Решение задач теории упругости с помощью полиномов Лежандра

Оглавление
Введение 5
• »
1 К параметризациям области тонкого тела с двумя малыми размерами. Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения. Рекуррентные соотношения системы полиномов Лежандра 14
1.1 К формулам Френе и параметризациям области тонкого тела с двумя малыми размерами........................................15
1.1.1 К классической параметризации области тонкого тела с двумя малыми размерами прямоугольного поперечного сечения...................................................16
1.1.2 К параметризации области тонкого тела с двумя малыми размерами при произвольной базовой линии...............19
1.2 Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения при различных параметризациях области тонкого тела с двумя малыми размерами...................................23
1.2.1 Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения при классической параметризации области тонкого тела с двумя малыми параметрами.............24
1.2.2 Представления градиента и дивергенции тензора и уравнений движения в том случае, когда при параметризации области тонкого тела с двумя малыми размерами в качестве базовой выбрана произвольная линия...............25
2
3
1.3 Некоторые рекуррентные соотношения системы полиномов Лежандра на сегменте [—1,1] 26
1.3.1 Основные рекуррентные соотношения......................26
1.3.2 Дополнительные рекуррентные соотношения................26
2 Элементы теории моментов и некоторые соотношения в моментах относительно системы полиномов Лежандра. Представления граничных условий и системы уравнении движения в моментах 30
2.1 Элементы теории моментов......................................31
2.2 Некоторые соотношения в моментах относительно системы полиномов Лежандра.................................................37
2.3 О граничных условиях и различных представлениях системы уравнений движения в моментах относительно системы полиномов Лежандра...................................................42
3 Представления закона Гука микрополярной теории упругости
в моментах. Постановка задачи теории тонких тел с двумя малыми размерами в моментах 51
3.1 Представления закона Гука микрополярной теории упругости
в моментах...................................................52
3.1.1 Метод нормированных моментов поля тензора напряжений .........................................................59
3.1.2 Упрощенный метод приведения бесконечной системы уравнений к конечной ..... ..................................... 64
3.1.3 Постановка задачи в моментах в теории тонких тел с двумя малыми размерами.......................................73
4 Некоторые частные задачи 74
4.1 Постановка задачи для призматического тонкого тела с двумя малыми размерами в моментах......................................74
4.2 Метод нормированных моментов в случае призматического тонкого тела..................................................75
4.3 Дифференциальное уравнение относительно
прогиба.....................................................77
4.4 Уравнения равновесия нескольких первых приближений для тонкой классической упругой прямоугольной области. Постановки задач в моментах..........................................80
4.5 Постановки задач в моментах нескольких первых приближений
для классической упругой прямоугольной области..............82
4.5.1 Постановка задачи нулевого приближения ...............83
4.5.2 Постановка задачи первого приближения................83
4.5.3 Постановка задачи второго приближения................84
4.5.4 Постановка задачи третьего приближения................85
4.5.5 Постановка задачи четвертого приближения..............87
4.5.6 Постановка задачи пятого приближения..................90
4.6 Уравнения равновесия нескольких первых приближений для тонкой микрополярной упругой прямоугольной области. Постановка задач в моментах..........................................93
4.7 Постановки задач в моментах нескольких первых приближений
для микрополярной упругой прямоугольной области...........95
4.7.1 Постановка задачи нулевого приближения ...............96
4.7.2 Постановка задачи первого приближения................96
4.7.3 Постановка задачи второго приближения................98
4.7.4 Постановка задачи третьего приближения...............101
4.7.5 Постановка задачи четвертого приближения.............104
4.7.6 Постановка задачи пятого приближения.................108
4.7.7 Задача, для двумерной многослойной области...........112
4.7.8 Численная реализация некоторых задач.................116
Заключение 128
ЛИТЕРАТУРА
129
5
Введение
В настоящее время известно несколько методов построения теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций. Например, в случае однослойных пластин, оболочек и стержней [4,15,27,31,33,34,116,128,145,150], эти методы основаны на:
1) гипотезах о напряженном и/или деформированном состояниях;
2) разложении всех геометрических и механических величин в ряды;
3) асимптотическом интегрировании;
4) представлениях о двумерных средах.
Эти методы различаются возможностями использования в практических расчетах, уровнем математической строгости и т.д. и в то же время они приводят трехмерные системы уравнений в частных производных, которые описывают механическое поведение реальной конструкции, к двумерным или одномерным, т.е. при расчете конструкций решают систему двумерных дифференциальных уравнений в частных производных либо систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
Первый метод, который еще называют гипотетическим методом, ближе всего к инженерным представлениям. Исходная задача упрощается после принятия определенных допущений (гипотез). Такие гипотезы связаны прежде всего с именами Кирхгофа Г. [138], Рейснера Е. [148], Генки X. [136],
Тимошенко С.П. [17,19}, Амбарцумяна С.А. [4], Левинсона М. [142], Пеле-ха Б.Л. [99], Хорошуна Л.П. [123], Черных К.Ф. [125], Твалчрелидзе А.К., Твалтвадзе Д. , Никабадзе М.У. [119], Никабадзе М.У. [53-55,57-74,79] и ДР-
Второй метод связан с разложением в ряды по степеням поперечной координаты, разложением в полиномы Лежандра [117,121], [9,10,12,18,49,50], [98,100], [1,16,30,36-41,86], [75,77,78,80 65,87,94], разложением в ряды по системе заданных функций [7,8], разложением в многочлены Чебышева [88,89] и др.
