2
Оглавление
стр.
Введение......................................................... 5
Глава 1. Нелинейные уравнения равновесия стержней................ 15
1.1 .Уравнения равновесия сил и моментов, действующих на элемент стержня.................. ........................... 18
1.2.Уравнение, связывающее вектор М0 с изменениями кривизн и кручения осевой линии стержня................................ 20
1.3. Матрица преобразования единичных векторов координатных
осей.......................................................... 2Ъ
1.4 Уравнения, связывающие с углами .......................... 2 6
1.5. Векторное уравнение перемещений точек осевой линии
стержня.................... .................................. 30
1.6 Приведение уравнений к безразмерной форме записи.......... 01
1.7. Векторные уравнения равновесия стержня в связанной системе координат.............................................32
1.8 У равнения равновесия стержня в проекциях на связанные оси 34
1.9 Уравнения равновесия плоского криволинейного стержня......36
1.9.1. Уравнения равновесия при действии произвольных сил и
моментов................................................... 36
1.9.2 Уравнения равновесия при действии сил лежащих в плоскости осевой линии стержня.............................37
Глава 2. Статическая устойчивость криволинейных стержней. 4 О
2.1. Введение.................................................4 О
2.2 Векторные уравнения равновесия стержня после потери устойчивости..................................................41
3
стр.
2.3. Уравнения равновесия в связанных осях в скалярной форме записи.......................................................
2.4. Потеря устойчивости плоского криволинейного стержня 50
2.4.1. Потеря устойчивости плоского криволинейного стержня при нагружении произвольными силами................... 50
2.4.2. Потеря устойчивости плоского криволинейного стержня при нагружении силами, лежащими в плоскости осевой линии стержня........................................... 50
2.5 Численное решение нелинейных уравнений равновесия стержня.................................................... 55
2.6 Определение критических нагрузок при нагружении
консервативными силами....................................... 58
Выводы по второй главе....................................... 6 7
Глава 3.Динамическая устойчивость криволинейных стержней. 6 8
3.1. Уравнения малых колебаний пространственно
криволинейного стержня относительно нагруженного состояния 69
3.2. Динамическая потеря устойчивости плоского криволинейного стержня.................................................... 72
3.2.1. Уравнения малых колебаний плоского криволинейного стержня нагруженного произвольными силами............ 7*2
3.2.2. Уравнения малых колебаний стержня после потери устойчивости для случая, когда линии действия сил лежат в плоскости осевой линии стержня.............................. 73
3.3 Определение критической нагрузки при нагружении
неконсервативными силами....................................... 76
Выводы по третьей главе...................................... 79
Глава 4. Численные методы определения напряженно-деформированного состояния и критических консервативных
4
сгр.
нагрузок для плоских криволинейных и пространственнокриволинейных стержней............................................. 30
4.1 Уравнения равновесия стержней, нагруженных сосредоточенными мертвыми силами при критическом состоянии 81
4.1.1 Уравнения равновесия при критическом состоянии 32.
4.2. Уравнения равновесия стержня, нагруженного сосредоточенными силами после потери устойчивости............. ^5^
4.3. Численное определение критических значений мертвых сил
при нелинейных деформациях стержня............................. 91
Выводы по четвертой главе...................................... //2
Глава 5. Численные методы определения критических нагрузок при
консервативных и неконсервативных силах.......................... 7/3
5.1. Определение критических следящих нагрузок........... / / 4
Выводы по пятой главе.................................... /47
Основные выводы . /42
Список использованной литературы................................. /43
5-
ВВЕДЕНИЕ
Элементы конструкций, сводимые к расчетной схеме стержня, имеют очень широкое распространение во многих отраслях техники. Они используются в качестве упругих элементов приборов: частотные датчики, низкочастотные фильтры, аккумуляторы механической энергии (рис.1), в мехатронных системах, в системах виброзащиты объектов (рис.2). Высоконадежная работа приборов, машин и конструкций, а также точность показаний приборов, использующих стержни в качестве чувствительных элементов, в большой степени зависит от точности их расчета с учетом условий работы и механических свойств самих элементов. Упругие стержневые элементы в реальных условиях могут находиться в различных силовых полях, например, в поле силы тяжести на ускоренно движущемся объекте, на вибрирующем основании, в электромагнитном поле и т.д., что может привести к существенному изменению их статических и динамических характеристик, и как следствие этого, к отказам конструкции (например, из-за потери статической или динамической устойчивости) и к погрешностям в показаниях приборов.
Очень часто упругие стержневые элементы должны работать при больших перемещениях точек осевой линии, например, в системах виброзащиты (рис.2) Это требует при их расчете решения нелинейных уравнений равновесия. Особенно сложными являются задачи расчета
Рис. 1
в).
