Динамика магнитного подвеса

СОДЕРЖАНИЕ
Введение...........................................................а
Глава 1. Анализ развития магнитного подвеса как
объекта исследования........................................... 29
1 Л. Анализ развития магнптпого подвеса.........................29
1.2. Магнитный подвес аналитических весов.......................33
1.3. Магнитный подвес чувствительного элемента
гирокомпаса....................................................37
1.4. Магнитный подвес чувствительного элемента
градиентометра.................................................40
1.5. Магпптный подвес вращающегося вала.........................42
Выводы.........................................................44
Глава 2. Вариационные методы математического
моделирования и линейно-квадратичной оптимизации магнитного подвеса..........................................46
2.1. Уравнения Лагранжа-Максвелла............................46
2.2. Задача лштейно-квадратпчвой оптимизации.................19
2.3. Особенности линейно-квадратичной оптимизации
систем стабилизации неустойчивых объектов.......................33
2.4. Математическое моделирование простейшего магнишого подвеса.....................................................56
2.5. Линейно-квадратичная оптимизация простейшего
магнитного подвеса..............................................61
Выводы.........................................................63
Глава 3. Анализ динамики простейшего магнитного подвеса . 66
3.1. Постановка задачи сравнительного анализа динамики различных вариантов простейшего магнитного подвеса..........66
3.2. Устойчивость линеаризованных моделей простейшего магнитного подвеса..........................................70
9
3.3. Отклик переменных состояния простейшего магнитного подвеса на внешнее гармоническое возмущение, его перегрузочная способность....................................74
3.4. Разделение движений в простейшем магнитном подвесе ... 81
3.5. Анализ динамики простейшего магнитного подвеса при
ограниченном управлении..........................................84
Выводы...........................................................95
Глава 4. Нелинейное робастное управление
неустойчивыми объектами..........................................98
4.1. Критерий максимальной области притяжения (МОП-крптерий)...............................................99
4.2. Постановка задачи с интеза нелинейного робастного управления...............................■..................101
1.3. Управляемость, етабилизируемость п наблюдаемость объектов, условия оптимальности управления
по МОП-критергоо................................................103
4.4. Структура фазового пространства оптимальных по устопчп востп систем в случае единственного
положительного собственного значоппя матрицы объекта . . . . 106
4.5. Структура фазового пространства оптимальных по устойчивости систем в случае двух собственных значений матрицы объекта с положительной реальной частью.............109
4.6. Нелинейное робастное управление в простейшем магнитном подврсе п его оптимальная по устойчивости динамика . . . . 118
Выводы..........................................................124
Глава 5. Динамика магнитного подвеса со скалярным управлением при учете дополнительных степеней свободы........................................................126
5.1. Динамика магнитного подвеса упругого тела..................127
5.2. Динамика магнитного подвеса с упругим основанием . . . 135
5.3. Эффект автовращения несферичного ротора в магнитном подвесе.....................................................14]
5.4. Динамика магнитного подвеса с контуром вихревых
токов........................................................158
3
Выводы.....................................................105
Глава 6. Динамика магнитного подвеса с векторным
управлением.................................................166
6.1. Математическая модель динамики вала, вращающегося
в активных магнитных подшипниках............................167
6.2. Анализ собственных значений матрицы объекта, декомпозиция и агрегирование его математической модели . . . 172
6.3. Синтез нелинейного робастного управления радиальными магнитными подшипниками в случае невращающегося вала . . . 176
6.4. Робастность устойчивости магнитного подвеса вала
в радиальных магнитных подшипниках..........................180
6.5. Синтез нелинейного робастного управления волчком
Лагранжа....................................................184
Выводы......................................................196
Глава 7. Силовые характеристики магнитного подвеса 199
7.1. Экспериментальное нахождение силовых характеристик магнитного подвеса............................................200
7.2. Силовые характеристики магнитного подвеса с
постоянными магнитами цилиндрической формы..................201
7.3. Силовые характеристики магнитного подвеса
сферического ферромагнитного тела...........................212
7.4. Силовые характеристики магнитного подвеса
при малых воздушных зазорах.................................221
Выводы......................................................226
Заключение....................................................228
Список литературы..............................................231
4
ВВЕДЕНИЕ
Мечта человечества о создании на Земле условий Космоса отразилась в дошедшей до наших дней легенде "О гробе Магомеда”, который якобы парит над Землей н нн на что не опирается. Однако ни один очевиден подтвердить эту легенду не может: по закону Ислама всякому, кто осмелится проникнуть в Мавзолей (г. Медина), как только он выйдет оттуда, отрубят голову [106]. В этой легенде задача левитации, т.е. свободного парен ля тел в гравитационном ноле Земли, представлена в впде велпко го таинства. Тайна левитации просуществовала непознанной до середины XX века. В конце тридцатых годов в лабораторных условиях Дж. Бимс, будущий профессор университета штата Вцрджштя (США), неконтактно вывесил ферромагнитный шарик в магнитном поле электромагнита [152]. 13 1945 г. В.К. Аркадьев, профессор МГУ, продемонстрировал свободное парение постоянного магнита над сверхпроводящей чашей [151]. Началось познание и практическое использование тайны левитации. Анализ исследований по магнитному подвесу показывает, что пх развитие проходило от первоначальных исследований его возможностей к изучению динамики твердого тела в магнитном подвесе, а затем к исследованиям собственной динамики магнитного подвеса.
