Приложение метода сингулярных интегральных уравнений к задачам изгиба анизотропных пластин с многосвязным контуром

2
СОДЕРЖАНИЕ:
Стр.
ВВЕДЕНИЕ........................................................ 7
1. СИНГУЛЯРНЫЕ РЕШЕНИЯ ТЕОРИИ ИЗГИБА ТОНКИХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН
1.1 Основные соотношения анизотропной теории упругости........... 40
1.2 Бесконечная анизотропная пластина под действием сосредоточенных нагрузок................................................ 48
1.3 Изгиб анизотропной полуплоскости сосредоточенной нормальной нагрузкой при различных краевых условиях.................... 50
1.4 Ортотропный квадрант под действием сосредоточенной нормальной нагрузки при различных краевых условиях на кромках.............................................................. 52
1.5 Бесконечная анизотропная пластина и анизотропная полуплоскость под действием периодической системы сосредоточенных нагрузок........................................................... 53
1.6 Бесконечная ортотропная свободно опертая но кромкам полоса под действием сосредоточенной нормальной нагрузки........... 55
1.7 Ортотропная полуполоса, свободно опертая по трем сторонам, под действием сосредоточенной нормальной нагрузки............... 56
1.8 Ортотропная полуполоса, свободно опертая по полубесконечным кромкам и жестко защемленная по конечной стороне, под действием нормальной сосредоточенной нагрузки......................... 57
1.9 Сингулярные потенциалы, получаемые наложением из решения для ортотропной полуполосы.................................. 58
3
1.10 Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием
под действием сосредоточенного изгибающего момента при различных краевых условиях на контуре....................... 60
1.11 Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием
(жестким включением) под действием равномерно распределенной изгибающей нагрузки на бесконечном удалении..................... 68
1.12 Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием под действием сосредоточенной нормальной нагрузки при различных краевых условиях на контуре.................................... 73
1.13 Дислокации в задачах изг иба анизотропных пластин............ 82
1.14 Составная анизотропная плоскость под действием сосредоточенной
силы.......................................................... 84
1.15 Выводы по главе 1............................................ 87
2. ИЗГИБ БЕСКОНЕЧНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН, ОСЛАБЛЕННЫХ КРИВОЛИНЕЙНЫМИ РАЗРЕЗАМИ И ГЛАДКИМИ ОТВЕРСТИЯМИ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ФОРМЫ
2.1 Бесконечная анизотропная пластина, ослабленная системой криволинейных разрезов............................................. 89
2.2 Бесконечная пластина с трещинами и отверстиями. Постановка задачи. Запись комплексных потенциалов.......................... 92
2.3 Сведение краевой задачи к системе интегральных уравнений 95
2.4 Приведение системы интегральных уравнений к каноническому
виду.......................................................... 98
2.5 Численное решение сингулярных интегральных уравнений 100
2.6 Случай ветвящихся разрезов. Выход разреза на внешний контур
конечной пластины.............................................. 102
2.7 Асимптотическое представление напряжений в окрестностях вершин разрезов................................................. 105
4
2.8 Вид комплексных потенциалов для многосвязных областей, ограниченных гладкими контурами и криволинейными разрезами, при несамоуравновешенной краевой нагрузке............................. 107
2.9 Физический смысл функций подынтегральной плотности в потенциальных представлениях..................................... 114
2.10 Примеры решения некоторых задач.............................. 117
2.11 Выводы по главе 2............................................ 132
3. ИЗГИБ АНИЗОТРОПНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ОТВЕРСТИЕМ, СОДЕРЖАЩЕЙ КРИВОЛИНЕЙНЫЕ СКВОЗНЫЕ ТРЕЩИНЫ И ЖЕСТКИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ.
3.1 Изгиб анизотропных пластин, содержащих тонкие криволинейные жесткие включения........................................... 134
3.2 Вид комплексных потенциалов для пластины с эллиптическим отверстием и криволинейными дефектами......................... 139
3.3 Анизотропные пластины, подкрепленные упругими кольцевыми стержнями постоянной жесткости.............................. 146
3.3.1 Постановка задачи........................................... 147
3.3.2 Некоторые преобразования граничных условий.................. 148
3.3.3 Потенциальные представления и сингулярное интегральное уравнение задачи................................................ 149
3.3.4 Дополнительные условия. Некоторые формулы................... 156
3.4 Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием, загруженным по части контура распределенными нормальными изгибающими моментами постоянной интенсивности.................... 158
3.5 О вычислении интегралов типа Коши но единичной окружности... 167
3.6 Выводы по главе 3............................................. 169
5
4. ОБ ОПТИМАЛЬНОМ ПРОЕКТИРОВАНИИ ПЛАСТИН ИЗ КОМПОЗИЦИОННЫХ МАТЕРИАЛОВ
4.1 Оптимальное проектирование слоистых композитных панелей 171
4.1.1 Определение упругих характеристик многослойных пластинок.... 171
4.1.2 Постановка задачи оптимизации............................ 175
4.1.3 Методы оптимизации....................................... 177
4.1.4 Бесконечная анизотропная пластина с эллиптическим отверстием. 185
4.2 Выводы по главе 4......................................... 190
5. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ КОНЕЧНЫХ АНИЗОТРОПНЫХ ПЛАСТИН, ОГРАНИЧЕННЫХ МНОГОСВЯЗНЫМИ КОНТУРАМИ
