Волновые режимы в стекающих слоях вязкой жидкости и их влияние на процессы переноса

2
Оглавление
ВВЕДЕНИЕ........................................................ 4
1. ВОЛНОВАЯ ГИДРОМЕХАНИКА И МАССООБМЕН
В СЛОЯХ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ..................................... 26
1.1. Основные режимы течения — обзор экспериментов.......... 26
1.2. Уравнения теории нелинейных волн — иерархия моделей . . 38
1.3. Массообмен в волновых слоях............................ 46
1.4. Обзор теоретических результатов предыдущих работ .... 55
1.5. Цели настоящей работы.................................. 69
2. ПРОСТРАНСТВЕННАЯ ЭВОЛЮЦИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ И ДИНАМИКА НЕЛИНЕЙНЫХ ВОЛН ПРИ МАЛЫХ
II УМЕРЕННЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА.............................. 79
2.1. Первичная и вторичная неустойчивости. Семейства
двумерных волн ......................................... 79
2.2. Спектр двумерного солитоиа и его динамика.............. 93
2.3. Пространственное развитие возмущений вниз по потоку . . 114
2.4. Исследование солитонных структур в области развитого волнового поведения......................................130
3. РЕЖИМ ПОВЕРХНОСТНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ ... 147
3.1. Неустойчивость двумерных солитонов к поперечным
возмущениям.............................................147
3.2. Л-соли гоны............................................164
3.3. Эксперименты — сравнение с теорией.................... 191
3
4. РЕЖИМ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ ВОЛН..................................217
4.1. Первичная неустойчивость при турбулентном режиме течения217
4.2. Резонансное влияние топографии дна на волновые режимы 234
4.3. Устойчивость нелинейных катящихся волн................239
4.4. Численное моделирование развития катящихся волн
из мал!,IX естественных возмущений.....................255
4.5. Когерентные волновые структуры и самоподобие..........259
5. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЛИЯНИЯ ВОЛНОВЫХ РЕЖИМОВ НА МАССООБМЕН......................................270
5.1. Механизмы массообмена и их анализ.....................270
5.2. Зависимость массообмена от параметров и формы волны . 279
5.3. Массообмен при реальных волновых режимах. Естественное волнообразование...........................................286
5.4. Вынужденные волны. Оптимальные режимы массообмена . 294 5.5 Критериальная зависимость в задаче массообмена......311
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК.....
318
324
4
ВВЕДЕНИЕ
Исследование течений слоев вязкой жидкости с поверхностью раздела является одним из классических направлений гидродинамики. Основу его развития в своих фундаментальных работах заложили П. Л. Капица [50,51] и В. Я. Шкадов [87,89,91,92]. Успеху многих последующих исследований способствовал факт удачного упрощения исходной сложной полной постановки п замены ее упрощенной, но сохраняющей все количественные свойства исходной — системой Капицы — Шкадова.
Фундаментальные исследования данной проблемы проведены П. Л. Капицей, В. Я. Шкодовым, С. В. Алексеенко, Е. А. Демехиным, В. Г. Левичем, В. Е. Накоряковым, А. А. Непомнящим, Б. Г. Поку-саевым, В. В. Пухначевым, Ю. Я. Трифоновым, О. Ю. Цвел оду б ом. Обзор экспериментальных и теоретических работ можно найти в монографиях [1,127]. Интенсивное изучение этой проблемы стимулировалось ее широким применением в технике и технологиях. Обзор приложений приведен в [6,7,13,53,79,80,105,157]. Важность проблемы обусловлена использованием пленок жидкости для осуществления технологических процессов, связанных с тепломассообменом между фазами. Известно применение пленок в таких массообменных аппаратах, как абсорберы, ректификационные колонны, кристаллизаторы, электролизеры. В холодильной технике пленочные теплообменники используются в качестве конденсаторов хладагентов. При движении двухфазных парожидкостных смесей в трубках паровых котлов пленки являются составной частью теплопередачи. В химических технологиях и пищевой промышленности водяные пленки служат для охлаждения серной кислоты, молочных продуктов, рассола при получении соды. Пленки жидкости используются
5
в биореакторах для осуществления биохимических реакций; абсорберы с насадкой (скрубберы) с орошаемыми стоиками — для получения водных растворов газа (например, абсорбция паров 1101 водой), разделения газовых смесей (абсорбция бензола в коксохимическом производстве), очистки газов от вредных примесей, улавливания одного из компонентов газовой смеси.
Пленки жидкости при наличии эффекта Марангони являются основой многих технологических процессов, например, выращивания кристаллов. микронасосов в невесомости, бессеребряиой фотографии и др.
Сложность теоретического исследования заключается в том, что поверхность слоя оказывается покрыта сложной системой волн, которая меняется в зависимости от чисел Рейнольдса и Капицы, угла наклона, типа возмущений на входе. Задача течения вязкого слоя относится к “простейшему” открытому течению типа течения Блазиуса или Пуазейля. Такие течения имеют ряд сложностей по сравнению' с замкнутыми течениями. В частности, вниз по потоку, по мере развития возмущений, происходит каскад неустойчивостей, соответствующих бифуркаций и переходов. При малых и умеренных числах Рейнольдса эволюция заканчивается режимами двумерных волн, периодическими или солптонного типа. Динамика со-литонов приводит к пространственно-временному хаосу. При увеличении числа Рейнольдса система неустойчивостей и переходов изменяется, двумерные режимы теряют устойчивость и сменяются трехмерным волновым режимом. В основе этого режима лежат трехмерные когерентные нелинейные локализованные структуры, А-солптоны. Хаотическое взаимодействие этих детерминированных структур приводит к режиму поверхностной турбулентности.
При дальнейшем увеличении числа Рейнольдса вклад сил поверхностного натяжения становится малым и режим капиллярных Л-солитонов исчезает, сменяясь режимом квазндвумерных катящихся волн (бора). Эти волны существуют на всей ширине канала и распространяются вниз по те-
!
6
чению. Этот тип волн не зависит от поверхностного натяжения и существует как для турбулентного, так и для ламинарного режима течения пленки. На фронте волны возникает вихрь водовоздушной смеси. Этот вихрь предохраняет волну от опрокидывания и делает возможным существование бегущих стационарных волн с длинным хвостом и коротким фронтом с вихрем на нем. Такая волна распространяется вниз по потоку с постоянной скоростью. Для некоторых режимов область вихря может визуально проявляться в виде белой пены на фронте.
