-2-
Содержание
Введение.......................................................................4
1. Обнаружение разрывных случайных импульсов с неизвестными параметрами... 9
1.1. Обнаружение случайного импульса с неизвестной длительностью и шириной полосы частот.....................................................9
1.2. Обнаружение случайного импульса с неизвестными длительностью, шириной полосы частот и величиной спектральной плотности его случайной субструктуры.............................................................28
1.3. Обнаружение случайного импульса с неизвестными энергетическими параметрами..............................................................38
1.4. Совместное обнаружение и оценивание длительности и ширины полосы частот случайного импульса...............................................50
2. Оценка параметров разрывных широкополосных случайных импульсов 70
2.1. Оценка ширины полосы частот случайного импульса с неизвестными параметрами..............................................................70
2.1.1. Квазиправдоподобная оценка ширины полосы частот случайного импульса............................................................70
2.1.2. Оценка ширины полосы частот случайного импульса с неизвестными временем прихода и длительностью....................................80
2.1.3. Оценка ширины полосы частот случайного импульса с неизвестными временем прихода, длительностью и параметрами случайной субструктуры. 84
2.1.3.1.Оценка ширины полосы частот случайного импульса с неизвестным
математическим ожиданием его случайной субструктуры....................84
2.1.3.2.Оценка ширины полосы частот случайного импульса с неизвестной
величиной спектральной плотности его случайной субструкгуры............89
2.1.3.Э.Оценка ширины полосы частот случайного импульса с неизвестными математическим ожиданием и величиной спектральной плотности его случайной субструктуры...................................95
2.2. Оценка времени прихода и длительности случайного импульса с неизвестными параметрами................................................100
2.2.1. Квазиправдоподобная оценка времени прихода и длительности случайного импульса................................................100
2.2.2. Оценка времени прихода и длительности случайного импульса с неизвестной шириной полосы частот..................................107
2.2.3. Оценка времени прихода и длительности случайного импульса с неизвестной шириной полосы частот и параметрами случайной субструктуры.......................................................111
2.2.3.1.Оценка времени прихода и длительности случайного импульса с неизвестным математическим ожиданием его случайной субструкгуры.. 111 2.2.3.2.0ценка времени прихода и длительности случайного импульса с неизвестной величиной спектральной плотности его случайной
субструкгуры..........................................................114
2.2,З.З.Оценка времени прихода и длительности случайного импульса с неизвестными математическим ожиданием и величиной спектральной плотности его случайной субструкгуры..................................118
2.3. Совместные оценки частотно-временных параметров случайного импульса................................................................121
-3-
2.4. Оценка средней мощности й энергии широкополосного случайного импульса с неизвестными частотно-временными параметрами.................123
3. Оценка параметров разрывных узкополосных случайных импульсов...........130
3.1. Квазиправдоподобная оценка времени прихода, длительности, ширины полосы частот и центральной частоты случайного импульса...............130
3.2. Совместные оценки частотно-временных параметров случайного импульса с неизвестной мощностью.................................................136
3.3. Оценка средней мощности и энергии узкополосного случайного импульса с неизвестными частотно-временными параметрами..........................141
4. Статистическое моделирование алгоритмов анализа разрывных случайных импульсов с неизвестными частотно-временными параметрами..................148
4.1. Методы статистического моделирования алгоритмов анализа разрывных случайных импульсов...................................................148
4.2. Моделирование алгоритмов обнаружения и совместного обнаружения-оценивания параметров случайных импульсов.............................158
4.3. Моделирование алгоритмов оценивания параметров случайных импульсов.............................................................161
Заключение................................................................167
Литература................................................................169
Сокращения, принятые в диссертационной работе.............................177
-4-
Введение
К настоящему времени в статистической радиофизике сложились и интенсивно развиваются два практически важных направления: различение сигналов на фоне помех, включающее как частные случаи задачи обнаружения сигналов, а также фильтрация сигналов из помех, включающая оценивание не изменяющихся во времени параметров этих сигналов. Эти направления рассматривают вопросы как статистического синтеза алгоритмов обработки наблюдаемых данных, так и анализа качества получаемых с помощью этих алгоритмов статистических решений. Кроме того, в последние годы заметный интерес вызывает исследование совместных алгоритмов различения сигналов и оценки их параметров на фоне помех. [51]
Одной из важных теоретических и практических задач статистической радиофизики является синтез и анализ оптимальных алгоритмов обработки стохастических сигналов. Этой теме посвящено достаточно много работ [5;7,13,17,21,26,2730,34,52 и др.]. Однако, значительная часть результатов получена в предположении стационарности исследуемого случайного процесса [10] и в условиях полной параметрической определенности относительно неинформативных параметров [14,18]. В то же время, во многих приложениях статистической радиофизики и радиотехники встречаются задачи обнаружения и оценки применительно к существенно нестационарным случайным процессам, когда распределения исследуемых сигналов известны с точностью до конечного числа некоторых параметров (параметрическая априорная неопределенность). Незнание этих параметров может привести к значительному ухудшению характеристик оценок. Кроме того, при переходе от стационарных к нестационарным случайным сигналам увеличивается число неизвестных параметров.
