
7.1. 1..................................................102
7.1. 2..................................................104
7.1. 3................................................ 107
7.2. О рождении периодического движения в задаче об устойчивости стационарного вращения вертикального ротора на гидродинамических подшипниках .... 108
7.2. 1..................................................109
7.2. 2..................................................112
7.2. 3..................................................114
Заключение......................................................119
Литература..................................................... 120
Предисловие.
4
Динамика роторных систем с жидкостью представляет интерес как часть общей динамики тел с полостями, содержащими жидкость. Вместе с тем, конкретные результаты исследования динамики таких систем представляют и самостоятельный интерес, в частности при разработке и создании различных турбомашин (сепараторы, жидкостные гироскопы, центрифуги, турбины, охлаждаемые жидкостью изнутри и т.п.)
В диссертационной работе рассматриваются роторные системы, содержащие вязкую жидкость и обладающие приводом, поддерживающим постоянной угловую скорость вращения ротора. Несмотря на широкое распространение таких систем их динамика недостаточно изучена ввиду трудностей, сопряженных с необходимостью учитывать совместное действие таких факторов как быстрое вращение, вязкость жидкости, наличие свободной поверхности или стратификации жидкости, а также внешние неконсервативные силы.
В диссертации систематически проводится оригинальный подход к исследованию устойчивости режима стационарного вращения неконсервативных роторных систем, содержащих жидкость. Этот подход, развиваемый в последние годы, оказывается весьма эффективным при решении различных задач об устойчивости. Суть его исходит из того, чю значения параметров системы принадлежат бифуркационному множеству лишь в том случае, когда существует возмущенное движение в виде круговой прецессии ротора с жидкостью. Фактическое построение решения, описывающего круговую прецессию малого радиуса позволяет не только построить бифуркационное множество в пространстве параметров, но и выделить "опасные” и "безопасные” участки границы области устойчивости, т.е. такие участки, при выходе через которые из области устойчивости происходит соответственно докритическая и закритическая бифуркация Андронова-Хопфа.
В первой главе диссертации содержится краткий исторический обзор. Указано место рассматриваемых задач (направления исследования) в общей динамике тел с полостями, содержащими жидкость. Приведена характерная из рассматриваемых задач, ее история и новый подход к решению.
Во второй главе излагается метод исследования устойчивости в малом режима стационарного вращения роторных систем с жидкостью. С использованием свойств симметрии расматриваемых си-
5
стем доказываются две теоремы. Первая из них - критерий устойчивости, связывает изменение степени неустойчивости в системе с условиями осуществимости возмущенного движения в виде круговой прецессии. Для нахождения этих условий решается задача о движении вязкой несжимаемой жидкости в роторной системе в случае круговой прецессии. Решение последней задачи существенно упрощает вторая теорема, согласно которой в случае круговой прецессии движение жидкости не зависит от времени в специально выбранной прецессирующей системе отсчета.
В третьей главе рассматривается задача об устойчивости стационарного вращения цилиндра, частично заполненного вязкой несжимаемой жидкостью. Излагается решение этой задачи в случае вязкоупругого закрепления оси цилиндра, при условии постоянства его угловой скорости. В рамках плоской модели строится область устойчивости в малом стационарного врвщения цилиндра в пространстве параметров закрепления его оси. Обсуждаются различные механические эффекты, сопряженные с возникновением неустойчивости. Проводится сопоставление с известными экспериментальными результатами.
В четвертой главе рассматривается задача об устойчивости стаг ционарного вращения цилиндра, содержащего стратифицированную жидкость. Излагается решение задачи, отличающейся от сформулированной в предыдущей главе тем, что цилиндр целиком заполнен слоисто-неоднородной вязкой несжимаемой жидкостью. Расслоение жидкости, происходящее в центробежном поле при вращении цилиндра, делает возможным возникновение внутренних волн и неустойчивости вращения. Строится область устойчивости в малом режима стационарного вращения цилиндра в пространстве параметров закрепления его оси. Обсуждаются механические эффекты, вызванные резонансным возбуждением внутренних волн во вращающейся жидкости в случае, когда цилиндр совершает круговую прецессию.
В пятой главе рассматривается устойчивость стационарного враг щения роторной системы, имеющей закрепленную точку и полость с жидкостью. Излагается решение задачи об устойчивости стационарного вращения осесимметричного тела с цилиндрической полостью, частично заполненной вязкой несжимаемой жидкостью, закрепленного в точке на оси симметрии. Предполагается, что проекция угловой скорости тела на ось стационарного вращения поддерживается постоянной, а при отклонениях оси симметрии от оси стационарного вращения на тело действует момент внешних вяз-
б
коупругих сил. В отличие от задач, рассмотренных в предыдущих главах, возмущенное движение жидкости в полости рассматривается как трехмерное. Излагается способ решения гидродинамической задачи во вращающемся цилиндре, совершающем коническую прецессию, основанный на разложении по винтовым частным решениям уравнений Навье-Стокса, - способ винтовой факторизации. Строится область устойчивости в малом режима стационарного вращения тела в пространстве параметров.
