Исследование интеграла столкновений уравнения Больцмана и новые перспективы моментного метода

Содержание
Введение 6
и
I НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ И а-п-ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ БОЛЬЦМАНА 25
1 Свойства симметрии и больдмановское распределение 26
1.1 Я-теорема и принцип детального баланса............... 27
1.2 Интеграл столкновений в случае упругих столкновений . 29
1.3 Интеграл столкновений в случае неупругих столкновений .... 34
1.4 Частный случай частиц с двумя энергетическими состояниями ................................................. 36
1.5 Условия, необходимые для равновесности максвелл- больц-мановского распределения двухуровневых частиц ..... 41
1.6 Условия, необходимые для равновесности максвелл- больц-мановского распределения трехуровневых частиц............ 44
1.7 Обсуждение полученных результатов.................... 47
2 Релаксационные уравнения для газов с внутренними степенями свободы при двойных столкновениях 49
2.1 Переход от максвелл-больцмановского к произвольному распределению но уровням................................. 49
2.2 Вывод уравнений релаксации заселенностей уровней. Вычисление скорости изменения энергии и энтропии . . 52
2.3 О некоторых упрощениях при выводе уравнений колебательной релаксации..................................• . . . 58
3 Я-теорема для неизотропных частиц при наличии выде-
ленного направления в пространстве 63
4 Интегральное преобразование уравнения Больцмана 77
4.1 Разложение функции распределения по максвелловским распределениям......................................... . . . 77
4.2 Об алгоритмах численного решения уравнения Больцмана в а и а-ц-представлениях................................. 81
4.3 а-ядро для степенных потенциалов...................... 95
4.4 Интегральное преобразование уравнения Больцмана для максвелловских молекул........................................101
4.5 Построение матрицы К^Гз для произвольных степенных потенциалов...................................................113
4.6 История и перспективы метода интегрального преобразования уравнения Больцмана...................................117
II ПОЛИНОМИАЛЬНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ В КИНЕТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ГАЗОВ. ИНВАРИАНТНОСТЬ ОТНОСИТЕЛЬНО ВЫБОРА БАЗИСА И СВЯЗИ МЕЖДУ МАТРИЧНЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ 130
5 Полиномиальное разложение и рекуррентные соотношения между матричными элементами нелинейного больц-мановского интеграла столкновений в изотропном случае 131
5.1 Инвариантность описания релаксационных процессов . . 131
5.2 Связи между матричными элементами................. 140
5.3 Основные соотношения для степенных...законов взаимодействия частиц в изотропном случае 142
5.4 Рекуррентные соотношения .............................146
4
5.5 Некоторые следствия из рекуррентных соотношений . . . 151
5.6 Расчеты нелинейных матричных элементов по рекуррентным формулам..........................................161
5.7 Примеры расчетов релаксационных процессов............163
6 Рекуррентные соотношения между матричными элементами интеграла столкновений для осесимметричной функции распределения 171
6.1 Полиномиальные разложения............................172
6.2 Переход от базиса («о, То) к базису (u\,Ti)..........177
6.3 Вывод основных соотношений...........................182
6.4 Обобщенная теорема Хеке..............................187
7 Дополнительные соотношения между матричными элементами для неориентированных частиц 197
7.1 Связи между линейными изотропными и линейными осесимметричными элементами . ... 198
7.2 Сравнение с известными результатами..................210
7.3 Некоторые следствия из рекуррентных соотношений . . . 222
7.4 Завершение построения рекуррентной схемы для осесимметричных матричных элементов и компьютерный анализ связей между изотропными линейными элементами233
8 Связи между матричными элементами в трехмерном случае 257
8.1 Поворот вокруг оси 2.................................262
8.2 Поворот вокруг оси у.................................272
8.3 Исследование связей между матричными элементами интеграла столкновений с различными индексами тут\,тъ 282
8.4 Разложение функции распределения по сферическим гармоникам : . . . 303
Заключение
308
Приложения 313
А Осесимметричные полиномы Эрмита в а-и- представлении .............................................313
Б Матрица перехода и ее производные................... 321
Список литературы 327
Публикации автора по теме диссертации ■ 336
Введение
Начало развития современной кинетической теории газов относится ко второй половине 19 века. В 1859 году Максвелл открыл закон распределения молекул по скоростям в однородном газе, находящемся в равновесном состоянии. Это распределение получило название максвелловского.
В 1872 г. Больцман в [1] (см. также [2]) сформулировал свое знаменитое интегро-дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять функция распределения (ФР) частиц газа по скоростям {(у, г, I) при произвольных отклонениях от равновесия. Впервые был получен вид столкновительного интеграла, который представляет собой нелинейный оператор, действующий в каждой пространственно-временной точке на ФР по скоростям. Первые годы после вывода этого уравнения были посвящены как обсуждению некоторых философских проблем, связанных с гипотезой молекулярного хаоса и принципом детального баланса, так и малоуспешным попыткам построения общих решений уравнения.
В 1912 г. была опубликована известная работа Гильберта [3] (см. также [4]), посвященная уравнению Больцмана. В этой работе, наряду с расмотрением других вопросов, были заложены основы изучения структуры интеграла столкновений. Гильберт предложил некоторый итерационный процесс, в котором решение уравнения Больцмана сводилось к решению бесконечной последовательности линейных интегральных уравнений второго рода. Для модели жестких сферических молекул им был подробно рассмотрен линейный интегральный столкновитсльный оператор. После ряда преобразований и упроще-
7 !
ний было показано, что этот оператор обладает свойством ортогональной инвариантности. Продолжал эти исследования, Хеке доказал известную теорему (теорема Хеке) [5], [6]. Эта теорема гласит, что ортогонально-инвариантный линейный оператор не выводит функцию из подпространства, связанного с определенной сферической гармоникой.