Третий метод — асимптотическое интегрирование предлагается, например, в работах Гольденвейзера А.Л. и Саркисяна С.О. [20-22,114,115]. Этот метод приводит к равномерному приближению решения но всем элементам теории (кинематическим, силовым).
Четвертый метод, основанный на представлении о двухмерных средах и называемый еще прямым методом |33,122], находит достаточно редкое применение, т.к. противоречит традиционным взглядам о представлении результатов расчетов в виде полей напряжений. Такое представление для двухмерных теорий - весьма трудоемкий, а иногда и невыполнимый процесс. О возможностях этого метода можно судить, например, по работе [145].
Теории многослойных пластин и стержней [26,122] можно строить аналогично теориям однослойных пластин. Однако при этом существует два принципиально различающихся метода [24,26,29,147]:
а) теории, основанные на гипотезе ломаной нормали;
б) теории, основанные на гипотезе эквивалентного слоя.
Основное различие между этими теориями заключается в представлении
о пакете слоев как о совокупности независимых слоев (гипотеза ломаной линии) или как о целостном эквиваленте (гипотеза эквивалентного слоя). Число разрешающих уравнений в теориях, основанных на гипотезе «ломаной нормали», непосредственно зависит от числа слоев пакета и не зависит для теорий, основанных на гипотезе «эквивалентного слоя». Кроме того, определение некоторых эффективных характеристик многослойного пакета существенно затруднено в теориях «эквивалентного слоя», особенно тогда, когда свойства и толщины слоев сильно различаются, поскольку классические представления о деформациях поперечных сечений здесь не выполняются. Это в свою очередь приводит к сложным кинематическим представлениям, в соответствии с которыми определение эффективных характеристик приходится связывать, как правило, с введением поправочных коэффициентов. Многочисленные дискуссии по поводу правомочности введения поправочных коэффициентов и их механической адекватности свидетельствуют о незавершенности теории «эквивалентного слоя» и необходимости дальнейших теоретических разработок в этом направлении. При использовании гипотезы «ломаной нормали» возникает другая проблема - ошибка, получаемая при неточном описании деформации поперечного сечения каждого слоя. Однако она существенно меньше ошибки, возникшей при построении кинематической модели эквивалентного слон. Методы построения теорий многослойных пластин обсуждаются в работах [26,29,123,129,147].
В настоящее время при расчетах конструкций на прочность в подавляющем большинстве случаев используется классическая теория упругости. Однако, существуют материалы, такие как кости животных, графит, некоторые полимеры, полиуретановые пленки, пористые материалы (пемза), различные
синтетические материалы, материалы с включениями, которые при определенных условиях проявляют микрополярные свойства. Существуют эффекты, которые не предсказываются классической теорией. Если рассматривать статику, то отличное от классики поведение наблюдается при изгибе тонких пластин, балок, при кручении тонких и тонкостенных стержней, при исследовании концентрации напряжений возле отверстий, угловых точек, трещин и включений. Например, тонкие образцы жестче при изгибе и кручении, чем предсказывает классическая теория [133-135]. Концентрация напряжений около отверстий оказывается меньше, а коэффициент концентрации зависит от радиуса [144]. Концентрация напряжений возле трещин также оказывается ниже, напротив, напряжения возле включений выше чем предсказано классикой [137,139,146]. Если материал не обладает центром симметрии упругих свойств, то микрополярная теория предсказывает закручивание образца при растяжении [141]. Если рассматривать динамические задачи, то ряд явлений также отличается от классических представлений. Например, волны сдвига распространяются с дисперсией, появляются волны микровращений, собственные формы колебаний отличаются от классических [32,43-45,130.131]. Все эти явления используются для определения материальных констант мик-рополярной теории упругости. Существует множество методик, позволяющих получить эти константы, многие из которых описываются в работах [131,140].
В заключение следует отметить, что к настоящему времени развито множество различных вариантов теорий тонких тел (теорий стержней, пластин, оболочек и многослойных конструкций). Анализ опубликованных работ свидетельствует, что создание уточненных теорий оболочек и многослойных конструкций продолжает активно развиваться. При этом нелинейные теории
тонких тол находят нее более широкое освещение в литературе. Существенно расширился используемый математический аппарат как для реализации уже поставленной проблемы, так и с целью обеспечения новых постановок. Параллельно с теоретическим используется также и экспериментальный путь исследования.
В принципе, любую задачу теории оболочек или стержней можно решать в трехмерной постановке, которая является более точной в сравнении с двумерной постановкой. Однако реализовать на практике эту возможность в требуемом объеме не удается вследствие сложности решения трехмерных задач и большого разнообразия практически необходимых постановок задач. Известны оценки трудоемкости решения одно-, двух- и трехмерных краевых задач, согласно которым повышение размерности задач на единицу повышает трудоемкость решения в 1000 раз [51]. Применительно к задачам механики деформируемого твердого тела эти оценки являются заниженными, поскольку даже в простейшей се ветви - в теории упругости, многие задачи в точной постановке оказываются очень сложными [97].
