ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.................................................................5
Глава I. Существующие способы профилирования и оптимизации контура крыла самолета §1.1. Подбор подходящего контура крыла путем многократного
решения прямой задачи внешнего обтекания..........................7
§ 1.2. Метод Тумашева-Нужина конструирования профиля крыла по
заданному распределению давления вдоль его контура...............10
§ 1.3. Преобразование обтекания профиля крыла потоком
несжимаемой жидкости. Метод Чаплыгина. Метод Лайтхилла...........12
Глава II. Математическая задача профилирования несущего
докритического контура крыла но заданной зависимости между модулем и аргу ментом скорости на контуре
§2.1. Исследование задачи в рамках модели несжимаемой жидкости.........15
§2.1.1. Строение двулистной римановой поверхности в плоскости
годографа скорости...............................................18
§2.1.2. Необходимые и достаточные условия однозначной
разрешимости.....................................................19
§2.2. Асимптотика обтекания несущего конту ра крыла в плоскости
годографа скорости. Сингулярная компонен та решения как
псевдоаналитическая функция. Интегральное уравнение..............21
Глава III. Обшнй алгоритм решения
§3.1. Декомпозиция на регулярную и сингулярную компоненты..............27
§3.2. Вычисление сингулярной компоненты путем решения
интегрального уравнения..........................................27
§3.3. Итерационное склеивание с помощью метода прогонки................28
§3.4. Определение координат точки ветвления............................29
§3.5. Вычисление регулярной компоненты путем решения задачи
Дирихле для уравнения Чаплыгина..................................30
2
§3.6. Условия физической реализуемости решения и вычисление
координат профиля.................................................30
Глава IV. Численные методы реализации алгоритма решения
§4.1. Задание исходных данных............................................33
§4.1.1. Построение двулистной римановой области..........................33
§4.1.2. Точка ветвления двулистной римановой области.....................33
§4.1.3. Разрезы двулистной области на простые листы......................34
§4.1.4. Образ бесконечно удаленной точки.................................35
§4.1.5. Условия на границах двулистной области...........................35
§4.2. Вычисление регулярной компоненты решения задачи Дирихле
для уравнения Чаплыгина в однолистной области.....................37
§4.2.1. Наложение сетки и разностная аппроксимация
дифференциального оператора уравнения Чаплыгина...................37
§4.2.2. Описание итерационного метода....................................39
§4.2.3. Итерационная процедура попарно-перекрестного склеивания
простых листов....................................................39
§4.2.4. Разностная аппроксимация дифференциального оператора
уравнения Чаплыгина в окрестности точки ветвления.................40
§4.2.5. Перенос граничных условий с нулевой линии тока в
близлежащие узлы сетки............................................43
§4.3. Вычисление сингулярностей компонент решения типа
логарифма и полюса................................................45
§4.4. Вычисление решения в плоскости годографа в целом...................48
§4.5. Переход в физическую плоскость и вычисление координат
контура крыла.....................................................49
Глава V. Тестирование и результаты расчетов §5.1. Вычисление контура круга по точному решению для годографа скорости соответствующего случаю обтекания потоком несжимаемой жидкости. Сравнение численного решения с аналитическим............................................................51
3
§5.2. Конструирование докритнческого профиля крыла в случае обтекания потоком сжимаемой жидкости при различных
числах Маха...................................................54
§5.3. Сравнение решения прямой задачи обтекания с решением
обратной задачи профилирования на примере контура крыла
ЫАБА 4412.....................................................55
Заключение..........................................................57
Библиографический список использованной литерату ры.................60
ПРИЛОЖЕНИЯ..........................................................62
Приложение 1
Примеры решения обратной задачи профилирования в случае
обтекания контура потоком несжимаемой жидкости......................63
Приложение 2
Примеры расчета конструирования несущего профиля крыла в случае обтекания его потоком сжимаемой жидкости при различных
числах Маха.........................................................77
Приложение 3
Результаты сравнения решения прямой задачи обтекания и обратной задачи профилирования на примере контура крыла ЫА8А 4412...........104
4
ВВЕДЕНИЕ
Стремление пассажирской авиации к повышению скорости полета ограничивается резким возрастанием сопротивления самолета почти сразу после достижения режима сверхкритнческого обтекания. Из-за возникновения скачков уплотнения потери энергии растут вместе с увеличением протяженности и интенсивности этих скачков. У применяемых в авиации профилей критическое значение числа Маха А/Л.р составляет величину 0,5-0,6. Так как, по-видимому, для него нет точной верхней дозвуковой границы, то для каждой дозвуковой скорости могут быть найдены семейства профилей, реализующие полет в безотрывном докритическом режиме. Для функционала, характеризующего экономическую эффективность крыла, в этом классе существует оптимальный профиль.
