Глава О Введение
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы и выполнена по планам научных работ ВЦ РАН, а также по проектам РФФИ 99-01-00785, РФФИ
01-01-02001 и Федеральной целевой программы "Интеграция”.
Исследование стационарных движений механических систем составляет необходимый первый шаг любого исследования механических систем.
В диссертации разработана теория исследования устойчивости стационарных движений механических систем и решены актуальные задачи устойчивости стационарных движений для таких систем как спутник-гиростат на круговой орбите, обобщенная задача трех тел (обобщение состоит в замене ньютоновского взаимодействия двух из трех тел произвольным потенциальным взаимодействием), транспортной системы тягач-полу при цеп и других.
При этом была разработана также определенная методика применения компьютерных методов аналитического и численного исследования, основанная на доказанных в диссертации теоремах, обобщающих известную теорему Рауса об устойчивых стационарных движениях, и на специальных симметричных критериях условной знакоопределенности квадратичной формы на линейном многообразии.
Часть результатов представлена в виде компактных аналитических формул. Этого удалось достичь выбором полуобрат-ных постановок задач и введением дополнительных избыточных систем переменных и параметров.
1
Обойти экспоненциальное нарастание громоздкости аналитических выражений в процессе вычислений удавалось, используя имеющиеся в исходной постановке задачи свойства симметрии. Помимо симметрии, выражающейся в наличии линейных интегралов и циклических координат исходные выражения кинетической и потенциальной энергий часто обладают инвариантностью по отношению к перестановке двух индексов или к круговой перестановке трех индексов. В этих случаях целесообразно использовать симметричные схемы вычислений или заменять параметры на соответствующие элементарные симметрические многочлены, а также избегать применения некоторых стандартных методов исследования, которые могут разрушать эти симметрии. Например, применение стандартного критерия Сильвестра знакоопределенности квадратичных форм к симметричным квадратичным формам приводит к несимметричным выражениям, входящим в условия знакоопределенности.
В ВЦ им. А.А.Дородницына РАН. в Институте проблем механики РАН, в Институте прикладной математики РАН и в других наличных центрах в нашей стране и за рубежом накоплен большой опыт применения систем аналитических вычислений, таких как REDUCE и MAPLE, в алгоритмизации методов аналитического исследования задач теоретической механики (см.например, [49, 23]). Обширная библиография приведена в [14]. Основная трудность здесь состоит в быстром росте громоздкости выражений и в связанных с этим жестких ограничениях на размерность системы и число буквенных параметров. Для устранения этой трудности не достаточно наращивания памяти компьютера. Данная диссертация нацелена не столько на алгоритмизацию известных аналитических методов механики, сколько на их модификацию с ориентацией на использование компьютерных средств.
Применение теоремы Рауса об устойчивости неразрывно связано с исследованием условной знакоопределенности квадратичных форм на линейных многообразиях, которое восходит, видимо, к Вейерштрассу. В монографии [85] Хэнкок излагает курс лекций, прочитанных К.Вейерштрассом в Берлине в
2
1845 и содержащий основные связанные с этим вопросом теоремы и критерии. Теорема, фигурирующая в [85], была передо-казана в [79, 80] с помощью теоремы Фине лера-Герштейна [83] об условной знакоопределенности квадратичной формы на нулевом уровне другой знакопостоянной квадратичной формы. Затем последовала череда работ с передоказатсльствами того же утверждения (см., например, [71, 09, 73, 8 ). Внимание к этой задаче со стороны механиков возродилось вновь в предвоенные и военные годы, что было связано с предложенным И.Г.Четаевым способом построения функций Ляпунова из первых интегралов уравнений движения, а также с работами Л.Сальвадори, посвященными развитию исследований Рауса [105] и с исследованиями Г.К.Пожарицкого [43] по общим методам построения функций Ляпунова. Из результатов Г.К.Пожарицкого фактически следует эквивалентность условий устойчивости, получаемых по методу Четасва построения функций Ляпунова в виде связки интегралов уравнений движения и из теоремы Рауса. Сформулирован этот результат был в работе [120], где указана также симметричная форма критерия условной знакоопределенности и рассмотрен вопрос об индексе квадратичной формы на линейном многообразии, играющий важную роль при получении достаточных условий неустойчивости и при исследовании возможности гироскопической стабилизации. О дальнейшем развитии исследований по данному вопросу можно узнать из [19].
