Нестационарные задачи динамики для трехслойных сферических оболочек

2
Оглавление
Введение__________________________________________________________________5
Краткий исторический обзор развития методов исследования сферических
оболочек______________________________________________________________ 7
Цель исследования ____________________________________________________ 16
Глава I. Уравнения движения трехслойных сферических оболочек с несимметричной структурой слоев__________________________________________24
1.1 Основные допущения гипотезы______________________________________ 24
1.2 Геометрические и физические соотношения __________________________26
1.3 Потенциальная энергия деформации оболочки_________________________27
1.4 Уравнения движения оболочки_______________________________________30
1.5 Случай осесимметричного воздействия ______________________________39
1.6 Расчетные формулы для усилий______________________________________42
1.7 Выводы____________________________________________________________42
Глава II. Построение общею решения_______________________________________43
2.1 Постановка начально-краевой задачи________________________________43
2.2 Класс динамических нагрузок_______________________________________45
2.3 Алгоритмическая процедура метода конечных интегральных преобразований____________________________________________________ 47
2.4 Формулировка матричною конечного интегрального преобразования _ 49
2.5 Построение решения -задачи методом матричного КИП_________________50
2.6 Определение ядра матричного КИП___________________________________51
2.7 Вычисление нормирующей матрицы____________________________________54
2.8 Определение матрицы весовых функций_______________________________55
2.9 Вариант формул обращения__________________________________________56
2.10 Анализ структуры уравнений движения оболочки_____________________57
2.11 Построение фундаментальной матрицы_______________________________58
2.12 Случай кратных значений корней определяющего уравнения___________61
2.13 Собственные значения ____________________________________________62
2.14 Внутренние резонансы_____________________________________________65
3
2.15 Общее представление решения ______________________________________67
2.16 Выводы____________________________________________________________68
Глава III. Проблемы вычислений компонентов разложений_____________________69
3.1 Вычисление функций Лежандра и их производных ______________________69
3.2 Асимптотика фундаментальных решений для больших значений X ________74
3.3 Улучшение сходимости спектральных разложений_______________________80
3.4 Интегралы нагрузки_________________________________________________84
3.5 Выводы,,___________________________________________________________85
Глава IV. Численный анализ________________________________________________86
4.1 Вычислительная программа___________________________________________86
4.2 Физико-геометрические параметры оболочек___________________________89
4.3 Определение частотного спектра_____________________________________91
4.4 Формы собственных колебаний______________________________________ 103
4.5 Кратные собственные частоты и формы______________________________ 107
4.6 Асимптотические представления частотного уравнения_______________ 111
4.7 Динамическая реакция_____________________________________________113
4.8 Оболочка наибольшей жесткости ___________________________________ 124
4.9 Оценки точности вычислений_______________________________________ 126
4.10 Примеры практических расчетов___________________________________ 130
4.11 Выводы___________________________________________________________132
Глава V. Локальное ударное воздействие оболочки с массивным телом конечной жесткости_______________________________________________________________ 134
5.1 Моделирование тела конечной жесткости ___________________________ 135
5.2 Моделирование ударного взаимодействия_____________________________137
5.3 Построение решения. Алгоритм расчета_____________________________ 138
5.4 Анализ численных результатов. Оценка несущей способности оболочки 142
5.5 Выводы___________________________________________________________ 143
Выводы по диссертации Литература_____________
144
149
4
Приложения (в отдельном томе)
П 1. Физические компоненты тензора малых деформаций в географической системе координат
П 2. Краевые условия, соответствующие частным способам опирания оболочки
П 3 Расчетные формулы для усилий
П 4. Формализация процедуры вывода 5-равнений динамики для трсхслойных оболочек в системе компьютерной алгебры "МАТНЕМАТ1СА"
П 5. Уравнения движения трсхслойных сферических оболочек при различных уточненных кинематических гипотезах.
Г1 6. Доказательство сходимости и полноты представлений решений, построенных методом матричных КИП
П 7. Доказательство теоремы о вычислении нормирующей матрицы Г18. Доказательство теоремы об априорных оценках П 9. Предельные соотношения для функции Лежандра П 10. Коэффициенты частотного уравнения при частных случаях закрепления оболочки на контуре
П 11. Асимптотические представление частотного уравнения П 12. Оценка скорости сходимости спектральных разложений П 13. Интегралы нагрузки П 14. Вычислительная программа БЬеПЕхреЦ I I15. Результаты численных расчетов
5
Введение
В настоящее время во многих отраслях техники широко применяются трех-слойныс оболочки, состоящие из несущих тонких внешних слоев и среднего слоя (заполнителя) значительно большей толщины. Они используются в защитных сооружениях реакторных отделений атомных электростанций [146], в качестве металлополимерных корпусов резервуаров химической промышленности [67), в авиационной и космической технике [60]. судостроении [97] и т. д. В процессе эксплуатации в аварийных режимах такие конструкции подвергаются интенсивным динамическим воздействиям, поэтому для обеспечения их надежности и экономичности возникает необходимость в проведении сложных динамических расчетов. Все отмеченное выше относится и к расчету оболочек на локальные, в том числе ударные воздействия, для которых отсутствуют сформировавшиеся методики расчета. Вместе с тем, исследование подобных взаимодействий имеет большое практическое значение, в частности, при расчете защитных оболочек реакторных отделений АЭС на аварийное падение самолета [16].
Следует отметить, что существующие, как правило, приближенные методы расчёта часто не позволяют адекватно описать высокоскоростные процессы деформирования конструкций и правильно определить их напряжённо-деформированное состояние. Таким образом, развитие строгих методов динамического расчета трехслойных сферических оболочек при различных нестационарных воздействиях, на основе точных математических моделей и их реализация в форме эффективных вычислительных алгоритмов представляют актуальные задачи современной прикладной механики деформируемого твёрдого тела.
