Содержание
Введение Глава 1.
Получение функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента на основе обработки экспериментальных данных
1.1 Постановка задачи свободных колебаний вертикально стратифицированной жидкости
1.1.1 Морская среда. Стратификация.
1.1.2 Математическая постановка задачи.
1.1.3 Приближения
1.1.4 Линеаризиция относительно состояния покоя
1.1.5 Приведение исходной задачи к безразмерному виду.
1.2. Обработка экспериментальных данных для одного из районов Мирового океана.
1.3. Получение средних значений параметров жидкости.
1.4. Сглаживание экспериментальных данных.
1.5 Аппроксимация функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента. Глава 2.
Построение закона дисперсии для вертикально стратифицированной жидкости.
2.1. Конечно-разностная аппроксимация на неравномерной сетке.
2.2 Построение закона дисперсии в случае представления функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента типовой функцией с двумя пикноклинами.
2.3. Решение прямой и обратной задачи в случае представления функции квадрата частоты Вяйсяля-Брента функцией с одним пикноклином Глава 3.
3
Метод степенных рядов для построения закона дисперсии.
3.1 Применение метода степенных рядов для краевой задачи о свободных колебаниях вертикально стратифицированной жидкости.
3.1.1 Общая схема построения дисперсионных уравнений.
3.1.2 Метод степенных рядов, в случае представления квадрата частоты плавучести, в виде полинома второй степени.
3.1.3. Построение дисперсионных кривых в случае параболического профиля квадрата частоты плавучести
3.1.4. Решение обратной задачи для случая параболического профиля квадрата частоты плавучести
3.1.5. Асимптотическое решение при высоких частотах
3.1.6. Построение решения с помощью метода ВКБ.
3.1.7. Оценка погрешности решения, построенного по методу ВКБ
3.1.8. Построение асимптотического решения при высоких частотах по методу перевала.
3.1.9. Решение обратной задачи для дисперсионных уравнений построенных с помощью асимптотик
3.2. Решение прямой и обратной задачи свободных колебаний вертикально стратифицированной жидкости с помощью тригонометрических рядов.
3.2.1. Использование тригонометрических рядов для построения закона дисперсии.
3.2.2 Построение дисперсионных кривых.
3.2.3 Решение обратной задачи.
3.2. Гидроупругая аналогия. Метод степенных рядов для задачи о продольных колебаниях стержня.
3.2.1 Постановка задачи о продольных колебаниях стержня.
4
3.1.2. Решение в виде степенных рядов. 115
3.4. Построение закона дисперсии для задачи об антиплоских колебаниях упругого слоя с помощью тригонометрических рядов 118 Заключение 126
Литература 128
5
Введение
Актуальность темы диссертации. В настоящее время исследования Мирового океана поставлены в ряд важнейших проблем науки и техники, что связано с возросшим его значением в жизни человека. Однако, несмотря на все возрастающую интенсивность изучения океана, уровень сегодняшних знаний о закономерностях протекающих в нем процессов, далеко не соответствуют практическим потребностям людей.
Внутренние волны занимают особое место в изучении процессов, происходящих в деятельном слое океана. Визуальные наблюдения, проведенные с орбитальных станций, показали, что внутренние волны “проявляются" на поверхности океана в виде характерных полос светлого и темного цвета, создаваемых контрастом отраженного излучения в видимом диапазоне спектра [39, 40]. Внутренние волны можно наблюдать радиолокационными методами. Свидетельством этому служат многочисленные эксперименты, проведенные с борта судна [9, 12, 14], и данные индикации внутренних волн из космоса [80, 81].
Представление о характере процессов, происходящих в глубинных слоях океана, можно составить по параметрам верхнего слоя океана. Определяя по фотографиям из космоса фазовую скорость распространения внутренних волн и их длину, можно рассчитывать распределение плотности по глубине и тем самым определять местонахождение аномальной плотности (каких-либо объектов в глубине океана). Такими объектами могут быть косяки рыб, подлодки, батискафы, аквалангисты, затонувшие суда и так далее.
Такого же рода задачи возникают при неразрушающем контроле строительных конструкций и сооружений, когда по резонансным частотам колебаний отдельных элементов строительных конструкций необходимо сделать заключение о плотности и структуре материала во всей конструкции. В геофизике такие проблемы возникают при поиске природных залежей полезных ископаемых. В этом случае приводят в колебательное
6
движение почву, горные породы, водные массы, и, по измеренным вибрациям на поверхности, расшифровывают природу неоднородности в толще пород или под дном водоемов [15].