В последнее время появилось много работ по интерпретации результатов Рауса но устойчивости стационарных движений с точки зрения современных алгебраических подходов. Анализ таких подходов, проведенный В.В.Румянцевым [58], показывает их эквивалентность подходам Рауса и Чстасва.
Помимо исследований в области устойчивости по Ляпунову в диссертации разработана также теория и методика численного исследования поставленной Н.Г.Четаевым задачи о (А, Л,£о? Т)-устойчивости в конечном и на конечном интервале времени. Эта теория основывается на первом и втором методах Ляпунова и содержит различные определения устойчивости, теоремы об устойчивости, обращения этих теорем и численные
3
алгоритмы исследования устойчивости на конечном интервале времени. Историю вопроса о различных подходах к задаче устойчивости на конечном интервале времени можно найти в [117].
Среди прикладных задач, рассмотренных в диссертации на первом месте стоит задача о равновесных ориентациях спутника-гиростата на круговой орбите. Исторически исследования по стационарным движениям динамически несимметричного спутника-гиростата начинались с рассмотрения простейших стационарных движений трех типов:
(1) Главные центральные оси инерции спутника направлены по осям орбитальной системы координат,
(2) Одна из главных центральных осей инерции спутника направлена по радиусу-вектору (7), а две другие расположены в плоскости (#, а),
(3) Одна из главных центральных осей инерции спутника направлена по касательной к орбите (о), а две другие расположены в плоскости (/?,7).
Существуют и стационарные движения, в которых ни одна из главных центральных осей инерции спутника не совпадает с осями орбитальной системы координат.
Стационарные движения (1)-(3) впервые были указаны Р.Е.Роберсоном и В. 13.Хукером [98]. Там же была предпринята попытка численного исследования множества всех стационарных движений. А.А.Анчев [3] получил стационарные движения вида(1),(2) и условия их устойчивости ((2) в неограниченной постановке). В.В.Румянцев [53, 54, 50] получил более широкие, чем в [3] достаточные условия устойчивости и неустойчивости стационарных движений (1)-(3) в ограниченной и неограниченной постановках задачи на основании исследования измененной потенциальной энергии. Для спутника с одним ротором В.В.Румянцев показал, что условия устойчивости при свободном вращении ротора оказываются несколько шире, чем при постоянной угловой скорости ротора [56]. В.М.Морозов [39, 40] исследовал влияние на устойчивость стационарных движений (1)-(3) аэродинамических и магнитных моментов, а также отметил стационарное движе-
4
нис, для которого одна из главных центральных осей инерции спутника лежит в плоскости орбиты. Р.Е.Роберсон [99, 100] указал на возможность существования стационарных движений спутника-гиростата, плоскость орбиты центра масс в которых не проходит через притягивающий центр. Одновременно и более подробно этот вопрос был обследован автором [118, 119]. В разных аспектах было исследовано множество всех стационарных движений [119, 133, 135]. Дальнейшие более конкретные исследования проводились как в нашей стране, так и за рубежом (см., например, [70, 45, 60, 61, 90, 91]). В частности, в [60, 61]) было проведено полное численное исследование множества положений равновесия в прямой постановке задачи.
Другая рассмотренная в диссертации прикладная задача касается тросовых космических систем. Основные результаты и подробная библиография по этой проблеме содержатся в фундаментальной работе В.В.Белецкого и Е.М.Левина [72], на которую автор и опирался в этой части работы. Более конкретно, результаты диссертации по обобщенной задаче трех тел основывались на работе В. В. Белецкого и О. II. Поном ареной [7].