Точкой отсчета повышенного интереса к динамике самого магнитного подвеса можно считать 1962 год, когда Г.Г. Денисов. К).И. Неймарк, О.Д. Гіоздеев сделали доклад на Секции навигационных систем АН СССР об эффекте автовращенпя тела в магнитном подвесе [113]. Этот эффект показал возможность активного влияния магнитного подвеса на динамику вывешиваемого твердого тела и то, что магнитный подвес только при очень грубых идеализациях может рассматриваться как аналог механических опор, обеспечивающих вывешивание тел с необходимой жесткостью и демпфированием. Кроме того, интерес к динамике магнитного подвеса стал диктоваться необходимостью удовлетворения конкретні,їм техническим требованиям при его использовании в технических устройствах. Требовалось знание величины допустимых внешних водействий, диапазона допустимого разброса параметров и рабочих характеристик магнитного подвеса.
Задачи динамики магнитного подвеса рассматривались в работах как отечественных авторов: Бочарова В.И.. Вышкова Ю.Д., Воробьева А.И.. Денисова Г.Г., Журавлева Ю.Н., Каднельсона О.Г.. Комарова В.Н.. Кузина A.B., Линькова Р.В., Неймарка Ю.И., Мартыненко Ю.Г., Иоздеева О.Д., Рабиновича Б.П., Тиля A.B., Урмана Ю.М.. Шереметьевского H.H. тт др. так и зарубежных: Бимса Д., Бодена К., Браунбека В.. Поппа К., Хабермана Г.. Фремерея К).. Швейпера Г. и др.
Как следует из этих работ, успешное решение задач динамики магнитного подвеса во многом определяет успешность разработки конкретных устройств, использующих его преимущества. Сложность задач динамики магнитного подвеса обусловлена большим числом его степеней свободы как механических так и электрических, нелинейностью его характеристик. Поэтому нахождение законов управления, обеспечивающих желаемую динамику магнитного подвеса, особенно в сложных подвесах, проводится, как правило, численными методами для конкретных устройств. Несмотря па возросшие возможности вычислительной техники, необходимость в качественных и аналитических методах исследования динамики магнитного подвеса сохраняется, поскольку такие методы дают обоснование достоверности расчетных результатов и технических решений.
Актуальность темы. Интенсивное развитие технологии магнитного подвеса, наблюдаемое в настоящее время, требует развития качественных л аналитических методов исследования динамики, учитывающих особенности магнит ного подврса. Магнитный подвес относится к электромеханическим управляемым объектам. Его особенностью является то. что в отсутствие управления он неустойчив, а при обеспечении устойчивости, он имеет слабодемпфированные степени свободы.
Принципиальная невозможность получения устойчивого состояния равновесия ферромагнитных тел в статическом магнитном поле доказана в теореме В. Браунбека [157]. Эта теорема развивает идеи теоремы Ирн-шоу [162], [101]. с тавившей целью объяснить ус тойчивость материи, состоящей, как известно, из положительно и отрицательно заряженных частиц. Преодоление запрета теоремы Браунбека ни устойчивый подвес- ферромагнитных тел в статическом магнитном поле стало возможным с развитием теории п средств автоматического управления. Обеспечение устойчивости является одной из основных задач динамики магнитного подвеса, решение которых является актуальным и для других неустойчивых [14]. [141] и сла-
6
бодемпфпрованных объектов [38].
Цель диссертационной работы состоит
в развитии методов математического моделирования управляемых электромеханических объектов с приложением их к задачам динамики магнитного подвеса;
в развитии методов идентификации параметров и характеристик магнитного подвеса;
в развитии методов теории устойчивости и оптимальной динамики управляемых неустойчивых и слабодемпфированных объектов:
в применении теории к решению прикладных задач синтеза п анализа динамики магнитного подвеса.
Методы исследований, используемые в работе базируются па методах классической механики [76|. [79], [95], [102], [103], и электродинамика [80]. [96]. [104]. [105], [107], [114]. ]119), [133] на методах теории автоматического управления [2], [3], [4], [10], [55], [92], [98]. [108], [128], [134]. [140]. [148], [160]. теории колебании динамических систем [о], [13], [60]. [61], [64]. [75]. [115], [136], [149], на методах теории устойчивости двпжоппя [1]. [9]. [10], [55], [56], [63], [109]. [112], [131], [144], [150], методах оптимизации и робастном подходе к устойчивости динамических систем [8], [11], [59]. [93]. [94], [97], [120], [121], [122], [123], [124], [126], [127], [132]. [135].