В шестой главе проводится исследование устойчивости режима стационарного вращения вертикального ротора на гидродинамических подшипниках. Излагается решение задачи об устойчивости в малом режима стационарного вращения вертикального ротора на гидродинамических подшипниках (ГДП). Предполагается, что возмущенное движение ротора и смазывающей жидкости описывается уравнениями плоской модели, а угловая скорость вращения ротора поддерживается постоянной. При некоторых предположениях о внешней силе, приложенной к системе ”ротор-подшипники” строятся разбиения плоскости параметров внешней силы на области с различной степенью неустойчивости и выделяются области устойчивости. Эта задача также как и все предыдущие решается методом, предложенным во второй главе. При этом задача о движении смазывающей жидкости в случае, когда вращающийся ротор совершает круговую прецессию малого радиуса, решается на основе уравнений Навье-Стокса. Обсуждаются эффекты, вызванные резонансным возбуждением волны Шлихтинга в смазочном слое. Проводится сопоставление полученных результатов с известными экспериментальными данными.
Седьмая глава диссертации посвящена бифуркации Андронова-Хопфа в динамике роторных систем с жидкостью. Рассматривается задача о поведении режима стационарного вращения роторной системы с жидкостью вблизи границы области устойчивости в пространстве параметров. С учетом нелинейности характеристики внешней вязкоупругой силы, действующей на ротор, строится периодическое движение типа круговой прецессии, рождающейся от режима стационарного вращения при пересечении границы области устойчивости. Для задач, сформулированных в третьей и шестой главах выделяются ’’опасные” и ’’безопасные” участки границы области устойчивости режима стационарного вращения. Проводится сопоставление полученных результатов с экспериментальными.
Основная цель диссертационной работы состоит в том, что-
7
бы: .■
1) предложить и разработать адекватный подход к исследоваг нию устойчивости режимов стационарного вращения роторных систем, содержащих жидкость;
2) найти условия устойчивости режима стационарного вращения и исследовать характер возникновения автоколебаний для типичных роторных систем, содержащих жидкость, на основе базовых моделей.
3) теоретически обнаружить новые динамические эффекты и изучить возможности их практического использования.
Научная новизна результатов диссертационной работы, прежде всего, в том, что в ней предложен и разработан современный подход к исследованию устойчивости режимов стационарного враг щеиия роторных систем, содержащих жидкость. В основе подхода построение условий осуществимости возмущенного движения типа круговой прецессии ротора с жидкостью. Эти условия определяют границы областей с различной степенью неустойчивости в пространстве параметров рассматриваемой системы. Исследование условий осуществимости круговой прецессии малого радиуса позволяет также выделить "опасные” и "безопасные” участки границы области устойчивости, т.е. такие участки, при выходе через которые из области устойчивости происходит соответственно докрити-ческая и закритическая бифуркация Андронова-Хопфа. Предложенный в диссертации подход оказался весьма эффективным при исследовании устойчивости режимов стационарного вращения типичных роторных систем на основе базовых моделей. В рамках этого подхода возможно построение всей границы области устойчивости. Он позволил установить, что при возникновении неустойчивости режима стационарного вращения важно соотношение между внутренним трением в жидкости, содержащейся в роторе и внешним демпфированием в опорах оси ротора. Выполненное в работе исследование условий возникновения автоколебаний типа круговой прецессии показало, что они могут возникать "мягко" или "жестко”, главным образом, в зависимости от упругих свойств опор оси ротора. Если жесткость опор возрастает с перемещением оси, то автоколебания возникают "мягко”, в противном случае - "жестко". Среди других полученных результатов, например, эффект "старения устойчивости". Он состоит в том, что устойчивый режим стационарного вращения ротора, содержащего первоначально однородную вязкую несжимаемую жидкость, может стать неустойчивым по истечении времени, достаточного для расслоения жидко-
8
сти на компоненты в центробежном поле.
Практическое значение результатов, полученных в диссертации в том, что они могут быть использовании при проектировал нии и конструкторской разработке различных турбомашин: турбин, охлаждаемых жидкостью изнутри, сепараторов, ультрацентрифуг, гироскопов с жидкостным наполнением и т.п. Они позволяют теоретически находить области значений параметров конкретных устройств, при которых режим стационарного вращения устойчив, а также предупреждать неожиданную потерю устойчивости вследствие её "старения”. Предложенный диссертантом подход к исследованию устойчивости оказался эффективен в задачах динамики вертикального ротора на гидродинамических подшипниках (ГДП). Результаты исследования устойчивости режима стационарного вращения вертикального ротора на ГДП были использованы в ОКБ машиностроения (Н.Новгород) при разработке новой техники.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: - на V Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Алма-Ата, 1981); на II Всесоюзном съезде по теории машин и механизмов (Одесса, 1982); на VI Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986);
- на IV Четаевской Всесоюзной конференции по устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением (Звенигород, 1982); на двух Всесоюзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем (Горький, 1987; Н.Новгород, 1990); на V Всесоюзной Четаевской конференции "Аналитическая механика, устойчивость и управление движением (Казань, 1987);
- на Всесоюзной школе молодых учёных "Комплексные методы в математической физике” (Донецк, 1984); на Всесоюзной школе "Методы аналитической механики" (Красновидово, 1985);
- на VIII Казахстанской межвузовской конференции по математике и механике (Алма-Ата, 1984); на IV Республиканском совещании по проблемам динамики твёрдого тела (Донецк, 1984);
- на семинаре но аналитической механике под руководством
В.В.Румянцева (Москва, 1980); на итоговых научных конференциях Нижегородского университета (1980-1990).