В настоящее время еще многие вопросы, связанные с процессами переноса в тонких слоях, остаются открытыми. В первую очередь это касается влияния волн на массообмен. Как следует из экспериментальных работ [1,6,7,153,161], волновые режимы могут увеличивать массообмен до нескольких раз.
В настоящее время не существует теорий, в полной мере описывающих массообмен. Большинство теоретических работ основывается на упрощенных уравнениях, не позволяющих описать все режимы массообмена. Кроме того, до сих пор до конца не исследованы механизмы интенсификации массообмена волнами.
Разработанная система программ и алгоритмов расчета волновой гидродинамики была применена к задачам массообмена в пленке жидкости с учетом реальных волновых режимов на поверхности пленки. Исследование массообмена в пленочных течениях позволило найти наиболее эффективные режимы течений. Предлагаемый подход делает возможным не только осуществление качественного анализа механизмов рассматриваемого явления, но и получение численных значений коэффициента массообмена для широкого спектра волновых режимов и параметров жидкости, что позволит определять величину массообмена без проведения дорогостоящих опытов.
Исследование потребовало не только разработки новых численных методов решения, но и применения непростого математического аппарат
\
7
та, понятий непрерывного и дискретного спектров, резонансных полюсов И т. д.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы.
Первая глава, “Волновая гидромеханика и массообмен в слоях вязкой жидкости”, посвящена теоретическому и экспериментальному представлению проблемы.
В п. 1.1 приведен обзор экспериментальных работ с описанием и анализом основных волновых режимов в вертикально стекающем по твердой поверхности слое вязкой жидкости. С увеличением числа Рейнольдса последовательно возникают пять режимов: 1) безволновое течение; 2) режим двумерных капиллярных волн, периодических или уединенных; 3) режим взаимодействующих трехмерных капиллярных солитонов (режим поверхностной турбулентности); 4) режим квазидвумерных катящихся волн при ламинарном течении в слое; 5) режим квазидвумерных катящихся волн при турбулентном течении в слое жидкости. Обсуждаются основные характеристики режимов. Рассмотрен аналитический обзор экспериментальных работ, связанных с массообменом на свободно стекающих слоях жидкости. Особое внимание уделено работам, в которых представлено влияние на массообмен волнового режима на поверхности слоя. Представлены критериальные зависимости коэффициента интенсификации массообмена, полученные различными авторами, и указаны их недостатки.
В п. 1.2 приведена постановка задачи течения тонкого слоя вязкой жидкости по вертикальной поверхности под действием силы тяжести. Рассмотрена иерархия моделей, пригодных для исследования задачи, от полной постановки в рамках системы Иавье — Стокса до модельного слабоне-линейпого уравнения Курамото — Сивашинского. Обсуждается применимость каждой модели. Для дальнейшего исследования выбирается система Капицы — Шкадова, при получении которой рассмотрены следующие предположения: исследуемые волны — длинные; профиль скорости в слое
г
8
— полупараболический. Правомерность используемых предположений подтверждается результатами натурных экспериментов в определенном диапазоне чисел Рейнольда.
В п. 1.3 представлены различные постановки задачи массообмена в волновых пленках жидкости, выявлены основные параметры, определяющие интенсификацию массообмена. Рассмотрена универсальная модель при больших числах Пекле и тонких диффузионных слоях и рамки ее применимости. Показана необходимость использования полного уравнения переноса в случае конечности диффузионного слоя п числа Шмидта, а также большинства поверхностных волновых режимов.
В п. 1.4 приведен аналитический обзор теоретических результатов наиболее значимых работ, связанных с гидродинамикой тонких слоев жидкости и исследованием массообмена в них. Рассмотрены работы Дресслера, Уизема и др., связанные с исследованием гидравлических волн для турбулентного слоя жидкости.
В п. 1.5 представлены цели работы, определена ее новизна, приведены выносимые на защиту положения.
Во второй главе, “Пространственная эволюция возмущений и динамика нелинейных волн при малых и умеренных числах Рейнольдса”, представлено численное решение задачи развития малых возмущений по пространству в двумерной постановке. Исследован спектр двумерных солитоиов, дающий ответ на вопрос об их устойчивости и позволяющий рассчитать показатели динамики возбужденных солитонов. Представлены результаты моделирования взаимодействия солитонов в области развитого волнового поведения.
В п. 2.1 уделяется внимание результатам предыдущих работ, которые требуются для замкнутости исследования волновых режимов. С точки зрения теории устойчивости объяснено существование в реальных экспериментах тех или иных типов периодических волн.
На входе в рабочий участок предполагается наличие спектра внешних случайных возмущений в виде белого шума. Неустойчивость определяет первичную динамику этих возмущений плоскопараллельного потока вниз по потоку и приводит к выделению из всего спектра случайных возмущений полосы частот в окрестности частоты максимального роста (что для воды соответствует длине волны 1 см). В результате развития первичной неустойчивости происходит нелинейное насыщение волны и она переходит в стационарную бегущую волну конечной амплитуды, которая принадлежит к так называемому первому семейству нелинейных медленных (скорость волны меньше нейтральной) периодических волн. Такого рода бифуркация впервые была получена В. Я. Шкадовым. При стремлении волнового числа к нулю волна этого семейства переходит в отрицательный солитон. Полностью исследованы (В. Я. Шкадов, Е. А. Демехин, А. В. Бунов) семейства быстрых волн (скорость волны больше нейтральной), которые ответвляются от семейства медленных волн через бифуркацию удвоения периода. Эти решения важны с той точки зрения, что они реализуются в экспериментах после потери устойчивости первым семейством, т. с. вторичной неустойчивости. При стремлении волнового числа к нулю волны второго семейства переходят в солитоны с характерным профилем — капиллярная рябь перед передним фронтом волны и монотонно затухающий задний фронт. В указанных работах получены результаты исследования на устойчивость периодических волн первого и второго семейств, а также анализ типов неустойчивостей, полученных из теоремы Флокс (неустойчивость к возмущениям собственного периода, субгармоническая неустойчивость, неустойчивость к возмущениям в виде боковых полос).