Математически, весь круг этих задач относится к обратным задачам механики сплошной среды. Обратные задачи можно условно разделить на два вида: обратные спектральные задачи и обратные задачи вынужденных колебаний. Предметом изучения обратных спектральных задач являются резонансные частоты механической среды, по которым восстанавливается структура неоднородности этой среды. В обратных задачах вынужденных колебаний измеряются деформации или скорости доступной части среды и по этой информации определяется структура неоднородности изучаемой среды. В данной работе изучаются обратные спектральные задачи Штурма-Лиувилля, а именно задачи определения переменного коэффициента дифференциального оператора Штурма-Лиувилля по его собственным числам.
Цель работы. Разработать численные и асимптотические алгоритмы определения волновых характеристик свободных колебаний вертикально неоднородной жидкости. По дисперсионным кривым свободных колебаний неоднородной жидкости определить распределение плотности по глубине. Найти доверительные интервалы для дисперсионных кривых на основе натурных данных и определить требования на точность измерения входной информации для необходимой точности восстановления распределения неоднородности жидкости по глубине.
Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы:
- статистической обработки натурных измерений;
- асимптотического интегрирования дифференциальных уравнений с переменным коэффициентом;
- асимптотического анализа двупараметрических интегралов;
7
- численные для определений собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля;
- метод гармонического баланса;
- компьютерной алгебры;
Научна новизна работы. В задаче о свободных колебаниях неоднородной жидкости предложена вычислительная схема построения доверительных интервалов дисперсионных кривых по доверительным интервалам входной информации, получаемой на основе обработки натурных измерений.
Выведена асимптотика решения задачи Штурма - Лиувилля для задачи свободных колебаний вертикально стратифицированной жидкости.
Произведена численная реализация решения обратной спектральной задачи Штурма-Лиувилля по различным алгоритмам. В рассмотренных обратных задачах данного класса сформулированы требования к измеряемой точности входной информации.
Достоверность полученных результатов подтверждается строгими математическими оценками, решением тестовых задач, имеющих аналитическое решение и сопоставлением полученных в диссертации результатов с результатами других исследователей.
Практическая значимость работы. Предложенные алгоритмы, позволяющие определять параметры неоднородности, могут быть использованы в следующих сферах народного хозяйства: определения распределения плотности в толще океана по проявлению на его поверхности внутренних волн, при неразрушающем контроле мостов, зданий, взлетно -посадочных полос, при дистанционном зондировании толщи земли или океана. Также эти результаты могут быть использованы в дефектоскопии при обнаружении трещин и других ослаблений несущих строительных конструкций.
Структура работы. Диссертация состоит из трех глав. Первая глава посвящена проблеме получения функции квадрата частоты Вяйсяля-
8
Брента на основе обработки экспериментальных данных.
Проблема обработки и анализа наблюдений в современных экспериментальных исследованиях океана является очень важной. К настоящему времени написано немало монографий и статей, в которых излагаются методы, применяемые для ее решения. В некоторых работах по этому направлению рассматриваются вопросы обработки данных в океанографических исследованиях на научно - исследовательских судах. В них освещаются процессы сбора натурных данных с помощью измерительных приборов и их первичной обработки [б], [11], [61]. На базе современных достижений автоматики, телемеханики и вычислительной техники рассматриваются проблемы исследования океана из космоса [39], [40], [41] и вопросы автоматизации обработки и анализа натурных наблюдений [1], [41].
В других работах излагаются приемы и методы обработки и анализа экспериментальных данных с помощью теории вероятностей, математической статистики и других дисциплин. Рассматривается проблема получения статистических характеристик по экспериментальным данным, а также оценка достоверности полученных результатов [4], [50].
В работе [8] для одного из регионов Мирового океана на основе натурных наблюдений получены значения температуры, солености, плотности и квадрата частоты Вяйсяля-Брента. При обработке экспериментальных данных в диссертации используются в основном те же методы, что и в работе [8]. Однако, в связи с тем, что любой океанографический эксперимент является ограниченным во времени и пространстве и протекает в условиях не поддающихся полному контролю и учету, не существует определенной модели, позволяющей абсолютно точно и полно описать процессы и явления, происходящие в океане, поэтому для имеющихся данных некоторые методы, примененные в [8] оказались неприемлемыми.
Исследованию внутренних волн в океане посвящены работы [4],
9
[42], [22]. Методика исследования внутренних волн с борта дрейфующего судна описана в [61], на основе полученного экспериментального материала проведено исследование короткопериодных внутренних волн и сопоставление экспериментальных данных с результатами теории. В [42] проведены исследования внутренних волн на основе модели стратифицированного океана с учетом турбулентной вязкости. В указанной работе на основе экспериментальных данных получены характерные для исследуемого региона профили температуры, солености, квадрата частоты плавучести (частоты Вяйсяля - Брента), построены графики дисперсионных кривых. В [22] данные гидрологических измерений на полигоне используются для изучения средних характеристик нелинейных, длинных внутренних волн.