Одной из возможных моделей нестационарного стохастического сигнала является случайный импульс, представляющий собой мультипликативную комбинацию прямоугольной модулирующей функции, описывающей структуру сигнала, и реализации стационарного гауссовского случайного процесса, описывающего его случайную субструктуру [49]. Примерами таких сигналов могут служить информационный сигнал в системе связи с шумовой несущей, импульсный сигнал, искаженный модулирующей помехой, сигнал в оптической системе связи и системе диагностики цифровых устройств и др. [11,16,56]. У такого случайного процесса могут быть неизвестны время прихода, длительность, а также ширина полосы частот, математическое ожидание и величина спектральной плотности мощности его случайной субструктуры.
Необходимо отметить, что случайный импульс является определенной идеализацией реальных импульсов со случайной субструктурой [5,7,49]. Действительно, модель стохастического сигнала с прямоугольной модулирующей функцией предполагает скачкообразное изменение параметров принимаемого сигнала в мо-
-5-
менты его появления и исчезновения. У реальных случайных импульсов параметры изменяются хотя и быстро, но на некотором конечном интервале времени Дт. Однако, если длительность импульса г значительно превосходит величину Дт и выполняется условие г » 2я/0, где О - ширина полосы частот случайной субструктуры импульса, то применение такой модели в практических приложениях является вполне допустимым. Подробное исследование условий применимости разрывных моделей сигналов можно найти в [2,51].
Обнаружение и оценивание параметров случайного импульса в условиях параметрической априорной неопределенности приводит к значительному усложнению алгоритмов обработки. Поэтому возникает необходимость создания и исследования эффективности более простых устройств - квазиоптимальных или квази-правдоподобных алгоритмов, если в качестве оптимального алгоритма используется метод максимального правдоподобия. Сравнение эффективности синтезированных алгоритмов позволяет сделать обоснованный выбор между различными вариантами построения устройств обработки в зависимости от имеющейся априорной информации и требований к точности измерений.
Работы, посвященные обнаружению и оцениванию параметров случайных импульсных сигналов в условиях априорной параметрической неопределенности, появились сравнительно недавно. В [30] исследованы алгоритмы обнаружения стационарного случайного сигнала при полной параметрической определенности относительно неинформативных параметров сигнала, а в [22,49] - алгоритмы обнаружения случайного импульса в случае, когда один из частотно-временных параметров импульса (время прихода, длительность, центральная частота или ширина полосы частот) априори неизвестен.
В [44,45] рассмотрена оценка времени прихода, в [43,50] - длительности импульса, в [38] - частоты, в [42] - ширины полосы частот, а в [39] - величины спектральной плотности его случайной субструктуры. В [41,47] исследованы совмести ные оценки времени прихода и длительности импульса, а в [48] совместные оценки частотно-временных параметров случайного импульса с известной величиной спектральной плотности мощности.
В [30] приведены результаты решения задачи совместного обнаружения и фильтрации стационарного случайного сигнала, наблюдаемого на фоне помех, в [28] рассмотрен синтез алгоритма различения конечного числа сигналов с одновременным оцениванием их информативных параметров на основе адаптивного байесовского подхода, а в [51] исследованы вопросы синтеза и анализа оптимальных алгоритмов совместного различения детерминированных импульсных сигналов и оценки их параметров в условиях параметрической априорной неопределенности. Работы [60 - 62,64,66] и некоторые главы в [35] также содержат решения конкретных задач различения сигналов и оценивания их одинаковых параметров.