В п. 2.2 поставлена и решена задача исследования возмущений двумерного солитонпого решения системы Капицы — Шкадова. Для возмущений солитонного решения поставлена задача на собственные значения. Поскольку область определения решения является неограниченной, решение задачи ищется в виде л и не й но ('1 комбинации функций дискретного (прииад-
10
лежат Ь2) и непрерывного (представляемого в виде “обобщенного интеграла Фурье") спектра. Дискретный спектр и соответствующие ему функции были найдены численно. Показано, что неустойчивых мод в спектре возмущений двумерного солитона нет. Отношение абсолютного значения собственной функции непрерывного спектра на плюс и минус бесконечности показывает, насколько амплитуда линейного волнового пакета подавляется проходящим по нему солитоном. Получено подавление амплитуды в сотни раз, что объясняет наличие плоских участков между солитонами в области развитого течения. Представлено исследование непрерывного спектра, который, как оказывается, определяет динамику амплитуды возмущенного солитона, а также позволяет ответить на вопрос о его конвективной устойчивости. В случае модели Капицы — Шкадова Е. А. Демсхипым получено, что при значении модифицированного числа Рейнольдса 6 < 0.022 двумерный солитон конвективно неустойчив, т. е. он разрушается взаимодействующим с ним линейным волновым пакетом, что подтверждается результатами экспериментов.
В п. 2.3 рассмотрены постановки краевых условий системы Капицы — Шкадова в случае естественного и вынужденного волнообразования. Приведено описание численного алгоритма решения системы Капицы — Шкадова. Указаны особенности его построения и настройки. Проведен сравнительный анализ результатов расчетов с решениями, полученными алгоритмами, использующими быстрое преобразование Фурье. Получено хорошее совпадение при сравнении периодических решений, по построенный алгоритм настроен именно на расчеты развития возмущений по пространству. Проведено сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными, показано удовлетворительное совпадение. Представлен анализ всех этапов развития волн по пространству в случае естественного и вынужденного волнообразования. Проведена статистическая обработка результатов численного моделирования для достаточно большой длипы канала (для воды — 2,5 м) Функции плотности распределения по скоростям
11
и длинам волн представлены в различных точках по пространству. Дисперсия скоростей волн уменьшается вниз по потоку, и ее можно считать нормально распределенной случайной величиной. Распределение волн по длинам имеет тенденцию стремления к равномерному, что соответствует слабому взаимодействию между структурами в области развитого течения. Из этого предположения сделан вывод, что в области развитого волнового поведения волны будут близки к стационарным бегущим, но со случайным расстоянием между ними. Проведя пересчет структур в области развитого течения на единичный подслой, можно увидеть, что развитие по пространству является движением в пространстве состояний солито-нов, находящихся на единичном подслое, определяемом скоростью волны и модифицированным числом Рейнольдса. Таким образом, можно выделить среднюю но времени структуру в любой точке пространства. Точка в пространстве состояний, к которой будет притягиваться решение, будет инвариантной в пределах заданного типа возмущений на входе.
П. 2.4 посвящен исследованию двумерных солптонов в области развитых волн, что позволяет замкнуть картину развития естественных возмущений на поверхности слоя. На достаточном удалении от подающего жидкость устройства (например, 150 см для воды и числе Рейнольдса 30) наблюдаются следующие классы волн:
1) нелинейные поверхностные волны (солитоны) с характерным профилем — пологим задним фронтом и капиллярной рябыо на переднем фронте, среди них существуют как квазистационарные структуры, так и нестационарные — возбужденные в результате взаимодействия с себе подобными;
2) линейные волны малой амплитуды, собранные в волновые пакеты и возникающие при взаимодействии нелинейных высокоамплитудных волн солитонного типа.
Можно выделить два вида взаимодействия нелинейных структур: слабое взаимодействие — не приводит к изменению участвующих в нем
12
количества волн; второй вид взаимодействия приводит к слиянию нелинейных воли с образованием одного возбужденного солитона, стремящегося к стационарному состоянию.
Приведены результаты численного моделирование парного взаимодействия солитонов. В зависимости от первоначального расстояния между уединенными структурами при фиксированной степени возбуждения реализовывался один из видов взаимодействия. В качестве пограничного состояния получена неустойчивая волновая структура — двугорбый солитон. Исследование взаимодействия сведено к анализу динамики только одного возбужденного солитона. В результате численного моделирования получены экспоненциальные зависимости параметров волны от времени. Зависимости между амплитудой волны и ее скоростью, а также между амплитудой волны и ее координатой — линейные. Подтверждено предположение, состоящее в том, что возбужденный солитон является квазиравновесиой структурой. Таким образом, процесс эволюции к стационарному состоянию возбужденной волны представляет собой движение в пространстве состояний.
Предложена модель динамики возбужденного солитона, основанная на балансе расхода на переднем и заднем фронте волны.
Проведены численные эксперименты взаимодействия солитона с малыми возмущениями плоского участка. Подтверждены результаты исследования непрерывного спектра, проведенного в п. 2.2. Амплитуды гармоник возмущения подавляются от десятков до сотен раз, в результате в области развитого волнового поведения между солитонами наблюдаются практически плоские участки. Полученный результат также оправдывает применение мягких граничных условий в конце рабочего участка. Таким образом, возникновение нового солитона из-за неустойчивости плоскопа-раллельного участка между солитонами при расстоянии между ними меньше критического невозможно, и, как результат, в области развитого течения наблюдается решетка квазнстационарных, слабо взаимодействующих структур.
13
Гл. 3, “Режим поверхностной турбулентности”, посвящена анализу трехмерных поверхностных волновых режимов. Основой построенной теории являются результаты численных экспериментов, проведенных для системы Капицы — Шкадова в трехмерной постановке.
В п. 3.1 приведено исследование линейной*устойчивости двумерных солитонов к трехмерным возмущениям. Анализ дискретного и непрерывного спектров показал неустойчивость двумерных солитонов к длинноволновым возмущениям. Физическим механизмом неустойчивости является неустойчивость Рэлея, которая формируется за счет капиллярных сил. Найдено волновое число поперечных возмущений, соответствующее коэффициенту максимальному роста, в зависимости от числа Рейнольдса. При увеличении числа Рейнольдса волновое число максимального рост и соответствующий ему коэффициент увеличиваются, выходя на постоянные значения уже при числе Рейнольдса б (для воды). Получены оценки размерных длин волн максимального роста, которые с увеличением числа Рейнольдса также выходят на постоянные значения. Рассчитаны характерные размерные длины трехмерного перехода. Показана их слабая зависимость от числа Рейнольдса. Для воды уже при 11с = б она составляет 10 - 15 см и далее практически не изменяется.