В дальнейшем было показано, что теореме Хеке удовлетворяет любой липейиый столкновительный оператор, если сечение рассеяния частиц зависит от двух переменных: величины относительной скорости и угла рассеяния. После того, как была изучена общая структура линейного столкновительного оператора, на основе теоремы Хеке в дальнейшем был разработан метод решения линеаризованного уравнения Больцмана. Он получил название метода Чепмена - Энскога [7], [8], [9] (см. также [10]). Этот метод используется для описания процессов при малых отклонениях от равновесия. Метод Чепмена -Энскога интенсивно развивался в течение полувека и оказался очень плодотворным при расчетах коэффициентов переноса. В методе Чепмена - Энскога ФР разлагается около равновесного распределения и представляется в виде отрезка полиномиального ряда, соответствующего первому приближению по числу Кнудсена. Функции, по которым ведется разложение, представляют собой произведение тензоров первого и второго рангов в трехмерном пространстве скоростей и полиномов Сонина (Лагерра) от модуля скорости.
Коэффициенты переноса выражаются через так называемые интегральные скобки (bracket integrals), которые представляют собой линейные матричные элементы от интеграла столкновений. Для тензоров первого и второго рангов были получены формулы, выражающие интегральные скобки через ft-интегралы, которые зависят от сечения взаимодействия частиц. Выло проведено много расчетов ft-интегралов для различных моделей межмолекулярного взаимодействия (см., например, [11])-
Дальнейшее исследование структуры столкновительного операто-
8
ра (уже в нелинейном случае) связано с именем Барнета. В 1935 г. им были опубликоваыы две статьи [12], [13], в которых был усовершенствован метод Чепмена — Энскога. В [13] фактически впервые была выписана система нелинейных моментных уравнений, и в качестве базисных функций были выбраны произведения сферических функций на полиномы Сонина. Были рассмотрены нелинейные матричные элементы (МЭ) от интеграла столкновений в этом базисе. Для степенных потенциалов был разработан алгоритм вычисления этих МЭ. Как отмечал сам Барнет, формулы для вычисления нелинейных МЭ получаются слишком громоздкими. Поэтом}' при конкретных расчетах Барнет и его последователи (см., например, [14]) ограничились вычислениями для максвелловских молекул и модели твердых сфер при I < 2, где I - порядок полинома Лежандра. На основе этих расчетов Барнет построил второе приближение для ФР и показал, что в этом приближении следует учитывать как произведения дифференциальных коэффициентов первого порядка, так и дифференциальные коэффициенты второго порядка. Уравнение Барнета вызывало и вызывает оживленные дискуссии - не ясно, в каких задачах его можно применять, а в каких - нет. По-видимому, ответ на этот вопрос можно будет получить при вычислении следующих членов и оценке отбрасываемых членов разложения. Это может быть сделано только при дальнейшем развитии нелинейного моментного метода, что требует вычисления нелинейных МЭ с большими значениями индексов.
Дальнейшее развитие и математическое обоснование моментный метод решения уравнения Больцмана получил в работах Греда [15], [16]. Разработанный им метод получил в литературе название метода Греда. В методе Греда разложение ведется но тензорам различного ранга в декартовых координатах - полиномам Греда-Эрмита. Метод Греда (в основном его 13-ти и 20-ти моментные приближения) широко используется при решении многих задач кинетической теории газов и плазмы. Б методе Греда в зависимости от числа моментов в разложении ФР необходимо подключать различные нелинейные МЭ
9
интеграла столкновений.
В 1966г. Кумар [17] проанализировал различные системы полиномов, которые использовались различными авторами при разложении ФР в кинетической теории газов. Он показал, что наиболее экономичной является система, предложенная Барнетом, т.е. система ортогональных с максвелловским весом функций, представляющих собой произведение сферических функций и полиномов Сонина. Кумар продвинулся также в исследовании структуры нелинейного интеграла столкновений. Он предложил использовать при расчете нелинейных МЭ преобразование Талми, которое ранее успешно использовалось в квантовой теории.
Уже из этого краткого исторического обзора очевидно, что исследование структуры интеграла столкновений, в частности, путем изучения его МЭ при полиномиальном разложении представляет собой интереснейшую математическую и физическую проблему. Каждый успешный шаг в решении этой проблемы сопровождался появлением нового или усовершенствованием существовавшего ранее метода ре-
I
шения уравнения Больцмана. Это, в свою очередь, способствовало решению ряда физических и технических вопросов.
Начиная с семидесятых годов для решения задач кинетической теории газов получают большое распространение численные методы, основанные на статистическом моделировании (модификации метода Монте-Карло) [18]. Эти методы успешно применяются при решении многих инженерных задач, связанных, в частности, с исследованием движения космических аппаратов в верхних слоях атмосферы. При решении задач этим методом нет необходимости исследовать более глубоко структуру интеграла столкновений, и развитие теоретиче-
I
ских исследований в этом направлении было заторможено. Однако эти численные методы имеют и некоторые серьезные ограничения. Очень трудно, например, рассчитать ФР в области больших скоростей, а знание поведения ФР в этой области существенно при расчете скоростей протекания различных физико-химических процессов.
10
Трудно также использовать методы статистического моделирования при малых отклонениях от равновесия, а это вызывает сложности при сквозном расчете течений газа как в области больших, так и малых градиентов.
В связи со всем сказанным выше дальнейшее исследование структуры интеграла столкновений-и развитие моментного метода представляется весьма важной и актуальной задачей.
В моментном методе [13], [15] ФР представляется в виде отрезка ряда по ортогональным полиномам, и для коэффициентов разложения составляется система дифференциальных уравнений. Основная проблема здесь связана с вычислением матричных элементов, соответствующих моментам от нелинейного интеграла столкновений. Несмотря на то, что Барнету удалось далеко продвинуться как в формулировке основных положений этого метода, так и в выводе формул для нелинейных матричных элементов, он провел вычисления только для небольших значений индексов. При больших значениях индексов формулы становятся столь громоздкими, что провести с их использованием расчеты практически невозможно даже на современных ЭВМ.
Таким образом, основной сложностью, сдерживающей развитие нелинейного моментного метода, является расчет матрицы взаимодействия, соответствующей моментам от нелинейного интеграла столкновений.