Одной из таких задач, а именно, разработке эффективной точной методики расчета непологих трехслойных сферических оболочек на нестационарные (нелокальные и локальные) осесимметричные воздействия в волновой постановке и посвящена настоящая диссертация.
Приведенные в работе исследования выполнены в рамках одного из научных направлений Самарской архитектурно-строительной академии, развиваемого на кафедре сопротивления материалов и строительной механики, а также по межвузовской научно-технической программе "Долговечность".
6
Па протяжении последних десятилетий теория оболочек и методы их расчета получила широкое развитие благодаря фундаментальным исследованиям следующих авторов: Л.Я. Айнолы [2], A.B. Александрова |4], H.A. Алумяэ(З), Н А. Алфутова (6). С.А. Амбрацумяна (7), В.В. Болотина (17). П.М Варва-ка (20), Н.Д. Векслера (21), И.Н. Векуа (22), В.З. Власова 123), A.C. Вольми-ра (251. Н.К. Галимова (26), А Л. Гольденвейзера (33), А.Г. Горшкова [36J, Э.И. Григолюка (39), Я М. Григоренко (42), H.A. Кильчевского (54), А Д. Коваленко (58), В.И. Королева (60), В.А. Крысько [63], Б.Я. Лащсникова (4), В.Г. Лид-ского (34), А.Д. Лизарева [67], О.В. Лужина (69), А.И. Лурье [70], Х М. Муш-тари [79], Ю. В. Иемировского [81], У К. Нигула [82], В.В. Новожилова [85], О Д. Ониашвили [87], И.Г. Овчинникова [90], Б.Л. Пелеха [88], Г И. Петраше-ня [89], В.В. Петрова [90], В.Г. Пискунова [94], В.В. Пикуля [93], Г.Н. Пшенич-нова [98], Ю Н Работиова [99], O.A. Рассказова [100], В.Г. Рекача(ІОІ), А.Р. Ржаннцина (ЮЗ), И.Т. Селезова [40], Ю.Э. Сеницкого [I05J, Л.И. Слепя-иа [141), А.Ф. Смирнова [142J, Н. И. Столярова (145), С.П. Тимошенко (147), П.Е. Товстика [34), А.Ф. Улитко [151], Я.С. Уфлянда 1152], А.П. Филина [154], А.П. Филиппова (155), А.И. Цейтлина [ 159], К.Ф. Черных [160], П.П. Чулко-ва [41], H.H. Шапошникова [142], В.П. Шмакова [162], и др.
За рубежом такою рода исследованиями занимались: С. Войновский-Кригер [ 148),
A. Гу-пта [171], А. Калнинс [173], Б. Коплнк [175], С. Мирза (180), П.М. Нагдн [182),
B. Нованкий [84], К. Прасад [184), X. Райзман [168], К. Рамкришхан [189], Э. Рейс-снер (185), А. Синх [190], Дж. Уилкинсон 1191), К. Федсргофер (170), В. Флюг-гс [156], П. Цулковский [168], Г. Чинелли [167]. А. Шах [189], Ю.Ви Юань [194] и др.
Ниже приведен краткий исторический обзор методов исследования динамики однородных и трехслойных сферических оболочек, а также анализ литературы, посвященной этому вопросу. Представленный обзор затрагивает лишь те исследования, которые близки к настоящему по постановке и методам решения В частности, в обзор не включены публикации, посвященные решению краевых задач численными методами. Подробное изложение истории развития общей теории и методов расчёта оболочек можно найти, например, в работах [29]. [40J, [75].
7
Краткий исторический обзор развития методов исследования
сферических оболочек
Первые исследования оболочек имели своей целью построение теории акустических колебании и осуществлялись по аналогии с технической теорией пластин, разработанной I'. Кирхгоффом в 1850 г.
В 1874 г. Г. Арон (Н Aron), опираясь на исследования Г. Кирхгоффа и А. Клебша о конечных деформациях тонких стержней и пластинок (57], вывел выражение для потенциальной энергии, уравнения равновесия и деформаций оболочек в криволинейных координатах срединной поверхности (29). Свободные колебания сферических оболочек впервые были исследованы лордом Редеем (Rayleight) в 1881 г. (102). Релей, используя энергетический метод и полагая, что срединная поверхность нсрастяжнма, рассмотрел чисто изгибные колебания без учета граничных условий.
Э. Матье (Е. Mathieu) изучал оболочки, симметричные относительно оси вращения с помощью видоизмененного метода, примененного ранее Д. Пуассоном для пластинок (1882 г.) [29]. Полученное им уравнение движения соответствовало формулам Г. Арона, если принимались в расчет только те члены, которые являлись функциями удлинений срединной поверхности.
В работах А. Бассета (A. Basset) 1165] и Г. Лсмба (Н. Lamb) [178] уравнения движения были получены на основе кинематических гипотез деформирования сечения оболочки (1882г.). Кроме того, Г. Лемб. используя безмоментную теорию, установил, что колебания замкнутой сферической оболочки распадаются на два класса. По его терминологии, колебания, при которых отсутствуют перемещения в радиальном направлении, относятся к первому классу, а колебания, характеризующиеся перемещениями, как в радиальном, так и в тангенциальном направлениях - ко второму.
Первая попытка разработки общей теории моментных колебаний тонких оболочек была предпринята А. Лявом (A. Love) и имела целью исследование колебаний колоколов [75]. Распространяя теорию пластан Г. Кирхгоффа на оболочки, А. Ляп, подобно Г. Арону, допускал одновременно изгиб, и растяжение срединной поверхности, причем, пользуясь принципом возможных перемещений, он
8
получил в 1888 г. как уравнения движения, так и граничные условия. Результаты А. Лява частично совпали с результатами Г. Арона, а частично уточнили их [29]
Теория Л. Лява включала как частные случаи теорию чисто изгибных колеба-ний, развитую Релеем, и безмомеетную теорию Г. Лсмба. При исследовании колебаний незамкнутой сферической оболочки А. Ляв также применил безмомент-ную теорию и подробно рассмотрел крутильные и чисто изгибные осесимметричные колебания. Однако при выводе уравнения частот несимметричных колебаний сферической оболочки А. Ляв допустил ошибку, обнаруженную только через шестьдесят лет П. Нагди (Р. Naglidi) и А Калнинсом (A. Kalnins) [183].