Численные и натурные эксперименты показывают, что, несмотря на линейную неустойчивость двумерных солитонов к трехмерным возмущениям, формирование трехмерных структур происходит не всегда.. Волны фактически остаются двумерными вплоть до значения модифицированного числа Рейнольдса 6 = 0,048 (что соответствует для воды числу Рейнольдса, равному 5,5), имея небольшую устойчивую модуляцию по поперечной координате. 'Г. е. нелинейность стабилизирует процесс насыщения и эволюция возмущения не приводит к разрушению двумерной волны. Скорость, амплитуда и профили сечений волны количественно и качественно схожи с аналогичными параметрами для двумерных солитонов. При 6 > 0,048 наблюдается другая картина как результат развития возмущений: двумерная
14
волна разрушается и формируются трехмерные подковообразные структуры.
Проведены численные эксперименты по моделированию неустойчивости, вызванной взаимодействием фронтов близкоотстоящих двумерных периодических волн второго семейства. В этом случае неустойчивость имеет отличную от неустойчивости Рэлея двумерную природу (неустойчивость огибающей) и теоретически описана А. А. Непомнящим с использованием теории Флоке. Физически она является комбинацией субгармонической неустойчивости, развивающейся в направлении отекания слоя, с компонентами фазовой модуляции поперек потока.
В экспериментах Д. Голлуба с малыми углами поверхности стекания к горизонту двумерные солитоны устойчивы к трехмерным-возмущениям. На основе модельного уравнения, выведенного А. А. Непомнящим, проведена оценка влияния угла наклона поверхности стекания на развитие трехмерной неустойчивости. В результате показана дестабилизирующая роль капиллярной составляющей поверхностных сил, в то время как сила тяжести стабилизирует двумерные волны. Таким образом, при фиксированном числе Рейнольдса уменьшение угла наклона поверхности стекания приводит к ослаблению неустойчивости и, в конечном итоге, при достаточно малом его значении двумерные волны становятся устойчивыми.
П. 3.2 посвящен трехмерным солитонам, методам их построения и анализу устойчивости. В интервале чисел Рейнольдса 40 - 400 эволюция естественных возмущений приводит к стадии, когда поверхность слоя покрыта локализованными трехмерными когерентными структурами. Эти структуры являются устойчивыми и взаимодействуют друг с другом как квазичастицы, причем расположение их по отношению друг к другу не является детерминированным. Такое поверхностное поведение в дальнейшем будем называть поверхностной турбулентностью. Вид сверху такой локализованной структуры при увеличении числа Рейнольдса будет напоминать греческую букву А, поэтому в дальнейшем трехмерные солитоны будем
15
называть Л-структурами или Л-солитонами. В качестве модели динамики волн будем рассматривать модель Капицы — Шкадова.
Приведены контуры главного хребта солитонов и осевые сечения для различных чисел Рейнольдса. Наблюдается стремление подковообразной волны к А-солитону при увеличении числа Рейнольдса. При этом фронт волны заостряется и при 8 = 0,51 (это соответствует для воды Яе = 38) становится бесконечно острым. При 8 > 0,51 решения в виде Л-структур не существует, что определяет верхнюю по числу Рейнольдса границу существования Л-солитонов. Получены зависимости параметров стационарных трехмерных солитонов от числа Рейнольдса: амплитуда и скорость стационарных трехмерных структур гораздо меньше амплитуды и скорости двумерных солитонов, но, аналогично последним, стремятся к постоянным величинам с увеличением числа Рейнольдса; объем жидкости под волной растет линейно как для двумерных, так и для трехмерных структур, что говорит об их удлинении и расширении. Проведено сравнение результатов с аналогичными, полученными в предельных моделях, в частности, с результатами О. Ю. Цвелодуба и В. И. Петвиашвили, получившими подковообразный СОЛ ИТОН для модели Непомнящего в трехмерной постановке. Сравнение с данными натурных экспериментов, проведенных в ИТФ СО РАН, показали количественное и качественное соответствие не только параметров трехмерных стационарных структур, но и формы волн.
Результаты исследования на устойчивость показали устойчивость трехмерных структур к возмущениям дискретного спектра для всех чисел Рейнольдса вплоть до границы существования Л-структур. Исследование на устойчивость относительно возмущений непрерывного спектра позво лило найти нижнюю границу существования трехмерных Л-структур — 8 = 0,055 (для воды Яе = 6,1). При меньших числах Рейнольдса соли-тон будет разрушаться расширяющимся волновым пакетом. При ббльших числах Рейнольдса волновой пакет будет расти, подверженный первичной неустойчивости, отставая от солитона.
16
В п. 3.3 описана созданная автором экспериментальная установка и особенности ее настройки для воссоздания конкретных волновых режимов. В качестве рабочей жидкости была выбрана вода при нормальных условиях.
Несмотря на проводимый, в основном, визуальный контроль результатов экспериментов, получены результаты, подтверждающие числа Рейнольдса, при которых возникает двумерно-трехмерный переход ({Яе) ~ 40 - 60). Ряд экспериментов посвящен проверке параметров искусственного распада двумерных и формирования трехмерных волн. В потоке располагались иглы, расстояние между которыми изменялось, а в результате контролировался двумерно-трехмерный переход. Результаты по длине распада двумерных волн для числа Рейнольдса 10 находятся в хорошем соответствии с построенной ранее теорией.
Взаимодействие теории, численного моделирования и экспериментальных исследований позволило создать устройство для генерации локализованных трехмерных структур, не требующее большой длины канала для их получения (как этапа разрушения двумерных солитонов). Разработанная методика позволяет полностью контролировать число Рейнольдса, определяемое по подслою, в отличие от методик естественного волнообра-зования.
Параметры течения и возмущений подбирались таким образом, чтобы в рабочей части канала не наблюдались волны. При числах Рейнольдса от 5 до 20 волны либо не наблюдались, либо были малы и не разрушали процесс образования трехмерной структуры, а также сам А-солитон. Для создания локализованной трехмерной структуры была применена идея “дождевой капли”.