Примечательная особенность полиномиального разложения, которая была замечена на самых начальных этапах разработки метода Чепмена - Энскога, состоит в том, что, несмотря на медленную сходимость при вычислении ФР, выражения для газовых коэффициентов сходятся быстро. Поэтому в основном эти методы использовались для расчета коэффициентов переноса, а вопрос о возможности вычисления ФР оставался открытым. Для исследования сходимости рядов при расчете ФР необходимо знание МЭ интеграла столкновений при больших значениях индексов, что, как уже отмечалось, представляло до последнего времени серьезную проблему.
11
Вычисление нелинейных матричных элементов оказывается достаточно сложной задачей даже в случае изотропного по скоростям уравнения Больцмана, когда разложение ФР ведется по полиномам Сонина. Впервые серьезного успеха в этом направлении удалось добиться авторам работы [19]. Они рассчитали матричные элементы для изотропного уравнения Больцмана в случае степенных потенциалов в предположении независимости сечения рассеяния от углов. Представленные там аналитические формулы для матричных элементов содержат 6 вложенных сумм. Им удалось провести вычисления до ЛГ0 = 13, где ЛГо - это максимальное количество членов в разложении ФР. Дальнейшее увеличение N0 осуществить не удалось из-за катастрофического нарастания как времени счета, так и погрешности вычислений. Главным достижением авторов работы [19] явилась демонстрация того факта, что с ростом N0 удается существенно продвинуться в описании ФР в область больших скоростей. Это поставило на повестку дня задачу расчета нелинейных матричных элементов при больших значениях индексов. :
Следующий шаг в развитии этого направления был сделан в 1994 году [20], когда на основе разработанного ранее метода разложения ФР по максвеллианам [21]—[28] удалось построить аналитические формулы для матричных элементов в случае произвольных степенных потенциалов, в том числе и для кулоновского взаимодействия частиц, причем формулы оказались значительно проще, чем в [19], и содержали четыре вложенные суммы. При этом расчеты удалось провести до /У0 = 30.
Остановимся теперь на содержании диссертации. Она состоит из двух частей, по четыре главы в каждой части, введения и заключения. Нумерация глав сквозная. Первые три главы посвящены некоторым общим свойствам интеграла столкновений [29]—[31]. Рассматриваются парные столкновения частиц с внутренними степенями свободы. Частицы с разными кваяовомеханическими состояниями рассматриваются как частицы разных сортов. В процессе столкновения может
12
происходить изменение состояния (возбуждение или девозбуждение), т.е. изменение сорта частиц. Полное кинетическое уравнение описывает, в частности, скорость такого процесса.
В первой главе анализируются свойства интеграла столкновения и ищутся связи между сечениями рассеяния, необходимые для равновесия максвелл-больцмановского распределения. Постановка такой задачи связана с тем, что часто при выводе кинетического уравнения испольуются условия детального баланса. Однако из общей квантовой теории рассеяния эти соотношения не вытекают. Более того можно указать примеры, когда они нарушаются. При исследовании интеграла столкновений в первой главе учитываются законы сохранения в акте столкновения, но не делается каких-либо предположений о сечении рассеяния. В результате для каждого канала взаимодействия определяются подпространства в пространстве скоростей, по которым должны выполняться интегрирования при вычислении интеграла столкновений. При подстановке максвелловского распределения по скоростям интегрирование в приходном (наиболее сложном) члене интеграла столкновений частично выполняется независимо от вида сечения взаимодействия. При подстановке больцмановского распределения по уровням с той же температурой, что и у максвелловского распределения, скорость изменения ФР любого сорта частиц в любой точке пространства скоростей должна обращаться в ноль. Из этого условия выводятся связи между сечениями рассеяния прямого (возбуждение) и обратного (девозбуждение) процессов. Связанными оказываются полные, а не дифференциальные сечения рассеяния. Показано, что эти связи являются следствием обратимости уравнений движения по времени.
Во второй главе выводятся релаксационные уравнения для газов с внутренними степенями свободы. При подстановке в общие уравнения первой главы неравновесных распределений по уровням находятся выражения для скорости изменений ФР частиц всех сортов. После интегрирования этих выражений с различными молекулярными при-
:
13
знаками можно найти вклады от неупругих столкновений в скорости изменения числа частиц в заданном возб}'жденном состоянии, энергии, энтропии и т.д. Предполагается, что ФР по скоростям все время сохраняет максвелловский вид. Обосновывается это большой разницей в сечениях упругого и неупругого взаимодействия. Именно в этом предположении кинетические уравнения сводятся к релаксационным уравнениям для газов с внутренними степенями свободы. Такие уравнения замыкаются на уровне описания релаксации числа частиц в различных возбужденных состояниях. Последовательно рассматривая различные предположения о сечениях неупругих взаимодействий, выводятся уравнения вращательной, вращатсльио-колебательноЙ и колебательной релаксации.
В третьей главе рассматривается кинетическое уравнение и доказывается Я- теорема для частиц, ориентированных вдоль некоторого направления. Выделенное направление в пространстве возникает при наличии сильного внешнего электрического или магнитного поля. Например, в нейтронных звездах магнитное поле достигает зна-чепий 10|2-1014 Гаусс. При таких полях ларморовский радиус электрона внутри атома становится меньше радиуса Вора, электронная оболочка сильно сжимается в направлении, перпендикулярном к направлению магнитного поля, и частицы вместо сферической формы приобретают форму веретена. Если частица движется с релятивистской скоростью , то в собственной системе отсчета возникает сильное электрическое поле, которое приводит к дополнительному искажению электронной оболочки, в результате релятивистская частица перестает быть осесимметричной . В газовом облаке в окрестности нейтронной звезды температура близка к 10бК, т.е. характерные скорости частиц много меньше скорости света. Однако вследствие исключительно сильного магнитного поля индуцированное; электрическое поле оказывается близким по величине к внутриатомному и сильно искажает оболочку и форму атома [32], [33]. Из-за ориентации частиц кинетическое уравнение приобретает ряд новых свойств,
14
что существенно влияет на коэффициенты переноса. В частности, эти коэффициенты становятся зависящими от направления и возникают некоторые перекрестные эффекты, которых нет в обычном газе. В дальнейшем, говоря об ориентированных частицах, мы будем подразумевать осесимметричные частицы, т.е. предполагать, что в системе существует только одно поле и релятивистских частиц нет (точнее, магнитное поле и характерные скорости частиц таковы, что электрическое поле не слишком велико). Следует отметить, что эффекты, связанные с влиянием магнитного поля на коэффициенты переноса, наблюдаются при значительно более слабых магнитных полях, чем в нейтронных звездах. Это эффекты Зенфтлебена и Венакера, которые регистрируются в лабораторных условиях при магнитном поле порядка 1000 Гаусс [34]—[36]. Объясняются эти явления возникающей после столкновения прецессией молекул вокруг направления магнитного поля. На такие прецессирующие молекулы можно смотреть, как на ориентированные, причем ориентация постепенно ослабевает, т.е мы имеем дело с временно ориентированными частицами.