5.1 Представления комплексных потенциалов для пластин с гладким контуром................................................... 192
5.2 Представления комплексных потенциалов для пластин, содержащих гладкие отверстия и сквозные криволинейные разрезы..... 198
5.3 Поперечный изгиб анизотропных консольных пластин с многосвязным контуром............................................... 201
5.4 О характере особенности в угловых точках пластины со смешанными краевыми условиями.................................... 205
5.5 Изгиб консольных анизотропных пластин с деформированной прямолинейной кромкой......................................... 210
5.6 Анализ результатов численных исследований конечных многосвязных пластин................................................ 215
6
5.6.1 Экспериментальное определение напряжений в консольной пластине.................................................. 215
5.6.2 Многосвязные консольные пластины. Результаты расчетов... 221
5.6.3 Круговая изотропная пластина с тремя осесимметрично расположенными отверстиями, нагруженная изгибающими моментами постоянной интенсивности по внешнему конту-
РУ.................................................. 225
5.6.4 Прямоугольная пластина с круговым отверстием........ 226
5.6.5 Прямоугольная пластина с круговым отверстием и двумя жесткими ребрами.......................................... 227
5.6.6 Кольцевая пластина, нагруженная сосредоточенной силой... 230
5.6.7 Круглая пластина, ослабленная трещиной.............. 233
5.6.8 О произвольной постоянной в первой краевой задаче... 237
5.7 О границах применимости классической теории изгиба анизотроп-
ных пластин.............................................. 240
5.8 Выводы по главе 5......................................... 242
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.................................................... 244
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ.................. 247
ПРИЛОЖЕНИЕ. Акты внедрения результатов работы.............. 270
7
ВВЕДЕНИЕ
Интенсивное развитие авиационной и космической техники, машино-и судостроения дано мощный толчок развитию численных методов решения инженерных задач, к каковым относится анализ напряженно-деформированного состояния (НДС) конструкций. Несомненный успех в развитии вычислительной техники во многом стимулировал это развитие. Сегодня существует достаточно мощный аппарат вычислительных методов, и эффективное использование вычислительной техники для их реализации требует расширения границ исследования двумерных задач теории упругости. Метод граничных интегральных уравнений (МГИУ) в настоящее время является одним из современнейших методов решения краевых задач, несомненно, имеет большие перспективы в будущем. При всем многообразии существующих методов решения двумерных задач метод сингулярных интеграль-ных уравнений (СИУ) обладает неоспоримыми достоинствами. Исторический обзор по становлению и развитию метода граничных интефальных уравнений можно найти, например, в монографиях [88,134].
К одной из важнейших сторон современной технологической революции относится создание и широкое использование в технике новых неоднородных анизозропных материалов композиционного строения. Одним из основных преимуществ композиционных материалов (КМ) по сравнению с традиционными сплавами является высокая удельная прочность и жесткость в выбранных направлениях, что обуславливает эффективность их применения в авиакосмических конструкциях. В инженерной практике остро встал вопрос изучения полей напряжений и деформаций в таких широко применяемых сложных элементах конструкций из сплавов и КМ. Эти исследования являются основополагающими при расчете на прочность и долговечность, а потому разработка эффективных методов расчета двумерных изотропных и анизотропных тел - актуальная задача.
К настоящему времени плоская задача теории упругости достаточно полно исследована и методы решения возникающих краевых и контактных
8
задач в анизотропных пластинах с концентраторами напряжений (КН) в виде отверстий, трещин, включений и подкреплений соответственно хорошо развиты. Основополагающие результаты здесь были получены отечественными учеными, академиками АН СССР Н.И. Мусхелишвили, АЛО. Ишлинским,
В.В. Новожиловым, ЮЛ-1. Работновым, Л.И. Седовым, P.A. Христиановичем. Существенный вклад в развитие этого направления внесли: В.М. Александров, А.Я. Александров, И.И. Ворович, J1.A. Галин, Д.В. Грилицкий, Э.И. Гри-голюк, А.Н. Гузь, С.Е. Инглис, Г. Ирвин, Г.В. Колосов, С.А. Калоеров, A.C. Космодамианский, С.Г. Лехницкий, А.М. Линьков, В.Н. Максименко, Р.Д. Миндлин., Е.М. Морозов, В.А. Осадчук, Б.Л. Пелех, В.В. Панасюк, В.З. Пар-тон, П.И. Перлин, Г.Я. Попов, Г.Н. Савин, М.П. Саврук, Си Г., Л.И. Слепян, Ю.И. Соловьев, О. Тамате, А.Г. Угодчиков, А.Ф. Улитко, А.Ф. Уфлянд, Л.А. Филыитинский, Н.П. Флейшман, В.П. Черепанов, Д.И. Шерман, С.Я. Ярема и др.
Значительно менее исследованной представляется задача изгиба тонких пластин. Прежде всего, это объясняется приближенностью при решении задачи классической теории изгиба Кирхгофа, создающей определенные трудности, несмотря на аналогию с плоской задачей в записи краевых условий. Исследования по теории изгиба тонких плит связаны с работами Амбарцумяна С.А. [78], Артюхина Ю.П. [81], Бережницкого Л.Т. [85,86,87], Вильямса М.Л. [73], Грилицкого Д.В. [108,109, 110], Исиды М. [29, 30], Калоерова С.А. [124, 125], Лехницкого С.Г. [143,144], Пелеха Б.Л. [177], Пелсха С.А. [178], Максименко В.Н. [45-47,150,160-162 180-187], Попова Г.Я. [192], Прусова И.А. [193, 106], Рейсснера Э. [48], Тамате 0.[64,-67], Филыитинского Л.А. [213,214], Хасебе Н. [17-23] и др.