В последние годы заметно возрос интерес исследователей к изучению динамики наземных транспортных средств. Это связано, во-первых, с ростом интенсивности движения и необходимостью повышения надежности и безопасности транспортных средств. Во-вторых, постоянная модернизация конструкции транспортных средств, активное внедрение элементов автоматического регулирования в различных узлах автомобилей требует комплексного научного исследования динамики автомобиля как на стандартных маневрах, так и в нештатных ситуациях.
Современные исследования динамики наземного транспорта существенным образом отличаются не только от классических, восходящих к работам Жуковского [86], Рокара [102,101] и других исследователей, но и от методов двадцати - тридцатилетней давности [82]. Развитие компьютерных технологий позволяет моделировать транспортные средства с большим числом степеней свободы [89, 76]. В то же время возра-
стает интерес и к проведению всестороннего качественного исследования специально для этого разработанных упрощенных моделей. Среди таких проблем можно указать исследование устойчивости и характера потери устойчивости в зависимости от параметров системы, идентификацию параметров системы и выбор адекватной минимальной модели. Последние исследования американских ученых показали, что разумное сокращение числа степеней свободы часто не оказывает существенного влияния на адекватный анализ важных характеристик движения [77]. Это указывает на необходимость максимально полного математического изучения свойств наиболее простых моделей и увеличения числа степеней свободы лишь в случае необходимости проведения дополнительных исследований. Современное строгое математическое исследование плоских моделей систем тягач-при цеп и тягач-полуприцеп с простейшей кинематической схемой сцепного устройства можно найти, например, в работах [88, 107, 108, 112, 115;, в которых изучены условия устойчивости прямолинейного движения в зависимости от скорости и выявлены два механизма потери устойчивости, связанные с рождением маятниковых и змееобразных движений, обнаружена независимость возникновения неустойчивости от модели поведения шофера. 13 диссертации построена и исследована плоская модель системы тягач-полу при цеп со сцепным устройством типа ”пятое колесо”.
Целью диссертации является разработка и модификация методов теоретической механики с целью повышения эффективности использования аналитических и численных компьютерных методов в задачах механики и применение этих методов для решения ряда актуальных прикладных задач. Для достижения этой цели используются методы аналитической механики, теории устойчивости движения, качественной теории дифференциальных уравнений и алгебры.
Новыми являются следующие результаты:
1. Разработана теория исследования устойчивости стационарных движений механических систем. Доказаны теоремы, обобщающие известную теорему Рауса об устойчивых стационарных движениях, и специальные симметричные крите-
б
рии условной знакоопределенности квадратичной формы на линейном многообразии. Выработана определенная методика применения компьютерных методов аналитического и численного исследования устойчивости стационарных движений.
2. На основе первого и второго методов Ляпунова разработана теория и методика численного исследования поставленной Н.Г.Четаевым задачи о (Л, Л, £о> ^-устойчивости в конечном и на конечном интервале времени.
3. Дано полное исследование в полуобратной постановке задачи устойчивости всего множества стационарных движений спутника-гиростата на круговой орбите. В качестве параметра множества, характеризующего частичную ориентацию спутника, выбран связанный с корпусом спутника единичный вектор е, который в стационарном движении совмещается с единичным вектором 7 радиуса-вектора центра масс спутника относительно центра Земли. Показано, что такую ориентацию можно сделать равновесной (за счет выбора величины гиростатического момента к и угла поворота спутника вокруг оси е = 7) при произвольном направлении вектора с в теле спутника и устойчивой, если конец вектора е лежит в двух из четырех долек, на которые единичная сфера разбивается двумя большими кругами, пересекающимися в точках, соответствующих среднему моменту инерции спутника.