Дальнейшее развитие теория малых осесимметричных деформаций оболочек получила в работах X. Рейснера (H. Reissner) и Э. Мейснера (E. Meissner) [ 179] X. Рейснеру удалось получить два симметричных дифференциальных уравнения второго порядка для замкнутой сферической оболочки, имеющей постоянную толщину и загруженную симметричной нагрузкой (187). Эту систему X. Рейснер решил при помощи предложенного Огго ([юн Блюменталем (О. Blumenthal) способа асимптотического интегрирования. Э. Шверин (E. Scweiin) развил эти результаты и затем численно исследовал замкнутые сферические оболочки, несимметрично нагруженные внешним давлением [29]. В дальнейшем Э. Мейснер показал, что симметрия основных уравнений достигается тогда, когда меридиан имеет постоянную кривизну, причем эту систему можно свести к одному дифференциальному уравнению второго порядка. Далее Э. Мейснср доказан, что подобное сведение к одному уравнению возможно для оболочки любой формы, если сделать допущение, »по толщина оболочки надлежащим образом меняется вдоль меридиана.
Задача о деформации сферической оболочки при воздействии разных нагрузок была впервые решена Э. Мейснером в 191 Зг [29]. Разрешающее дифференциальное уравнение четвертого порядка допускало разложение на два сопряженных уравнения второго порядка, интегралы которых представлялись в форме гипергеометрических рядов. Применительно к замкнутой сферической оболочке JI. Болле (L. Bolle) довел эту задачу до численных результатов
Асимптотические методы интегрирования уравнений оболочек вращения также получили развитие в трудах С. П. Тимошенко Он на численных примерах показал, что для тонких оболочек асимптотический метод обеспечивает хорошую точность (1915 г) [148].
9
В 1937 г. К. Федергофер в рамках технической теории (теории Кирхгофа-Лява) впервые получил систему дифференциальных уравнений колебаний нс-пологой сферической оболочки в перемещениях [170]. Не приводя замкнутого решения, он указал, что решение этой системы может быть найдено в присоединенных функциях Лежандра комплексной степени. Однако детально свойства утих функций не были изучены, а вычислительная техника того времени не позволяла довести решение до численных результатов. Поэтому К. Федергофер привел только приближенное решение для случая осесимметричных колебаний защемленной пологой оболочки и вычислил первые собственные частоты в зависимости ее от толщины. Впоследствии (1946 г.) Э. Рейснер, анализируя уравнения К. Федергофера, показал, что в случае пологих сферических оболочек часть инерционных слагаемых (соответствующих продольным силам инерции) практически не оказывают влияние на получаемые решения.
13 Советском Союзе в 30-60 годах теория оболочек развивалась преимущественно по двум направлениям. Одно из них, представленное в работах А. Л. Гольденвейзера [33], Н. А. Кильчевского [54], А И. Лурье [70], X. М. Муштари [79], В. В. Новожилова [85], Ю. Н. Работнова [99], И. Н. Вскуа [22], характеризуется установлением степени погрешности гипотез, лежащих в основе мо-ментной теории оболочек, и разработкой альтернативных теорий Другое направление составляет техническая теория оболочек, включающую как частный случай общую теорию тонкостенных стержней. Это направление, представленное главным образом работами В. 3. Власова [23], а также его учеников и последователей, связано с введением В. 3. Власовым ряда новых физических гипотез в теорию оболочек и построением на их основе обшей моментной и без-моментной теорий тонкостенных пространственных систем (1947 г) В рамках этих теорий В. Г. Рскач исследовал свободные колебания сферических оболочек, упруго закрепленных на контуре (1957 г) 1101].
Впоследствии Ю. Э. Сеницким, с помощью разработанного нм структурного алгоритма конечных интегральных преобразований (КИП), были решены нестационарные динамические задачи для сферы и полусферы, рассматриваемых на основе безмоментной теории Власова [108]. Решения построены в форме спектральных разложений по функциям Лежандра. Выделены два спектра час-
10
•ЛУГ, соответствующие нормальным и тангенциальным осесимметричным колебаниям открытых оболочек.
Основываясь на гипотезе Кирхгофа-Лява, О. В. Лужин вывел уравнения колебаний сферической оболочки с учетом уточнений, внесенных в общую мо-ментную теорию оболочек В. 3. Власовым, и показал, что система трех обыкновенных дифференциальных уравнений, соответствующая п-й форме свободных колебаний, распадается на отдельное уравнение, описывающее колебания без смещения но нормали, и два совместных уравнения, в которые входит это смещение Последние уравнение приводятся к одному уравнению шестого порядка, решение которого получено в функциях Лежандра.
Использование ЭВМ [50] позволило в 60-х годах выполнить численный анализ влияния различных факторов на собственные частоты колебаний сферических оболочек. А. Калнинс установил, что частотный спектр непологой сферической оболочки состоит из двух последовательностей частот, соответствующих связанным между собой изгибным и безмоментным формам колебаний [173]. Принадлежность формы колебаний к одному из этих типов определялась путем сравнения энергии деформации изгиба и энергии деформации растяжения. При этом безмоментные формы почти не зависят от толщины оболочки, а изгибные существенно изменяются с изменением сс толщины.