В настоящей работе развивается приложение метода граничных сингулярных интегральных уравнений к решению задач изгиба бесконечных анизотропных пластин с КН в виде трещин, отверстий, а также имеющих подкрепления в виде абсолютно жестких стержней и стержней с конечными из-гибной и крутильной жесткостями. Отдельно рассматривается приложение
9
СИУ к задачам изгиба конечных многосвязных (в том числе консольных) пластин из анизотропных материалов. Следующий ниже обзор посвящен задачам изгиба многосвязных анизотропных бесконечных и конечных пластин.
Обзор состояния вопроса. По современным представлениям разрушение высокопрочных материалов и изготавливаемых из них элементов конструкций происходит путем распространения трещин, поскольку в реальном материале всегда имеются или возникают в процессе деформирования дефекты типа трещин (остроконечные полости, жесткие включения и т.п.) Так как предотвращение появления дефектов типа трещин является трудной технологической задачей, то при оценке несущей способности конструкций предполагается наличие трещин, которые имеются в структуре реальных тел и определяют те условия, при которых происходит распространение наиболее опасной трещины, приводящей к локальному или полному разрушению тела.
Основы теории распространения трещины в хрупких материалах были заложены в работах Гриффитса [12,11], где на основе энергетического метода решена задача о необходимой предельной разрушающей на1рузкс для бесконечной однородной пластины с прямолинейной макроскопической трещиной фиксированной длины в условиях растяжения.
Упругие напряжения в окрестности концов трещины можно представить в виде К / \[г + О (г), где г - малое расстояние от вершины трещины, К-коэффициент интенсивности напряжений, О (г) - ограниченная величина при г —>0. Согласно Л. Ирвину [28,27], распространение трещины наступает тогда, когда коэффициент упругих напряжений достигает некоторого (постоянного для данного материала при заданных условиях) значения. Таким образом, величина этого коэффициента может служить характеристикой поля напряжений в окрестности вершины трещины.
Первыми работами по расчету пластин, ослабленных дефектами типа трещин, можно считать исследования Колосова [129] и Инглиса [26], впервые рассмотревших задачу о растяжении бесконечной пластины с эллиптиче-
10
ским отверстием, т.к. прямолинейная трещина - частный случай эллиптического отверстия. Для оценки предельного равновесия изгибаемых или растягиваемых пластин необходимо установить распределение напряжений и перемещений в окрестности вершины трещины. Асимптотические формулы локального поля напряжений вблизи вершины трещины в условиях плоского растяжения впервые даны в работах [26,28,202, 73]. М.Л. Вильямс, исходя из теории Кирхгофа и используя метод собственных функций, дал распределение напряжений вблизи прямолинейной трещины в изгибаемой изотропной пластине [72]. Им было установлено, что в случае изгиба, как и при растяжении, особенность напряжений обратно пропорциональна квадратному корню расстояния от вершины трещины.
Дж. Си и Д. Райс [203] обобщили результаты Вильямса на случай изгиба моментами и поперечной нагрузкой пластин, состоящих из разных материалов, с трещиной на линии соединения. Они показали, что напряжения вблизи вершины трещины обратно пропорциональны корню квадратному расстояния до угловой точки дефекта и имеют осцилирующий характер, причем эти колебания локальны. При одинаковых упругих свойствах материалов результаты Си и Райса сводятся к результатам Вильямса [211].
Асимптотические формулы локального напряженно-деформированного состояния вблизи вершины жесткого остроугольного включения при изгибе пластин Кирхгофа были впервые даны в работе [216] Я.П. Хруща, М.В. Делявского, Л.Т. Бережницкого. В работе [175] на основании существующей аналогии между формулировками основных задач плоской теории упругости и классической теории изгиба тонких пластин с единых позиций дано полное распределение напряжений и перемещений возле остроконечного дефекта (трещины или жесткого включения) с точками возврата на контуре.
Ф. Гейдон и В. Шеффелд рассмотрели изгиб перерезывающими силами пластины в форме кардиоиды [8]. Ими было отмечено, что в отличие от тан-
11
генциальных смещений прогиб пластины вблизи вершины дефекта прямо пропорционален расстоянию до вершины дефекта в степени три вторых.
В работах Л. Ирвина, Г.П. Черепанова [28,219] доказано, что асимптотическое распределение напряжений не зависит от конфигурации дефекта. Доказательство этого положения можно также найти в монографии [86].
Используя уравнения классической теории Кирхгофа, О. Тамате рассмотрел задачу об изгибе бесконечной изотропной пластины, ослабленной дугообразной круговой трещиной [65]. Изучению напряженно-деформированного состояния (НДС) в вершине трещины, расположенной на контуре кругового включения в бесконечной пластине при изгибе, посвящена статья Д. Перельмана и Дж. Си [43].