В работах автора предложено расширение робастного подхода, используемого для линейных систем, на нелинейные. Такое расширение ста,1«) возможным с использованием критерия оптимальности динамики управляемых объектов в виде максимальности области притяжения стабилизируемого равновесия в фазовом пространстве с учетом реально существующих ограничений управляющих воздействий (МОП-крптерип). Это позволило дать теоретическое обоснование известных технических решений магнитного подвеса и получить новые решения задач его оптимальной по устойчивости динамики.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые научные результаты:
проведен анализ причин уменьшения области притяжения стабилизируемого состояния равновесия в фазовом пространстве магнитного подвеса при учете ограниченности управляющих воздействий [22], [23], [25], [26],
[27]. [20]:
I
поставлена и решена задача нелинейного робастного управления неустойчивыми объектами, оптимального по МОП-крптерпто [47]. [171];
показана возможность расширения предложенного подхода к синтезу нелинейного робастного управления с неустойчивых на слабодемпфироваыные объекты и достижения абсолютной устойчивости управляемых объектов, обладающих консервативной устойчивостью [12], [53]. [177];
показана возможность удовлетворения общепринятым критериям оптимальности динамики неустойчивых управляемых объектов, если их динамика является оптимальной по МОП-критершо [26]. [146];
исследовано влияние на ус тойчивость магнитного подвеса с простейшим регулятором дополнительных механических и электрических степеней свободы. действия внешних возмущений [25]. [36];
получены аналитические выражения законов нелинейного робастного скалярного и векторного управления для различных вариантов магнитного подвеса [32], [33], [37], [40], [178];
исследована динамика простейшего магнитного подвеса под действием внешних гармоничес ких механического и электрического возмущений, пайдены оценки максимально допустимых амплитуд этих возмущений [25], [51]. [179]:
получены аналитические выражения силовых характеристик магнитного подвеса с постоянными магнитами цилиндрической формы, имеющих осевую намагниченность, а также магнитного подвеса сферического ферромагнитного тела [41]. [46].
Достоверность полученных результатов подтверждается качественными и аналитическими решениями задач динамики магнитного подвеса апробированными методами, а также данными экспериментальных исследовании и компьютерным моделированием.
Практическая значимость полученных результатов состоит в их применимости к разработке магнитных подвесов с оптимальной по устойчивости динамикой и, возможно, других неустойчивых и слабодемпфиро-ваыных объектов. Новизна и практическая значимость ряда технических решений гирокомпаса с магнитным подвесом чувствительного элемента подтверждены авторскими свидетельствами [31]. [34], [35]. [39] п патентом [43].
Личный вклад автора. Решение задач динамики магнитного подвеса. оптимального по устойчивости, проводились автором самостоятельно.
8
Эти задачи являются основой диссертации. В совместных работах с д.т.н.
О.Д. Поздеевым, под руководством которого автор работал длительное время. отражены результаты теоретических и экспериментальных исследований гирокомпаса и градиентометра с магнитным подвесом чувствительного элемента. В этих работах автор принимал участие как ответственный исполнитель договорных работ, результаты которых обобщались в публикациях. В совместной работе (22j к.ф.-м.н. Сандалов В.М. участвовал в численном моделировании динамики одного из вариантов магнитного подвеса. В совместной работе [20] Воробьев-Обухов A.B. участововал в разработке и экспериментальном исследовании одного из вариантов гирокомпаса с магнитным подвесом. В совместных работах с д.ф.-м.н. Г.Г. Денисовым ему принадлежат постановка задач, обсуждение полученных результатов и редактирование. Совместные работы с Е.В. Беловой, И.В. Веселптским. К.В. Грязновым. НЛО. Грязновон. С.А. С'игуньковым проводились под научльш руководст вом автора.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались: на итоговых научных конференциях Г ГУ, 1973, 1974, 1977, 1978, 1979, 1980 г.г.; на Всесоюзном семинаре-совещании "Динамические системы и процессы управления*’, Горький. 1974 г.; па семинаре по механике спстем твердых тел и гироскопов ИПМ АН СССР под руководством акад. А.Ю.Ишлинского, проф. Д.М. Климова, Е.А. Девянпна, Москва, 1977 г.: на конференции ' Проблемы нелинейных колебаний механических систем”, Киев. 1978 г.: на Всесоюзном семинаре “ Теория с пстем с разделяемыми движениями'1, Новосибирск, 1979 г.; на семинаре кафедр 301, 305. 309 Московского авиационного института, 1980 г.: на Всесоюзной школе "Проблемы базовых элементов пнорцпалыгых навигационных систем”, г. Осташков, 1980 г.: на межотраслевых научно-технических конференциях памяти H.H. Острякова. г. Ленинград, 1982, 1988, 1996 г.г.; на Всесоюзных конференциях ' Современные вопросы информатики, вычислительной техники и автоматизации”, г. Москва. 1985. 1990 г.г.: на Всесоюзной конференции ”Метод функций
А.М. Ляпунова в современной математике", г. Харьков, 1986 г.: на Всесоюзных конференциях "Современные вопросы механики и технологии машиностроения', г. Москва. 1986, 1989. 1992 г.г.: на Всесоюзных конференциях ”Современные проблемы физики ц ее приложений“, г. Москва. 1987, 1990 г.г.; па Все союзных конференциях по нелинейным колебаниям механических систем, г. Горький, 1987. 1990 г.г.: на семинаре но проблемам
9
магнитного транспорта под руководством акад. К.В. Фролова, г. Москва, 1900 г.; на "Школе 91", посвященной 50-летаю ВИИИЭМ. г. Москва, 1991 г.; на VII Всесоюзном съезде по теоретической и прикладной механике, г. Москва, 1991 г.: па школе-семинаре "Моделирование и исследование устойчивости физических процессов’*, г. Киев. 1991, 1992 гл .; на семинаре по теории управления и оптимизации (Институт проблем механики РАН, 1993 г., руководитель семинара - академик РАН Ф.Л. Черноусько); на конференциях "Нелинейные колебания механических систем", г. Н. Новгород. 1993, 1996, 1999 г.г.: на международных семинарах по устойчивости и колебаниям нелинейных систем управления, г. Москва, ИПУ РАН, 1996, 1998, 2000 г.г.; на научно-технической конференции ’’Проблемы машиноведения", г. Н. Новгород, 1997 г.; па международном семинаре "Нелинейное моделирование и управление’5, г. Самара, 1997 г.; на международной конференции "Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация". посвященной 85-летию акад. Е. А. Барбашина г. Минск, 1998 г.; на международной конференции "Чкаловские чтения", г. Егорьевск. 1999 г.; на VII международной конференции "Устойчивость, управление и динамика твердого тела", г. Донецк, 1999 г.; на международных конференциях и симпозиумах, в трудах которых приведены работы автора по теме диссертации.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 41 работе, среди которых 5 статей в межвузовских научных сборниках Нижегородского госуниверсптета, 18 статей в центральных научных журналах. 18 докладов в трудах отечественных и между народных научных конференции, симпозиумов.