На основе уравнений технической теории в смешанной форме Власова-Донелла, Ю. Э. Ссницким и его учениками методом КИП получен комплекс аналитических решений для пологих сферических оболочек в случае осесимметричного [109], [121], (122[ и неосесимметричного [110], [127] динамического загружения. Рассмотрены различные случаи нестационарных воздействий и достаточно общие (упругие и идеализированные) условия закрепления на контуре. Построено также замкнутое решение аналогичной осесимметричной динамической задачи на основе разрешающей системы уравнений в перемещениях [129]. Был произведен анализ круговых частот, а также напряженно-деформированное состояние оболочки. Установлено взаимное влияние мо-ментного и мембранного напряженно-деформированного состояния
Следует отметить, что исследование сферических оболочек стимулировало развитие методов вычисления функций Лежандра. Так, О. В. Лужин получил новые представления функций Лежандра произвольной комплексной степени в
II
форме интегралов и асимптотических выражений. С помощью этих представлений им были изучено влияние меридиональных сил инерции на собственные частоты безмоментнога сферического купола (1961 г.) (69). Однако оказалось, что вычисление присоединенных функций Лежандра высоких степеней, соответствующих тонким оболочкам, сопряжено со значительными трудностями, поскольку их аналитические и интегральные представления обладают плохой сходимостью. По этой причине неоднократно высказывалось мнение, что точные решения в случае тонких сферических оболочек неэффективны (12), [162]. Для решения подобных вычислительных проблем А. Д. Лизаревым и его учениками были развита оригинальная методика вычисления логарифмических производных от функций Лежандра, позволяющая перейти к быстро сходящимся асимптотическим выражениям [65]. Ими также было показано, что при определении собственных частот колебаний непологнх сферических оболочек достаточно вычислять не сами функции Лежандра и их производные, а только логарифмические производные [67]. На основе построенной методики А. Д. Лнза-рев исследовал асимптотическое поведение точных решений задачи о свободных колебаниях тонкой непологой сферической оболочки [66].
В то же время, вычислительные трудности, возникающие при реализации точных решений в функциях Лежандра, явились причиной развития многих приближенных, в том числе асимптотических методов. Так, в работе [34] предлагается метод расчленения напряженно-деформированного состояния, В соответствии с этим методом частотное уравнение асимптотически расщепляется на два независимых, одно из которых определяет частоты безмоментных колебаний, а второе - изгибных.
Техническая теория оболочек, основанная на гипотезах Кнрхгоффа-Лява, обеспечивает достаточную точность лишь при определении низкочастотной части спектра колебаний и решении динамических задач для тонких оболочек при воздействии нагрузок с малым показателем изменяемости [83]. Применение уравнений уточненной теории, учитывающей деформацию поперечного сдвига (поправка С. П. Тимошенко) и инерцию поворота (поправка Рэлея) существенно расширяет возможности приближенных моделей и позволяет на их основе определять высокочастотную часть спектра, а также моделировать переходные волновые процессы. Подробный обзор исследований (до 1973г) поди-
12
намикс оболочек на основе уточненной теории с анализом методов решения и численных результатов приведен Э. И. Григолюком И. Г. Селезовым (40).
Дифференциальные уравнения теории пологих сферических оболочек, учитывающие деформации сдвига и инерцию вращения, были сформулированы П 11а-гди [182] и Л. Калкинсом [174], а соответствующие уравнения движения непологой сферической оболочки - К. Прасадом (С. Prasad) [184]. Введением вспомогательных функций, связанных с перемещениями срединной поверхности и углами поворотов нормалей к ней, уравнения движения приводились к системе дифференциальных уравнений, интегрируемых в функциях Лежандра В дальнейшем выяснилось, что в уравнениях К. Прасада учитываются не все инерционные члены ^ги уравнения впоследствии были уточнены А. Калнинсом [173].
Точное решение осесимметричной задачи о собственных и вынужденных колебаниях жестко защемленной пологой сферической оболочки в уточненной постановке без учета тангенциальных сил инерции приведено П. Цулковским (Р. М. Culkowski) и Г'. Райзманом (Н. Reismann) [168]. Авторы этой работы применили метод разложения по собственным функциям. Приведен численный анализ круговых частот, прогибов, усилий в центре оболочки по классической и уточненным теориям.
Дж Вилкинсон и А. Капнинс исследовали неосесимметричные колебания сферической оболочки на основе уравнений, приведенных К Прасадом, с учетом всех инерционных членов [193]. Показано, что поперечный сдвиг и инерция поворота в области низких частот вносят небольшие поправки.
Общее решение методом КИП неосесимметричной динамической задачи для пологих сферических оболочек в постановке теории типа Тимошенко построено Ю. Э. Сеннцким [117], а подробный численный анализ результатов при различных нестационарных воздействиях проведен Э. Я. Еленииким [48]. Ю. Э. Семицким исследована также динамическая реакция непологой сферической оболочки в частных случаях упругого закрепления на контуре (контур с одной упругой характеристикой) [121]. Для этой цели применялся разработанный им метод многокомпонентных конечных интегральных преобразований [112] Показано влияние упругости закрепления конструкции на низшие частоты собственных колебании и динамическую реакцию оболочки.
Для анализа динамики сферических оболочек, наряду с теорией типа Тимошенко, использовалась неклассическая теория колебаний, не связанная с приме-
13
пением кинематических гипотез и основанная на разложении уравнений теории упругости в степенные ряды но толщине (54 J, [22J Здесь следует отмет ить работы
С. Г Шлаковой [163]. Полученные решения использованы для оценки пределов применимости различных приближенных теории При этом появление в разрешающих уравнениях членов, не присутствующих в классических уравнениях, рассматривалось как результат влияния напряжений сдвига и инерции вращения.
