Введение
Контакт является основным способом приложения нагрузок к деформируемым телам, вследствие чего контактные задачи занимают центральное место в механике деформируемого твердого тела. Изучение проблем контактного взаимодействия является важной задачей, от решения которой во многом зависят успехи машиностроения, строительства, сейсмологии и других областей человеческой деятельности. Взаимодействиями контактирующих поверхностей определяются процессы разрушения в машиностроении, причем величина контактных давлений является основным фактором, влияющим на прочность и долговечность конструкций. Следовательно, для создания работоспособных конструкций необходимо знать распределение контактных давлений.
Во второй половине XX века были созданы и стали применяться в различных областях новые материалы - полимеры, обладающие свойством вязкоупругости. Вообще говоря, к вязкоупругим ( или наследственно-упругим) относят материалы, состояние которых зависит как от приложенных в данный момент внешних воздействий, так и от воздействий в предшествующие моменты времени. Наиболее характерные представители этих материалов - полиамидные пластики, эластомеры, а также полипропилен.
Полиамидные пластики (или полиамиды) - конструкционные материалы, которые, по сравнению с полимерами общего назначения, характеризуются повышенной прочностью и термостойкостью и применяются при создании изделий, требующих долговечности, износостойкости, пониженной горючести и способных выдерживать циклические нагрузки. В машиностроении полиамиды применяются для изготовления зубчатых колес, втулок-прокладок, корпусных деталей пневматических инструментов; в текстильной промышленности из полиамидов изготовливают синтетические волокна.
Эластомеры широко используются в промышленности. Наиболее характерные представители — полиуретаны, резины и каучуки. Из этих материалов изготавливают шины, уплотнительные детали, различные валики.
Полипропилен широко используется в промышленности для изготовления труб для горячего и холодного водоснабжения, емкостей, тары, а также игрушек.
Изложенные обстоятельства свидетельствуют о важности разработки и использования методов решения задач теории вязкоупругости.
В математическом плане контактные задачи вязкоупругости относятся к классу задач механики сплошных сред со смешанными граничными условиями и сводятся, как правило, к решению интегральных уравнений с сингулярным ядром. При решении контактных задач вязкоупругости часто используется модель стандартного вязкоупругого тела (модель Кельвина), так как она дает достаточно неплохое качественное описание поведения материала, а также позволяет в ряде случаев получить аналитические решения.
Контактные задачи вязкоупругости условно можно разделить па два типа.
К первому типу относятся задачи о вдавливании жесткого тела - штампа в вязкоупругое. К указанному можно отнести работы [13], [18), [20]. В , этом случае искомое контактное давление под штампом зависит как от времени, так и от координат. В данных задачах, когда область контакта не изменяется во времени, решение может быть получено с помощью принципа Вольтерра [21], [22], [11], [12], а при ядрах, зависящих от разности аргументов, - с помощью принципа соответствия [21], [22). Решение задачи сводится к расшифровке операторов или к отысканию оригиналов по известному отображению. В случае, когда область контакта неизвестна и меняется во времени, принцип Вольтерра и принцип соответствия неприменимы. Способ решения существенно зависит от того, возрастает или уменьшается область контакта |23|. При уменьшающейся области контакта задача сводится к последовательному решению двух интегральных уравнений, а в случае увеличивающейся области - к перестановке пределов интегрирования, а затем к последовательному решению двух интегральных уравнений. Указанные задачи могут найти применение, например, при расчете фундаментов, опор, когда грунт имеет вязкоупругие свойства.
Ко второму типу задач, который рассматривается ниже, а также в главах I, II, III, относятся задачи о стационарном движении штампа по границе вязкоупругого тела. Указанным задачам посвящено достаточно большое количество работ. Зачастую в подобных задачах получить.замкну-тых решений не удается, качественный анализ численных решений весьма затруднителен.
Одним из первых советских авторов, который рассмотрел вышеуказанную задачу в конце 30-х, начале 40-х годов прошлого века, был А. Ю. И Явлинский [15),[16]. Задача состояла в определении силы трения при качении цилиндра но вязкоупругому основанию и решалась в предположении существования па линии кон такта одного участка сцепления и одного участка скольжения. Деформируемое основание заменялось системой раздельных стержней, которые могли отклоняться в сторону и укорачивающихся пропорционально усилиям, действующим по касательной и соответственно по нормали к торну. Определены асимптотические представления этой силы для больших и малых скоростей. Из этих зависимостей видно, что при увеличении скорости сила трения стремится к нулю.