Результаты прикладных исследований динамики магнитного подвеса и преимуществ его ис пользования в технике отражены в 4 авто}>скпх свидетельствах, в патенте п в 38 отчетах по НИР.
Результаты диссертации получены в период с 1974 г. по 2000 г. при выполнении НИР, проводимых в НИИ прикладной математики и кибернетики ННГУ, а также инициативных научных проектов, поддержанных Росс ийским фондом фундаментальных исследований, в двух из которых (проекты N 94-01-00214, 97-01-00669) автор диссертации был научным руководителем.
Объем работы. Диссертационная работа изложена на 216 страницах текста, иллюстрируется рисунками на 31 странице и состоит из введения, семи глав, заключения п списка литературы из 180 наименований.
10
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
В первой главе анализируется развитие исследований по магнитному подвесу в нашей стране и за рубежом на основе обзорных работ [15], [21]. [57], [66]. [83], [91]. [104]. [110]. [129], [137], [138], [139], [147]. [154]. [156], [161], [163], [164], [166], [168], [169] и трудов специализированных международных конференций п симпозиумов по магнитным подшипникам, по технологии магнитного подвеса. Отмечается, что вопросы оптимальной динамики магнитного подвеса стали играть ведущую роль в этих исследованиях. При решении задач оптимизации магнитного подвеса в последнее время делается акцент на достижение его робастной устойчивости, предполагающей малую чувствительность к изменениям параметров и действию неопределенных внешних возмущений.
Отмечается, что понятие |м>бастноети является расписанием понятия грубости динамической системы, введенного A.A. Анд|юновым и Л.С. Пон-трягиным [5]. для обозначения свойства системы не менять качественно динамику при бесконечно малых вариациях ее математической модели. В отлпчпе от грубости робастность [116], [124]. [160] предполагает сохранение качественного поведения системы, например ее устойчивости, уже при конечных вариациях математической модели таких, как интервальное за-даппе параметров линейных систем [64]. [145], или секторное задание нелинейных характеристик в нелинейных системах [1], [127].
Робастный подход к устойчивости нелинейных систем нри секторном задании их нелинейных характеристик возник еще в работах А.И. Лурье. М.А. Айзермана [1], В.-М. Попова [127]. положившим начало исследованиям по абсолютной устойчивости. Достижение абсолютной устойчивости предполагает единственность состояния равновесия п его устойчивость ирн произвольных начальных условиях, что для нелинейных систем является очень жестким требованием. Структура фазового пространства нелинейных спетом далеко по всегда топологически -эквивалентна структуре фазового пространства линейной системы. Более того, существуют системы, для которых такая структура фазового пространства является невозможной.
К таким системам относятся собствеппо неустойчивые объекты, стабилизируемые ограниченным управлением. Свойство абсолютной устойчивости нелинейных систем для систем с неустойчивым объектом наиболее близко отражает критерий оптимальности в виде максимальной области
И
притяжения стабилизируемого состояния равновесия в фазовом пространстве (МО!I-критерий). Этот критерий был предложен Г.Л. Степаньянцем [135], [136] п динамические системы, удовлетворяющие этому критерию, предложено им называть оптимальными по устойчивости.
Магнитный подвес относится пменно к таким объектам, для которых попользован не МОП-крптерпя является адекватным при нелинейной постановке задач синтеза и анализа динамики. Решение этих задач проводилось в процессе разработки конкретных устройств с магнитным подвесом. Описание некоторых пз нпх приводится для лучшего представления о задачах динамики магнитною подвеса как объекта исследования.
Аналитические весы непрерывного взвешивания с магнитным подвесом подвижной системы [45), (50). Принцип действия таких весов основан на автоматическом уравновешивании веса подвижного элемента, нагруженного измеряемой массой, силой регулируемого магнитного поля. Весы позволяют вести непрерывный автоматический контроль взвешиваемой массы без механического контакта с ней по величине тока электромагнита. Достигнутая абсолютная погрешность измерения составляет 0.02 мг при измерении массы до 0.5 г. Поддержание равенства силы электромагнита весу вьтвептпваомого тела, зависящего как от его массы, гак и от гравитационного ускорения, позволило расширить задачу динамики весов с магнитным подвесом на акселерометр с магнитным подвесом неизменяемой чувствительной .массы [49]. [176]. Измерение действующего на чувствительную массу ускорения проводится в этом случае, также как и в весах, с помощью неп!>ерывпого автоматического контроля тока электромагнита.