Колебания толстостенных сферических оболочек исследовались и в постановке теории упругости. Здесь следует отметить задачу о распространении волн в упругой сфере Г. Лемба (1882 г.) (177], для которой, вследствие вычислительных трудностей, подробные численные результаты удалось получить лишь спустя 80 лет. Точные решения динамической задачи теории упругости для полой сферы были получены в 1965 г. Г. Чинелли (G Cinelli) (167], в 1969 г. А. Шахом (A. Shall), К. Рамкришнаном (С. Ramkrishnan) и С. Даттой (S Datta) (189], в 1971 г Ю. Э. Сениц-ким [106] и несколько позже А. Ф. Улитко (151]. При этом авторами использовались различные варианты интегральных преобразований, а частные решения уравнений свободных колебаний выражались через произведения сферических функций 1>ссселя и функций Лежандра. Было показано, что до относительной толщины оболочки h/R = 0.1 значения первой собственной частоты, найденные по теории типа Тимошенко, классической и по уравнениям теории упругости, практически совпадают. Осесимметричные колебания незамкнутой толстой сферической оболочки исследованы методами теории упругости Е. М. Щипнциной 1161] (1973 г.). Следует также отмстить точные решения для полой толстостенной замкнутой с<(гсры из неоднородного анизотропного материала при действии нестационарной осесимметричной нафузки, полученные методом КИП Ю. Э. Сеницкнм [113], (119J, (120J.
Исследования по динамике трехслойных сферических оболочек весьма немногочисленны. Первые приближенные решения задачи о колебаниях трехслойных сферических оболочек относились к пологим оболочкам с полигональным KOHiy-рОМ и были построены Галнмовьгм Н К. и Саченковым А. В. в 1965г [26]. При этом авторы использовали аналогию между уравнениями, описывающими собственные колебания свободно опертых оболочек и плоских однородных мембран. Аналогии подобного рода исследовались в работе [27], и впоследствии были распространены на задачи о колебаниях многослойных сферических оболочек [20], [94].
14
Б. Копликом (13. Koplik) и Ю Ви Юанем (Yu Yi-Yuan) (1967г.) были изучеш.1 несимметричные колебания трехслойной сферической оболочки симметричного строения на основе полной системы дифференциальных уравнений движения в напряжениях [176]. Учитывались сдвиги и инерции вращения внутреннего слоя, изменением длины нормали и изгибной жесткостью наружных слоев нренебре-галось. Замкнугая система уравнений в перемещениях получена только для осесимметричных колебаний полошх трехслойных сферических оболочек. Решение этой системы получено в функциях Бесселя. Показано существенное влияние сдвиговых деформации на частотный спектр оболочки (175) На основе полной системы уравнении, представленной в (176), в работе [192) сформулированы уравнения крутильных колебаний пологих трехслойных сферических оболочек. Осесимметричные и крутильные колебания исследовались также в [194].
Уравнения осесимметричного движения в перемещениях для непологой трехслойной сферической оболочки симметричной структуры были получены П. Пулковским (Р. М. Culkowski) и X. Райзманом (H. Reismann) на основе принципа Остроградского-Гамнльтона [168] (1971г.). Было построено точное решение задачи о вынужденных колебаниях оболочки под действием внешнею давления, внезапно приложенного на малой площадке в полюсе оболочки в форме разложения по собственным формам колебании оболочки
С. Мирза (S. Mirza) и Л. Синх (A. Singh) исследовали свободные колебания непологих сферических оболочек с легким заполнителем и мембранными симметричными внешними слоями [180], [181], [190]. Точные решения уравнений движения были получены в функциях Лежандра произвольной комплексной степени; числовые результаты для осесимметричных форм колебаний и дня оболочек с раз-;1ичными углами раствора приведены в [181] Авторами [189] также произведен анализ влияния изгибной жесткости среднего слоя на собствешпае частоты.
Нсосссимметричные колебания трсхслойных сферических оболочек симметричной структуры рассматривались А. Гупта (A. Gupta) [171] с учетом деформаций сдвига и инерции вращения всех трех слоев. Разрешающая система дифференциальных уравнений имела 14 порядок. В работе [171] указана возможность интегрирования полученной системы в присоединенных функциях Лежандра, однако в явном виде эти решения не приведены.
15
Уравнения движения неиологой трехслойной сферической оболочки с орто-тропными несущими слоями и жестким заполнителем были сформулированы Л Д. Лизарсвым [671, [68]. Им же в [67] указано на невозможность их точного интегрирования в общем случае. Для изотропных несущих слоев эти уравнения интегрировались в присоединенных функциях Лежандра. На основе построенною решения разработан алгоритм вычисления собственных частот и форм колебаний, а также реализована программа на языке ФОРТРАН [78]. Кроме того, в (67) с помощью метода асимптотического разделения частотного спектра определялось влияние физических и геометрических параметров слоев оболочки на плотность распределения собственных частот. Плотность собственных частот пологих сферических оболочек также исследовалась в [191]
Вынужденные колебания нспологой трехслойной сферической оболочки при нестационарных динамических воздействиях изучались Ю Э Сеницкнм [114], (108J. Точное решение задачи было построено методом КИП в форме спектрального разложения по функциям Лежандра.
Одной из практически важных задач, возникающих при проектировании особо ответственных тонкостенных сооружений (таких, как защитные оболочки реакторных отделений АЭС) является их расчет на ударные высокоиэтеисивные воздействия. возникающие, в частности, при аварийном падении самолета. Учет этого воздействия предусматривается как отечественными нормами [86], так и нормами МАГАТЭ [153]. При этом необходимо отметить, что в комплексе особых динамических воздействий, рассматриваемых при расчетах конструкций атомных станций, процесс соударения летящего тела с сооружением наименее изучен [16].