В последующих работах рассматривалось качение вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала.
В работе Г.А. Бойченко [5] рассматривалась задача о сопротивлении перекатыванию в предположении медленного равномерного качения цилиндра весьма большого радиуса по границе полупространства. Считалось, что материалы катка и полупространства обладают наследственной упругостью, участок контакта состоит из зоны сцепления и зоны скольжения. На основании принципа Вольтерра задача свелась к соответствующей плоской задаче теории упругости, сингулярные интегральные уравнения решены, в конечной форме, после чего с помощью реализации операторов наследственной упругости получено решение задачи.
В одной из работ Р.Я. Ивановой [14) была рассмотрена задача о качении вязкоупругого цилиндра по основанию из того же материала. Задача решалась в плоской постановке; материал считался линейно-вязкоупругим, объемное последействие отсутствовало. Процесс считался стационарным. При решении использовались принцип Вольтерра и метод Мусхсшвилли [19]. Полученные при этом два сингулярных уравнения содержали реологический оператор, который выражался через резольвенту ядра наследственности при сдвиге. Одно из этих интегральных уравнений удалось свести к виду, позволяющему решить его методом Карлемана. Решение было выписано в квадратурах, вычислялись они приближенно применительно к материалам, обладающим достаточно большим временем релаксации.
Подобная задача была рассмотрена И.Г. Горячевой в работе [9). Предполагалось, что вся площадка контакта состоит из 2-х участков: участка сцепления и участка скольжения соприкасающихся поверхностей. Задача решалась с помощью 2-х функций комплексных переменных; в итоге были найдены уравнения для определения длины площадки контакта и участка
3
сцепления, а также выражения для напряжений на площадке контакта.
Ю.Н. Работнов в книгах [21], [22] привел метод реиюни я задачи о движении нагрузки с постоянной скоростью гю границе вязкоупругого тела достаточно большой протяженности. Инерционные члены в уравнениях равновесия были опущены, так как скорость движения нагрузки существенно меньше скорости распространения упругих волн в вязкоупругой среде. В качестве примера была рассмотрена задача о движении без трения кругового штампа по границе вязкоупругой полуплоскости. Строилось решение задачи теории упругости, затем упругие постоянные заменялись соответствующими операторами. Результаты показали, что эпюра распределения контактного давления имеет тот же вид, что и в упругом случае, но смещена в сторону движения.
Движением жесткого штампа по вязкоупругому телу занимались и зарубежные специалисты.
В работе Ли [28] были рассмотрены случаи действия сосредоточенной неподвижной и подвижной сил па вязкоупругое полупространство, поведение которого при сдвиге описывается моделью Максвелла, а при всестороннем сжатии - идеально упругим телом. При решении использовался метод преобразования Лапласа.
В работе Хантера [27] решена двумерная контактная задача о качении жесткого цилиндра с постоянной скоростью по вязкоупругому полупространству. При исследовании инерционные члены опускались. На первом этапе получено сингулярное интегральное уравнение, отражающее зависимость нормального смещения границы полупространства от давления под штампом. Решение осуществлялось с помощью эквивалентного преобразования в уравнение с логарифмическим ядром относительно дифференциального оператора давления (аналог формулы Бусспнеска для вязкоупругой задачи). Замкнутое решение получено для материала с одной функцией ползучести и одним временем ретордации. Однако при обобщении результатов этого исследования и распространения Fia более общий случай вязкоупругого тела, использованный метод приводит к расходящимся интегралам.
В работе Морленда [29] в рамках плоского напряженного состояния рассмотрена задача о качении с постоянной скоростью жесткого цилиндра по однородному изотропному вязкоупругому полупространству. Скорость качения полагалась малой по сравнению со скоростью звука в материале и инерционные члены нс учитывались, силы трения в области контакта отсутствовали. Длина области контакта считалась малой но сравнению с
4
диаметром цилиндра. Математически задача свелась к решению двух пар двойных интегральных уравнений относительно некоторых вспомогательных функций с ядрами, содержащими синус и косинус. Решались полученные уравнения с помощью рядов Бесселя и тригонометрических рядов. Расчеты дают картину несимметричного распределения контактного давления, являющегося следствием влияния фактора времени.