Гирокомпас с магнитным подвесом чувствительного элемента [20], [21], [44], [70], [159], [174]. Реакция гироскопического маятника на суточное вращение Земли позволяет находить направление' меридиана с помощью гирокомпаса по прецесспнным колебаниям его чувствительного элемента. Первые варианты гирокомпасов использовали торсионный подвес чувствительного элемента, на смену которого и пришел магнитный подвес [54], [61]. В результате этой замены исключается операция 'обнуления" тореиона, возможность аварийной ситуации, связанной с его обрывом, а также повышаетс я предельная точность нахождения географического меридиана за счет снижения уровня вредных моментов, дейс твующих на чувствительный элемент ео стороны подвеса. В работе рассматриваются три варианта магнитного подвеса чувс твительного элемента гирокомпас а в осч-
12
симметричном магнитном поло электромагнита: за ферромагнитный шар, к которому крепится с помощью штанги гирокамера [39]; за ферромагнитную сферу, одновременно играющую роль гпрокамеры [ 13]; за ферромагнитное тело, форма которого мало отличается от шаровой с целью использования эффекта его автов ращения для придания чувствительному элементу кинетического момента [31], [34], [35].
Наибольшая точность гирокомпаса достигается в первом варианте магнитного подвеса чувствительного элемента п составляет доли угловой минуты на неподвижном основанггп. Второй вариант магнитного подвеса чув ствительного элемента позволяет уменьшить интеркардинальную погрешность гирокомпаса при его работе на подвижном основании [48], [175]. Третий вариант магнитного подвеса чувствительного элемента позволяет существенно уменьшить габариты и энергопотребление гирокомпаса.
Магнитный подвес чувствительного элемента градиентометра
(42). Характерной особенностью чувствительного элемента градиентометра является наличие двух пространственно разнесенных масс. Это дает возможность измерять градиент гравитационного поля, в котором находится чувствительный элемент по величине действующего на него момента. Магнитный подвес, также как в гирокомпасе, заменяет торсионный подвес чувствительного элемента градиентометра и увеличивает его точность, за счет снижения вредных моментов до уровня 10~[211 м.
Наличие пространственно разнесенных масс в градиентометре делает ярковыраженными упругие свойс тва его чувствительного элемента, которые. как показывает эксперимент и теоретическое исследование [36]. приводят к потере устойчивости магнитного подвеса с простейшим регулятором. Решение задачи магнитного подвеса, оптимального по устойчивости при учете упругих свойств тела, позволило расширить ее постановку на аналогичную задачу при учете упругих свойств основания магнитного подвеса [31]. Проявление упругих и проводящих свойств основания магнитного подвеса является характерным для транспортных систем магпптпоп левитации [6]. [69], [82]. [99], [111], [118]. [129]. [139]. [170].
Магнитный поднес вращающегося вала. Одним из первых магнитных подвесов вала был подвес в поле одного электромагнита [67], [90], который использовался для исследования влияния внутреннего трения на устойчивость свободно вращающегося вала. В настоящее время магнитный подвес вала, широко используемый в машиностроении, имеет более слож-
13
ную конструкцию, содержащую активные магнитные подшипники, обеспечивающие осевую и радиальную стабилизацию вала [40], [77]. [78]. [88], [165]. [160], [173]. Решение задачи динамики магнитного подвеса, оптимальной по устойчивости, в этом случае является наиболее сложным в виду большого числа неустойчивых степеней свободы вала п возможной их взаимосвязи при проявлении гироекогшчесого эффекта.
Исследуемые объекты позволяют увидеть те преимущества и возможности магнитного подвес а, которые стимулируют его широкое использование в технике. Основными областями применения магнитного подвеса стали: машинос троение, в котором магнитный подвес - это, прежде всего, магнитные подшипники роторных машин [15], [161], [165], [169]:
прецизионное прпбо]юст]юетте. в котором магнитный подвес используется для неконтактного подвес а чувствительных элементов приборов, их виброзащпты [18], [57], [66], [83], [137];
транспортные устройства, в которых магнитный подвес пришел на смену колесу [129], [139], [147]. [170];
техлологические установки и испытательные стенды, в которых магнитный подвес [67]. [68], [81]. [91], [125], [146], [154] снимает ограничения, обусловленные обычными механическими опорами.
Но сравнению с* обычными типами опор магнитный подвес: позволяет: увеличить число степеней свободы вывешиваемого тела, без применения специальных устройств типа подвеса Кардана:
резко уменьшить сопротивление движению твердого гела по нестаби-лизируемым с тепеням с вободы:
повысить чувствительность к силам и моментам, действующим на вывешиваемое тело:
получать малую жесткость подвеса и легко управлять ею, вплоть до получения астатического подвеса;
повысить надежное:!*ь устройства за счет устранения износа механически контактируемых деталей:
снять ограничения на использование подвеса, вызванные наличием смазки;
изолировать вывешиваемое тело от окружающей среды; помещать вывешиваемое тело в вакуум, агрессивные среды; повысить предельные скорости вращения, практически ограниченные п рочност ью материалов;
14
снизить экс плуатационные расходы за счет уменьшения потерь энергии при движении, за счет уетраения смазки и т.п.;
снизить уровень шумов от движущихся частей п удовлетворить требованиям экологии;
хорошо диагностировать состояние п работу подвеса.