В случае ориентированных частиц нельзя считать, что угловая часть сечения рассеяния зависит только от одной переменной — угла рассеяния. В третьей главе диссертации показано, что сечение рассеяния зависит от двух переменных— углов между выделенным направлением и относительными скоростями до и после столкновения. При такой зависимости сечения рассеяния от углов не выполняются условия теоремы Хеке, а исследование кинетического уравнения при невыполнении этой теоремы представляет очень интересную математическую и физическую задачу. В частности, если теорема Хеке не выполнена, то выбранная в начальный момент времени неравновесная сферически симметричная ФР в ходе релаксации может перестать быть таковой. Для получения выражения интеграла столкновений в
I
случае ориентированных частиц предлагается угловую часть сечения рассеяния разлагать по сферическим гармоникам. При этом исследуются основные свойства коэффициентов разложения. После этого
15
выписывается интеграл столкновений для произвольной ФР по скоростям и уровням. При доказательстве Я-теоремы использован прием, восходящий, как отмечается в [37], еще к Паули. Разработанный здесь метод может быть использован в случае ориентированных частиц для вычисления производства (скорости изменения за счет столкновений) не только энтропии, но и других молекулярных признаков. В частности, это могут быть моменты от ФР.
Четвертая глава посвящена интегральному преобразованию уравнения Больцмана, при котором ФР разлагается по максвелловским распределениям с разными температурами и средними скоростями. Это преобразование мы называем а- и-представлением уравнения Больцмана. Оно является развитием идей, высказынных при расчете структуры ударной волны в работах [38] и [39]. В случае сферически симметричной ФР разложение проводится только по разнотемпературным максвеллианам — о-представление уравнения Больцмана. Этот метод начался с решения одной задачи, которая явилась естественным развитием результатов, описанных в первой главе. Там при подстановке максвелловского распределения вычисление интеграла столкновений существенно упрощалось. Интересно было посмотреть, что произойдет, если ФР состоит из двух максвеллианов с разными температурами. Оказалось, что можно получить аналитическое выражение для интеграла столкновений от двух максвеллианов. Если этот интеграл столкновений разложить по максвелловским распределениям с разными температурами, то задача сводится к предыдущей. Разложение интеграла столкновений от двух максвеллианов, т.е. построение ядра интеграла столкновений в а-представлении, соответствует обратному преобразованию Лапласа. Задача построения ядра была успешно решена сначала для модели твердых шаров, а затем и для произвольного потенциала взаимодействия. В четвертой главе подробно излагаются исследования и расчеты в а-и-представлении [21]—[28].
Особенностью численных методов при работе с а-представлением
I
16
уравнения Больцмана является необходимость использования обобщенных функций. Так например, максвелловское распределение представляется в виде 6-функции, а в простейшей численной схеме [21] ФР в одной температурной ячейке аппроксимируется одной 6-функцией (одним максвеллианом) и выводится уравнение для коэффициентов при этих 6- функциях. Такой метод дал очень хорошие результаты при расчете релаксационных процессов в случае, когда ФР в V-пространстве монотонна.
Для описания немонотонной ФР в каждой температурной ячейке функция ищется в виде суммы 6 -функции и ее производной по температуре с коэффициентами, зависящими от времени [27]. Разработан также метод решения задач с осесимметричной ФР. Здесь главным элементом оказалась аппроксимация интеграла столкновений от двух максвеллианов набором конечного числа максвеллианов - так называемый дипольно-квадрупольный метод аппроксимации.
В третьем разделе четвертой главы построено выражение для а-ядра в случае произвольных степенных потенциалов. Для решения этой задачи сечение взаимодействия частиц разлагается по экспонентам ехр(-/%2) и для каждого значения (3 строится а -отображение » ядра интеграла столкновений в изотропном случае. Интегрирование по /3 выполняется в последнюю очередь. Для дальнейшего очень важен четвертый раздел четвертой главы, где рассматривается а-и-представление уравнения Больцмана для модели максвелл.—ювеких и молекул. Хорошо известно, что собственными функциями линейного (или линеаризованного) интеграла столкновений для таких молекул являются произведения сферических гармоник на полиномы Сонина. Мы называем такие произведения сферическими полиномами Эрмита.
В четвертом разделе показано, как отображаются эти функции в а-и-простраыство. Оказывается, что им соответствует биортогональная система функций, причем набор правых функций представляет собой комбинации 6-функций и их производных по Т и по -и, а набор левых функций - комбинации биномов Т - То и и - разных степеней. Это
17
представление оказывается очень удобным при вычислении коэффициентов разложения по сферическим полиномам Эрмита. В частности, для максвелловских молекул вычислены нелинейные матричные элементы (МЭ) от интеграла столкновений. Эти МЭ являются обра-
I
зом интеграла столкновений при полиномиальном разложении уравнения Больцмана по сферическим полиномам Эрмита.
В пятом разделе четвертой главы с использованием а - представления сферических полиномов Эрмита для произвольного степенного потенциала взаимодействия получены формулы для нелинейных МЭ в изотропном случае.
