2
I. введение...............................................з
II. ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ УПРУГОСТЬ............................6
Общие уравнения электромагнитной упругости..............6
Частный случай магнитной теории.........................9
Дополнительные предположения...........................15
III. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ..................................17
Зависимость напряжений от дисторсий....................17
Уравнения совместности тензора дисторсий...............27
Постановка краевых задач в перемещениях и напряжениях..32
Корректность постановки задачи в напряжениях...........35
IV. ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ.................42
V. ВАРИАЦИОННЫЕ ТЕОРЕМЫ..................................47
Теорема о минимуме потенциальной энергии дисторсий.....47
Теорема о потенциальной энергии дисторсий..............47
VI. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ........................49
VII. ПЛОСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ В НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ И АНАЛОГ ФУНКЦИИ ЭРИ...........................55
Плоская деформация.....................................55
Функции напряжений.....................................57
VIII. ПЛОСКАЯ ЗАДАЧА В ПОЛЯРНОЙ СИСТЕМЕ КООРДИНАТ 64
IX. ЗАДАЧА О КОНЦЕНТРАЦИИ НАПРЯЖЕНИЙ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПЛАСТИНЕ С КРУГОВЫМ ОТВЕРСТИЕМ ДЛЯ НЕСИММЕТРИЧНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ........................................74
X. ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ..........................88
XI. ПРИЛОЖЕНИЕ...........................................89
XII. СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
91
3
I. Введение.
В данной работе предложен вариант несимметричной теории упругости при наличии электромагнитных полей. Впервые вопрос о несимметрии тензора напряжений был рассмотрен Фойхтом в 1887 году [ 70]. Он ввел в рассмотрение не только объемные и поверхностные силы, но и моменты, и получил две группы уравнений равновесия сплошной среды. Эта идея получила свое развитие в теории Е. и Ф. Коссера в 1909 году [55]. Ими была предложена моментная теория упругости, согласно которой сплошная среда состоит не из точек, характеризующихся только вектором перемещения, а из элементарных зерен, характеризующихся вектором перемещения и вектором поворота. Соответственно в качестве реакции на поле векторов перемещений и поле поворотов рассматривались несимметричный тензор напряжений и тензор моментов. Немного позднее, в 1911 году, Леру [ 64] подошел к этой проблеме с другой стороны. Рассматривая свойства сплошной среды, он указал на необходимость учета производных более высокого порядка, чем градиент перемещений. Этот вопрос после развивался более подробно в последующих работах [ 61] и [68].
В середине нашего века теория Коссера получила новое развитие в связи с появлением работ по континуальной теории дислокаций Гюнтера [ 60] и Крёнера [ 63], по теории пластин и оболочек Эриксена и Трусдела [ 56], а также но классической теории поля Трусдела [ 69]. Кроме того теория Коссера развивалась в работах Аэро и Кувшинского [ 3],[ 4],[ 21], Пальмова [ 33],[ 34],[ 35], Савина [ 39],[ 40],[ 41], Эрингена [ 53], Григорьева [ 16], Горского
4
[ 13],[ 15],[ 14], Гордона [ 10],[ 11],[ 12], Белосточного [ 7], Белоносова [ 6].
Также получила развитие теория псевдоконтинуума Коссера, в которой тензор моментов считается зависящим только от тензора вращений. Эта теория подробно рассматривалась в работах Миндлина [ 28], Муки [ 66], Савина [ 411, Стренберга [ 54], 11овацкого [ 32].
Второй путь - учет более высоких производных и обобщение классической теории получил свое развитие в работах Гриоли [ 59], Коитсра [ 62],[ 20] и Миндлина [ 65],[ 28].
В данной работе предложен вариант несимметричной линейной теории упругости, в которой несимметрия тензора напряжений обусловлена наличием электромагнитных полей. К настоящему моменту существует несколько теорий, учитывающих несимметрию тензора напряжений. Однако, эти теории, как теория континуума Коссера, так и теория псевдоконтинуума Коссера, для учета распределенных объемных моментов предусматривают введение дополнительного тензора реакции - тензора распределенных моментов. В данной работе для описания деформированного состояния тела используется тензор дисторсий, а для описания напряженного состояния - несимметричный тензор напряжений.
Глава II посвящена получению соотношений для анизотропных тел между компонентами тензора напряжений и дисторсий при наличии электромагнитных нолей.
Глава III посвящена математическому выводу возможных соотношений для связи напряжений и дисторсий, обладающих
свойством линейности и несимметрии. Получены 9 уравнений совместности компонент тензора дисторсий, выражение дисторсий через напряжения и уравнения совместности в напряжениях.
Глава IV посвящена рассмотрению условий, которые бы гарантировали единственность решения поставленной задачи.
Глава V посвящена рассмотрению двух наиболее важных в механике вариационных теорем.
Глава VI рассматривает простейшие задачи, теоретическое решение которых можно проверить на экспериментальной установке.
Глава VII и глава VIII посвящены более детальному рассмотрению случая плоской деформации, а в главе IX рассматривается конкретная задача для иллюстрации этой теории.
6
II. Электромагнитная упругость
Общие уравнения электромагнитной упругости.
Рассмотрим статическую модель электромагнитной теории упругости, как она описывается в книге Можена [ 30]. Согласно этой модели тензор напряжений в теле отражает как реакцию на механическую деформацию, так и реакцию магнитного и электрического взаимодействия среды с внешними магнитным и электрическим полями. Для описания электромагнитных свойств среды используются четыре характеристики: вектор распределенной намагниченности среды М, вектор спиновой намагниченности В1,, вектор электрополяризации Р и плотность распределения свободных зарядов О. При этом мы будем рассматривать случаи с Q = 0. И уравнения Максвела (в лабораторной системе отсчета, в статическом случае) будут выглядеть следующим образом:
V х + ЁМ}тр) = 0 V • (Д^,, + винутр) = о
^ Х (-Дщчмг/ В«нутр ) “ 5 «нутр ^ ^внутр ) — вмутр
Евысиш - напряженность внешнего электрического ПОЛЯ.
В4иешп - магнитная индукция внешнего магнитного поля.
Ё6н>тр- напряженность электрического ноля, обусловленного наличием внутренних зарядов поляризации.
Вмутг - магнитная индукция магнитного поля, обусловленного наличием внутренних токов намагничивания.
дтутР -плотность зарядов, обусловленная наличием внутренних диполей поляризации. Определяется из уравнений:
Ящтр =сВуР (Калашников [ 18])
\ч*нутр ^
У
7
где Г - поляризация среды
Аналогично
]щтр ~ внутренние кольцевые токи намагничивания, которые определяются из уравнения:
Л»,™, = гоїм
где М - намагниченность среды
В дальнейшем мы будем придерживаться гипотезы локальной определенности, т.е. будем считать, что реакция процесса в точке зависит только от состояния в данной точке и не зависит от состояния в соседних точках. Т.е. мы пренебрегаем электромагнитными взаимодействиями между диполями материала, поскольку напряженность поля диполя убывает пропорционально третьей степени расстояния. В дальнейшем мы еще остановимся на этом предположении. А сейчас заметим, что, говоря об электрическом и магнитном поле, мы будем подразумевать внешние поля, т.е. поля, наличие которых обусловлено внешними источниками.
Уравнения равновесия для электромагнитной среды выглядят следующим образом:
Формула ІІ-І
—^ + рГ, + /Г = О (Можен [ 301)
дхі
Здесь
р -плотность среды,
- Київ+380960830922