Кроме того, магнитный подвес (и сверхпроводящий [30],[107] как его разновидность) по сравнению с другими типами неконтактных подвесов обладает высокой грузоподъемностью, используют безопасное низкое напряжение питания, имеет возможнос ть применения постоянных магнитов для создания требуемого поля подвеса с целью экономии энергозатрат.
Во второй главе рассматривается возможность единого подхода к задачам математического моделирования и линейно-квадратичной оптимизации магнитного подвеса. Существование такой возможности обусловлено вариационным принципом, предложенным Л. Эйлером [94]. Областью применения этого принципа, сводящего задачу поиска экстремума функционала к задаче поиска решения дифференциального уравнения Эйлера, в первую очередь стала классическая механика. Вариационная формулировка законов классической механики Ньютона, данная Лагранжом, позволяет с большой степенью формализации получать математические модели механических объектов. У равнения Лагранжа с точностью до знака совпадают с уравнениями Эйлера, получающимися из условия минимума функционала действия на истинном движении механической системы (принцип Гамильтона).
Формализм Лагранжа допускает расширение с чисто механических объектов на электромеханические, как показано например в [114]. Ис пользование такой возможнос ти позволяет получать математические модели магнитного подвеса с помощью функций Лагранжа-Максвелла и соответствующих им уравнения Лагранжа.
Классическая постановка задач оптимального управления с* самого па-чала проводилась на ос нове вариационного принципа Эйлера [121]. На основе этого принципа построены теория аналитического конструирования регуляторов [98]. в которой используется квадратичный фупкцпопал качества п теория оптимальных процессов [126], в которой используется принцип максимума Л.С. Поитрягина. Б случае поиска экстремума квадратичного функционала задача оптимального управления сводится к поис ку решения дифференциального уравнения Рпккати [3]. Таким образом, вариационный
15
принцип Эйлера может эффективно использоваться для математического моделирования динамики магнитного подвеса в целом, включая получение математических моделей регуляторов.
Эффективность использования вариационного принципа для аналитического решения задач оптимального управления даже* в линейной постановке снижается с ростом размерности объекта управления. Это обусловлено тем. что задачи оптимального управления являются задачами на условный экстремум функционала, приводяюгтше к удвоению порядка системы дифференциальных уравнений из-за необходимости поиска неопределенных множителей в методике Лагранжа поиска условного экстремума. Как след-стпе этого, даже в простейшем случае систем с постоянными коэффициентами решения задачи оптимизации получаются избыточными, что требует лх сортировки для выделения единственного оптимального решения. Нахождение этого оптимального решения в общем случае становится возможным только численными методами.
Возможность аналитического решения задачи линейно-квадратичной оптимизации динамики неустойчивых объектов в упрощенной постановке скалярного управления и простейшего вида квадратичного функционала от квадрата функции управления показана в [28]. В этой работе передаточная функция оптимального регулятора, находится по передаточной функции неустойчивого объекта управления произвольной, но конечной размерности. В предложенном способе сортировка решении, необходимая для получения единственного оптимального закона управления, проводится группировкой сомножителей с положительными и отрмцательньшиц реальными частями характеристического уравнения, соответствующего уравнени-я м Эй лера-Лагранжа.
Единый подход к решению задач математического моделирования и линейно-квадратичной оптимизации динамики показывается на примере простейшего магнитного подвеса, в котором осуществляется стабилизация только одной механической степени свободы тела, вывешиваемого в поле одного электромагнита. С помощью функции Лагранжа-Максвелла, коэффициенты разложения которой в ряд Тейлора до второго порядка малости имеют физический смысл параметров простейшего магнитного подвеса, находится его размерная математическая модель, линеаризованная в окрестности стабилизируемого состояния равновесия. С помощью характерных масштабов переменных и времени вводятся безразмерные переменные и
10
получается стандартный вид математической модели простейшего магнитного подвеса с неопределенной функцией управления, характеризующей закон управления напряжением на электромагните подвеса. Анализ характеристического уравнения неуправляемого объекта показывает, что среди его корней имеется единственный положительный, а остальные являются действительными отрицательными. Наличие положительного корня подтверждает неустойчивость равновесного состояния ферромагнитного тела в статическом магнитном поле, которая следует из общей теоремы Браун-бека [157].
Лпнейно-квадратпчная оптимизация динамики простейшего магнитного подвеса по критерию минимума функционала от квадрата функции управления проводится сначала стандартным приемом получения матричного уравнения Риккати и нахождением его решений. Показывается, что имеется два аналитических решения уравнения Риккати. отлпчпых от тривиального. Первое решение соответствует закону управления, прп котором устойчивость простейшего магнитного подвеса не обеспечивается, т.е. минимум квадратичного функционала на этом решении не достигается и оно не является оптимальным. Оптимальным получается второе решение уравнения Риккати, которому соответствует линейный закон управления в виде обратной связи по переменным состояния простейшего магнитного подвеса, обеспечивающий его устойчивость. Наличие постороннего решения задачи линейно-квадратичной оптимизации, не удовлетворяющего требованию устойчивости, усугубляет сложность решения, вызываемую нелинейностью уравнения Риккати.
Эффективность решения задачи линейно-квадратичной оптимизации предложенным способом доказывается на этом примере еще п тем, что най-денное этим способом оптимальное аналитическое решеппе позволило найти и второе, неоптпмальное аналитическое решение уравнения Риккатп.