Помимо классических работ, посвященных удару [35], [45], [52], [55], задача о соударении тела конечной жесткости с пластинами и оболочками в различных постановках рассматривались Дж. Хаммелем (J. Hammel) [172], Дж. Риерой (J. Riera) [188], К. Дрнтгером (K. Drittlcr) и П. Грюнером (Р. Grüner) [169], А. П. Кирилловым и А. Е. Саргсяном [56]. В связи со сложностью рассматриваемого взаимодействия ими были получены лишь верхние оценки несущей способности защитных конструкций. Вероятностное обоснование необходимости учета подобного воздействия приведено в статье К. Челапати (C. Chelapati) [166]. Кроме теоретических, были произведены экспериментальные исследования, в том числе натурные испытания (Япония).
16
Задача об ударном взаимодействии тела конечной жесткости с тонкостенной железобетонной преградой (пологой сферической оболочкой) на протяжении ряда лет разрабатывалась на кафедре Строительной механики и сопротивления материалов Самарской архитектурно-строительной академии под руководством д.т.н., проф. Семицкого Ю. Э. Им, совместно с Еленицким Э. Я. и Шляхиным Л А. [47], [124], [125], [126], [140] были разработаны уточненные модели ударного взаимодействия, учитывающие взаимное влияние (податливости) ударника и преграды. Полученные верхние оценки несущей способности защитной конструкции оказались на 10-15% ниже соответствующих результатов предыдущих исследователей. Вместе с тем, вопрос о влиянии трехслойностн -защитной оболочки не рассматривался
Анализируя все эти результаты можно сделать следующий вывод: круг исследований по динамике нспологих трехслойных сферических оболочек даже в осесимметричном случае загружения весьма ограничен1. Все исследования производились только для оболочек с симметричной структурой слоев Не рассматривались реальные (упругие относительно всех возможных перемещений) условия закрепления на контуре, двухсвязные поверхности открытых сферических оболочек, а также трехслойная замкнутая сфера. При анализе динамической реакции учитывались лишь некоторые частные случаи осесимметричных воздействий. Недостаточно исследован вопрос о влиянии на локальную реакцию механической системы "падающее тело конечной жесткости - трехслойная железобетонная оболочка" податливости преграды и ударника при их контактом взаимодействии.
Цель исследования Из приведенного обзора также следует, что наряду с асимптотическими методами исключительно удобный аппарат построения замкнутых решений динамических задач для сферических оболочек в постановке моментной технической теории и теории типа Тимошенко представляет метод разложения по собственным векгор-функцням [151], [152], [159], [114], [122] Компоненты вектора перемещений при этом представляются в виде спектральных разложений по соответствующим формам колебаний оболочки, основанной на хорошо разработанной теории ортогональных рядов в гильбертовом пространстве [11], [80].
'Имеются ввиду замкнутые решения соответствующей динамической задачи.
17
Наиболее удобный прием построения подобных разложений в рамках указанного способа представляет структурный алгоритм метода конечных интегральных преобразований, разработанный Ю. Э. Сеницким [107]. В процедуре этого метода определяются все компоненты получаемой структуры решения без какой-либо априорной информации (трансформанта, ядро преобразования, весовая функция, обобщенное соотношение ортогональности). При этом для трехслойных сферических оболочек с недиагональной матрицей инерционных членов в работах [112], [123] было специально построено и математически обосновано многокомпонентное конечное интегральное преобразование.
Вместе с тем, численный анализ результатов частотного спектра трехслойных сферических оболочек показал, что при некоторых относительных толщинах конструкции возможны внутренние резонансы, которым соответствуют кратные собственные значения [44] ядровой краевой задачи кратные круговые частоты колебаний. Этот непростой вопрос связан с определением присоединенных векторов ядра интегрального преобразования, причем до сих пор отсутствуют соответствующие формулы обращения КИП.
Решение рассматриваемых задач строится в виде спектральных разложений по базисной системе линейных комбинаций из присоединенных функций Лежандра. При этом отсутствует процедура точного вычисления квадрата их нормы, входящей в формулу обращения. Кроме того, для широкого класса динамических нагрузок скорость сходимости получающихся разложений оказывается недостаточной, что затрудняет практическое применение спектральных разложений для вычисления внутренних усилий и ускорений.
Вес это и определило окончательно цель настоящего исследования разра-ботка новой методики и реализация на ее основе эффективных алгоритмов точного расчета непологих трехслойных сферических оболочек несимметричной структуры в волновой постановке для широкого класса нестационарных осесимметричных, в том числе локальных, динамических воздействий при наиболее общем упругом закреплении на контуре.
Научная новизна работы заключается в следующем:
- на основе уточненной теории с учётом инерции вращения, деформации поперечного сдвига и гипотезы ломаной нормали, а также вариационного принципа Остроградского-Гамильтона получены новые волновые уравнения
18
движения для непологих трехслойных сферических оболочек несимметричной структуры, а также сформулированы краевые условия, соответствующие наиболее общему случаю закрепления на контуре; получены уточненные дифференциальные уравнения, учитывающие обжатие по толщине среднего слоя, сдвиговые деформации и инерцию вращения всех слоев пакета;
- введены конечные интегральные преобразования с матричными ядрами для исследования краевых задач с кратным спектром, учитывающие внутренние резонансы;
- разработана методика точного вычисления квадрата нормы ядра преобразования;
- предложена методика улучшения сходимости разрешающих спектральных разложений, позволяющая более точно вычислять усилия и ускорения для широкого класса внешних динамических воздействий;
- в рамках метода КИП построено новые точные решения нестационарных динамических задач для непологих упруго закрепленных трехслойных сферических оболочек (открытых сплошной и кольцевой оболочки, замкнутой сферы) с несимметричной струтсгурой пакета слоев при действии произвольной осесимметричной нагрузки;
- получены асимптотические представления компонентов решения для высокочастотной части спектра;
- построены новис рекурсивные алгоритмы вычисления функций Лежандра и их производных по степени;
- произведен численный анализ на ЭВМ динамической реакции, собственных частот и форм колебаний исследуемых оболочек при различных соотношениях толщин слоев, условиях закрепления и динамических нагружений;
- предложена уточненная нелинейная модель локального ударного взаимодействия массивного тела конечной жесткости с железобетонной оболочкой; на ее основе построены инженерные методики расчета и »итерационный алгоритм для определения контактных усилий и перемещений в зоне соударения; произведен численный анализ влияния характеристик оболочки и падающего тела на процесс ударного взаимодействия.