Публикация. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [7], [13], [16], [25], [73], [74], [97], [98].
Структура и объем диссертации. Работа состоит из предисловия и семи глав. Диссертация содержит 129 страниц текста, 29 рисунков. Список литературы включает 102 наименования.
Глава 1. Введение
Задача о движении тела с полостью, целиком заполненной жидкостью, относится к классическим задачам механики. Первым, кто обратил внимание на неё, был, по-видимому, Стокс (1842-1847г.). Позднее этой задачей занимались также Гельмгольц (1860г.), Любек (1873г.) и Ламб (1873г.).
Впервые систематическое изучение динамики твердого тела с полостями, целиком заполненными однородной идеальной несжимаемой жидкостью, было проведено Н.Е. Жуковским (1885г.). Жуковский показал, что в случае потенциального движения жидкости в полости задача сводится к рассмотрению движения эквивалентного твердого тела. При этом потенциальное движение жидкости в полости выражается через мгновенные значения переменных, описывающих состояние движения тела Таким образом, задача, рассмотренная Н.Е.Жуковским, была сведена им к конечномерной.
Изучение движения твердых тел с полостями, содержащими жидкость, естественно приводит к задаче об устойчивости движения таких тел. Так в связи с попытками объяснить гироскопические явления в движении Земли были проведены первые опыты с гироскопами, имеющими полости, заполненные жидкостью. Кельвин (1877г.) провел опыты с волчком в виде тонкостенной оболочки в форме эллипсоида вращения, целиком заполненной жидкостью. Оказалось, что если оболочка имеет сплюснутую форму, то вращение волчка вокруг оси симметрии с достаточно большой угловой скоростью устойчиво. Если же оболочка хотя бы слегка вытянута, то вращение волчка вокруг оси симметрии неустойчиво, какую бы угловую скорость ему ни сообщали. Этот результат можно сопоставить с известным фактом, что сырое яйцо, даже сильно раскрученное, не может вращаться на носике вокруг своей оси подобно
9
10
волчку.
Теоретические исследования направленные на объяснение экспериментальных результатов Кельвина, содержатся в работах Гри-нхилла (1880г.), Ф.А.Слудского (1895г.), Гафа (1895г.), Пуанкаре (1910г.), Бассета (1911г.).
В этих работах принято, что идеальная несжимаемая жидкость, целиком заполняющая эллипсоидальную полость, совершает однородное вихревое движение. А.Пуанкаре рассмотрел также задачу об устойчивости вращения волчка Кельвина с учетом упругости оболочки и неоднородности жидкости.
В пятидесятые годы 20 века в связи с запросами ракетно-космической техники была поставлена и получила большое развитие новая задача о динамическом взаимодействии тела и жидкости, частично заполняющей его полости. В этот период получили также развитие и традиционные, восходящие к Стоксу задачи динамики тел с полостями, содержащими жидкость. В разных странах мира появилось большое число публикаций, посвященный динамике тела с жидкостью. В нашей стране это работы С.Л.Соболева, Н.Г.Четаева, Л.Н.Сретенского, Д.Е.Охоцимского, Г.С.Нариманова, А.Ю.Ишлинского, Н.Н.Моисеева, М.Е.Темченко, С.В.Малашенко, Г.А.Микишева, Б.И.Рабиновича, И.М.Рапопорта и многих других авторов. Библиография работ столь обширна, что здесь нет возможности даже перечислить их. Подробные библиографические указатели можно найти, например, в книгах Н.Н.Моисеева, В.В.Ру-мянцева [10], Г.Н.Микишева и Б.И. Рабиновича [11]. Большая часть упомянутых работ посвящена исследованию линеаризованных систем методами теории малых колебаний и спектральной теории операторов [14], [55]-[59]. В этих работах изучены структура спектра, собственные функции, обоснованы приближенные методы. Выяснен ряд механических особенностей колебаний тела с жидкостью. Исследована устойчивость состояния равновесия в смысле ограниченности всех нормальных колебаний. Установлена определяющая роль внутренних резонансов в возникновении неустойчивости стационарного вращения тела с полостью, содержащей идеальную несжимаемую жидкость. Значительно меньшее число работ посвящено анализу нелинейных моделей. В них в центре внимания исследование общих свойств движений (например, существования первых интегралов), прежде всего, устойчивости движения. Достигнутые здесь успехи связаны с применением и развитием идей и методов А.М.Ляпунова и Н.Г.Четаева.
Плодотворным оказалось Понятие устойчивости по отношению