Первые работы по а-и-представлению уравнения Больцмана были опубликованы в 1970г. Несколько позднее, а именно в 1975-1977г.г., появился ряд работ, также посвященных интегральным преобразованиям нелинейного уравнения Больцмана [40]—[42]. Здесь использовалось Фурье преобразование от ФР по скоростям. В случае максвелловских молекул для изотропного случая было получено аналитическое решение нелинейного уравнения Больцмана - БК\¥ -решение [41]. Это событие породило огромный поток исследований изотропного релаксационного процесса (см., например, обзор [43]). Было обнаружено, что при определенных условиях наблюдается немонотонная релаксация хвоста ФР. Мы также отдали дань этому увлечению в [27], где с помощью а'-представления провели расчеты релаксационных процессов с немонотонной ФР и смогли описать ФР вплоть до 10 тепловых скоростей.
История развития интегрального преобразования уравнения Больцмана подробно описана в шестом разделе четвертой главы. Там же описаны перспективы развития а - и представления. Показано, что дальнейшее развитие этого метода тесно связано с методом полиномиальных разложений.
Вторая часть диссертации посвящена исследованию структуры столкновительного оператора с использованием метода полиномиальных разложений. В этом методе интеграл столкновений переходит в
18
некоторую матрицу взаимодействия и, проводится изучение соотношений между нелинейными матричными элементами (МЭ) этой матрицы. Оказалось, что между МЭ существует множество соотношений, и эти соотношения имеются всегда независимо от потенциала взаимодействия частиц. Применение этих соотношений существенно упрощает вычисление МЭ при больших значениях индексов.
В пятой главе исследуется интеграл столкновений в изотропном (сферически симметричном) случае. Лаже в этом случае задача вычисления нелинейных матричных элементов столь сложна, что в литературе встречается ряд ошибочных работ. Так, нами в [44] была доказана ошибочность работы [45]. И, что особенно важно, в [44] были построены критерии, по которым можно проверять правильность расчета матричных элементов. Эти критерии построены на основе инвариантности интеграла столкновений от максвелловской ФР по
I
отношению к выбору базисных функций. В диссертации эта фундаментальная идея инвариантности развивается более глубоко.
В пятой главе для изотропного по скоростям уравнения Больцмана рассматривается инвариантность интеграла столкновений не только от максвелловской, как в [44], но и от изотропной ФР произвольного вида. В результате показано, что матричные элементы не независимы, а связаны между собой простыми рекуррентными соотношениями, причем эти связи справедливы для произвольных сечений взаимодействия. В изотропном случае базисные функции представляют собой полиномы Сонина, ортогональные с максвелловской весовой функцией. Температура этой весовой функции может выбираться произвольно (обычно ее выбирают равной равновесной температуре газа), однако интеграл столкновений не должен зависеть от этого выбора. Такие системы полиномов Сонина с различными температурами, по-существу, представляют собой различные базисы.
С помощью полученных соотношений между МЭ показано, как свой-
I
ства линейных матричных элементов проявляются в нелинейных. На основе полученных рекуррентных соотношений составлена численная
19
схема, с помощью которой определяются нелинейные матричные эле-менты через линейные. Построенные рекуррентные связи оказались очень простыми. В результате каждый пелинейный МЭ определяется через предыдущие с помощью четырех арифметических операций, при этом по заданным линейным МЭ находятся все нелинейные. Для сечений с произвольной-угловой зависимостью и с зависимостью от скорости, соответствующей степенным потенциалам, имеются простые формулы для линейных МЭ [46]. Новый подход в изотропном случае сократил время расчета матричных элементов на несколько порядков с одновременным увеличением точности. В результате удалось существенно продвинуться в область больших значений индексов. Так, например, для расчета МЭ на компьютере при Аго = 128, но формулам из [19] потребовалось бы фантастическое время 9 • 104 лет, в то время как с использованием рекуррентной процедуры такой расчет занимает около получаса.
Проведены расчеты ФР в ходе изотропной релаксации для нескольких моделей взаимодействия и при различных начальных условиях. Показано [47], что переход от Аго = 15 к Аго = 128 позволяет продвинуться в точном описании ФР от 2-3-х тепловых скоростей до 8-10-ти.
Шестая и седьмая главы диссертации посвящены исследованию интеграла столкновений для осесимметричного случая.
В первом разделе шестой главы описываются общие полиномиальные разложения для трехмерной функции распределения по скоростям, используемые при решении уравнения Больцмана. Обосновывается использование предложенной Барнетом ортогональной системы так называемых “сферических'’ полиномов Эрмита, представляющих собой произведение сферических гармоник У\я\ и полиномов Сонина
5)^ ,,2 с весовым максвеллианом, зависящим от температуры и от средней скорости.
Принцип инвариантности интеграла столкновений относительно выбора базисных функций оказывается весьма эффективным при расчете МЭ в осесимметричном случае. Связи между МЭ в этом случае на-
1
I
!
20 ; ходятся при переходе к базису с максвелловским распределением не только с другой температурой, но и другой сдвиговой скоростью.
Для конкретных расчетов матрицы перехода от одного базиса к другому очень полезным оказалось с*-г/-представление уравнения Больцмана. С использованием биортогональной системы : функций, соответствующей а-и представлению полиномов Эрмита, можно легко построить матрицу перехода от одного базиса с фиксированными параметрами (Т0, щ) к другому — с параметрами г^).; Выписывается формула, выражающая нелинейные МЭ в базисе (Т\, щ) через нелинейные МЭ в базисе (То, щ).
Дифференцируя эту формулу по Т и по и около точки (То, ио), получаем два вида связей: при дифференцировании по Т — связь между четырьмя МЭ, а при дифференцировании по и — между шестью. Как и в изотропном случае эти связи представляют собой рекуррентные соотношения. Они позволяют построить любой нелинейный МЭ, если заданы линейные МЭ как изотропные, так и неизотропные. I
Далее проводится изучение структуры столкновительного оператора и свойств МЭ, когда потенциал взаимодействия сферически симметричен, и сечение взаимодействия зависит только от модуля скорости и угла рассеяния. В этом случае линейный оператор и линейные МЭ удовлетворяют теореме Хеке. Используя результаты Кума-ра [17], мы доказываем обобщенную теорему Хеке (ОТХ), из которой следует обращение в ноль очень многих нелинейных МЭ. С помощью выведенных рекуррентных соотношений показано, что ОТХ является следствием обычной теоремы Хеке.