Поведение топких тел, подчиняясь общим законам механики деформируемого твердого тела, зависит также от специфических присущих им закономерностей [101]. Вследствие относительной малости толщины сопротивление оболочки в поперечном направлении существенно слабее сопротивления в тангенциальных направлениях. Уравнения состояния механики трехмерного тела, в том числе и закон Гука, не учитывают этого обстоятельства. Поэтому их непосредственное использование в теории оболочек приводит к существенной ошибке [12]. Специфические закономерности деформирования тонких тел являются физической предпосылкой к построению новых теорий
10
тонких тел.
Следует заметить, что материалы, из которых изготовлены слои многослойных конструкций, могут быть как однородными, так и неоднородными, а также композитными. Например, в трехслойных конструкциях в качестве внешних слоев используются однородные материалы, внутренний же слой состоит либо из мягкого, относительно слоистого материала (различные пены) [23], либо из жесткого [25], а также либо из конструктивно сложного, неоднородного, композитного материала (сотовые заполнители, гофры). В многослойных композитных конструкциях каждый слой сам но себе является композитным материалом. В современных конструкциях зачастую используется сочетание обоих типов слоистых конструкций. Например, трсхслойная пластина, имеющая в качестве внешних слоев многослойные пластины, а также элементы, состоящие как из одного, двух и трех, так и существенно большего количества слоев из композитных материалов и волокнистой структуры. В такие многослойные элементы могут быть включены специальные слои, которые, например, демпфируют конструкцию или защищают ее от температурных или коррозионных воздействий. В настоящее время трехслойные и многослойные конструкции, особенно пластины широко применяются в различных областях техники.
Появление и широкое внедрение в различные отрасли техники композитных материалов слоистой и волокнистой структуры вызвало необходимость в разработке новых методов расчета и проектирования тонких тел, изготовляемых из этих материалов.
Применение многослойных конструкций при их рациональном проектировании позволяет обеспечить достижение высокой удельной жесткости и
11
прочности, требуемых звуко- и теплоизоляционных свойств, демпфирующих вибропоглащающих характеристик. В ряде случаев необходимость применения многослойных тонких тел вызывается конструктивными и эксплуатационными соображениями. Это очень важно при повышенных требованиях к безопасности конструкций, особенно в самолето- и ракетостроении, тем более, что прогресс вычислительной техники обеспечивает возможность проведения все более и более сложных численных расчетов.
В связи с широким использованием тонких тел (одно-, двух-, трех- и многослойных конструкций) возникает потребность создания новых уточненных теорий и усовершенствованных методов их расчета. Поэтому построение уточненных теорий тонких тел и развитие эффективных методов их расчета являются важной и актуальной задачей.Целью предлагаемой работы является
построение новых теорий тонких микрополярных тел с двумя малыми размерами и решение некоторых задач теории упругости с помощью полиномов Лежандра.
В первой главе рассмотрены классическая параметризация и параметризация при произвольной базовой линии области тонкого тела трехмерного евклидова пространства М3. Дано векторное параметрическое уравнение области тонкого тела. Введены в рассмотрение свойственные предложенным семействам параметризаций геометрические характеристики. В частности, рассмотрены различные семейства базисов (реперов) и порожденные ими соответствующие семейства параметризаций. Получены выражения для компонент единичного тензора второго ранга (ЕТВР). Получены представления градиента, дивергенции тензора и уравнений движения при рассматриваемых параметризациях. Выписаны основные рекуррентные формулы и получены
12
некоторые дополнительные рекуррентные соотношения, играющие важную роль при построении различных вариантов тонких тел.
Во второй главе даны определения момента (т,п)-го порядка некоторой величины относительно произвольной системы ортогональных полиномов и системы полиномов Лежандра. Получены выражения для моментов частных производных и некоторых выражений относительно системы полиномов Лежандра. Получены граничные условия и различные представления системы уравнений движения в моментах.
В третьей главе приведены представления определяющих соотношений в моментах. Изложен метод нормированных моментов полей тензоров напряжений и моментных напряжений. Получена система уравнений для определения нормирующих ноля тензоров напряжений и моментных напряжений. Излагается упрощенный метод редукции.
Следует заметить, что с помощью рассматриваемого метода построения теории тонких тел с двумя малыми размерами получается бесконечная система уравнений, которая имеет то преимущество, что она содержит величины, зависящие от одного переменного — параметра х3 базовой линии. Итак, уменьшение числа независимых переменных на два достигается ценой увеличения количества уравнений до бесконечности, что разумеется, имеет свои очевидные практические неудобства. В этой связи сделан необходимый шаг для упрощения проблемы. Производится редукция бесконечной системы к конечной системе. Дана постановка задачи в моментах.
В четвертой главе, исходя из общей постановки задачи, сформулирована постановка задачи для призматического тонкого тела с двумя малыми