- 2 -
Содержание
В в е д е н и е ................................................. 3
Глава I . ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛЭМБА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ НЕУПРУГИХ СРЕД БОЛЬЦМАНА С УПРУГИМ ПОСЛЕДЕЙСТВИЕМ........... 10
§ I. Постановка задач ........................................... II
§ 2. Алгоритм решения задачи Лэмба в случае экспоненциальных
функций последействия ............................................. 19
§ 3. Конечные интегральные преобразования по времени в задачах распространения неупругих волн ............................... 35
§ 4. Применение конечных интегральных преобразований по временной и пространственной переменным в задаче Лэмба для сред
Больцмана с произвольными функциями последействия ................. 42
§ 5. Численный метод решения краевых задач, полученных после
отделения переменных .............................................. 52
§ 6. Полуаналитический метод расчета нестационарных волновых
полей для слоисто-однородных неупругих моделей сред................ 59
§ 7. Решение задачи Лзмба для неоднородного неупругого шара .. 66 § 8. Спектральные характеристики параметров поглощения для
некоторых моделей неупругих сред .................................. 71
§ 9. Сходимость метода и некоторые оценки точности ................ 77
Глава П . ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ДИНАМИКИ СЕЙСМИЧЕСКИХ ВОЛН ДЛЯ НЕКОТОРЫХ МОДЕЛЕЙ НЕОДНОРОДНЫХ НЕУПРУШХ СРЕД БОЛЬЦМАНА ........................................................ 91
§ I. Задача Лэмба для неупругого однородного полупространства 91 § 2. Некоторые физические явления в случае плоских границ
раздела неупругих сред ........................................... 114
3 а к л го ч е н и е ............................................. 142
Л и т е р а т у р а .............................................. 144
- 3 -
ВВЕДЕНИЕ
Решение прямых динамических задач - важная и актуальная проблема сейсмики. Её актуальность в практическом смысле определяется преаде всего недостаточной степенью разработки обратной динамической задачи - задачи определения свойств среды по наблюдаемому волновому полю. Интерпретация сейсмических наблюдений производится методом подбора модели, для которой расчетное волновое поле в целом или его характерные признаки согласуются с экспериментальными данными, что приводит к необходимости дальнейшего развития физических основ сейсмических методов, к учету многообразия и сложности реальных сред.
При изучении законов распространения сейсмических волн фундаментальное значение имеет выбор модели, описывающей основные сейсмические явления. Широкое распространение в сейсмологии и сейсморазведке получила модель упругих сред, математическим описанием которой является система динамических уравнений теории упругости. Эта физическая идеализация оправдана во многих случаях при описании сейсмических волновых процессов, но требует усовершенствования при качественном и количественном изучении таких важных динамических особенностей волновой картины в реальных средах, как изменение спектрального состава колебаний в процессе распространения, различия формы, спектрального состава и затухания колебаний в различных типах волн. В реальных средах часть упругой энергии переходит в тепловую - происходит диссипация. Среда, в которой учитывается явление поглощения, - не идеально-упругая.
В последние годы явление непругого затухания сейсмических волн широко изучалось экспериментально и теоретически. Парамет-
- 4 -
ры поглощения в последнее время привлекли особое внимание исследователей при решении литологических задач, так как они более чувствительны в некоторых случаях к изменению свойств среды, чем скорости. Если скорости волн в сейсмической среде варьируются в пределах одного порядка, то дифференциация коэффициентов поглощения гораздо больше (два порядка). Ярким примером этого, в частности, служит обнаружение повышенного поглощения сейсмических волн в газонефтенасыщенных пластах [II,[21 ; проведенные на этой основе исследования по прямым поискам позволили обнаружить и подтвердить наличие залежей нефти и газа в районах Прибалтики и Тшени 3 .
Для исследования неупрутих свойств реальных сред очень важен вопрос о механизме поглощения сейсмической энергии. Строгая теория позволила бы объяснить характер поглощения на различных глубинах Земли для разных регионов и зависимость поглощения от частотного состава сейсмических колебаний. Однако в настоящее время нет единого мнения о точной природе физического механизма поглощения и соответствующей математической модели [41. Немногочисленные экспериментальные исследования характеристик поглощающих свойств среды [53—[81 приводят, в основном, к независимости декремента поглощения от частоты и линейности коэффициента поглощения в широком диапазоне частот. Эти два факта взяты в основу при исследовании динамики волн в неупругих средах В настоящей работе в качестве модельной при изучении затухания взята модель среды Больцмана с упругим последействием [9] , дающая наиболее общую линейно-неупругую среду. Напряжение здесь связано с деформацией не только в данный момент времени, но и во все предыдущие, которые строятся по типу упругой среды. Закон Бука заменяется следующими соотношениями:
5
- Л(ех + еу + ег)*2Ме1;
^ =ме
Ху ■* 1 сху •
Аналогично для бу , 6г , ЧГхг # <гуг .