4. Задача о множестве стационарных движений спутника-гиростата рассмотрена также в случаях, когда произвольный единичный вектор е, фиксированный в теле спутника, в равновесной ориентации совмещается не с вектором 7, а с единичным вектором а касательной к орбите, единичным вектором Р нормали к плоскости орбиты, а также с фиксированным в орбитальной системе координат вектором 5, лежащим в плоскости (7,/?) или в плоскости (а,$).
5. Разработанная методика применена также к задачам о равновесии гиростата с неподвижной точкой в его центре масс па вращающейся Земле и о гиростатах, входящих в качестве одного или нескольких тел в классическую задачу п гравитирующих тел.
6. Исследована устойчивость стационарных движений в об-
7
общеиной задаче трех тел. Обобщение состоит в замене ньютоновского взаимодействия двух ті, т<і из трех тел то, т\, т-2 на произвольное потенциальное взаимодействие, например, в случае эластичного троса на сумму гравитационного и упругого взаимодействий. В частности, показано, что, в отличие от случая жесткой связки, треугольные конфигурации могут быть устойчивыми при спутниковых значениях параметров и могут представлять практический интерес при конструировании протяженных тросовых спутниковых систем. Однако требуемая величина жесткости троса оказывается столь малой, что имеет смысл говорить не о реальном тросе, а о моделировании упругих сил с помощью специальной управляющей системы.
7. Рассмотрена модельная задача о движении в центральном поле сил маятника, точка подвеса которого движется вдоль круговой направляющей с центром в притягивающем центре. Определены равновесные положения, условия устойчивости и собственные частоты колебаний. Результаты ориентированы на приложение к исследованию плоских движений орбитального крана, стрела которого располагается параллельно касательной к орбите центра масс.
8. Построена имитационная модель транспортной системы тягач-полуприцеп, ориентированной на исследование устойчивости типичных маневров тяжелых транспортных средств. Проведено численное моделирование движения на простейших маневрах: обгон, двойной обгон, синусоидальное изменение угла поворота руля и непериодическое изменение угла поворота руля.
Диссертация носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в исследованиях, проводимых в МГУ им. Ломоносова, Институте прикладной математики им. Келдыша РАН, Институте проблем механики РАН, МАИ и в других научных центрах математики и механики.
Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на семинарах в ВЦ РАН, МГУ, Университете Париж-6, в Национальной школе шоссе и мостов (Париж), в Техническом университете в Вене, а также на следующих Российских
8
и международных конференциях:
1. II Всесоюзная Четаевская конференция но аналитической механике, устойчивости движения и оптимальному управлению. Казань. 1973.
2. Юбилейная научная конференция, посвященная 25-летию Вычислительного центра АН СССР. М. 1980.
3. Республиканская школа-конференция по общей механике и теории упругости. Тбилиси. 1981.
4. IV Четаевская Всесоюзная конференция но устойчивости движения, аналитической механике и управлению движением. Звенигород. 1982.
5. VI Всесоюзный съезд но теоретической и прикладной механике. Ташкент. 1986.
6. VII Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. М. 1991.
7. XX Научные чтения по космонавтике. М. 1996.
8. IV Международный семинар ’’Устойчивость и колебания нелинейных систем управления”. М. 1996.
9. Третий международный симпозиум по классической и небесной механике. Великие Луки. 1998.
10.Четвертый международный симпозиум по классической и небесной механике. Великие Луки. 2001.
По теме диссертации опубликована 31 работа.