Г. Рич и Р. Робертс исследовали изгиб бесконечной изотропной пластины, ослабленной круговым отверстием с одной и двумя прямолинейными трещинами, выходящими на его контур [196]. При решении использовался метод полиномиального представления Бови. Однако их решение представляется некорректным с точки зрения учета действительной константы, входящей в граничные условия теории Кирхгофа. Этим же недостатком страдают работы [43,65].
Задача изгиба полубесконечной изотропной пластины, ослабленной треугольным надрезом, от вершины которого распространяется трещина перпендикулярная свободному краю, решена Н. Хасебе в работе [17]. Для решения используется отображение на внешность единичного круга рациональной функцией. С применением метода Н.И. Мусхслишвили получено распределение напряжений и коэффициентов интенсивности для различных углов надреза и различной длины трещины. Задачи для бесконечной изотропной полосы с двумя краевыми трещинами исследованы в работах [23, 18] того же автора. Результаты численного эксперимента для задач об изгибе бесконечной изотропной пластины с трещиной, имеющей ответвления на противоположных концах представлены в [20]; в [23] также рассмотрены задачи о трещинах на линии соединения полуполосы и полубесконечной пластины. В
12
[21 ] рассматривается изгиб изотропной полосы с уступом и трещиной. В работе [22] проанализирован случай упругой полуплоскости, свободно опертой на прямолинейном крае, с трещиной. Решение во всех работах этого автора строилось с помощью метода комплексной переменной с использованием рациональной отображающей функции. Получены общие решения в замкнутой форме.
Метод конечных элементов используется в работе В. Вильсона и Д. Томпсона, где рассматривается задача изгиба бесконечной изотропной пластины и полосы, ослабленных прямолинейными трещинами [75], такой же подход используется в задаче изгиба конечных пластин, ослабленных трещинами, под действием поперечной нагрузки в статье [4], где прогибы, в пределах сингулярных и регулярных конечных элементов, аппроксимируются по-разному.
В работе [19] исследуется НДС полубесконечной изотропной пластины, вдоль прямолинейного свободного края усиленной ребром конечной длины, у конца которого имеется прямолинейная трещина. Задача решается в комплексных потенциалах, причем область пластины конформно отображается на круг единичного радиуса. Исследуется зависимость коэффициента интенсивности напряжений от отношения длины подкрепляющего ребра к длине трещины.
В работе [221] предложен приближенный способ описания контакта берегов разреза при изгибе изотропной пластины в рамках двумерной теории Кирхгофа. Напряженное состояние пластины, изгибаемой равномерно распределенными на бесконечности моментами, вне прямолинейного разреза описывается парой несвязанных бигармонических уравнений обобщенного плоского напряженного состояния и изгиба пластин. На контактирующих берегах разреза неизвестное контактное давление заменяется статически эквивалентной системой: нормальными усилиями в срединной поверхности пластины и изгибающими моментами. Краевая задача сводится к нелинейному сингулярному интегро-дифференци&пьному уравнению, решение которого
13
найдено в замкнутом виде, определены коэффициенты интенсивности усилий и моментов в окрестности концов разреза.
Контакт берегов прямолинейной трещины в анизотропной плите учитывается в работе [24].
Задача изгиба бесконечной микронеоднородной пластины, содержащей макротрещину свободную от усилий, решалась в работе [114]. Предполагалось, что в окрестности вершины трещины всегда можно выделить структурную область, где материал в среднем однородный и изотропный, со свойствами, эквивалентными макроскопическим свойствам пластины в целом.
Метод определения коэффициентов интенсивности напряжений для изгибаемой пластины с трещиной, использующий функцию напряжений Вес-тергарда, предложен в [71].
В работе [115] авторы, используя существующую аналогию между плоской задачей и задачей изгиба пластин Кирхгофа, получили распределение постоянных членов в компонентах напряжений в вершине для любого остроконечного дефекта. На необходимость учитывать не только сингулярные члены в компонентах напряжений, но и постоянные составляющие, указывается, например, в [68].
П. Теокарис использовал экспериментальный метод каустик при определении комплексных коэффициентов интенсивности напряжений у верпги-ны сквозной трещины в пластине при асимметричном изгибе [69] , им же приводятся результаты исследований, проведенных на образцах из плексигласа и стали.
В работах [29,30] рассмотрены задачи об изгибе бесконечных изотропных пластин, содержащих систему прямолинейных разрезов. При решении использован метод разложения комплексных потенциалов в ряд Лорана.
О. Таматс решил в рамках теории Рейсснера задачу об изгибе бесконечной изотропной плиты с круговым отверстием и радиальной трещиной [64], используя для этого метод сингулярных интегральных уравнений.
14
В работе [32] решена задача изгиба пластины с центральным прямолинейным разрезом распределенными краевыми изгибающими моментами. Авторы, используя МКЭ, сделали попытку учесть влияние берегов разреза в зоне сжатия и пластических деформаций у вершин разреза. Отмечено, что учет смыкания берегов ведет к появлению напряжений в срединной плоскости пластины и возрастанию коэффициентов интенсивности напряжений примерно на 20%, увеличению раскрытия трещины в растянутой зоне. Зоны пластичности в окрестности вершин уменьшаются, что объясняется увеличением изгибной жесткости.
Рядом авторов задача изгиба пластин с дефектами типа трещин решалась на основании уточненных теорий изгиба, поскольку классическая теория (Кирхгофа) является приближенной, вследствие чего распределение напряжений в малой окрестности вершины дефекта будет нарушено.