А и 1Л - здесь интегральные оператор! следующего вида:
ТЧх(^) = р x(i)-jx(cr) h(t-<^r)cl<r,
- со
■Ъ
Лх(-1)«А хШ-А (хСЛдС-Ь-чОск .
-со
Здесь А, р - упругие константы Лямэ, А, |х' - параметр! неидеаль-ности, характере зущие уровень поглощения энергии, К (А), д(А) функции последействия, характеризующие спектральный состав поглощения.
Данная модель при различных конкретных функциях последействия дает разнообразные уравнения состояния с различными сложными спектральными характеристиками поглощающих свойств среды [41, [Ю1. В частности, например, широко распространеннная в геофизике модель Гуревича [11,1 входит в класс линейно-неупругих сред С ДОВОЛЬНО СЛОЖНЫМИ функциями последействия [121 . Широко используется модель Больцмана в механике. Там оказалось удобным рассматривать слабосингулярные функции последействия (с интегрируемой особенностью в нуле) [13] . Однако, при всей своей общности, как уже отмечалось, линейно-неупругая среда Больцмана все же не дает универсальной модели поглощения, адекватной современным геофизическим представлениям. Поэтому при динамическом исследовании волновых полей параметры неупругости выбирались таким образом, чтобы обеспечить практически постоянное значение декремента поглощения и линейность коэффициентов затухания различных ти-
- 6 -
пов волн в пределах полосы поглощения, включающей заданные сейсмические частоты (см. § в).
Математическое моделирование распространения волн в неупругих средах Больцмана с последействием сводится к решению ин-тегро-дифференциалъннх уравнений, которые получаются из уравнений теории упругости заменой постоянных Лямэ А и р интегральными операторами Л и М .
Данные задачи настолько сложны с математической точки зрения, что даже простейшие задачи о распространении волн в линейной вязкоупругой среде решены аналитически только для частных видов функций последействия.
Методы решения таких задач являются обобщением классических методов теории упругости, таких как метод неполного разделения переменных, асимптотический, лучевой, численные методы. Наиболее часто для решения задачи применяется принцип соответствия [14], 115], [161. Суть его в том, что после применения преобразования Лапласа по временной переменной получается краевая задача стационарной теории упругости, в которой постоянные модули упругости заменены на модули, зависящие от параметра преобразования Лапласа. Далее она решается методами теории упругости, к трудоемкости которых добавляется сложность обращения преобразования Лапласа, что заставляет прибегать к значительным упрощениям; задачи решаются либо для частных видов функций последействия, либо при существенных ограничениях на строение среды (реальная среда заменяется простой с небольшим числом параметров) [17-20] .
Ряд интересных физических выводов о протекании процессов в линейной вязкоупругой среде получен асимптотическими методами [21-23] . Успешно, как у нас, так и за рубежом, развивается метод вычисления интенсивности волновых полей в вязко-упругих
- 7 -
средах [24]-[25].
Обобщением принципа соответствия является метод расчета волновых полей в однородных (слоисто-однородных) средах, предложенный Е.И.Шемякиным [9], [26]. Для расчета волновых полей в тонкослоистых поглощающих средах эффективно используется комбинирование лучевого метода и метода синтетических сейсмограмм [27].
Наиболее универсальными методами решения задач математической физики являются численные методы.
Из-за описанных выше трудностей, возникающих при решении вязкоупругих задач, часто рассматриваются постановки для элементарных моделей вязкоупругости. В этом случае постановки задач являются дифференциальными, что облегчает построение численных методов.
В работах [28]-[31] построен ряд алгоритмов численного решения разностными методами вязкоупругих задач в основном в дифференциальной постановке.
Сейсмические задачи имеют свою специфику. Для исследования динамических характеристик сейсмических волн требуется рассматривать волновые поля на больших удалениях от источника и для больших времен распространения, так как вычисление полей в ближней зоне не позволяет разделить суммарное интерференционное колебание на отдельные волны, что затрудняет динамический анализ.