В качестве устройства для расположения капли на. поверхности потока использовалась специальная пипетта с дозатором объема формируемой капли. Таблица соответствия числа Рейнольдса и теоретического объема капли приведена в тексте диссертации. Изменение положения пипетты
17
позволило расположить каплю на поверхности слоя таким образом, чтобы последняя вовлекалась в движение при касании поверхности движущегося слоя, не формируя сухих пятен, волнового пакета или не одного, а нескольких локализованных образований. Масса располагаемой капли выбиралась в 1,2 - 1.5 раза больше, чем рассчитанная теоретически, что позволяло стационарной трехмерной структуре установиться на длине порядка 10 см. такое значение коэффициента для массы капли было подобрано экспериментально. В экспериментах контролировались только образы воли, полученные фотосъемкой, и скорости движения полученных квазистациоиар-ных структур. Сравнительный анализ результатов натурных экспериментов и выводов теории дает право говорить о применимости модели Капицы — Шкадова для исследования трехмерных волновых режимов на поверхности слоя, как нестационарных, так и в виде локализованных стационарных бегущих с постоянной скоростью А-структур. Заканчивают данный пункт результаты расчетов, моделирующие образование трехмерного солитона из капли соответствующей массы, а также взаимодействие А-структур с возмущениями плоскопараллельного потока. Показано, что, как и в случае двумерных солитонов, трехмерные локализованные структуры “выглаживают” возмущения, формируя безволновой подслой.
В гл. 4, “Режим гидравлических волн”, рассмотрен волновой режим, имеющий физически иную природу волнообразования, чем рассмотренный в предыдущих разделах. Соответствующий интервал чисел Рейнольдса захватывает не только ламинарный, но и турбулентный режимы течения внутри слоя. В этой области параметров массовые силы намного превосходят капиллярные, и в результате последними можно пренебречь. Физическим механизмом разрушения двумерных солитонов является неустойчивость Рэлея, возникающая только при наличии капиллярных сил. Как следствие, при режиме гидравлических волн двумерные солитоны устойчивы. т. е. отсутствует двумерно-трехмерный переход, что подтверждается натурными экспериментами. В результате в области развитого волнового
18
поведения наблюдаются двумерные квазистационарные катящиеся волны. Они имеют передний волновой фронт із виде водовоздушной смеси и длинный задний фронт.
В п. 4.1 в качестве модели рассмотрена полуэмпирическая модель, учитывающая влияние молекулярной и турбулентной вязкости, использующей длину перемешивания Прандтля. В результате в качестве параметров, описывающих указанный волновой режим, выбраны число Фруда и число Рейнольдса. Проведено исследование на устойчивость плоской поверхности пленки в случае турбулентного течения в слое. При постановке задаче учитывалось влияние поверхностного натяжения через безразмерный параметр — число Вебера. Возмущаемый профиль скоростей получен численно из решения соответствующей краевой задачи. В результате также найдена зависимость коэффициента трения от числа Рейнольдса.
В результате исследования на устойчивость плоскопараллельного течения найден спектр возмущений, в котором присутствуют две поверхностные моды, описывающие соответственно возмущения, распространяющиеся вверх и вниз по потоку. Получено, что внутренние моды всегда устойчивы, поскольку их неустойчивость уже учтена в турбулентном профиле скоростей, а также устойчивы поверхностные возмущения, распространяющиеся вверх по потоку. Неустойчивость поверхностных возмущений вызвана модой, распространяющейся вниз по потоку, и является длинноволновой, как и в случае ламинарного течения в слое.
Так же, как и при развитии капиллярных волн, из всего спектра в первую очередь выживают частоты, близкие к частоте максимального роста, которые и определяют первоначальное расстояние между нелинейными волнами, что подтверждается сравнением с результатами натурных экспериментов. Показана слабая зависимость результатов анализа устойчивости от числа Вебера, что говорит о том, что влиянием капиллярных сил в дальнейшем можно пренебречь.
19
Приведен расчет критических параметров, при которых поверхность слоя впервые теряет устойчивость. Существующие до настоящего момента теории (одномерный гидравлический подход Дресслера и Брока) предсказывали критическое значение числа Фруда, равное 4 и не зависящее от числа Рейнольдса, несмотря на расхождение с экспериментальными данными. С использованием разложения по малому волновому числу получено соотношение, определяющее границу .устойчивости в зависимости от числа Рейнольдса.
П. 4.2 посвящен одному из прикладных вопросов — влиянию топографии поверхности отекания на волновые режимы. В реальных условиях поверхность, по которой стекает слой жидкости, не является плоской. При этом поверхность слоя покрыта стоячими или медленно движущимися волнами. Из результатов численных расчетов 10. А. Трифонова следует, что для ламинарных режимах топография дна сильно влияет на волновые режимы. На поверхности слоя наблюдаются волны, амплитуда которых в несколько раз больше амплитуды волнистости поверхности стскания.
Впервые найден физический механизм явления и показано, что такого рода поведение связано с частотным резонансом. Результаты теоретических исследований приведены в сравнении с экспериментальными данными. В случае нулевого (в среднем) наклона поверхности стекания существует две поверхностные моды, распространяющиеся в разные стороны. Если же поверхность слегка наклонена к горизонту, возникает сдвиговое течение, сносящее обе моды вниз но потоку. В этом случае одна из мод может сменить знак. В момент равенства результирующей скорости нулю возникает частотный резонанс между поверхностной волной и волнистостью дна, который приводит к возникновению стоячей волны большой амплитуды. Сравнение результатов расчета, полученных из частотного резонанса, и экспериментов Фоли и Ваиони, дают хорошее соответствие, что подтверждает’ правильность предположения о резонансном механизме взаимодействия топографии поверхности стекания и поверхностных волн.
20
В п. 4.3 исследуются нелинейные катящиеся волны в двумерной и трехмерной постановке для ламинарного и турбулентного течения в слое, а также решена задача об устойчивости этих волн к двумерным и трехмерным возмущениям. Использовано длинноволновое приближение, кроме зоны вихря на фронте волны, который заменяется скачком параметров течения.
Найдены уединенные стационарные двумерные катящиеся волны двух видов в случае как ламинарного, так и турбулентного режима течения в слое: положительные и отрицательные солитоны. Исследование на устойчивость полученных стационарных решений показало абсолютную устойчивость положительных солитопов и неустойчивость отрицательных, т. с. результат аналогичен исследованиям капиллярных солитонов. Спектр поперечных возмущений двумерных стационарных положительных катящихся волн содержит только устойчивые собственные значения. Это означает отсутствие трехмерных структур при числах Рейнольдса более 400 и наличие только двумерных нелинейных волн в области развитого волнового поведения — факт, хорошо известный экспериментально. Физически это можно объяснить отсутствием причины поперечной неустойчивости — капиллярных сил, которыми можно пренебречь при указанных числах Рейнольдса.