Д. Ноулз и Н. Ван, исходя из теории Рейсснера ( теория шестого порядка) рассмотрели задачу об изгибе бесконечной пластины с прямолинейной трещиной, на контуре которой все три краевых условия выполняются точно [35]. Ими было показано, что распределение напряжений в пластине с нулевой толщиной совпадает с распределением напряжений в пластине подвергнутой растяжению. А коэффициенты интенсивности напряжений, получаемые согласно теориям Рейсснера и Кирхгофа, отличаются на постоянный множитель. При этом перерезывающие напряжения, в отличие от теории Кирхгофа, остаются ограниченными при подходе к вершине трещины.
С позиции теории Рейсснера решена задача изгиба полосы с двумя прямолинейными разрезами, расположенными симметрично относительно средней линии полосы [3]. Помимо изгиба пластина подвергнута растяжению, исключающему контакт берегов разреза. Решение задачи строится с применением интегрального преобразования Фурье. Получено интегральное уравнение задачи, из которого определены коэффициенты интенсивности напряжений.
15
С использованием уточненной модели С.П. Тимошенко, учитывающей слабую сдвиговую жесткость материала, решалась задача об изгибе свободно опертой прямоугольной пластинки, содержащей прямолинейную трещину параллельную одной из координатных осей [107]. Па берегах разреза действуют изгибающий момент и поперечная сила. Задача сведена к интегральному уравнению, решенному методом ортогональных многочленов.
В рамках теории, учитывающей нелинейность распределения напряжений по толщине пластины, задачи изгиба пластин решались рядом авторов [15,55]. Дж. Си и Р. Хартрапфт распространили полученный в работе [35] результат на случай пластины конечной толщины, ослабленной сквозной трещиной [15]. Используя метод интегральных преобразований, они показали, что коэффициенты интенсивности напряжений зависят от отношения толщины пластины к длине трещины, причем незначительное изменение толщины пластины может значительно повлиять на распределение напряжений в окрестности вершин. В работе [55] Дж. Си, используя теорию пластин Гольденвейзера, приводит распределение напряжений в окрестности вершин разреза в неограниченной пластине.
Однако, несмотря на то, что уточненные теории позволяют удовлетворить всем трем краевым условиям на контуре пластины, они являются двумерными, как и теория Кирхгофа. В силу этого они не могут точно описать НДС вблизи вершины трещины. Точная картина распределения напряжений может быть получена лишь с применением трехмерной теории упругости [16].
Несомненно, важным представляется вопрос о влиянии анизотропии упругих свойств материала на НДС в окрестности вершин дефекта. До недавнего времени работы в этом направлении, применительно к теории изгиба пластин, отсутствовали. Впервые изгиб орготропной пластины с прямолинейной трещиной, расположенной вдоль одного из главных направлений, изучался М. Вильямсом и Д. Энгом [1], где авторами с использованием мето-
16
да интегральных преобразований определено общее НДС, однако, анализ асимптотических формул в окрестности вершин проведен не был.
Авторами статьи [87] была рассмотрена задача изгиба анизотропной неограниченной пластины, ослабленной прямолинейным разрезом. Комплексные потенциалы С.Г. Лехницкого [143] построены с использованием конформного отображения внешности разреза на внешность единичного круга.
Составная анизотропная пластина с прямолинейными трещинами, лежащими на границе раздела рассмотрена в [14]. Изгиб неограниченных изотропной и анизотропной пластин с эллиптическим отверстием под действием сосредоточенных нагрузок рассмотрен в [25,62].
Задачу об изгибе сингулярными нагрузками бесконечной анизотропной пластины с эллиптическим отверстием исследовали авторы в [160, 180]. Для построения решения используется конформное отображение внешности эллиптического отверстия на внешность единичного круга и обратное преобразование, а также процедура вычисления интегралов типа Коши по контуру единичного круга. Рассмотрены различные варианты краевых условий на контуре отверстия и внешней нагрузки, определены в замкнутом виде выражения для действительных констант в случае решения первой краевой задачи.
Л.А. Филыптинским и В.Н. Хаидогиным задача изгиба анизотропной неограниченной пластины, ослабленной системой криволинейных нспересе-кающихся разрезов, нагруженной самоуравновешенными усилиями, приложенными к берегам разрезов, и изгибающими моментами на бесконечности, была сведена к системе сингулярных интегральных уравнений с дополнительными условиями, накладываемыми на перемещения в пластине [214]. Подобная же методика использовалась в [213] для решения задачи изгиба анизотропной полуплоскости с разрезами.
17
Метод сопряжения использовался в [106,193] при решении задачи об изгибе бесконечной анизотропной пластины с прямолинейными трещинами, расположенными на одной прямой.
В работах [168,178] авторами исследовалось влияние анизотропии материала по толщине изгибаемой пластины на ин тенсивность и распределение напряжений возле прямолинейного сквозного разреза на основе теории трансверсально-изотропных плит шестого порядка.
Обзор работ по изгибу изотропных бесконечных пластин, содержащих тонкие жесткие включения можно найти в монографиях [86, 192,193].