Достоверность проведенных исследований (в рамках допущений уточненной теории оболочек) обеспечивается строгостью постановки и построением точных
19
решений соответствующих начально-краевых задач, качественным соответствием полученных результатов физической картине исследуемых процессов, а также подтверждена сравнениями в частных случаях с известными замкнутыми решениями других авторов. На основе двухмодовой теории получены оценки допустимых геометрических парамегров конструкций и соответствующих воздействий, определяющей пределы принятой математической модели.
Практическая ценность и внедрение результатов.
На основе разработанных методик разработаны:
- аналитические программы (в системе компьютерной алгебры МаЖстаПса 3 0). которые позволяют в символьном виде получать расчетные соотношения для перемещений и усилий, возникающих в трехслойных непологих сферических оболочках при воздействии нелокальных осесимметричных динамических нагрузок различных типов;
- прикладные программы (на объектно-ориентированном языке С++), осуществляющие инженерный расчет указанных оболочек на различные осесимметричные локальные и нелокальные динамические воздействия;
- интерфейс пользователя для расчетных программ в среде \Vindows 95, обеспечивающий удобный ввод исходных данных и вывод результатов в табличной и графической формах.
Описания наиболее важных расчетных модулей программ, а также инструкция к их использованию приведены в приложении к диссертации.
С помощью разработанного программного комплекса осуществлен практический расчет защитной оболочки реакторного отделения АЭС (с реакторами типа ВВЭР-1000) на специальные аварийные, в том числе высокоинтенсивные локальные динамические воздействия (падения на оболочку самолета типа "Фантом"). Вычислительные программы могут быть использованы научно-исследовательскими и проектными организациями при проведении расчетов сферических оболочек на рахтичные динамические воздействия.
Результаты исследований были использованы в проекте научно-технической межвузовской программе "Динамика" (шифр П. Т. 109) направления "Прочность и долговечность конструкций при нетрадиционных воздействиях, нарушающих внутренние связи материала" (Долговечность).
Па ииииту выносятся:
20
- новые динамические уравнения для непологих трсхслойных сферических оболочек с несимметричной структурой пакета слоев, а также краевые условия, соответствующие наиболее общему их закреплению на контуре.
- развитие алгоритмической процедуры метода конечных интегральных пре-
%
образований для краевых задач с кратным спектром, позволяющий учитывать эффекты внутренних резонансов, точно вычислять норму ядра преобразования, управлять скоростью сходимости получаемых спектральных разложений;
- точные решения нестационарных динамических задач для открытой оболочки, двухсвязной (кольцевой) области, замкнутой сферы при действии произвольной осесимметричной нагрузки; асимптотические представления компонентов решения в случае высокочастотных воздействий;
- уточненная нелинейная модель локального ударного взаимодействия массивного тела конечной жесткости с железобетонной оболочкой; инженерная методика и алгоритм для определения усилий и перемещений в зоне соударения;
- эффективные аналитические и вычислительные программы для ПЭВМ; численный анализ динамической реакции, собственных частот и форм колебаний исследуемых оболочек при различных соотношениях толщины слоев, условиях закрепления и динамических нагружениях; влияния характеристик железобетонной оболочки и взаимодействующего с ней падающего тела на контактные усилия и перемещения в локальной зоне соударения
Апробация работы и публикации.
Основные положения диссертации докладывались и обсуждались на:
- координационных совещаниях межвузовской программы "Долговечность" в 1993, 1994г.г. »Саратовском ГГУ;
- пятой научной межвузовской конференции "Математическое моделирование и краевые задачи", (Самара, 1995г.);
- научно-технической конференции “Автоматизированные информационные системы при строительстве и эксплуатации зданий, сооружений и объектов жизнеобеспечения”, (Самара, 1996);
- международной научно-технической конференции "Современные проблемы совершенствования и развития металлических, деревянных и пластмассовых конструкций", (Самара, 1996г.);
21
- международной научно-технической конференции "Надежность строительных элементов и систем", (Самара, 1997г.);
- международной научно-технической конференции, посвященной 90-летию со дня рождения проф. С. П. Пулькина “Дифференциальные уравнения. Интегральные уравнения. Специальные функции”, (Самара, 1997г.);
- XXVIII международной конференции по “Теории оболочек и пластин”, (Саратов, 1997г.);
- международной научно-технической конференции “Численные и аналитические методы расчета конструкций”, (Самара, 1998г.);
- ежегодных научных конференциях СамГАСА (1993-1999 г.).
Вцелом диссертационная работа докладывалась на научных семинарах кафедры математической физики Самарского государственного университета пол руководством д.ф.-м.н., проф. О. П. Филатова, кафедры сопротивления материалов и строительной механики Самарской государственной архмтсктурно-сгрошельной академии под руководством Заслуженного деятеля науки РФ, д.т.н., проф. Ю. Э. Сеницко-го, на кафедре механики сплошных сред Самарскою государственного университета пол руководством д.ф.-м.н., проф. В. И. Астафьева.
Основные результаты диссертации опубликованы в 13 печатных работах [71], [72], (73], (130], (131], (132], (133], (134], (135], [136], (137], [138], (139].
Структура и содержание работы.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, списка используемой литературы. Отдельные вспомогательные вопросы и доказательства, не относящиеся к основному содержанию, а также часть результатов численных расчетов приведены в приложении, сброшюрованном в отдельном томе.