Таким образом, но найденной вариационным подходом линейной математической модели магнитного подвеса может проводиться линейно-квадратичная оптимизация его динамики, также основанная на вариационном подходе.
В третьей главе проводится сравнительный анализ динамики различных вариантов простейшего магнитного подвеса с целью определения области его устойчивости в пространстве параметров, а также ис следования влияния на его динамику реально существующих ограничений упра-
17
вляющего напряжения. Рассматриваются три варианта простейшего магнитного подвеса, отличающиеся используемым законом управления:
в первом варианте используется закон управления, за основу которого выбирается структура регулятора, синтезированного по квадратичному критерию [2.3];
во втором - закон управления, отличающийся от синтезированного по квадратичному критерию учетом погрешности дифференцирования реального звена коррекции сигнала датчика перемещения вывешиваемого тела, восстанавливающего его скорость как неизмеряемую переменную состояния объекта;
в третьем - закон управления с инерционной обратной связью усилителя мощности, нашедший широкое распространение в практике магнитного подвеса [22], [25], [26], [27], [62].
Область устойчивости для этих вариантов законов управления находится методом Г)-ра.збисппя [112] в плоскости двух параметров, характеризующих жесткость п демпфирование простейшего магнитного подвеса. Показывается, что предельный переход к бесконечно большому коэффициенту усиления усилителя мощности по напряжению приводит во всех трех случаях к предельной по размерам области устойчивости, допускающей неограниченные значения жесткости п демпфирования прос тейшего магнитного подвеса. Проведенный сравнительный анализ устойчивости рассматриваемых вариантов простейшего магнитного подвеса показал, что в линейном приближении эти варианты являются аналогичными и нельзя отдать предпочтение какому-либо из пих.
Показывается также, что большие значения коэффициента усиления усилителя мощности приводят к разделению движений в магнитном подвесе на быстрые по электрическим переменным и медленные по механическим. Интегральное многообразие медленных механических движений магнитного подвеса является устойчивым по отношению к быстрым электрическим движениям для значений жесткости и коэффициента демпфирования из найденной области устойчивости. Показывается, что на этом многообразии для найденного оптимального закона управления значение функционала от квадрата функции управления принимает нулевое значение, т.е. абсолютный минимум (32]. В этом случае простейший магнитный подвес может рассматриваться как обычный механический, обладающий некоторой жесткостью и демпфированием.
18
Большие значения коэффициента усиления усилителя мощности и тем более предельный переход к его бесконечному значению делают линейную математическую модель магнитного подвеса несоответствующей техническому требованию ограничений допустимых значений выходного напряжения усилителя мощности. В усилителе мощности предусматривается зашита от перенапряжении его выход пых каскадов и катушки электромагнита. Учет реально существующих ограничений управляющих воздействий приводит к нелинейной математической модели магнитного подвеса даже в случае линеаризации остальных его нелинейных характеристик. Предельный переход к бесконечно большому значению коэффициента усиления усилителя мощности приводит к релейному закону управления.
Сравнительный анализ динамики простейшего магнитного подвеса для рассматриваемых трех вариантов законов управления входным напряжением усилителя мощности, имеющим релейную вход-выходную характеристику, проводится исследованием структуры фазового пространства при линеаризовнных остальных характеристиках подвеса. Размерность фазового пространства в первом варианте равпа трем, а во втором и третьем четырем. Показывается, что предельный переход к бесконечно большому коэффициенту усиления усилителя мощности приводит к непрерывному переходу интегрального многообразия медленных движений линейной модели простейшего магнитного подвеса в интегральное многообразие так называемых скользящих движений релейной системы. Стабилизируемое состояние равновесия принадлежит интегральному многообразию скользящих движений и в него помещается начало координат фазового пространства.
Органиченность управления приводит к существованию дополнительных состояний равновесия, соответствующих ограничениям функции управления. Для простейшего магнитного подвеса эти дополнительные состояния равновесия являются неустойчивыми седлового типа. Через них в фазовом пространстве проходят сспаратрисные интегральные многообразия: усы сепаратрис и сепаратрис пые гиперплоскости, задающие границы ора-ниченпоп области управляемости простейшего магнитного подвеса, внутри которой расположено стабилизируемое состояние равновесия. Учет ограниченности управления приводит также к тому, что в общем случае пе вея гиперплоскость переключения релейной функции является областью скользящих движений. Появляются участки гиперплоскости переключения релейной функции, на которых фазовые траектории "прошивают" ее. В этом
19
случае существует возможность появления замкнутых фазовых траекторий. которым соответствуют периодические движения нелинейной системы типа предельного цикла.
Поиск периодических движений и их устойчивости проводите.я методом точечных отображений [115] гиперплоскости переключения релейной функции управления саму в себя при наличие участков скольжения и без них в зависимости от жесткости и величины демпфирования простейшего магнитного подвеса. В [23] и последующих работах [25], [26], [27]. [29] на эту тему показана возможность существования неустойчивых периодических движений в простейшем магнитном подвесе, приводящих к резкому сокращению области притяжения устойчивого состояния равновесия в фазовом пространстве, границы которой определяются в этом случае сепа-ратрисными многообразиями близлежащего неустойчивого периодического движения, а не сепаратрпснъгмп многообразиями неустойчивых состояний равновесия.