Грилицкий Д.В., Опанасович В.К., Драган М.С. исследовали задачи изгиба и кручения бесконечных изотропных плит с упругими линейными включениями [109, 110]. В работах предложена модель тонкого упругого включения, осуществлена постановка и решение задачи цилиндрического изгиба пластины с системой тонких прямолинейных упругих включений, изгибаемой и скручиваемой моментами на бесконечности. Задача сведена к системе сингулярных интегро-дифферепциальных уравнений, решаемой методом механических квадратур.
Калоеров С.А., Вакуленко С.В. исследовали задачу об изгибе бесконечной изотропной пластинки, имеющей отверстия, трещины и жесткие включения [125]. В основе метода определения НДС лежит решение в замкнутом виде задачи об изгибе бесконечной плиты с одним эллиптическим отверстием.
Решение задачи об изгибе упругих пластин, подкрепленных тонкими упругими незамкнутыми стержнями, сводится к определению контактных усилий взаимодействия пластины и стержня. Эти задачи приводятся к интегральным уравнениям со специальной характеристической частью [172,173]. Для пластин с упругими линейными включениями переменной жесткости некоторые результаты можно найти в [53,541. Определение неизвестных контактных усилий здесь также сводится к решению интегро-дифференциального уравнения со специальной характерис тической частью.
18
Из приведенного обзора следует, что в большей части цитированных работ речь идет об изотропных пластинах, при этом рассматриваются одиночные дефекты простой формы - в виде прямолинейных отрезков, луг окружности. Не исследуется взаимовлияние дефектов, влияние границ пласти-ны на характер НДС
Изгибу конечных многосвязных пластин в литературе уделено мало внимания, что объясняется определенными трудностями, возникающими при решении подобных задач. Большой теоретический и практический интерес представляет исследование влияния внешних границ деформируемого тела на характер изменения интенсивности напряжений вблизи вершин дефекта. В отличие от плоской задачи в теории изгиба пластин перечень работ, посвященных этому вопросу, довольно невелик.
Изгиб изотропной круглой пластины с центрально размещенной прямолинейной трещиной моментами, действующими по внешнему контуру пластины, исследовался в работе [85].
Метод конечных разностей использовался при расчете на изгиб квадратной платины с прямыми разрезами [93]. Прямоугольные изотропные пластины с трещинами параллельными одной или двум сторонам прямоугольного плана под действием поперечной нагрузки рассматривались в работе [167]. Для учета указанных разрезов вводятся обобщенные разрывные функции -как в дифференциальные соотношения теории тонких пластин, так и в искомые решения. С помощью системы разрезов, образующих замкнутый или незамкнутый прямоугольный контур, решается задача для пластины с вырезом или отверстием.
Методом конечного элемента решена задача изгиба квадратной пластины со сквозной трещиной в рамках теории Рейсснера в работе [49]. В окрестности трещины вводились специальные сингулярные элементы, на удалении применялась полиномиатьная аппроксимация. Исследовались зависимости распределения напряжений от толщины пластины, от соотношения между длиной трещины и размерами пластины, а также от формы сингуляр-
19
ных элементов.
Метод решения задачи изгиба пластин, ограниченных многосвязными контурами описан в статье [124]. Метод основан на решении задачи сопряжения для разомкнутых контуров многосвязной области. В качестве примера рассмотрена круглая плита с центральной трещиной под действием сосредоточенной силы.
В работе Кулакова В.М., Толкачева В.М. [135] метод компенсирующих нагрузок используется для решения краевой задачи изгиба гонкой упругой изотропной пластинки произвольной формы. Исследуя свойства предельных значений встречающихся интегралов и производя их регуляризацию, авторы получают систему интегральных уравнений Фредгольма второго рода для определения компенсирующих нагрузок.
В работах [98-100] на основе метода компенсирующих нагрузок построена методика решения задач изгиба конечных изотропных пластинок, имеющих различные условия опирания на внешнем контуре. Определяется общее НДС не только в пластине, но и в окрестности угловых точек. Задача сводится к регулярным интегральным уравнениям, которые решаются численным методом.
М.В. Делявским и Л.П. Мазураком предложена методика приближенного определения коэффициента интенсивности напряжений при всестороннем изгибе треугольной плиты, ослабленной дефектами типа трещин или жесткими остроугольными включениями [116,117]. Внешность дефекта конформно отображается на внешность единичного круга. Краевое условие на контуре дефекта выполняется точно, на сторонах пластины - приближенно. Существенно, что размер дефекта мал по сравнению с размерами пластины.
Г.В. Гапонов дал приближенное решение задачи круглой шарнирно опертой по круговому контуру пластины с центральной трещиной от действия равномерно распределенного давления [102]. Используется метод наложения. Отдельно решается задача изгиба бесконечной пластины с прямолинейным разрезом, загруженным моментами, возникающими по линии разреза
20
в сплошной круговой пластине от действия внешней нагрузки, полученное решение затем корректируется для выполнения условий шарнирного опира-ния по контуру круговой пластины. Полученное решение является приближенным, дан анализ погрешности решения. Круглая изотропная пластинка с центральной трещиной исследовалась в работе [1471.
Исследования для кольцевой изотропной пластинки с жестко защемленными внутренним и свободным внешним краями под действием поперечной сосредоточенной нагрузки, приложенной в произвольной точке, проведены в работе [5]. Решение построено с использованием тригонометрических рядов. В работе [205] рассмотрена изотропная пластинка, нагруженная в некоторой точке сосредоточенной силой. Внешний контур плиты несильно отличается от кругового и жестко заделан, а внутренний - круговой, свободен от закрепления. Задача решена методом малого параметра.
