Колебания и устойчивость сопряженных оболочек

Оглавление
Введение ............................................................ 4
Глава 1 Осесимметричные колебания тонких оболочек
вращения, сопряженных по параллели.............. ^
1.1 Основные уравнения................................. 11
1.2 Асимптотический анализ............................... 13
1.3 Численные результаты................................. 19
Глава II Устойчивость непрямой круговой конической
'У о
оболочки..........................................
2.1 Геометрия косого конуса............................. 24
2.2 Исследование устойчивости непрямой круговой
конической оболочки. Нулевое приближение............ 29
2.3 Построение первого приближения для параметра
нагружения.......................................... 38
Глава III Колебания непрямой круговой конической
оболочки............................................. ^
3.1 Исследование колебаний непрямой круговой
конической оболочки.Нулевое приближение............. 45
3.2 Нахождение первого приближения для параметра
частоты колебаний................................... 51
Глава IV Устойчивость оболочек, сопряженных под
54
углом.............................................
4.1 Условия сопряжения оболочек.......................... 55
4.2 Устойчивость сопряженных оболочек.................... 60
Г лава V Колебания оболочек, сопряженных под углом.... 74
5.1 Исследование колебаний сопряженных оболочек. 74
Решение задачи нулевого приближения...............
5.2 Нахождение первого приближения для параметра 77
частоты колебаний.................................
Заключение.......................................................... 83
Указатель литературы................................................ 87
ВВЕДЕНИЕ.
Данная диссертация посвящена главным образом исследованию колебаний и устойчивости сопряженных оболочек. Оболочкой называют тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние между которыми мало, по сравнению с основными размерами тела. Конструкции типа тонкостенных оболочек находят применение в самых разнообразных отраслях промышленности, таких как турбиностроение, судостроение, авиация и реактивная техника. Этим объясняется повышенный интерес к теории оболочек в течение последних пятидесяти лет [2], [11], [16], [22], [27],
[47], [48]. За эти годы теория оболочек выделилась в отдельную науку, успешно сочетающую в себе результаты математического анализа, теории функций комплексных переменных, дифференциальной геометрии, теории упругости и ряда других направлений. На кафедре теоретической и прикладной механики Санкт- Петербургского Государственного Университета проблеме оболочек и сопряженных оболочек уделяется достаточно большое внимание. Более двадцати крупных работ было опубликовано только за последние пять лет. Хочется отметить несколько монографий, посвященных теории оболочек, которые нашли свое отражение в данной диссертации и оказали большое влияние на научные взгляды автора, среди них: Гольденвейзер А. Л., Лидский В. Б., Тов-стик П. Е. Свободные колебания тонких упругих оболочек. М.,
4
1979. 384с., Товстик П.Е. Устойчивость тонких оболочек М.: Наука. Физматлит, 1995. 320 с., Филиппов С.Б. Теория сопряжённых и подкреплённых оболочек, СПб.: Изд. СПбГУ, 1999. 196 с.. Безусловно, это далеко неполный перечень всех многочисленных научных статей и работ, посвященных теории оболочек, и, вышедших в последние годы. Результаты всех этих трудов очень важны не только для дальнейших исследований в теории оболочек, но и для самых разнообразных расчетов, связанных с проектированием тонкостенных оболочечных конструкций в различных областях техники. Данную диссертацию можно рассматривать как следующий шаг в исследовании колебаний и устойчивости сопряженных оболочек. Корпуса многих видов подводных лодок и самолетов представляют собой систему двух сопряженных оболочек, ’’носовая" часть которых имеет форму непрямого кругового конуса. Для того, чтобы успешно использовать на практике такую технику, необходимо прежде всего исследовать колебания и устойчивость под действием равномерного внешнего давления оболочек, составляющих основу данной конструкции. Этим исследованиям и посвящена настоящая диссертация.
Прежде чем перейти к изложению основного материала нам представляется важным упомянуть о некоторых достаточно общих предположениях для теории оболочек. В классической теории оболочек справедливы гипотезы Кирхгофа - Лява, состоящие
в следующем: нормальный элемент к недеформированной срединной поверхности оболочки остается прямолинейным и нормальным к деформированоой срединной поверхности и не изменяет своей длины; нормальные напряжения 033 = 0 пренебрежимо малы. Предполагается также, что материал оболочки изотропен и подчиняется обобщенному закону Гука, а деформации, перемещения и углы поворота настолько малы, что вторыми степенями этих величин можно пренебречь. Колебания и устойчивость под действием внешнего давления большинства реальных упругих ко-струкций описываются системами дифференциальных уравнений в частных производных, точное решение которых возможно лишь в некоторых частных случаях. При решении краевых задач теории колебаний и устойчивости оболочек достаточно часто применяются приближенные методы расчета: численные и асимптотические.
Асимптотический метод представляет собой одно из наиболее мощных средств современной прикладной математики. Он позволяет получать приближенные аналитические решения сложных нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих малый параметр, в теории оболочек в качестве которого используется малость относительной толщины оболочки. В простейших случаях аналитические методы дают точное решение задачи. Во многих случаях они позволяют существенно упростить численное реше-
6
ние и дают возможность качественно оценить численные результаты. Данная диссертация наглядно иллюстрирует совместное применение численных и асимптотических методов решения систем дифференциальных уравнений, описывающих колебания и устойчивость сопряженных оболочек.
Основное содержание работы.
Диссертация состоит из пяти глав, последовательных по смыслу. Первая глава посвящена осесимметричным колебаниям двух оболочек вращения, сопряженных по параллели. Основная часть этой главы содержится в публикациях [29], [58]. В работах [49], [50], [51] рассмотрен случай, когда угол сопряжения оболочек не является малым . В этой работе особое внимание уделяется случаю малого угла сопряжения. Граничные условия на линии сопряжения являются достаточно сложными. Проблема разделения таких условий в задачах статики довольно хорошо изучена [21],
[48]. Разделение граничных условий на основные и дополнительные в задачах колебаний и устойчивости сопряженных оболочек было впервые проведено в книге [48]. Это позволило решить ряд новых задач, получить интересные качественные результаты, вывести простые приближенные формулы для определения частот колебаний и критического давления.
7