В отношении решения динамических задач о движении штампа по вязкоупругому телу необходимо сказать, что эти задачи возникают при скоростях движения штампа, близких к скорости звука в вязкоупругой среде, которая обычно невелика. Основной целыо решения этих задач является установление степени влияния динамических и вязкоупругих эффектов. Подобные исследования приведены в работах [7], [8).
Задачи о движении жесткого тела во вязкоупругому могут найти применение при расчете на прочность и износ шин, а также аэродромных покрытий.
В большинстве перечисленных работ вязкоупругое тело является полупространством, а форма штампа не зависит от координаты, перпендикулярной движению. Это позволило решить задачу аналитически и учесть силы трения и деформацию штампа, динамические эффекты, а также произвести некоторый качественный анализ полученного решения. Важно1 отметить, что зависимость контактного давления под штампом от формы вязкоупругого тела изучена недостаточно, хотя и имеются некоторые исследования, например [26].
В предсталенной работе будет рассмотрено равномерное движение абсо лютно твердых тел - штампа, бандажа, вкладша с гладкой, а также волнистой подошвой по границам вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической полостью соответственно. Предполагается, что скорость движения существенно меньше скорости звука в среде, трение в области контакта отсутствует.
Согласно [2) решение контактной задачи начинается с решения вспомогательной задачи, - т.е. с нахождения зависимости перемещения границы вязкоупругого тела от приложенных к ней нагрузок. Эта задача решается аналитически е использованием интеграла Фурье [24],[25] и тригонометрических рядов. На следующем этапе осуществляется преобразование полученной зависимости в интегральное уравнение с помощью стандартного математического аппарата. На последнем этапе интегральное уравнение решается численно-аналитическим методом Мультоппа-Каландии и ого модификацией |4], [17]. Модификация метода Мультоппа-Каландии была
5
разработана В.М. Александровым.
Вывод точной зависимости перемещения границы вязкоупругого тела от приложенных к ней нагрузок возможен лишь в системах координат, где возможно разделение переменных, или возможно применить преобразование Фурье. Поэтому и будут рассмотрены тела простейшей формы -полупространство, слой, цилиндр, пространство с цилиндрической полостью. Вывод интегрального уравнения не составляет существенных сложностей, однако решение полученных интегральных уравнений аналитически в замкнутом виде невозможно. Автор применял приближенные численноаналитические методы [б] с тем, чтобы по возможности соблюсти структуру решения полученных уравнений.
После решения вспомогательной задачи можно легко получить напряженно-деформированное состояние тела - т.е. решить краевую задачу теории вязкоупругости с найденным контактным давлением, а затем произвести расчет на прочность. Некоторая неточность полученного контактного давления несущественна, так как перемещение границы рассматриваемого тела в гой части границы, где находится штамп, будет приближенно совпадать с его формой; форма реального штампа всегда имеет какие-то отклонения от заданной'. Однако расчет на прочность не входит в рамки данной работы.
Целью диссертации является установление влияния формы и скорости движения жестких тел и формы вязкоупругих тел на распределение давления в зоне контакта па примере постановки и решения контактных задач о движении жестких штампа, бандажа, вкладыша с гладкой п волнистой подошвой по границам вязкоупругих полупространства, слоя, цилиндра и пространства с цилиндрической! полостью соответственно.
Общие задачи исследования в целом следующие:
- вывести интегральные уравнения относительно контактного давления;
- решить.их численно-аналитически и построить графики распределения контактного давления;
- провести качественный анализ полученных распределений контактных давлений для рассматриваемых форм штампов, бандажей, вкладышей и вязкоупругих тел.
В первой главе приведено решение задачи о распределении контактного давления под штампом, движущимся по границе вязкоупругого полупрост-
с
ранства. Вначале решается вспомогательная задача о движении по границе полупространства нагрузки, отличной от нуля в области ^ , аналогично [1|.
6
- Київ+380960830922