-6-
Тем не менее, в большинстве работ предполагается, что неинформативные параметры случайного импульса априори известны, что не позволяет использовать результаты данных работ при обнаружении и оценивании параметров исследуемого импульсного сигнала. Кроме того, в литературе достаточно слабо освещена проблема совместного обнаружения и оценивания частотно-временных параметров случайного импульса.
Таким образом, актуальносгь темы диссертации обусловлена необходимостью разработки методов статистического синтеза и анализа алгоритмов обнаружения, оценивания и совместного обнаружения и оценивания частотно-временных параметров импульсных случайных процессов и методов определения их эффективности для различных условий априорной неопределенности.
Целью диссертационной работы является
1. Синтезировать алг оритмы обнаружения случайного импульса и алгоритмы оценки и совместного обнаружения и оценки неизвестных параметров импульса по методу максимального правдоподобия при различных априорных условиях.
2. Теоретически исследовать эффективность синтезированных алгоритмов обработки случайных импульсов. Для этого развить методы аналитического расчета характеристик качества алгоритмов обработки импульсов со случайной субструктурой и неизвестными частотно-временными параметрами в условиях параметрической априорной неопределенности.
3. Экспериментально (методами статистического моделирования) проверить работоспособность синтезированных алгоритмов обработки и определить границы применимости найденных теоретических зависимостей для характеристик эффективности статистического анализа.
4. Сравнить эффективность предложенных алгоритмов обработки случайных импульсов и выяснить целесообразность их применения при различных априорных условиях.
В диссертационной работе рассмотрен синтез и анализ алгоритмов обнаружения, оценивания и совместного обнаружения и оценивания параметров случайного импульса с прямоугольной аппроксимацией спектральной плотности мощности случайной субструктуры, наблюдаемого на фоне аддитивного гауссовского белого шума, в условиях параметрической априорной неопределенности.
В первом разделе диссертации исследуются задачи обнаружения и совместного обнаружения и оценивания неизвестных параметров случайного импульса, наблюдаемого на фоне аддитивного гауссовского белого шума, в условиях параметрической априорной неопределенности. При этом спектральная плотность мощности случайной субструктуры импульса аппроксимируется полосовым низкочастотным спектром мощности и полагается, что время прихода случайного им-
-7-
пульса априори известно. Рассматривается важный с практической точки зрения случай, когда длительность импульса существенно превышает' время корреляции его случайной субструктуры. Проведен синтез алгоритмов обнаружения и совместного обнаружения и оценивания параметров импульса по методу максимального правдоподобия. Методом локально-марковской аппроксимации произведен анализ эффективности синтезированных алгоритмов. Получены асимптотически точные (при большом отношении сигнал/шум) выражения для вероягности ложной тревоги и пропуска сигнала, а также характеристик (смещения и рассеяния) оценок.
Во втором разделе рассматриваются оценки параметров случайного импульса с полосовой низкочастотной спектральной плотностью мощности, время прихода которого может быть неизвестно. Синтез алгоритмов оценки производится на основе метода максимального правдоподобия. Рассмотрены как раздельные, так и совместные оценки частотного (ширина полосы частот субструктуры) и временных (времени прихода и длительности) параметров случайного импульса, а также оценки его средней мощности и энергии. Характеристики оценок (смещение и рассеяние) находятся методом локально-марковской аппроксимации при больших отношениях сигнал/шум. Рассмотрены различные априорные условия и их влияние на структуру и характеристики исследуемых алгоритмов. Синтезированы квазиправ-доподобные алгоритмы оценивания и произведен сравнительный анализ эффективности этих алгоритмов с алгоритмами максимального правдоподобия. Показано, что проигрыш в точности квазиправдоподобных оценок по сравнению с оценками максимального правдоподобия может достигать значительных величин. Однако, структура алгоритмов максимального правдоподобия, оказывается существенно сложнее.
В третьем разделе исследуются совместные оценки частотно-временных параметров, а также средней мощности и энергии случайного импульса, наблюдаемого на фоне аддитивного гауссовского белого шума в условиях параметрической априорной неопределенности, причем спектральная плотность субструктуры импульса аппроксимируется полосовым высокочастотным спектром мощности. Для синтеза и анализа алгоритмов оценки применяются методы, аналогичные описанным во втором разделе.