Дополнительные свойства интегрального оператора, основанные на ОТХ, изучаются в седьмой главе диссертации. ОТХ выполнена, если отсутствует выделенное направление в пространстве, т.е. нет сильного внешнего магнитного или электрического поля, которые могут приводить к ориентации частиц. Показано, что при выполнении ОТХ существуют дополнительные соотношения между МЭ.
В первом разделе седьмой главы строится рекуррентная процедура
і
І
21
і
с учетом ОТХ. Рекуррентная схема не зависит от того, стартовать ли с линейных МЭ первого типа (-К^до) или второго типа (-^оДг2,/2)' Поэтому основные доказательства проводятся для МЭ первого типа. Показано, что можно построить рекуррентную процедуру для подмножества нелинейных МЭ ІС1, * і с го = 0. Остальные МЭ легко
г1.‘1>г2>«2
определяются через НИХ. Осуществлен переход ОТ индексов Г, /, Г1, /х, /2 к новым переменным р, Я, А, г, и. В цепочке рекуррентных соотношений с фиксированными значениями р, Я, А при т = 0, 1 и различных
і
значениях и каждый раз существует только один неизвестный к этому моменту линейный неизотропный МЭ. Этот МЭ однозначно определяется по заданным линейным изотропным МЭ из-за обращения в ноль запрещенного по ОТХ нелинейного МЭ, завершающего цепочку рекуррентных соотношений. Доказано, что таким путем определяются все неизотропные линейные МЭ. При этом определяется также подмножество нелинейных МЭ для т = 0, 1.
Проведено сравнение расчетов линейных неизотропных МЭ по рекуррентной процедуре с известными результатами. Таких результатов не очень много. Имеются формулы связи неизотропных и изотропных линейных МЭ для максвелловских молекул [37], [49], [50]. Существуют также общие формулы, выражающие парциальные интегральные скобки через П-интегралы при I < 2 [48] для смеси газов с произвольными массами. После обобщения рекуррентных соотношений на случай разных масс установлено полное совпадение наших расчетов с известными результатами.
Рассмотрены некоторые интересные следствия из рекуррентных соотношений. Часть из этих результатов была известна ранее [49], [51].
Завершение построения рекуррентной схемы для других т и для отрицательных значений р — Я. проведено в четвертом разделе седьмой главы. Большая часть этого раздела посвящена компьютерному выводу двух аналитических формул. Первая из них выражает произвольный неизотропный линейный МЭ через изотропные линейные МЭ. Кроме того, построена аналитически система связей между ли-
22
нейными изотропными МЭ. Показано, что любой недиагональный изотропный линейный МЭ однозначно определяется по заданным диагональным.
В конце седьмой главы проведены результаты для случая произвольных нестепенных потенциалов взаимодействия. В этом случае рекуррентные формулы связывают коэффициенты разложения матричных элементов по П-интегралам.
В восьмой главе исследуются связи между матричными элементами в трехмерном случае. Эти связи являются следствием; того, что интеграл столкновений при разложении по сферическим полиномам Эрмита не зависит от того, как направлены оси в пространстве скоростей. В данном случае переход от одного базиса к другому соответствует последовательности поворотов в пространстве скоростей, причем достаточно рассмотреть два поворота: вокруг оси г и вокруг
оси у. Эти преобразования соответствуют группе вращений. Несмо-
.
тря на то, что группа вращений исследована в литературе достаточно подробно, в частности и для уравнения Больцмана, мы проводим подробный анализ соотношений, вытекающих из инвариантности интеграла столкновений при поворотах. В результате удается из единых принципов найти все связи между матричными элементами с различными значениями индексов. Кроме тогор удалось выяснить, чем отличаются эти связи для систем без выделенного и с выделенным направлением в пространстве. При отсутствии выделенного направления связи между МЭ с различными индексами га, т\ и имеют вид конечного числа алгебраических уравнений. Показано, что выполнение условий ОТХ необходимо для того, чтобы система имела ненулевое решение. Разработана рекуррентная процедура для решения этой системы. Полученные решения выражаются через коэффициенты Клебша -Гордана.
При наличии выделенного направления, т.е. в ансамбле ориентированных частиц, матричные элементы зависят от углов поворота системы координат. В этом случае не выполняется ОТХ. Однако связи
между матричными элементами существуют и в этом случае. Теперь это не алгебраические, а дифференциальные уравнения. Путем анализа систем дифференциальных уравнений выявлен ряд закономерностей в зависимости МЭ от углов поворота.
Положения, выносимые на защиту
<
1) Изучены свойства интеграла столкновений уравнения Больцмана в достаточно общем случае, когда частицы имеют внутренние степени свободы, а в пространстве имеется выделенное направление.
2) Впервые предложен метод интегрального преобразования нелинейного уравнения Больцмана — а - и -представление уравнения Больцмана и предложены численные методы решения полученного уравнения.
3) В полиномиальном методе решения уравнения Больцмана исследована структура интеграла столкновений, которая отражается в свойствах нелинейных МЭ столкновительного оператора.
4) Впервые показано, что вследствие инвариантности интеграла столкновений относительно выбора базисных функций между МЭ существует множество простых соотношений, которые могут быть использованы как рекуррентные соотношения.
5) В изотропном случае показано, что использование рекуррентных соотношений на много порядков ускоряет процесс вычисления МЭ, а использование в расчетах нелинейных процессов МЭ с большими значениями индексов позволяет продвинуться в описании ФР в область больших скоростей.
6) В осесимметричном случае из полученных, простых соотношений между МЭ в случае отсутствия выделенного направления доказана о( общенная теорема Хеке (ОТХ).
7) В осесимметричном случае показано, что следствием ОТХ являются дополнительные соотношения между МЭ. Эти соотношения позволяют выразить все осесимметричные МЭ через изотропные линейные диагональные МЭ.