А это предъявляет к ресурсам современных ЭВМ непомерно большие требования. Поэтому для изучения динамики волн в неоднородных поглощающих средах необходимо создавать алгоритмы расчета полного волнового поля, приспособленные к специфике сейсмических задач.
Цель и задачи работы. Целью диссертации является разработка эффективных алгоритмов решения задачи Лэмба для неоднородных
- 8
неупругих полупространства и шара и проведение на их основе численного исследования динамических характеристик сейсмических волн в неоднородных неупругих средах с целью дальнейшего развития теории интерпретации в сейсморазведке и сейсмологии.
В соответствии с этим в диссертации рассматриваются следующие задачи.
1. Пространственная задача Лэмба для вертикально-неоднородного полупространства, заполненного средой Больцмана с экспоненциальными и произвольными функциями последействия для различных типов поверхностных и заглубленных источников (вертикальное воздействие, горизонтальная сила, диполь, центр давления, центр вращения, источники конечных размеров).
2. Задачи распространения сейсмических волн в произвольной радиально-неоднородной модели Земли, заполненной средой Больцмана с произвольными функциями последействия, для различных типов точечных источников, моделирующих землетрясения.
На основе разработанных численных алгоритмов составлен комплекс программ для ЭВМ БЭСМ-6 и проведено исследование физики распространения волн в неоднородных неупрутих средах. Основные результаты диссертации опубликованы в работах Г 32]-[361 и приведены в отчете Щ СО АН СССР [37].
Научная новизна работы. В диссертации предложен и реализован численно-аналитический алгоритм решения задачи Лэмба для неоднородных неупрутих сред Больцмана с широким классом функций последействия, основанный на отделении пространственной и временной переменных и численном решении двупараметрического семейства краевых задач для одномерных дифференциальных уравнений.
На основе данного подхода проведено численное моделирование для некоторых типичных сейсмологических моделей неоднород-
- 9 -
ных неупругих сред.
Разработанные алгоритмы и программы решения задачи Лэмба для неоднородных неупругих сред Больцмана чистично внедрены в Горьковском научно-исследовательском радиофизическом институте АН СССР.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Всесоюзном совещании "Численные методы обработки сейсмических наблюдений" (сентябрь 1979г., Новосибирск), Международной школе "Численные методы интерпретации сейсмических данных" (октябрь 1980г., Суздаль), Международном семинаре "Точные асимптотические и стохастические методы в геофизике" (март 1981г., Ленинград), на семинарах Вычислительного центра СО АН СССР, ИГГ СО АН СССР, ИФЗ АН СССР.
10
Глава I. ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ЛЭМБА ДЛЯ НЕОДНОРОДНЫХ НЕУПРШХ СРЕД БОЛЬЦМАНА С УПРУГИМ ПОСЛВДЕЙСТ-ЖЕМ
В первых параграфах данной главы рассматриваются методы решения задачи Лэмба для неоднородного по г (по глубине) не-упрутого полупространства Больцмана с различными источниками. Вначале изложен подход к решению данной задачи для экспоненциальных функций последействия, основанный на сведении её к дифференциальным уравнениям более высокого порядка. Далее, с использованием преобразования Фурье-Бесселя она сводится к однопараметрическому семейству краевых задач меньшей размерности для гиперболических уравнений, которые решаются конечно-разностными методами для различных значений параметра суммирования в формулах обращения преобразования Фурье-Бесселя. Более эффективным для задач сейсмики, с точки зрения машинных ресурсов, оказался подход, основанный на сведении исходной задачи с помощью преобразований Фурье-Бесселя и Фурье к двупараметрическому семейству краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка по г (по глубине), которые решаются прогонкой для всевозможных параметров разделения данных преобразований. Кроме того, данный алгоритм позволяет решать рассматриваемую задачу для сред Больцмана с произвольным упругим последействием. В конце главы изложен алгоритм решения задачи Лэмба для общепринятой в сейсмологии модели радиально-неоднородной неупругой Земли, заполненной средой Больцмана с произвольными функциями последействия.
II -
| I. Постановка задач
Рассмотрим цилиндрическую систему координат (г.Ч>, г ) в полупространстве г >о и возьмем связь между напряжениями и деформациями в виде Больцмановских соотношений [9]
6г = Л9 + 2МеГ(-1),
6,р = Л0 +2М£,(^),
6г =Лб +2Мвг (I) ,
1п-Лея(«. (1)
%г = Ме„г(^,
^ = МеГ,а),
0 = £г +£ч, + £2 .