Любой такой функционал оценивает не только выгодность увеличения скорости полета, но и различные технологические факторы, зависящие от формы крыла. Например, в "толстом" крыле легче разместить топливные баки, поэтому такое крыло считается более предпочтительным. По-видимому, именно поэтому самолетостроение не пошло по пути повышения скорости полета в докритическом режиме. Действительно, известные примеры докритических профилей подкрепляют интуитивное представление, что при большой дозвуковой скорости полета такие профили могут оказаться слишком тонкими. Однако до тех пор, пока для каждого заданного числа М„ и удельной подъемной силы не найдено наиболее "толстое" докритичсскос крыло, то есть пока не произведена оптимизация в этом классе, это мнение не является вполне убедительным.
В настоящее время большинство пассажирских самолетов летает при А/«, <0,8 в "слабо свсрхкрнтическом" режиме, когда местные сверхзвуковые зоны не слишком велики и, следовательно, потери энергии в скачках уплотнения довольно малы. Однако при дальнейшем увеличении скорости полета потери резко возрастают. Поэтому единственный приемлемый путь
5
увеличения скорости полета вплоть до скорости звука состоит в использовании при высоких крейсерских скоростях полета специально спроектированных докритических профилей. Разумеется, такие профили должны быть наилучшими, то есть доставлять максимум некоторому функционалу эффективности.
Таким образом, стратегия пассажирского самолетостроения целиком зависит от решения следующей проблемы. Ее первый этап, который можно назвать задачей профилирования произвольного докритического несущего контура, состоит в создании эффективного алгоритма, позволяющего вычислять, для каждого заданного значения М„ < 1 координаты таких контуров. Второй этап решения проблемы состоит в отыскании оптимального контура путем оптимизации по функционалу эффективности в наиболее широком классе определяющих условии. Диссертация посвящена решению первого этапа.
6
Глава I
СУЩЕСТВУЮЩИЕ СПОСОБЫ ПРОФИЛИРОВАНИЯ И ОПТИМИЗАЦИИ КОНТУРА КРЫЛА САМОЛЕТА
§1.1. Подбор подходящего контура крыла путем многократного решения прямой залами внешнего обтекании
До настоящего времени наиболее распространенный способ конструирования крыла сводился к перебору различных вариантов решении прямой задачи обтекания профиля. Задача состоит в отыскании поля скорости потока идеального газа вокруг профиля заданной формы при заданной скорости набегающего потока. Этот метод в принципе мог бы быть приемлемым - при условии высокой вычислительной точности решения прямой задачи. Однако существующие методы не удовлетворяют пока этому условию по причине присущих им систематических погрешностей, возникающих из-за не вполне точной вычислительной интерпретации математической задачи.
Проиллюстрируем это утверждение на примере прямой задачи обтекания профиля крыла потоком идеальной несжимаемой жидкости. Как известно, для профиля с острой задней кромкой эта задача имеет единственное решение, подчиняющееся условию Кутта-Жуковского.
Задачу можно решать двумя способами. В первом решение сводится к внешней задаче Дирихле в бесконечной области для функции тока с линейным ростом на бесконечности, определяемым скоростью набегающего потока. При этом подъемная сила профиля определяется (из условия Кутта-Жуковского) коэффициентом при логарифмическом члене - втором члене асимптотического разложения на бесконечности. Однако практические вычисления с неограниченно возрастающей функцией тока в неограниченной области невозможны, поэтому бесконечную область заменяют конечной, на границе которой ставится граничное условие, соответствующее двум неограниченно возрастающим членам асимптотики - линейному и логарифмическому. (Так поступают, например, в (14, 15], решая прямую задачу обтекания профиля
7
крыла сжимаемым 1-азом.) Однако при этом в граничное условие фактически вносится погрешность порядка ^/Я, где Л- хорда профиля, а Я- расстояние от профиля до границы расчетной области. В реальных расчетах, в которых Л/г/« 100, эта погрешность может достигать величины нескольких процентов, что слишком много для задачи конструирования прецизионного профиля.
В другом способе неизвестными являются компоненты комплексной скорости. Как и в предыдущем случае, задача формулируется во внешности профиля, причем комплексная скорость на бесконечности должна обращаться в заданную постоянную. На заданном контуре комплексная скорость подчинена однородному линейному уравнению, выражающему условие непротекания, причем коэффициенты этого уравнения, определяемые наклоном касательной к контуру, претерпевают разрыв первого рода в задней кромке. Эта задача сводится к задаче Гильберта для аналитической функции. Условие Кутта-Жуковского, выражаемое в виде требования отыскания решения в классе ограниченных функций, позволяет найти единственное решение, определив при этом циркуляцию скорости.
Проблемы этого способа, как и предыдущего, заключаются в необходимости проводить вычисления в неограниченной области. Перенос граничного условия для обеих компонент вектора скорости с бесконечности на границу конечной области неприемлем, так как постановка граничного условия на кривой в конечной части плоскости равносильна задаче Коши, имеющей, по теореме Коши-Ковалевской единственное решение - равномерный поток. Поэтому взамен условия на бесконечности, задают так называемые "мягкие" граничные условия. Однако в этом случае возникает вопрос об адекватности вычислительной задачи. Кроме того, как и прежде, из-за погрешности граничного условия в решение вносится неточность порядка с! / Я.
При теоретическом решении прямой задачи обтекания профиля крыла несжимаемой жидкостью применяется конформное отображение внешности
8
- Київ+380960830922