Перейдем теперь к изложению содержания диссертации по главам. В первой главе диссертации изложены теоретические результаты, полученные автором лично, а также в соавторстве с А.В.Карапетяном и Ван Дань-чжи. В §1 приведена известная теорема Рауса (1884) в ее наиболее общей формулировке, касающейся систем с интегралами общего вида [104]. В §2 приведена другая известная формулировка теоремы Рауса [103] для консервативных механических систем с циклическими интегралами. Здесь же кроме системы с циклическими интегралами (свободная система) рассмотрена та же система с наложенными дополнительными связями, выражающими постоянство скоростей изменения циклических координат (связанная система) и приведена принадлежащая автору теорема 1 о соотношении условий устойчивости соответственных
9
стационарных движений связанной и свободной систем. В ней доказано, что более простые по структуре условия устойчивости связанной системы гарантируют также устойчивость свободной системы. Определен практически важный класс тривиальных стационарных движений (теорема 2), для которых указанные условия устойчивости для связанной системы совпадают с условиями устойчивости для свободной системы, если их определять как условия положительной знакоопределенности вторых вариаций измененных потенциальных энергий, входящих в интеграл энергии и в обобщенный интеграл энергии Пенлеве.
Результаты §3 получены совместно с А.В.Карапетяном. Здесь рассмотрена модификация теоремы Рауса для случая консервативной системы, в которой существуют линейные интегралы, но циклические переменные явно не выделены. Дано обобщение на этот случай понятия измененной потенциальной энергии (эффективный потенциал), и понятия связанной системы. Доказаны аналогичные теоремы о совпадении стационарных движений (теорема 3), соотношении условий устойчивости (теорема 4) и о тривиальных стационарных движениях (теорема 5) для свободной и связанной систем. Далее теоремы
2-5 о стационарных движениях распространены на инвариантные множества решений (теоремы 6-8).
В §4 доказаны принадлежащие автору симметризованный критерий Сильвестра определенной положительности квадратичной формы (теорема 9), симметризованный критерий условной определенной положительности квадратичной формы на линейном многообразии (теоремы 10,11), а также даны более простые конструктивные доказательства ряда известных критериев условной знакоопределенности. Здесь же предложена удобная формула вычисления миноров, входящих в условия условной определенной положительности, в виде квадратичной формы от определителей, составленных из столбцов матрицы коэффициентов уравнений связей. В конце параграфа рассмотрена задача условного минимума и специальная форма характеристического уравнения линейной дифференциально-алгебраической системы уравнений. В §5
10
дано конструктивное доказательство эквивалентности условий устойчивости, получающихся из общей теоремы Рауса и из метода Четаева построения функции Ляпунова в виде связки интегралов (теорема 12).
В §6 изложены основы развитой автором совместно с Bail Дань-чжи теории устойчивости на конечном интервале времени в смысле предложенного Четаевым определения (А, А До, Т)-устойчивости [67]. Даны определения такой устойчивости (определение 1) и равномерной (А, Л До, 7’)-устойчивости (определение 2). Доказаны основные теоремы о (А, Л До) ^-устойчивости и их обращения (теоремы 13-19), аналогичные теоремам Ляпунова, и дан конструктивный алгоритм построения функции Ляпунова (теорема 20), разрешающий задачу. На основе теоремы 20 разработан алгоритм численного исследования (А, ЛДо, Т)-устойчивости. История вопроса об устойчивости на конечном интервале времени изложена в [117].
Во второй главе рассмотрены различные задачи о стационарных движениях гиростата, т.е. механической системы с неизменяемой геометрией масс. В простейшем случае это твердое тело с симметричными роторами. Основное место занимает исследование множества стационарных движений спутника-гиростата на круговой орбите. В §1 вводится полу-обратная постановка этой задачи, когда в качестве параметров множества задается часть параметров, характеризующих ориентацию спутника в орбитальной системе координат, и часть параметров, характеризующих величину вектора ги-ростатического момента к (момента количеств относительных движений роторов). В качестве параметра, характеризующего ориентацию спутника, выбран связанный с корпусом спутника единичный вектор с, который в стационарном движении совмещается с единичным вектором 7 радиуса-вектора центра масс спутника относительно центра Земли. Показано, что такую ориентацию можно сделать равновесной (за счет выбора величины гиростатического момента к и угла поворота спутника вокруг оси е = 7) при произвольном направлении вектора е в теле спутника и устойчивой, если конец вектора е
11
лежит в двух из четырех долек, на которые единичная сфера разбивается двумя большими кругами
у/ А\ — = ±\/Л-2 — Азез
где А\ < Л-2 < Лз — главные центральные моменты инерции спутника. Эти круги пересекаются в точках, соответствующих среднему моменту инерции спутника, а области устойчивости соответствуют долькам, содержащим точки сферы, соответствующие минимальному моменту инерции спутника. Все аналитические вычисления проводились в избыточных координатах (девять направляющих косинусов, определяющих ориентацию спутника), использовалась симметричная форма условий условной знакоопределенности и специальная методика оперирования с выражениями, инвариантными относительно круговой перестановки трех индексов.