П. 4.4 посвящен численному моделированию пространственного развития катящихся волн из малых естественных возмущений. Используемая система уравнений не допускает непрерывных нелинейных решений, поэтому для расчетов был добавлен член уравнения, моделирующий вязкость. Параметр искусственной вязкости подобран из сравнения с экспериментальными данными Брока. Показана слабая зависимость средних характеристик течения (в особенности развитого волнового поведения) от этого параметра, а также от характеристик белого шума, подаваемого на входе рабочего участка.
21
В п. 4.5 рассмотрены преобразования подобия для отдельных катящихся волн, приводящие к самоподобному поведению в их динамике.
На основе результатов численного моделирования проведена статистическая обработка поверхностных волн в области развитого волнового поведения. Получено, что доля возбужденных волн, а также отношение расстояния, которое пройдет невозбужденная волна до ее поглощения, к средней длине волны, практически не изменяются по пространству. Найдена линейная зависимость средней длины волны от пространственной координаты, которая не определяется локальными параметрами волны.
Расчеты показали слабую зависимость доли возбужденных солитонов от модифицированного числа Фруда. Таким образом, полученную зависимость, определяющую динамику катящихся волн по пространству, можно считать универсальной п не зависящей от параметров задачи.
Гл. 5, “Исследование влияния волновых режимов на массообмен”, посвящена применению результатов, полученных в предыдущих главах. Количественные характеристики волновых режимов в слое и на его поверхности позволили провести численное моделирование массообмена в системе газ-ерк ид кость для всех его качественно различных типов. Проведено численное решение уравнений переноса без упрощений. Упрощенные постановки не позволяли другим авторам провести расчеты в случае критического и сверхкритического режимов массообмена (наличие области П > с на поверхности волны), поскольку обладали особенностями в точках, где скорость волны совпадает со скоростью жидкости на поверхности слоя (и = с). Сверхкритический режим массообмена существует при всех типах волн, поэтому его исследование привело к результатам, качественно отличным от результатов других авторов. Для определения волновых режимов, оптимальных для массообмена, исследованы зависимости процессов переноса от параметров поверхностных волн, таких как форма, частота, амплитуда н скорость волны.
22
В п. 5.1 выделены основные режимы массообмена, соответствующие различным волновым режимам в слое, и обсуждается их физическая интерпретация.
1. Поверхностная волна медленного семейства 71, близкая к синусоидальной. Скорость волны во всех точках больше поверхностной скорости течения жидкости, т. е. режим — докритический. Растворение газа происходит за счет диффузии и нормальной к поверхности составляющей скорости, профиль концентрации в слое — автомодельный.
2. Волны семейства 71, близкие к синусоидальным, либо волны семейства 72, не разделенные плоским участком. На поверхности существуют зоны, где I/ < с п I/ > с, разделенные стационарными точками, т. е. режим — сверхкритический. Вблизи передней точки ПОКОЯ и = с насыщенная газом жидкость увлекается под горб волны. Таким образом, происходит перемещение насыщенного раствора вглубь слоя. В этом случае растворенное вещество не скапливается у поверхности, тормозя растворение, а попадает вглубь потока. С другой стороны волны также существует стационарная точка и = с, где жидкость из глубины волны поступает на поверхность. При этом на поверхности создаются зоны с низкой концентрацией газа, что резко увеличивает массообмен в этих местах. В отличие от первого механизма, где величина потока через поверхность быстро уменьшается с ростом концентрационного погранслоя, в этом случае уменьшение потока происходит медленнее до тех пор, пока гребни волн не насытятся газом. Увеличение массообмена тем сильнее, чем больше насыщенного раствора может попасть под гребень волны, а это соответствует более низкому расположению точки, где ноток с поверхности идет вглубь, и большей амплитуде волны. При перемещении точек покоя на вершину волны данный режим переходит в первый.
23
3. Режим солитонов. Докритический или сверхкритический режим. Горб солитона является застойной зоной, где скапливается растворенный газ. После прохождения волны концентрационный слой перераспределяется. Поверхность пленки обновляется, и на плоском после горба участке начинает заново прорастать тонкий концентрационный погранслой, что увеличивает поток газа на этом участке. С увеличением плоского участка общее влияние солитонов на мас-сообмен уменьшается, что приводит в среднем к параметрам массо-обмена безволнового течения, т. е. 571/5/*о стремится к единице при частоте волн, стремящейся к нулю. Таким образом, должна существовать некая оптимальная частота солитонов, при которой достигается максимум массообмена.
П. 5.2 посвящен изучению влияния таких параметров волны, как амплитуда, скорость и частота, на массообмен. В качестве параметра для описания интенсификации массообмена выбрано отношение числа Шервуда для данного волнового режима 571 к числу Шервуда для безволнового слоя 571<).
Форма поверхности слоя жидкости выбрана в виде модельной монохроматической волны. Зафиксировав некоторое значение скорости волны и ее частоты, получаем рост 5/1/5/1о в зависимости от длины контактного устройства до некоторого максимального значения и далее, с насыщением жидкости газом, поскольку волны уже не оказывают влияния на массообмен, убывание до 1. С ростом амплитуды волны наблюдается: а) рост максимального значения коэффициента интенсификации, причем резкое увеличение происходит при смене первого механизма на второй; б) максимум смещается к началу контактного устройства. Зависимость коэффициента интенсификации массообмена от скорости волны при остальных фиксированных волновых параметрах имеет выраженный максимум в области сверхкритического режима, который соответствуем меныппм значениям скорости волны. С уменьшением скорости волны пространствен-
24
пая координата максимума сдвигается все дальше от начала контактного устройства. В отличие от влияния амплитуды и скорости на коэффициент интенсификация, изменение частоты практически не приводит к изменению максимума 5Л/£Ло, и это объяснимо отсутствием влияния изменения частоты на переход между механизмами массообмена, в отличие от зависимости от двух ранее приведенных волновых параметров.