24
8) В трехмерном случае из принципа инвариантности относительно выбора базиса получены рекуррентные соотношения, которые при отсутствии выделенного направления являются алгебраическими, а при наличии выделенного направления - дифференциальными уравнениями. Разработан метод решения алгебраических уравнений. Показано, что ОТХ является условием разрешимости этих уравнений, а самые общие МЭ пропорциональны соответствующим осесимметричным. Коэффициенты пропорциональности выражаются через • . коэффициенты Клебша-Гордана, что хорошо согласуется
с известными ранее результатами.
Общий объем диссертации 312 страниц, включая 14 рисунков и 33 таблицы на 26 страницах, приложение на 14 страницах, список литературы из 93 наименований, а также список публикаций автора по теме диссертации из 46 наименований.
Часть I
I : 1
- ' 1
НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА СТОЛКНОВЕНИЙ И а—и- ПРЕДСТАВЛЕНИЕ УРАВНЕНИЯ ВО ЛВ ДМ АН А
Глава 1
Свойства симметрии и больцмановское распределение
В этой главе мы расмотрим вид интеграла столкновений уравнения Больцмана для частиц с внутренними степенями свободы в случае бинарных столкновений. Основное внимание сосредоточим на тех свойствах интеграла столкновений, которые связаны с законами сохранения энергии и импульса и не зависят от сечения рассеяния частиц. В частности, основное внимание обращается на исследование равновесного состояния. Дело в том, что при доказательстве Я-теоремы часто используются соотношения детального баланса, существование которых не доказано, и, более того, имеются примеры, когда они нарушаются [52].
Оставляя до третьей главы доказательство Я-теоремы для наиболее сложного случая ориентированных частиц, в этой главе остановимся именно на предельном равновесном состоянии. Исследуем вопрос, какие же соотношения между сечениями необходимы и достаточны для того, чтобы это состояние не изменялось, т.е. было бы стационарным. Будет показано, что эти соотношения связывают проинтегрированные по углам сечения расеяния и могут быть доказаны из обратимости уравнений движения во времени.
Первая глава является, по-существу, введением в предмет и дает несколько нестандартный подход к задачам кинетической теории га-
зов. Кроме того, здесь появляется некоторый характерный математический аппарат, который затем обобщается в четвертой главе при вычислении интеграла столкновений для упругих столкновений при сильных отклонениях от равновесия. Полученные здесь результаты представляют и самостоятельный интерес. В частности, в процессе поиска связей между сечениями вырабатывается способ вывода релаксационных уравнений для неупругих столкновений.
Название этой главы определяется тем, что законы сохранения по теореме Эммы Нетер ([53], стр.20) являются следствием свойств симметрии уравнений относительно трансляции во времени (закон сохранения энергии) и в пространстве (закон сохранения импульса). Кроме того, одним из свойств симметрии является и инвариантность уравнений движения относительно обращения времени (Т-инвариантность).
1.1 Я-теорема и принцип детального баланса
Кинетическое уравнение Больцмана для частиц сорта г в общем случае имеет вид
дМ$, Г, *) , д£(у,г,г) я _ •
т + д? + *' дг> ~ сЫ’
здесь — внешняя сила, действующая на данные частицы, а /с?о/ — интеграл столкновений, представляющий собой сумму интегралов столкновений частиц сорта г с частицами всех сортов, включая и г. Под разными сортами здесь подразумеваются и частицы, находящиеся в различных энергетических состояниях. Столкновения предполагаются бинарными. Основная сложность при решении кинетического уравнения состоит в вычислении именно интеграла столкновений. В этой главе, акцентируя внимание на интеграле столкновений, сделаем ряд упрощающих предположений: исключим внешние силы, будем считать систему пространственно однородной и изотропной в пространстве скоростей. Тогда кинетическое уравнение принимает вид
28
Как известно из статистической физики, система, предоставленная самой себе, приходит в стационарное равновесное состояние, и функция распределения по скоростям частиц каждого сорта становится максвелловской, распределение по различным энергетическим состояниям — больцмановским, а концентрации различных компонент, реагирующих между собой, оказываются связанными между собой по закону действующих масс.
Основной вопрос, который будет исследован, — какие соотношения между сечениями различных элементарных процессов необходимы для того, чтобы при подстановке равновесного распределения интеграл столкновений тождественпо обращался в нуль.
При выводе кинетических уравнений для частиц с внутренними степенями свободы и химически реагирующих газов часто используют принцип микроскопического детального баланса [54]. В [52] показано, что этот принцип, вообще говоря, не выполнен. Он справедлив только в первом приближении теории возмущений. ;
В [55] установлено, что унитарности 5-матрицы рассеяния достаточно для доказательства Я-теоремы. Это значит, что вместо детального баланса
А* = Ль- : (1-1)
можно пользоваться соотношениями Штюкельберга
53 ^'к ~ 53 А-и = 1, А& = |5ц|2. (1.2)
* к
Здесь г и к соответствуют не только частицам, отличающимся внутренним состоянием, но и номером ячейки размером в фазовом пространстве. Представляет интерес более детально разобраться, какие связи между сечениями различных процессов необходимы для равновесия максвелл-больцмановского распределения.
29
1.2 Интеграл столкновений в случае упругих столк-
новении
Прежде чем переходить к решению основной задачи, рассмотрим интеграл столкновений для упругих взаимодействий частиц. Пусть имеются частицы двух сортов (А и В) с однородным распределением в координатном пространствен изотропными в пространстве скоростей распределениями fл(v) и Вычислим производную по времени
от функции распределения частиц сорта А в точке V = £>о за счет столкновений с частицами сорта В. Запишем интеграл столкновений в виде
= к+ _ д_. (1.з)
Здесь 7?+ и Я_ — скорости изменения /л('Ц), соответственно, за счет появления и исчезновения частиц А со скоростью #о из-за столкновений с частицами сорта В.