В диссертации, в результате расшифровки экспериментальных данных, взятых в Международном Центре Данных (г. Обнинск), определялись значения температуры и солености для различных глубин. Для обработки выбирались значения, измеренные в течении одного месяца.
С помощью статистических методов проверки гипотез х2 и Колмогорова показано, что изучаемые данные удовлетворяют нормальному распределению случайной величины. Определены средние значения температуры и солености жидкости на каждом слое и доверительные интервалы этих величин. Из уравнения состояния, связывающего температуру, соленость и плотность, найдены средние значения плотности жидкости и определен ее доверительный интервал. Используя средние значения плотности, вычислены значения квадрата частоты Вяйсяля-Бренга и определен доверительный интервал этой величины.
Для получения более плавной функции квадрата частоты плавучести были проведены процедуры сглаживания по методу наименьших квадратов и интегрирования по периоду осцилляции. Полученное дискретное распределение квадрата частоты Вяйсяля-Брента было аппроксимировано непрерывной функцией по методу наименьших квадратов.
10
Первая часть второй главы посвящена проблеме получения доверительных интервалов собственных чисел задачи Штурма-Лиувилля, в задаче о свободных колебаниях вертикально стратифицированной жидкости. Цель данной части диссертации состоит в том, чтобы, используя экспериментальные данные о температуре и солености в конкретном регионе Мирового океана, получить дисперсионные кривые и их доверительные интервалы для внутренних волн в стратифицированной жидкости и обратить внимание на тот факт, что в силу погрешности входной информации, описывающей квадрат частоты, плавучести доверительные интервалы каждой дисперсионной кривой могут пересекаться друг с другом. Это может привести к тому, что частоты, принадлежащие одной дисперсионной кривой могут быть приписаны другой (на номер больше или меньше), а это, в свою очередь, при решении обратной задачи восстановления квадрата частоты плавучести по свободным частотам свободных колебаний при фиксированных номерах этих частот, может привести к неправильному определению этих параметров. Поэтому возникает необходимость в определении тех волновых чисел и частот колебаний, для которых однозначно можно гарантировать их принадлежность той или иной дисперсионной кривой.
Оставшаяся часть диссертации посвящена исследованию различных алгоритмов определения параметров дифференциального уравнения задачи Штурма-Лиувилля по ее спектру. В качестве механической интерпретации обратных задач Штурма-Лиувилля выступали следующие: задача о свободных колебаниях вертикально - стратифицированной жидкости, задача о свободных продольных колебаниях физически неоднородного стержня, задача о свободных антиплоских колебаниях упругого слоя.
Первый существенный результат в области решения обратных спектральных задач был получен в 1929 г. В.А. Амбарцумяном, который доказал следующую теорему.
11
Обозначим через к0 < Х1 < \2 <... собственные значения задачи Штурма - Лиувилля
-УМ+Ч(Х)У = Яу; у,(0)=у,(ж), 0 < х < х,
где я(х) - действительная непрерывная функция. Если Хп = п2, п= 0,1,2..., то я(х)= 0.
В 1946 г. Борг показал, что в общем случае один спектр оператора Штурма - Лиувилля его не определяет, поэтому результат Амбарцумяна является исключением из общего правила. Борг доказал, что два спектра оператора Штурма - Лиувилля (при различных граничных условиях) однозначно его определяют.
В дальнейшем обратными спектральными задачами занимались: Крейн М.Г. (1946), Тихонов А.Н. (1946), Чудов А.А. (1949),Марченко В.А. (1950), Левитан Б.М. (1950), Гельфанд И.М. (1951), Гасымов М.Г. (1960) и др. Обратные спектральные задачи Штурма-Лиувилля к настоящему времени исследовались достаточно полно [13, 31, 32, 51, 66]. Тем не менее, для вертикально стратифицированного океана они решались лишь в некоторых частных случаях [17,19,20, 35,43-45, 47, 53-59, 68,69].
Проблеме восстановления частоты Вяйсяля-Брента по известному закону дисперсии посвящены работы [17, 19, 20, 35, 43-45, 47, 53-59, 68, 69]. В [17, 19,20,35, 43-45, 47, 53-59,68,69] предложены алгоритмы приближенного восстановления функции частоты Вяйсяля-Брента по последовательности дисперсионных кривых. В работах [56, 57, 59] исследуется возможность однозначного восстановления функции частоты плавучести по дисперсионным кривым.
Некоторые алгоритмы определения параметров неоднородности стержня по его свободным продольным колебаниям предложены в работах [26-28, 29, 43, 48]. Алгоритмы решения обратной задачи о свободных антиплоских колебаниях упругого слоя предложены в работах [67, 72, 73].
Во второй части второй главы рассматривается задача вывода дисперсионного уравнения и определения параметров стратифицированной
- Київ+380960830922