В четвертом разделе рассмотрены методы статистического моделирования алгоритмов обнаружения, оценки и совместного обнаружения и оценивания параметров случайного импульса с полосовой низкочастотной спектральной плотностью мощности. Приведены результаты статистического моделирования алгоритмов, синтезированных в первых двух разделах. Подтверждена работоспособность моделируемых алгоритмов и определены границы применимости асимптотически точных формул для характеристик алгоритмов. Данные статистического моделирования удовлетворительно согласуются с результатами теоретического анализа.
-8-
В заключении подведены итоги по диссертации в целом и сформулированы основные результаты работы.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [74-91].
1. Обнаружение разрывных случайных импульсов с неизвестными
параметрами.
1.1. Обнаружение случайного импульса с неизвестной длительностью
и шириной полосы частот
Рассмотрим задачу обнаружения случайного импульса
*(')=#М('-4>)/го1> (11)
представляющего собой результат мультипликативной комбинации прямоугольной модулирующей функции
I1' М*1/2; (\
А*)= ■ , , ,(1-2)
О, \х\ > 1/2;
описывающей структуру сигнала, и реализации £(*) стационарного гауссовского случайного процесса с математическим ожиданием (МО) (<£(/)} = ад и полосовой низкочастотной спектральной плотностью мощности (СП)
в{а>)=г01(ю/П0), (1.3)
описывающего случайную субструктуру. Такая аппроксимация СП случайных сигналов широко используется в практических приложениях статистической радиотехники [5,49 и др.]. К неизвестным параметрам случайного импульса (1.1) относятся временное положение Ад, длительность импульса (временные параметры), МО ад, ширина полосы частот (частотный параметр) и величина СП уд его случайной субструктуры.
Рассмотрим задачу обнаружения импульса (1.1) с априори известным временным положением Ад. Будем считать, что длительность импульса (1.1) значительно превосходит время корреляции т/с = 2ж/Од его случайной субструктуры, а
ширина полосы частот субструктуры значительно больше величины 2ж)тд, т.е. выполняется условие
/*0 = г<А) /4*»1. (1.4)
При выполнении (1.4) параметр Од характеризует также ширину полосы частот импульса (1.1).
Задачу обнаружения стохастического сигнала (1.1) удобно сформулировать в терминах статистических гипотез [15,35,36,49]. Пусть сигнал наблюдается в течение времени [0;!Г] на фоне аддитивного гауссовского белого шума и(г) с односто-
-10-
ронней спектральной плотностью Щ. В результате, при наличии сигнала в наблюдаемых данных (гипотеза Н\) обработке доступна реализация
*(/)=*(0+и(0> О-5)
а при отсутствии сигнала (гипотеза Нд):
*(')=«(')• (1-б>
В процессе обнаружения сигнала (1.1) на основе принятой реализации х(() и имеющейся априорной информации подлежит проверке гипотеза Нд против альтернативы Н\. Так как временное положение случайного импульса (1.1) априори известно, целесообразно совместить передний фронт импульса с началом интервала наблюдения, положив Ад = тд/2. Тогда для сигнала (1.1) можем записать
*(г) = <?(г)/[(г-го/2)Л-о]- (1.7)
Для синтеза алгоритма обнаружения воспользуемся методом максимального правдоподобия [0,5,36,49 и др.]. Пусть неизвестные параметры т0 и стохасти-
ческого сигнала (1.7) принимают значения из априорных интервалов г0 е [Г^ ;Г2 ], Оо € причем
(1.8)