В п. 5.3 приведены результаты численных расчетов массообмена в двумерной постановке при естественном развитии малых случайных возмущений. Получено, что при числах Рейнольдса меньше 10 на всем промежутке развития возмущений вплоть до решетки квазистационарных со-литонов реализуется первый механизм массообмена, что подтверждается сравнением профиля концентрации с автомодельным. Значительное отличие профиля концентрации от автомодельного решения начинается с момента возникновения второго механизма массообмена. Исследование зависимости коэффициента интенсификации массообмена от длины рабочего участка показало, что его максимальное значение для больших чисел Рейнольдса достигается на меньшей длине рабочего участка и имеет гораздо большее значение, чем при меньших. Это объясняется возникновением второго и третьего механизмов массообмена.
Проведено сравнение результатов расчетов с данными натурных экспериментов В. Е. Накорякова, Б. Г. Покусаева, К. Б. Радева и обзором экспериментов, приведенных А. Бакопулосом. Наблюдается хорошее соответствие, что говорит о точности расчетов и приемлемости гидродинамической модели течения слоя жидкости. Расхождение возникает при числах Рейнольдса, начиная с 40. Оно объясняется сменой двумерного режима на физических экспериментах на трехмерный, в то время как расчеты проводились для двумерных волн. Соответственно, наблюдается уменьшение наклона экспериментальной кривой интенсификации массообмена относительно теоретической.
25
П. 5.4 посвящен оптимальным режимам массообмена при вынужденном волнообразовании. Отличие от случая развития естественных возмущений состоит в том, что в случае вынужденного волнообразования стационарные бегущие волны возникают в непосредственной близости от подающего жидкость устройства, устанавливаясь на расстоянии порядка одной длины волны от него. Фактически, дальнейшая волновая картина при фиксированном числе Рейнольдса определяется частотой пульсаций расхода ш. В результате наблюдаются хорошо изученные В. Я. Шкадовым и Е. А. Де-мехиным семейства периодических волн 71 при высоких и 72 — при низких частотах ш. В случае малой частоты между горбами волн семейства 72 наблюдается плоский участок, что может создать третий механизм массообмена. Таким образом, рост этого участка при уменьшении и) приводит к интенсивности массообмена и прохождении коэффициента 5И/3Но через максимум. Дальнейшее увеличение плоского участка между горбами уменьшает общее влияние солигонов на массообмен, которое в результате становиться пренебрежимо малым.
Проведен анализ эффективности массообмена при вынужденном волнообразовании для различных частот пульсаций расхода.
Проведено исследование оптимальных режимов массообмена — формирующих максимальный коэффициент интенсификации при заданной длине рабочего участка.
В и. 5.5, используя результаты расчета по универсальной модели, построена критериальная зависимость для задачи массообмена. Основное преимущество критериальной зависимости состоит в возможности пересчета параметров массообмена на любую жидкость и учете влияния капиллярных сил на массообмен.
Завершают работу обоснованные выводы и список цитируемой литературы.
26
1. ВОЛНОВАЯ ГИДРОМЕХАНИКА И МАССООБМЕН В СЛОЯХ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ
1.1. Основные режимы течения — обзор экспериментов
Волновые режимы
Анализ экспериментальных данных, приведенных в работах [1,107, 151,152,194,195,223], показывает, что существуют пять режимов развитых волн в вертикально стекающих слоях жидкости в зависимости от числа Рейнольдса: (0, {НеМ)), ((Яе^), (Яе^)),..., ((Яе^4)), (Яе^)). Первые три из них можно считать капиллярными и описываемыми двумя параметрами: числом Рейнольдса (Яе) и числом Капицы 7. Границы этих интервалов, Яе(*\ являются функциями 7. Волновые режимы, соответствующие оставшимся двум интервалам, определяются числом Рейнольдса, поскольку влиянием капиллярных сил можно пренебречь.
Упрощенная карта волновых режимов показана на рис. 1.1. Теория предсказывает первичную неустойчивость для вертикально стекающего слоя, начиная с нулевых чисел Рейнольдса [116], однако при (Яе) < < (Яе(1-) ~ 3 - 5 неустойчивость очень слаба и визуально никак не проявляет себя. Это было впервые замечено в экспериментах Капицы [50,51], теоретическое объяснение дано в работе Демехина, Токарева и Шкадова [24]. Таким образом, при (Яе) < (Яе^) поверхность слоя можно считать гладкой.
Для чисел Рейнольдса около левой границы второго интервала, «Яе^МЯе^)), волны близки к синусоидальным, в то время как для правой границы, (Яе^) ~ 40, они являются солитоиами (рис. 1.1 слева,
27
Рис. 1.1. Карта волновых режимов: <Яе)<(Яе(1^) — гладкая поверхность; (Яе^)<(Яе)<(Ке^) — поверхность покрыта двумерными капиллярными волнами; (Яе^) < (Яе) < (/?е*3)) — режим поверхностной турбулентности; (/&Л3)) < {Яе) < (Ле^) — катящиеся волны (ламинарный поток); (Яе) > (Яе{4)) — катящиеся волны (турбулентный поток). Кружками обозначены эксперименты [58-60,112), сплошными линиями — расчеты
рис. 1.2, а). Эти волны фактически двумерны, но могут быть искажены трехмерной модуляцией, что подтверждается сравнением данных физического эксперимента с результатами численного моделирования, приведенным в монографии [127) (рис. 4.31 и 5.42), а также обсуждается в п. 2.1 настоящей диссертации. За последние несколько десятилетий было проведено полное исследование двумерных волн, соответствующих второму интервалу чисел Рейнольдса, результаты которого собраны в монографиях |1] и [146].
28
Рнс. 1.2. Основные поверхностные волновые режимы жидкого слоя на вертикальной пленке: а) режим двумерных капиллярных воли |222|; б) режим поверхностной турбулентности [222); в) катящиеся волны (неопубликованные результаты Е. Н. Калайдина и Е. А. Демехина)
При (Re) > (Re^) двумерные волны разрушаются трехмерными возмущениями, жидкий слой оказывается покрытым трехмерными локализованными нелинейными структурами (рис. 1.1 в центре, рис. 1.2, б). Иногда такой волновой режим называют “галечным”. Он существует вплоть до {Re(3)) ~ 400 [194,195). Вблизи левой границы, (Re^), эти волны имеют форму подковок, в то время как правой границе, (Re^), соответствуют волны с заостренным фронтом, напоминающие греческую букву А.