Вычисление Я_ сводится к вычислению вероятности столкновения частиц сорта Л, имеющих скорость щ, с частицами сорта Б, так как всякое такое столкновение приводит к исчезновению интересующих нас частиц. Очевидно, что Я_ имеет следующий вид
Здесь пв — концентрация частиц сорта В, д — относительная скорость столкновения частиц, Е(д) — полное сечение рассеяния частиц В на частицах А, = щ + д. Выберем сферическую систему координат с центром в точке г»о и обозначим сферические координаты точки Я-> 0и 91- Здесь д — величина относительной скорости, ось г\ направлена по продолжению прямой, соединяющей начало координат в пространстве скоростей с точкой начало отсчета угла (р\ произвольно. Теперь:
Я- = пв J ЦйО/лЫ/вЫ 9 <1д,
«о = Ы, «1 = Ы-
Я_ = пв / Z(g)fл(vo)fD(v^) 9г<1д втЯ, Щ=уо + 9, + 82 + 2«о 9 сое 9Х.
(1.4)
При вычислении Я+ учтем законы сохранения импульса и энергии. Закон сохранения импульса эквивалентен сохранению скорости движения центра инерции сталкивающихся частиц. Закон сохранения энергии при упругом столкновении эквивалентен сохранению величины относительной скорости. Следовательно, в системе центра инер-
\
ции акт столкновения может привести только к повороту вектора относительной скорости.
Введем угол ф между первоначальным направлением относительной скорости д и относительной скоростью после столкновения д1. Назовем отклонением от изотропности такую функцию х{9^'Ф^)у которая пропорциональна дифференциальному сечению рассеяния частиц А на частицах В и нормирована следующим образом:
Здесь е — полярный угол в плоскости, перпендикулярной д. Для симметричных молекул х{Я->'Ф'>£) не зависит от є> а зависит только от угла рассеяния ф. Теперь дифференциальное сечение можно записать в ви-
Вид зависимости у от ф может изменяться с изменением д, но в дальнейшем это не существенно, и аргумент д у функции у для краткости будем опускать. Определение функции х согласуется с определением полного сечения через дифференциальное
где интегрирование проводится по полному телесному углу.
Для достаточно мягких потенциалов интеграл (1.7) может расходиться из-за большого вклада рассеяния на малые углы. Однако для дальнейшего это не слишком важно. Всегда можно выбрать достаточно малый угол фо и рассматривать столкновения с ф > ф$. Тогда Е(д) оказывается конечным, хотя при уменьшении фо и становится все
7Г 2тг
(1.5)
О О
ДС
(1.6)
(1.7)
31
больше и больше. Полученные соотношения при исключенных столкновениях с ф > фо можно будет легко обобщить и на случай *“> 0. При сильных отклонениях от равновесия столкновения с малыми ф можно выделить в отдельную группу и в этом случае интеграл столкновений не разделять на Я+ и]?_. Ввиду того, что столкновения с
|
рассеянием на малые углы не могут привести к существенному изменению функции распределения, величина Я+ - Я- для малых ф оказывается малой. Сказанное справедливо для потенциалов взаимодействия более жестких, чем кулоновское. В случае кулоновского взаимодействия для исключения рассеяния на очень малые углы вводится искусственное обрезание, когда исключаются акты столкновений с большими прицельными расстояниями, а именно, с прицельными расстояниями больше дебаевского радиуса в плазме. В результате этого обрезания в интеграле столкновений при кулоновском взаимодействии появляется множитель, называемый кулоновским логарифмом.
Введем обозначение: V — скорость центра инерции сталкивающихся частиц. Точка V имеет следующие координаты в ранее выбранной сферической системе координат: в = д/2, <ри а 0ч и <р2 — угловые координаты первоначальной относительной скорости в сферической системе координат с центром в точке V. Ось г? направлена по продолжению прямой, соединяющей начало координат в пространстве скоростей С ТОЧКОЙ V. Угол Ф может быть выражен через $2,
В силу сферической симметрии первоначального распределения подынтегральное выражение в (1.4) не зависит от Поэтому можно выполнить интегрирование по что приведет к появлению множителя 2л в /?_. Такой же коэффициент появится после интегрирования по (р\ ив Я+.
По-существу, вычисление Я+ разбивается на два этапа. Прежде всего из всех столкновений выбираются такие, для которых относительная скорость лежит в интервале (дуд + Лд). На первом этапе подсчитывается число столкновений с выбранной относительной скоростью и со скоростью центра инерции, лежащей в бесконечно малом
32
объеме dv около точки v. Можно показать, что искомал величина пропорциональна dv. На втором этапе выбираются те столкновения, в результате которых частицы сорта А приобретают скорость, лежащую внутри сферы бесконечно малого радиуса є с центром в точке uq. При заданной начальной относительной скорости частиц скорости центров инерции соответствующих столкновений лежат в сфери-
/ ч 1
ческом слое (s — £, S -г 5).
При фиксированном положении центра инерции вероятность частицам попасть в рассматриваемую бесконечно малую сферу определяется угловым распределением х{Ф) частиц после столкновения. Условия нормировки (1.5) являются фактически формулировкой закона сохранения числа частиц в элементарном акте столкновения. После этого остается только выполнить интегрирование по д. Окончательно имеем
оо ,
R+ = ^JdgJde1dS2fA(v")fB(v'")g3 dg, (1.8)
7Г°
de = sin 0 dO dip, v" = |#"|, Vm = (v")2 = Vі + S2 - 2v5COS^2j
(vm)2 = Vі + s1 + 2vs cos 0<i, v2 = + s2 + 2vq$ cos 6\.
Здесь ex и Є2 единичные векторы, направленные вдоль вектора относительной скорости до и после столкновения. Область интегрирования в Л+ прификсированном значении д показана на рис. 1.1. Описание вычисления R+ приведено для более ясного понимания последующих рассуждений.
Пусть теперь имеется один сорт частиц с распределением f(v) и концентрацией п. Если на первом этапе при вычислении R± интегрирование ПО <р2 и Оч провести по всей единичной сфере, то мы дважды учтем одни и тс же столкновения. Этого можно избежать, введя коэффициент 1/2. Но при подсчете числа частиц, приобретающих после столкновения скорость v, мы должны учесть тождественность частиц.
Легко показать, что тождественность частиц после столкновения приводит к появлению коэффициента 2. Следовательно, в никакого