Согласно методу максимального правдоподобия для обнаружения импульса (1.7) необходимо по наблюдаемой реализации х(/) формировать логарифм функционала отношения правдоподобия (ФОП) Ь(г,0,а,у) как функцию текущих значений г, О, а и у неизвестных длительности г0, ширины полосы частот Оф, МО ад и величины СП Уд. Из [49] следует, что, при выполнении (1.4),
1^т,Ца,г)=-—-— Ьх(т,ф-^—1а{т)———— (1.9)
(^О+ЭД Щ+2Г М0+2г 4* ^ Щ)
Ьх(тЬ0(т )-}х(0Л, (1.10)
*°о о
где
00
Ж,а)= (1.11)
-оо
-11-
- отклик фильтра с импульсной переходной функцией h(t, Q) на реализацию x(i)
(1.5),(1.6), причем передаточная функция H((o9Ù) этого фильтра удовлетворяет условию
|ff(®,Q)|2=/(û>/a). (1.12)
Тогда, при априори известных МО ад и величине СП уд, алгоритм обнаружения
импульса (1.7) с неизвестными длительностью Тд и шириной полосы частот Qq
сводится к сравнению с порогом h величины абсолютного максимума функционала
Аяо(т»Я)«1.(г,а,ао,Го) О-13)
в пределах априорной области П, задаваемой условиями т0 е [Г\ ;F2 ],
Qo е ^1 ; ] * Если порог h превышен, то принимается решение в пользу гипотезы
#1, в противном случае принимается решение в пользу гипотезы Нд. Величина
порога h определяется выбранным критерием оптимальности обнаружения [4,5,7, 3032,49 и др.]. Таким образом, алгоритм обнаружения случайного импульса (1.7) с априори известными МО и величиной СП можно представить в виде:
sup Lm0(T,Q) > h, (1.14)
г, СеП Я0
где L^g (г, Q) определяется из (1.13). При неизвестных параметрах ад и у g будем использовать квазиправдоподобный алгоритм, который в отличие от (1.14) определим выражением
Hi
sup L*(r,Q)> h (1.15)
г,ОеП tf0
где
L (r,Q)= Дг,0,а\/), (1.16)
лаку* - ожидаемые (прогнозируемые) значения неизвестных МО ад и величины
СП уд случайного импульса (1.7), причем, в общем случае, а Ф ад и у* Фуд. При * *
а -ад, у -уд квазиправдоподобный алгоритм обнаружения (1.15) переходит в алгоритм максимального правдоподобия (1.14).
Характеристики алгоритма (1.15) определяются статистическими свойствами
логарифма ФОП (1.16). Следуя [49], можно показать, что функционал L (т9&) (1.16) является асимптотически (при рд -><*>) гауссовским случайным полем как при наличии, так и при отсутствии импульса (1.7) в реализации наблюдаемых дан-
-12-
ных х(г). Поэтому, при выполнении (1.4), ограничимся рассмотрением первых двух моментов этого функционала. Обозначим (г, СЇ) = (і?(г, ^ - сигнальные
функции (СФ), а 7'/*(г,0) = І*(г,0)-^(г,0)[яі ^ - шумовые функции (ШФ) логарифма ФОП ь(т9С1) при справедливости гипотез Я,, і«=0Д. Здесь усреднение выполняется по реализациям х(г) при фиксированных г0 и О0- Найдем СФ
,%*(т,О), і = ОД функционала (1.16).
Выполняя в (1.16) усреднение, для СФ 5*(т,0), і« ОД с учетом (1.9) можем
записать
5;(г,о)=(ґ(г,о)Ія/\=-----------а_|/у*(^о)|я
' г 1 я00 + *)<Л 1 7 я0? + * >
а*2г гО / #\
—Г *Л-Т“1п11[+* )’
(1.17)
где д = 2у* /Ыо). Согласно (1.11)
]х{ґ)И^-Ґ,Сі)Л'
-со
Ні =
оо 00
=; ;{х(/іМ'2щ-гьащ-і2,о)л, л2=
-00—00
/ /[Ви(,1.<2)+ам(,і)ахі(,2)]Ч,_,ЬП)Л(,-/2>£2Ці Л2>
(1.18)
оо оо
1 = 1,2.
—оо—оо
Тогда (1.17) можно переписать в виде
5;(г,о)=(ь>,о)|/гЛ= —2—^/ ' т 7 я00 + <?)о
х л(* - о) Яі-і2, О) ск\ &2
00 00
І І [вхі (Г1* *2 )+<**/ (*1) ах/ (Г2 )] *
*2
1.-00 -СО Ф
(1.19)
Щ1 + 4 }о Н0\1 + д ) 4*
Здесь
(1.20)
МО, а
(1.21)
-13-
корреляционная функция наблюдаемого случайного процесса х(/).
Найдем далее корреляционные функции
лога-
В, (Г1,аьг2,02)=^, (г2,02)(#(^ ШФ » = 04
рифма ФОП (1.16). Согласно (1.16), с учетом (1.9) и (1.11), ШФ Я*(г,0) можно представить в виде
АЙг.0НГМ|ч
* Г _ • Г I 00 со
• г
~{4.ПН>2р{)Н1-1ъФк-12’П)Л1‘{12 Л + м 1фПН1 -«*(')]<*•
Очевидно, что ^АГ*(г,О)|я^ = 0.