В §2 уравнения стационарных движений и условия устойчивости в задаче о стационарных движениях спутника-гиростата рассматриваются с геометрической точки зрения. Полу обратная постановка задачи, предложенная в §1, распространена на случаи, когда произвольный единичный вектор е, фиксированный в теле спутника, в равновесной ориентации совмещается не с вектором 7, а с единичным вектором а касательной к орбите, единичным вектором /3 нормали к плоскости орбиты, а также с фиксированным в орбитальной системе координат вектором <5, лежащим в плоскости (7, ,3) или в плоскости (а, (3). В последних двух случаях обозначим через (р угол, на который вектор 6 отстоит от векторов 7 или а. Показано, что также, как в §1, во всех этих случаях выбором величины гиростати-ческого момента к и угла поворота спутника вокруг вектора е ориентация может быть сделана равновесной при произвольном расположении вектора в в теле спутника. Однако в отношении обеспечения устойчивости равновесия результаты оказываются различными во всех этих случаях. При ориентировании относительно вектора а результат по устойчивости оказывается противоположным случаю ориентирования по 7: устойчивость осуществляется в дольках, содержащих точки сферы, соответствующие максимальному моменту инерции спутника. При ориентации относительно (3 устойчивость до-
12
стирается при любом расположении вектора е в теле спутника, т.е. область устойчивости охватывает всю сферу, на которой лежат концы вектора е. При ориентации относительно вектора 5, лежащего в плоскостях (7,/3) и (а, 3) области устойчивости расширяются по сравнению с ориентацией относительно 7 и а эквидистантно на угол р. Это значит, что границы областей устойчивости определяются кругами, которые получаются в пересечении сферы с плоскостями, отстоящими от плоскостей указанных выше больших кругов на расстояние sineр\ при
j. 2 ^ ~ ^2
эти области охватывают всю сферу. При расположении вектора 8 вне плоскостей (7,/?) и (а,/?) равновесие возможно не при всяком расположении век гора е в теле спутника, т.е. существуют зависящие от моментов инерции спутника области на единичной сфере, при расположении вектора е в которых невозможно сделать ориентацию равновесной.
Подход, развитый в §§1,2, в §3 распространяется на другие задачи об устойчивости стационарных движений гиростата. Рассмотрена задача о гиростатах, входящих в качестве одного или нескольких тел в классическую задачу п гравитирующих тел и о равновесии гиростата с неподвижной точкой в его центре масс на вращающейся Земле. В задаче о стационарных движениях системы п гравитирующих тел сохраняется качественная картина областей устойчивости такая же, как для спутника-гиростата. Однако, в этом случае тройка векторов а,/?,7 определяется для каждого тела в отдельности в зависимости от конфигурации расположения центров масс всех тел в рассматриваемом стационарном движении. Для второй задачи показано, что если неподвижная точка расположена на экваторе, то картина областей устойчивости качественно оказывается такой же, как для спутника-гиростата. При расположении неподвижной точки на широте <р области, в которых возможно осуществление устойчивости, расширяются (как в случае расположения вектора е в плоскостях (7,/?) и (а, /3) для спутника-гиростата), но граница области устойчивости определяется гладкой кривой без угловых точек.