В работе [132] решена задача об изгибе тонких изотропных пластин, имеющих форму сектора или кругового прямоугольника. Радиальные края изучаемых пластин упруго оперты, а дуговые края могут иметь любые условия опирания. С помощью метода декомпозиции уравнений получено приближенное аналитическое решение поставленной задачи.
С.А. Кулиев рассмотрел задачу изгиба анизотропной пластинки, ограниченной снаружи эллиптическим контуром, а изнутри круговым с двумя примыкающими разрезами одинаковой длины [136]. При помощи полиномов Фабера задача сводится к решению четырех систем бесконечных линейных алгебраических уравнений.
В работе [190] изучается изгиб шарнирно опертой прямоугольной ор-тотропной пластинки с тонким жестким включением. С помощью преобразования Фурье задача сводится к интегральному уравнению, решение которого ищется в классе функций с неинтегрируемыми особенностями.
Применению метода конечных элементов к задачам изгиба конечных пластин, ослабленных трещинами, посвящена работа [4]. В данной работе использованы специальные сингулярные конечные элементы, причем ап-
21
проксимация сингулярных и регулярных конечных элементов осуществляется по-разному.
В.И. Копнина, Е.И. Мельников предложили решение задачи изгиба анизотропной эллиптической плиты с внецентренным эллиптическим отверстием [131]. Внешний контур плиты или закреплен или свободен, а по внутреннему распределен изгибающий момент постоянной интенсивности. Метод решения задачи основан на представлении искомых комплексных функций двумя рядами, один из которых содержит полиномы Фабера.
Как видно из настоящего обзора, задачам изгиба анизотропных пластин, ослабленных трещинами сложной формы, уделено недостаточно внимания, а исследования для ветвящихся и краевых трещин практически отсутствуют.
Практический интерес представляют задачи изг иба пластин с негладким контуром и со смешанными краевыми условиями. Оценка прочности и жесткости инженерных конструкций часто связана с анализом НДС консольных пластин. Консольные пластины с защемленной прямолинейной кромкой могут служить моделями крыла малого удлинения летательного аппарата, оперения реактивных снарядов или ракет. Сскториальная пластина с защемленной дуговой кромкой - аналог лопатки рабочего колеса турбины, консольной же пластиной моделируется киль легкого судна. В строительстве -это различного рода козырьки, балконные плиты.
Интегрирование уравнения изгиба пластин при смешанных краевых условиях, когда на части контура заданы прогибы и углы поворота, а на оставшейся части краевая нагрузка (нормальный изгибающий момент и обобщенная перерезывающая сила) до сих пор представляет сложную задачу. Сложности возрастают с появлением на контуре угловых точек. Впервые к задачам изгиба консольных пластин обратились в середине прошлого века [31,36] и, начиная с этого времени, много исследователей трудилось над этой проблемой.
22
При расчете консольных пластин в ряде работ использовались различные упрощающие гипотезы. В одних случаях [166] - это гипотеза о недефор-мируемости поперечного сечения консольной пластины, когда функция прогибов может быть представлена в виде = <р${х) + УФ\(Х)* что позволяет свести задачу к интегрированию обычных дифференциальных уравнений для функций (рц(х\(р\(х). В работе [166] приводятся результаты расчетов по определению центров жесткости крыльев различной формы в плане с жесткими поперечными сечениями. Подобное же допущение используется в [176], где решается задача об изгибе и кручении полосы. В работе [95] М.Б. Вахитов показал, что данная гипотеза в случае пластин переменной хорды и сложного закона распределения поперечной нагрузки приводит к существенным погрешностям, т.к. предполагает линейное распределение поперечной силы в сечении пластины параллельном линии защемления. Методика работ [166,176] применяется при расчете пластины с ортотропной структурой в [52], а также при расчете изотропной консольной пластины под действием равномерной поперечной нагрузки [48]. В ряде работ прогибы в поперечном направлении аппроксимируются параболой [10,59]. Причем в [10] рассматривается изгиб ортотропного крыла и прогиб аппроксимируется полиномом либо вдоль хорды, либо по размаху, при этом подробно рассматриваются два варианта заделки крыла в фюзеляж. В работе [128] получены дифференциальные уравнения изгиба пластины в напряжениях, которые решаются методом Бубнова-Галеркина, при этом автором используется та же гипотеза о не-деформируемости контура поперечного сечения. Исследованы случаи прямоугольной пластины, нагруженной равномерным и гидростатическим давлением, получены формулы для напряжений в пластине.