Здесь Ь - время,Л,М - интегральные операторы следущего вида:
t
Ах =Ях(Ъ)-Я [хШд^-'Юск'
. (2)
Мх = ихЩ -р' |х(сЕ)1ч(-Ь-<г)с1<1 .
-со
Среда предполагается неоднородной по переменной н .р(г\Х(г)и(г)-упругие константы, Я(я), р'(г) - константы неупругости рреды. Параметры X , р , А' , р' и плотность р здесь произвольные кусочно-непрерывные функции координаты г .
/:(§), - функции последействия, удовлетворяющие условиям:
1) К,д - положительные непрерывные и монотонно убывающие при£~°°,
2)/рк$щ<р , х'$у($щ<л , л'>о, р'>о . (з)
3) Н,С)30 при£<0 , £,Ь(£), %д(£) — 0 при § — оо .
Подставив в уравнение движения Г9] выражения для напряжений из (I) и вспомнив форлулы для компонент деформации, получим, проделав несложное преобразование, уравнения движения в
12
цилиндрических координатах для неупругой среды Больцмана в перемещениях :
С А 12/1 і { 1 6Ц<р _ _Цгмуд^Цг + д 5.Ч)г_ +
СЛ 2М)1эгг г Эг гг Эф гг/ ^ ЭгЭФ ЭгЭг
+ мі[їїі . 9-Гд,[дік + Щ] = р 3%
Мг1аФ^ ЭФ/Эг/Чаг Эг/. іаі* ’
м (4. і ди? 4- і- ^-г - и ( а *м) — -’иг- + аг2 V эг V эф ггГ'лп;гагач>
./Ахом\I /зги* Ш+лі^ + і-Гм№ + іЗ^Г
(Л 2/4)г»( 0ц?г Эг) Г'ЭгЭФ Эг .^Ч Эг гЗФЧ
м(д*Уг , ааиг, 1 аЧу, 1 эгиг, і эиГ, < эип,
ЧЗгЗг Эг2 г ЭгЭФ г* ЭФ2 г Эг г дг I
+ а. [л / эи,+± зи,+^г\+ (А+2 м) ШАП _ р а^и.
Эг I I Эг г Эф г /+(Л+2П,Эг . 'У ЭЬ2
эи
-Рэе
(4)
эде ир,и,,и, - составляющие неупругого перемещения в направлении осей Ог,ОФ, Ог . Для задания поля сил рассмотрим 138] функции вида
Б (г)
п.
25Г(1 + п2Гг)3/г ’
У(Г)-
3 п» - Г
45іИ + п*гг)5/г
(5)
°! » е0лиГ=О, Т0Р(Г) и г) бу-
О V* О ■'
Р(г) является единичной функцией, распределенной на плоскости 2 = 0 , ф’(г') - функция, имеющая единичный момент относительно
ТОЧКИ Г =о
Так как при п0— о° Р(г)=
дут в дальнейшем использоваться при моделировании распределенных и сосредоточенных воздействий.
Задача Лэмба формулируется следующим образом: найти вектор смещения и , удовлетворяющий при г>0 уравнениям (4), начальным
13
и
о
(6)
ь=о
и граничным условиям
Я:Р1-Ра(гД), %г=^(гД) при г = 0. (7)
Для сред, где упругие и неупругие параметры меняются скачком (разрыв 1-го рода), вводятся известные условия сопряжения на контакте двух сред.
Исследования [9] показывают, что краевая задача (4), (6), (7) поставлена корректно.
П.2. Если к границе г = О приложено воздействие типа центра вращения [391 , то в среде будут распространяться только БН волны и задача определения вектора 0 сводится в этом случае к нахождению единственной отличной от нуля компоненты иФ из уравнения
о
+ 13иФ_иИ + 1/ и'Э^уи. рэги„ г Зг - г2/ а? Iм дг /г* зг2
Зг2
(8)
с начальными
I 4*о
и граничным условиями
t
О
д Цф ..'Гк/х \ 3 и«р I
Р а/"ПН(1-<с)а7^
г=о
(9)
(Ю)
В случае источника типа нормальной силы на свободной поверхности волновое поле обладает осевой симметрией и отличные от нуля компоненты иг(г,г,1) и 1)г(г,гД) определяются из решения краевой задачи:
- Київ+380960830922