Т
т
и
Т
т
Рис. 2
амортизаторов, состоящих из пространственно-криволинейных стержней
(рис.2) при больших ’’сжатиях" амортизатора. При расчете надо определить
допустимые величины сжатия амортизатора, при которых в стержневых
элементах не появляются пластические деформации[16],
Одной из основных причин потери работоспособности конструкций,
машин и приборов, содержащих стержневые элементы, является статическая
и динамическая потеря устойчивости.
11роблема устойчивости стержней не является новой. Этой проблемой
занимались известные механики: Н. А. Алфутов, В. В. Болотин, X.
Лсйнгольц, Е. Е. Николаи, В. И. Феодосьев, Г. Циглер и многие
другие.Многие вопросы, возникающие при анализе устойчивости стержней,
подробно изучены. Разработаны алгоритмы определения критических
нагрузок как для прямолинейных стержней, так и для криволинейных
стержней, но в основном при предположении, что форма осевой линии
стержня при критическом состоянии (нагруженном состоянии), практически
на
не отличается от естественной (нагруженной) формы осевой линии стержня. Для прямолинейных стержней это предположение сомнений не вызывает. Так как осевая линия стержня до нагружения и после нагружения осевой силой остается прямой (рис.З). Несколько иначе обстоит дело при анализе устойчивости, например, плоского криволинейного стержня (имеется ввиду
.8
потеря устойчивости с выходом из плоскости), нагруженного силами, линии действия которых лежат в плоскости осевой линии стержня (рис.4).
При нагружении криволинейного стержня форма его осевой линии не остается неизменной. При этом возможны два случая.
В первом случае при критическом состоянии форма осевой линии стержня мало отличается от естественной (пунктирная линия 1 на рис.4). Во втором осевая линия стержня при критическом состоянии очень сильно отличается от исходной (штрих пунктирная линия 2 на рис.4).
Основное внимание уделялось решению задач, относящихся к первому случаю, которые рассматриваются без учета малых изменений геометрии осевой линии стержня, т.е. когда предполагается, что малым изменением геометрии осевой линии на напряженное состояние стержня можно пренебречь.
Такое предположение существенно упрощает исследование устойчивости криволинейных стержней, так как не требует рассмотрения полной системы уравнений, в которую входят неизвестные внутренние силы и моменты, а также изменение кривизн, перемещения точек осевой линии стержня и углы поворота связаных осей. Достаточно рассмотреть только уравнения равновесия. Из этих уравнений определяются внутренние силы и моменты, которые входят в коэффициенты линейных уравнений равновесия
Pue. 4
10
или малых колебаний стержня после потери устойчивости, используемые при определении критических нагрузок.
Во втором случае геометрические параметры осевой линии стержня существенно изменяются (линия 2 на рис.4), что требует для определения напряженно-деформированного состояния, соответствующего критическому состоянию, решать нелинейные уравнения равновесия с последующим использованием этого решения в линеризованных уравнениях равновесия стержня после потери устойчивости, которые дают возможность определить критические нагрузки.
В обоих рассмотренных случаях возможна потеря устойчивости, когда новая форма равновесия стержня очень сильно отличается от формы осевой линии стержня при критическом состоянии. 11а рис. 5 осевая линия стержня после потери устойчивости показана пунктирной линией. Классическим примером потери устойчивости с «перескоком» в новое состояние равновесия является ферма Мизеса (рис.6). Такая потеря устойчивости часто называется потерей устойчивости в "большом". На рис.6 критическое состояние обозначено - 1, состояние равновесия после перекоса-2.
При потере устойчивости пространственно-криволинейного стержня (это наиболее общая задача), так же как и при потере устойчивост и плоского криволинейного стержня возможны два случая: 1) потеря устойчивости, когда измснеием геометрических параметров осевой линии при нагружении
/////////
11
Pue. 5
Pue. 6
/////////
12
можно пренебречь; и 2) потеря устойчивости, когда пренебрегать геометрией осевой линии нельзя.
При статической потере устойчивости стержень из критического неустойчивого состояния равновесия переходит в устойчивое состояние равновесия. Предположение, что новое состояние равновесия мало отличается от критического состояния позволяет определять критические силы из линеаризованных уравнений.
Большой практический интерес представляют задачи потери устойчивости в "малом" упругих стержневых элементов, когда критическое состояние существенно отличается от естественного состояния (штрихпунктирная кривая на рис.4). Для того, чтобы получить напряженно-деформированное состояние стержня соответствующее состоянию 2 (рис.4 ) надо решить систему нелинейных уравнений равновесия стержня. Так как критическое состояние заранее неизвестно (в отличие от классического метода, где принимается, что критическое состояние совпадает с естественным состоянием стержня), то для определения критических нагрузок надо исследовать линеаризованные уравнения на каждом шаге нагружения, предполагая, что при данном уровне нагружения имеет место критическое состояние равновесия.
В зависимости от поведения сил при нагружении (например, "мертвые" или "следящие" силы) возможна потеря устойчивости стержня как
- Київ+380960830922