В §4 результаты §§1.2 рассматриваются с точки зрения
13
неограниченной постановки задачи. Указаны общие условия, при которых притягивающий центр в стационарном движении не лежит в плоскости орбиты центра масс спутника. Подробно рассмотрено одно семейство стационарных движений динамически не симметричного спутника-гиростата, а также семейство стационарных движений динамически симметричного спутника-гиростата, обладающие указанной особенностью.
В §5 получена энергетическая оценка амплитуды колебаний спутника относительно его положения относительного равновесия на круговой орбите под действием потенциальных возмущающих моментов, к которым могут быть отнесены, в частности, гиростатические моменты. В §6 рассмотрены приближенные алгоритмы перевода спутника-гиростата из одной устойчивой равновесной ориентации в другую при помощи управления величиной вектора гиростатического момента, реализуемой, например, как на станции ”Мир”, силовыми ги-родинами.
Результаты третьей главы получены в соавторстве с А.Л.Буровым и М.Паскаль. Здесь рассматриваются тросовые космические системы. Основное место занимает обобщенная задача трех тел. Обобщение состоит в замене ньютоновского взаимодействия двух 7711,7712 ИЗ Трех ТСЛ 7710,7711,7712 На ПрОИЗВОЛЬНОв потенциальное взаимодействие, например, в случае эластичного троса на сумму гравитационного и упругого взаимодействий. В §1 принята плоская ограниченная постановка задачи и рассмотрены достаточные и необходимые условия устойчивости коллииеарных стационарных движений. Условия устойчивости сравниваются с соответствующими условиями, полученными в работе В.В.Белецкого и О.II.Пономаревой [7] для случая жесткой связки 7711,7712 и равенства масс т\ = т-2 (гантель). Показано, что для конфигураций 7710,7711,гп2 и 7710,7712,7771 на кривых равновесия также, как в случае гантели, имеется только одна точка бифуркации и существует одна полубесконечная область вековой устойчивости и нолубеско-нечная область неустойчивости. В конфигурации представляющей не столько физический, сколько математический интерес картина распределения областей устойчиво-
14
сти более разнообразна. При средних значениях приведенной
7711
жесткости к и массового параметра и =-------------- имеется че-
ГП1 + 7712
тыре точки бифуркации, одна ограниченная область вековой устойчивости и одна ограниченная область гироскопической устойчивости. При увеличении // область вековой устойчивости пропадает и остается только область гироскопической устойчивости. При возрастании к появляются новые точки бифуркации, однако, эти новые точки не приводят к появлению новых областей вековой или гироскопической устойчивости. Для треугольных решений вековая устойчивость невозможна ни при каких значениях параметров.
В §2 исследуется гироскопическая устойчивость треугольных (равнобедренный треугольник) стационарных движений в плоской неограниченной обобщенной задаче трех тел. Для упрощения аналитических выражений введены дополнительные зависимые параметры (момент инерции системы относительно центра масс и градиент этого момента) с заданием для них соответствующих формул дифференцирования и упрощения. Вычисления производились с учетом инвариантности выражений по отношению к перестановке индексов 1 и 2. Область устойчивости также, как у В.В.Белецкого и О.II.Пономаревой [7], представлена на плоскости параметров -----^— и а, где а — угол между прямыми (гпо.тЛ
ПЬ\ + 7712
и (7710,7712). Область устойчивости располагается между двумя непересекающимися кривыми, которые имеют общую точку касания только в случае, рассмотренном В.В.Белецким и
О.Н.Пономаревой [7 при т\ — то и приведенной жескости
2 ^ \/^
к = оо. При д = ——- « 0.286 одна из граничных кривых
6
исчезает. При к < 1 исчезает другая граница. В последнем случае область устойчивости покрывает значения параметров реальных спутниковых систем /по >>1, а << 1, т.е. треугольные конфигурации также могут представлять практический интерес при конструировании протяженных тросовых спутниковых систем. Требуемая величина жесткости троса оказывается столь малой, что имеет смысл говорить не о реальном тросе, а о моделировании упругих сил с помощью специальной
управляющей системы.