Многими исследователями применялся вариационный подход к решению задач изгиба консольных пластин. В работе [119] использован вариационный метод В.З. Власова. Функционал потенциальной энергии записывается в форме Лагранжа. В качестве примера рассмотрен изгиб пластины в виде прямоугольного треугольника, шарнирно опертой вдоль катетов, от равно-
23
мерно распределенной нагрузки. Причем один из катетов существенно больше другого, что позволяет аппроксимировать прогибы в направлении перпендикулярном длинному катету линейной функцией от координаты. В статье [140] выводится вариационное уравнение Лагранжа для консольных пластин с угловыми точками на свободной части контура. Для построения общего интеграла используются однородные алгебраические полиномы, удовлетворяющие уравнению изгиба и кинематическим граничным условиям. Решается задача изгиба консольной пластины в виде равнобедренного прямоугольного треугольника, защемленного по гипотенузе и нагруженного сосредоточенной силой в выступающем уз лу, анализируются полученные результаты. Прием, основанный на вариационном методе В.З. Власова - Л.В. Канторовича, используется в работе [195] при расчете пластин сложной формы и переменной в общем случае толщины. Однако, разрешающие уравнения получены не вариационным путем, а применением процедуры типа Бубнова -Галеркина. После вычисления квадратур задача сводится к интегрированию системы обыкновенных дифференциальных уравнений 4-го порядка с переменными коэффициентами. Пластины со сложным контуром разбиваются на простые пластины (прямоугольные, треугольные) и затем решения "склеиваются" вдоль линии разреза, причем, одно из кинематических условий выполняется в интегральном смысле. Получены результаты, приводятся графики прогибов и напряжений для пластин треугольной, трапециидальной и прямоугольной формы. Метод Ритца используется в работе [112] при определении НДС пластины переменной толщины. Рассмотрены прямоугольные пластины с линейно меняющейся толщиной по хорде под действием равномерно распределенной нагрузки. Аналогичная процедура осуществляется в [61], однако, аппроксимирующие функции в выражении для прогибов задаются в виде ортогонализированных полиномов. Приводятся таблицы с вычисленными в них коэффициентами полиномов. Рассмотрена прямоугольная пластина, нагруженная сосредоточенной силой в углу и равномерно распределенной нагрузкой. Вариационный метод используется в работах [137,138], где функ-
24
ционал потенциальной энергии записывается в форме Кастильтяно. Аппроксимирующие функции задаются в виде полиномов Лежандра по хорде и удовлетворяют граничным условиям на продольных кромках пластины. Такой подход позволяет заранее удовлетворить граничным условиям на большей части контура. Метод корректирующей функции используется в [215] при расчете прямоугольных и треугольных пластин. В качестве исходного принимается балочное решение и>о(х,у), которое затем уточняется слагаемыми вида и>1(х,у) = Мх)-(р1(у). Корректирующие функции Дх)^ щ(у) находятся вариационным методом последовательных приближений. Подход к решению задачи в работе [6] аналогичен используемому в 1137] с той лишь разницей, что напряжения по хорде записываются в виде рядов Фурье.
Задача изгиба прямоугольной консольной пластины с толщиной меняющейся по линейному закону в направлении перпендикулярном защемленной кромке решена в работе [206) методом Канторовича для случая постоянной распределенной внешней нагрузки. Для получения системы разрешающих уравнений был использован вариационный принцип Лагранжа.
Довольно часто при решении задачи изгиба консольных пластин используются дискретные методы. Так в [96] решение строится на гипотезе плоских сечений. Решение уравнения изгиба сводится к определению функции закручивания по размаху. Основное дифференциальное уравнение заменяется интегральным с последующим представлением интегралов в виде конечных сумм. Полученное уравнение решается с помощью аппарата интегрирующих матриц. В качестве примера рассмотрены стреловидное и треугольное крыло. В работе [179] рассмотрен изгиб прямоугольной косозащем-леппой пластины с толщиной, меняющейся по размаху. Прогибы аппроксимируются полиномом в продольном направлении а* (по размаху), частные производные по у заменяются конечными разностями. В результате от уравнения в частных производных приходят к системе обыкновенных линейных уравнений с постоянными коэффициентами для определения постоянных множителей в полиномиальном представлении. М.Б. Вахитовым был пред-
25
ложен так называемый "метод прямых" [97]. В качестве неизвестных принимаются прогибы вдоль прямых линий параллельных оси направленной но размаху. В выражении для внутренней энергии интегралы по хорде вычисляются по какой-либо интерполяционной формуле, причем производные но оси вдоль хорды заменяются центральными разностями. Используя далее принцип возможных перемещений, получают систему дифференциальных уравнений для определения неизвестных функций. При интегрировании системы применялся аппарат интегрирующих матриц. Такой подход позволяет для каждой прямой выполнять различные краевые условия.
Вариационно-разностный метод применялся при расчете стреловидного крыла со сходящимися кромками в работе [122]. Энергия деформции стреловидного крыла записывается в косоугольно-полярной системе осей координат. Частные производные по угловой координате заменяются конечными разностями, что позволяет перейти к системе функций, зависящих от одной переменной. Далее применяется метод Ритца. В работе того же автора [123] сделана попытка проектирования равнопрочной конструктивноанизотропной пластины. Неизвестной функцией является толщина пластины. Решение строится по методу последовательных приближений с использованием методики, изложенной в [122].
Конечно-разностная схема применяется в [120,121], где рассматривается задача о стреловидном крыле, принимаемом в виде консольной пластины переменной толщины. Приводятся выражения в конечных разностях для различных узлов сеточной области. Этот же подход использован в [40] для расчета консольной пластины постоянной толщины под действием равномерно распределенной нагрузки. В работе [79] методом сеток решена задача изгиба прямоугольной консольной пластины, нагруженной в выступающем углу сосредоточенной силой, причем автор воспользовался прогибами, вычисленными в [61].
Методом конечных элементов (МКЭ) в работе [204] решается задача о прямоугольной пластине, нагруженной сосредоточенной силой на свободном