В первой главе на основе вариационного принципа Остроградекого-Гамильтона и гипотезы ломаной нормали выводятся новые волновые уравнения движения неполоюй трехслойной сферической оболочки с несимметричной структурой, а также формулируются соответствующие им краевые условия для наиболее общего упругого способа опирання на контуре. Рассматриваются од-носвязная и многосвязные области. Используется уточненная теория оболочек,
22
соответствующая сложной кинематике деформирования пакета с тонкими несущими наружными слоями
Во второй главе в рамках сформулированной выше математической модели приводится общее решение динамической задачи для упруго закрепленной трехслойной сферической оболочки. Рассматриваются открытые куполообразные и кольцевые, а также замкнутые сферические оболочки при произвольном нестационарном осесимметричном загружении. Учитывается возможность появления внутренних резонансов (кратных собственных частот) в спектре колебаний конструкции. Для этой цели формулируется обобщенное конечное интегральное преобразование с матричным ядром, и приводится алгоритмическая процедура решения начально-краевых задач с кратным спектром
В третьей главе приведена новая алгоритмическая процедура улучшения скорости сходимости спектральных разложении определяющих усилия и ускорения: получены асимптотические представления для высокочастотных гармоник; построены эффективные рекурсивные алгоритмы вычисления функций Лежандра и их производных по степени; предложены процедуры определения в общем виде интегралов нагрузки для широкого класса осесимметричных нестационарных воздействий.
Численное исследование спектральных характеристик и динамической реакции рассматриваемых оболочек при различных нестационарных воздействиях осуществлено в четвертой главе. Приведен анализ частот и форм свободных колебаний в зависимости от физических и геометрических параметров конструкции. Исследованы эффекты, возникающие при внутренних резонансах. Проанализировано НДС оболочек с симметричной и несимметричной структурой пакета слоев для различных динамических воздействий. Найдены оптимальные соотношения толщин слоев пакета, обеспечивающие максимальную жесткость конструкции. Произведен расчет покрытия защитной оболочки реакторного отделения АЭС на локальное аварийное воздействие падающего тела
Пятая глава посвящена практически важной задаче расчет тонкостенной железобетонной преграды при высокоинтенсивном локальном воздействии. Предложена уточненная нелинейная модель ударного взаимодействия и построен соответст-
23
вуюший итерационный алгоритм определения динамической нагрузки в зоне пятна взаимодействия. Методика расчета позволяет учесть взаимное влияние жескостных характеристик падающего тела и преграды. Произведен численный анализ усилий и перемещений в зоне соударения, возникающих в защитной оболочке реакторного отделения АЭС при аварийном падении на нее самолета типа "Фангом".
В заключении сформулированы окончательные выводы.
Приложения 1-15 содержат вспомогательные материалы, дополняющие основное содержание диссертации. Здесь представлены:
- определение компонентов тензора малых деформаций (геометрических уравнений) в географической системе координат (приложение 1);
- краевые условия, соответствующие частным способам о пир алия оболочки на контуре (приложение 2);
- формулы для вычисления внутренних усилий в слоях оболочки (приложение 3);
- формальные аналитические алгоритмы вывода уравнений динамики для трехслой-ных оболочек в системе компьютерной алгебры "МАТНЕМАТ1СА" (приложение 4);
- уравнения движения трехслойных сферических оболочек при различных уточненных кинематических гипотезах (приложение 5);
- доказательство сходимости и полноты представлений решений, построенных методом матричных КИП, теоремы о вычислении нормирующей матрицы, обоснование условий для матрицы весовых функций (приложение 6,7,8);
- предельные соотношения для функции Лежандра (приложение 9),
- коэффициенты частотного уравнения при частных случаях закрепления оболочки на контуре (приложение 10);
- асимптотические представления частотного уравнения (приложение 11);
- оценки скорости сходимости спектральных разложений, представляющих решения исследуемых начально-краевых задач (приложение 12);
- квадратурные формулы для трансформанты при различных динамических нагрузках (приложение 13);
- инструкция по использованию вычислительной программы (приложение 14);
- результаты ряда численных расчегов (приложение 15).
Диссертация выполнялась на кафедре сопротивления материалов и строительной механики Самарской государственной архитектурно-строительной академии.
24
Глава I. Уравнения движения трехслойных сферических оболочек с несимметричной структурой слоев
1.1 Основные допущения и гипотезы
Выводу уравнений движения непологих трехслойных сферических оболочек с симметричной структурой слоев посвящены работы [6], [7], [18]. [25], [68]; известны также уравнения для трсхслойных пластин с несимметричной структурой [39]. В диссертации, в отличие от перечисленных исследований, рассматриваются сферические оболочки, образованные двумя тонкими наружными слоями с различными толщинами Ь2,Ьз и внутренним слоем толщиной Ь, »Ь2.Ь3 (рис. 1.1). При этом предполагается,
Дальнейшие построения в основном тексте диссертации основываются на следующих допущениях и гипотезах:
1) перемещения оболочки малы по сравнению с толщиной конструкции; и) нормальными напряжениями на площадках, эквидистантных срединной поверхности, можно пренебречь;
ш) слои оболочки изотропные и их плоское напряженное состояние определяется обобщенным законом Гука;
IV) нормальный элемент среднего слоя после деформирования не остается перпендикулярным к срединной поверхности, а поворачивается на некоторый угол, не искривляясь и не изменяя своей длины. Внешние слои испытывают мембранное напряженно-деформированное состояние. Отсутствует проскаль-зованне между слоями.
Принятая таким образом кинематическая гипотеза (1у) представляет собой вариант гипотезы ломаной нормали [40], согласно которой перемещения изменяются линейно по толщине каждого слоя.
что способы соединения слоев в единый пакет гарантируют отсутствие их смещения относительно друг друга (проскальзыва-ния) [137].
внешний слой ь. Средний слой Ш.В. 1 утро н н и й слой
Рис. 1.1 Пакет слоев трехслойной сферической оболочки