В §3 рассматривается модельная задача о движении в центральном поле сил маятника, точка подвеса которого движется вдоль круговой направляющей с цен тром в притягивающем центре. Определены равновесные положения, условия устойчивости и собственные частоты колебаний. Результаты ориентированы на. приложение к исследованию плоских движений орбитального крана, стрела которого располагается параллельно касательной к орбите центра масс. Оптимальное по быстродействию перенесение груза из одного равновесного положения в другое согласно принципу максимума Понтряги-на можно сконструировать из нескольких фаз движения каретки вдоль стрелы с постоянной но модулю и переменной 1ІО направлению относительной скоростью.
Четвертая глава содержит результаты, полученные в соавторстве с Е.В.Абраровой, A.A.Буровым, А.С.Сумбатовым и Д.П.Шевалье и под общим научным руководством автора. Она посвящена построению упрощенной имитационной модели транспортной системы тягач-полу при цеп, ориентированной на исследование устойчивости типичных маневров тяжелых транспортных средств. В §1 на примере плоской модели 10-колесной системы тягач-полуприцеп со сцепным устройством типа ’’пятое колесо” предложена общая методика разрешения статической неопределимости реакций, возникающей в системах с трением. Статическая неопределимость вертикальных реакций колес разрешается, как обычно, путем вывода системы из плоскости движения и предположения линейной зависимости реакций от вертикальных составляющих виртуальных перемещений (или виртуальных скоростей) центров колес. Виртуальные скорости центров колес выражаются через независимые обобщенные скорости системы и подставляются в выражения вертикальных реакций колес через вертикальные виртуальные скорости их центров. После исключения из полученных соотношений независимых обобщенных виртуальных скоростей, получаются искомые разрешающие уравнения.
Б §2 рассматривается система тягач - полуприцеп, в которой соединение между тягачом и полуприцепом осуществлено по-
16
средством так называемого ”пятого колеса” — шарнира Гука, допускающего поворот вокруг горизонтальной оси, фиксированной в тягаче и вокруг вертикального шкворня, фиксированного в полуприцепе. На основе разработанного в §1 метода исключения статической неопределимости вертикальных реакций колес и методов компьютерной алгебры составлены уравнения движения и проведено численное моделирование движения на простейших маневрах: обгон, двойной обгон, синусоидальное изменение угла поворота руля и непериодические колебания угла поворота руля. Изучена чувствительность модели поведения шофера, к ее структурным постоянным. Обсуждены возможности описания основных эффектов в рамках плоской модели движения системы и указаны пути перехода к пространственной модели.
17
Глава 1
Некоторые общие теоретические вопросы исследования стационарных движений
§1 Теорема Рауса об устойчивых стационарных движениях систем с интегралами
Первые исследования по устойчивости стационарных движений принадлежат Раусу [103, 104]. Метод Рауса основывается на его основной теореме [103], которая была затем существенно дополнена Ляпуновым [35] .Теорема Рауса наиболее эффективно применяется для исследования консервативных систем с циклическими координатами, которые могут быть проигнорированы по методу Рауса [103].
Устойчивость стационарных движений можно исследовать также на основании теоремы Ляпунова [34] об устойчивости, строя функцию Ляпунова но методу Четасва [68] из интегралов уравнений движения.
Указанные два подхода являются основными в исследовании устойчивости стационарных движений. С их помощью решено много интересных механических задач, причем они применяются не только для исследования систем, описывающихся обыкновенными дифференциальными уравнениями, но и для систем более общего вида, в частности, описывающихся дифференциальными уравнениями с частными производными (см., например, монографии [38, 53], содержащие достаточно
18
- Київ+380960830922