Внутри четвертого интервала, (Re^) < (Re) < (Re^) (где (Re^) ~ 800 - 1500), наблюдаются квазидвумерные высокоамплитудные локализованные волны, но уже не капиллярные, а катящиеся. Chu & Dukler [151,152] называют их “комками” ввиду их больших размеров. Такие крупные квази-двумерные волны имеют на переднем фронте стабилизирующий вихрь из смеси жидкости и воздуха. Этот волновой режим возможен как при ламинарном, так и при турбулентном течении в слое (рис. 1.1 справа, рис. 1.2, в).
Некоторые исследователи [151,223] считают, что переход к турбулентному внутреннему течению происходит при (Re) > 800 - 1500, что определяет пятый интервал чисел Рейнольдса. При этом поверхность покрыта квазидвумерными катящимися волнами, но уже при турбулентном течении в слое. Такие режимы изучены для слабонаклоненных каналов в [124-126,156] (рис. 1.3).
29
Неявное доказательство смены волновых режимов может быть найдено из анализа массопереноса (рис. 1.1, результаты экспериментальных работ 11], [112], [58-60], [213] показаны залитыми кружками). На рис. 1.1 можно отметить значения числа Рейнольдса, при которых зависимость числа Шервуда теряет гладкость. Первое такое значение имеет место около (Яе^) ^ 40 - 70, в то время как второе близко к (Яе) ~ 400. Так как существует сильная зависимость массопереноса от волновых режимов в слое, разумно предположить их смену при указанных числах Рейнольдса. Разрыв производной в точке (Яе^) существует, но не так выражен, как в других точках, в силу значительного разброса экспериментальных данных при больших числах Рейнольдса. Смена режима и ламинарно-турбулентный переход в точке (Яе^)) подтверждаются зависимостью тангенциальных напряжений от (Яе), приведенной в работе [1], где получен скачок тангенциальных напряжений на стенке в диапазоне (Яе) = 800 - 1500, указывающий на этот переход. В инженерных справочниках [79,80] приведены близкие к рассмотренным выше интервалы волновых режимов, полученные из визуальных наблюдений.
Рис. 1.3. Катящиеся волны (последний снимок справа) в вертикальном канале (114]
Структура гидравлических волн показана на рис. 1.4. Это — квази-двумерные волны в том смысле, что одна волна заполняет всю ширину ка-
30
7 7” 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7—7
Рис. 1.4. Структура катящейся волны: а) эскиз реальной катящейся волны; б) эскиз модельной поверхностной волны: 1 — длинный экспоненциально тухнущий хвост волны, 2 — короткий вихрь водовоздушной смеси, 3 — скачок, моделирующий вихрь
нала и имеет длинный задний фронт и короткий передний фронт с вихрем из водовоздушиой смеси, который играет стабилизирующую роль, аналогичную роли капиллярных сил при малых числах Рейнольдса. Гидравлические волны более всего исследованы для наклонных каналов. Вероятно, первым экспериментальным описанием катящихся волн была работа [150], в которой представлены фотографии таких волн в слабонаклоненных каналах (рис. 1.5), но не приведены количественные параметры волн.
В экспериментах, представленных в работе [114], исследовано течение на вертикальной стенке при числах Рейнольдса Не « 700 - 10000. где применены фотографические методы для определения режимов течения, представлены фотографии катящихся волн (рис. 1.3) и зависимость сред-
31
Рис. 1.5. Катящиеся волны в слабонаклонеином канале |150|
ней толщины жидкого слоя от числа Рейнольдса. Получено, что переход к турбулентности происходит при Яе « 700 - 800.
В работе [15] проведены измерения распределения скоростей стробоскопическим методом, (Яе) = 40 - 2000. Начиная с (Яе) = 2000. получено значительное отклонение профиля скоростей от ламинарного полупарабо-лического. Из работы [15] следует, что ламинарно-турбулентный переход происходит при (Яе) = 700 - 1000. С увеличенем числа Рейнольдса профиль скорости уплощается и закон “1/7” плохо подходит для его описания.
В работах [151,152,157) число Рейнольдса изменялось от 220 до 500, так что режим течения мог быть как ламинарным, так и переходным. Эксперименты проводились на вертикальном канале, сделанном из плексигласа, шириной 15 см и длиной 5,5 м. Поверхность слоя была покрыта сложной системой волн, более сложной, чем наблюдалось в слегка наклоненном канале. Авторы обнаружили существование двух принципиально различных групп волн и назвали это течение двухволновой системой: а) большие квазидвумерные волны, разделенные расстоянием порядка 30 см, которые
32
могут быть отнесены к двумерным катящимся волнам (аналогичны исследуемым в [156]) без капиллярной ряби на переднем фронте, имеющей место при малых числах Рейнольдса (2]; б) поверхность между быстрыми волнами покрыта маленькими и медленными волнами, имеющими капиллярную природу.
В работах [124-126] представлены эксперименты, проведенные в лаборатории Кека гидравлики и водных запасов Калифорнийского технологического института. Выбран прямоугольный канал из алюминия шириной 30-40 см и длиной 25 м с углами наклона 2,9°, 4,8° и 6,8°. Числа Рейнольдса изменялись в диапазоне от 10'1 до 10°, так что режим течения был всегда турбулентным. Возмущения на входе росли вниз по потоку, превращаясь в катящиеся волны (рис. 1.6, а). В указанных работах приведены профили волн, их скорости и длины в разных местах канала при различных закритических режимах, Fr > Fr* = 4.
Foley & Vanoni [165] экспериментально исследовали докріггические режимы, Fr < Fr* = 4, длина канала — 18 м, угол наклона — 4,8°. Число Фруда менялось от 0,5 до 1,12, что намного меньше, чем критическое значение Fr* = 4. Рассматриваемые числа Рейнольдса порядка 104, т. е. течение — турбулентное. Получены следующие результаты:
а) обнаружена неустойчивость в докритической области;
б) найдены отрицательные катящиеся волны в докритической области
(рис. 1.6, Ь), названные авторами “антидюнами”.
Brauner к Магоп [122.123] исследовали волновые режимы в наклонном канале из стекла длиной 1 м, число Рейнольдса менялось от 100 до 7000, режим течения мог быть как ламинарным, так и турбулентным. Угол наклона менялся от 2° до 90°. Были рассмотрены естественные и вынужденные возмущения на входе, которые превращались в катящиеся волны.
Кулов и др. [52] провели эксперименты в наклонном канале для угла наклона 0 = 1°4/12" при (В.е) = 220 - 1500. Канал был выполнен из орг-