Анализ динамики в такой нелинейной постановке показал уже отличие динамики простейшего магнитного подвеса при рассматриваемых вариантах законов управления и важность такого показателя качества динамики неустойчивых объектов при ограниченном управлении как величина области притяжения стабилизируемого состояния равновесия в фазовом пространстве. 13 области устойчивости простейшего магнитного подвеса на плоскости параметров жесткость-демпфирование подобласть отсутствия нежелательных периодических движений получилась максимальной для первого варианта идеального закона управления, а пз реализуемых -для второго. Найдены оптимальные параметры жесткость-демпфирование простейшего магнитного подвеса, при которых вся гиперплоскость переключения релейной функции управления является областью скользящих движений. Оказалось, что они определяются параметрами обратной связи по состоянию магнитного подвеса, найденными из решения задачп линейно-квадратпчпой оптимизации.
Существование неустойчивых периодических движений в простейшем магнитном подвесе дало объяснение наблюдаемой на практике невозможности существенного повышепия жесткости подвеса без ухудшения качества его динамики. Ухудшение качества динамики магнитного подвеса при повышении его жесткости от некоторого оптимального значения проявляется в снижении допустимых возмущений, выводящих подвес из областп прптя-
20
жени я стабилизируемого состояния равновесия.
Рассмотрение передаточных функций простейшего магнитного подвеса от внешнего гармонического возмущения к выходному напряжению усилителя мощности показало, что выход на ограничения функции управления с ростом амплитуды возмущения происходит прежде всего, когда используется третий вариант закона управления (с помощью инерционной обратной связи усилителя мощности). Этот случаи соответствует наибольшей неравномерности амплитудно-частотной характеристики по сравнению с первым и вторым вариантами.
Проведенный сравнительный анализ динамики простейшего магнитного подвеса для различных вариантов законов управления показал, что наилу ч-пиш из них является закон с параметрами обратной связи по состоянию, найденный из решения задачи линейно-квадратичной оптимизации.
В четвертой главе рассматривается постановка и решение задачи синтеза нелинейного робастного управления но МОП-критерию [47]. В качестве допустимых нелинейных функций управления рассматриваются простейшие кусочно-линейные функции, учитывающие реально существующие ограничения управляющих воздействий. Робастность законов управления, т.е. их малая чувствительность к вариациям, рассматривается по отношению к изменению наклона функции на линейном участке до выхода на ограничение. Предпосылка к такой постановке задачи вызвана результатами синтеза и анализа динамики простейшего магнитного подвеса.
Дается формулировка основного утверждения диссертации, лежащего в основе предложенного подхода к синтезу законов управления неустойчивыми объектами, оптимальных по МОП-критерпю. Использование этих законов обеспечивает динамику магнитного подвеса, оптимальную по устойчивости. Особенностью предложенного подхода к синтезу является существование множества законов управления, на котором достигается выбранный Критерий качества. Выявленное новое свойство нечувствительности МОП-критерия к вариациям нелинейной функции управления являетс я аналогичным свойству абсолютной устойчивости управляемых собственно устойчивых объектов.
Оптимальной по устойчивости динамике управляемых неустойчивых объектов ставятс я в соответствие оптимальные структуры фазового пространства в зависимости от наиболее характерных вариантов неустойчивой части объекта, который предполагается полностью управляемым и наблю-
21
даемым.
В случае единственного положительного собственного значения матрицы неустойчивого объекта структура фазового пространства характеризуется максимальной областью притяжения стабилизируемого состояния равновесия. границы которой определяются сепаратрпсыыми многообразиями двух неустойчивых состояний равновесия седлового типа, соответствующих нижнему ц верхнему ограничениям функции управления.
В случае двух действительных положительных собственных значений матрицы неустойчивого объекта структура фазового пространства характеризуется максимальной областью притяжения стабилизируемого состояния равновесия, границы которой определяются сепаратрисными многообразиями четьцюх неустойчивых состояний равновесия седлового типа, соответствующих выходу на нижнее нлп верхнее ограничение одного из двух управляющих воздействий. Сепаратрисы, входящие в эти сос тояния равновесия берут свое начало в четырех неустойчивых состояниях равновесия типа неустойчивых узлов, соответствующих выходу на нижнее или верхнее ограничение обоих управляющих воздействий.
В случае двух комплексно-сопряженпьтх собственных значепттй матрицы неустойчивого объекта с положительной реальной частью структура фазового пространства также характеризуется найденной максимальной областью притяжения стабилизируемого состояния равновесия. Границы этой области определяются сепаратрисными многообразиями четырех неустойчивых состояний равновесия седлового типа, соответствующих выходу на нижнее или верхнее ограничение одного из двух управляющих воздействий. Сепаратрисы, входящие в эти состояния равновесия берут свое начало в четырех неустойчивых состояниях равновесия типа неустойчивых фокусов, соответствующих выходу па нпжпее пли верхнее ограничение обоих управляющих воздействий.
Рассматривается пример динамики простейшего магнитного подвеса, оптимального по устойчивости, подтвержденный экспериментальным исследованием [32). Проводится сравнение результатов оптимизации этого подвеса по МОП критерию и проведенной ранее его оптимизации но квадратичному критерию. Показывается, что множество законов нелинейного робастного управления в области их линейности включает подмножество законов линейного управления, оптимальных по найденному множеству квадратичных критериев качества. Показывается также, что использование нелинейного робастного управления в простейшем магнитном под-