Из (1.5),(1.6) и (1.7) следует, что, при выполнении (1.4), х(г) является реализацией гауссовского случайного процесса, так что для моментов третьего и четвертого порядков этого процесса можем записать [49]
(*(*1 М*2 М*3 )Вх1^2^ъ )+ л«(*2 Рх/Оь'з)+ ах1 (*3 )#Х1 (*1 »*2)+
+ о*(*1)ахЛ*2)“хЖэ)
(1.23)
{^1Мг2М/зМг4)(^/)=^о(^32)(вх|(гз34)+^(гз)^(/4)]+5Х|(^Зз)х
х^3^4)+%1^1>м^з)^^2»^)+^^1 )я^4)Чя&2^з)+в»'&1 )ы{*г)ЪскъУы{Ч}
Тогда, с учетом (1.23), корреляционные функции ШФ логарифма ФОП (1.16) можно представить в виде
в* (г,, о,, г2, о2)= (я? (г,, а, К(г2> о2 |я,-)=
1 1 /[{А'зМ'4М*5М'б№;)-{4‘зМиУ^)х
.Мр^ + З*)2 00 I -оо
-14-
x (*fel)*(*6hPi}]“f3^lWrl ~r4,Qi)^2 “Г5^2ЖГ2 “r6>^2)<#3 <#4 <#6 +
x fa -f3,fl1 Ж^1 -/фЦ )^3 <*4 +2*V JJ[(^2М'ЗW'4Iяi)-(^2Ki)x
—со
x (*(f3 )*№, )] M*1 _Г3» Ц ) 4*1 -/4»Ц)^3^4+2й*? //[(^iM^W^^i)-
-00
- H'i К )(^3 Mr4 )l^i )] M*2 - ■r3> °2 ) 4*2 -,4> й2 )<*3 <*4 + ** 2[{*{*1 W*2 ) “
-{^1|Я,.)(^2^,>]Й1^2 =
(1.24)
/ vT ' 1 Г M IJfe(r3>*5X5**(*4> *6)+4rf(*4)]++*a('3>*6)fo/(*4, *j)+
А$ы/Г°°1
+aÂU)axl(t54i+axi(t3)aiJ{6)Bxi(tA>t5yaxAh)axi{ts)Bxi(t4yt6h*{t\-t3>to\\l{tl-t4>&\)*
*4*2 “*S»Q2)^*2 -*6>°2)Л3<*4 <*5 ^f6 +2л ? f Jfe(^2» *4)+(*4)&tf (*2>*3)]x
-00
00
xlfe -Гз.П,^,-/4,0,)(*3 £*4 + 20 q tf tarife)S„(r,,r4)+ aJtA^„fe,/3 )]x
-00
^2~^3»^2Ж/2_г4>^2)‘*3^4+4а }<*î <*2
Пусть верна гипотеза tf0 (сигнал отсутствует). Тогда x(t) = rt(t), где fa) -гауссовский белый шум с нулевым МО и односторонней СП N0, а выражения (1.20),( 1.21) примут вид
0*0(0-0, (1.25)
Здесь £(•) - “дельта”-функция Дирака [6]. Подставляя (1.25) в (1.19), для СФ Sq(t9Q) имеем
s'fea)—5L_j 2а+? >о
оо
.—00
£* f-^n-^b^+ïj, (1.26)
N0\^ + q ) 4*
Найдем внутренний интеграл по г'. Используя теорему Парсеваля [36] и (1.12), получаем
-15-
— - 00 со ~
|Л2(г-/*,0)^= = //(ю/О)^»^. (1.27)
00
00
-00
-00
-со
2я
-00
2л
Подставляя (1.27) в (1.26) и переходя к нормированным параметрам
г)*г/Г2, V = 0/^2 » для СФ логарифма ФОП (1.16) при отсутствии сигнала можем записать
§о(г/,о)=Яо('^2.«^2)=-'^017«/»7Л “^02 »7/7*.
4)1=А)1^ + 9 )“? Д1 + 9 Ц Л)2 = 201/2(1+? ).
где
= П /Г2, о,шЪрг, д* = 2у*/лг0, го? = 2а*2Г1/^0,
(1.28)
(1.29)
(1.30)
(1.31)
а /2о1 определяется из (1.8).
Подставим далее (1.25) в (1.24) и найдем корреляционную функцию ШФ логарифма ФОП (1.16) при отсутствии сигнала:
5о(тЬйЬг2>^2)=-7^----]/
4+д*)оЬ
00
2а
-00
,♦2
с*і £((2 4"
(1.32)
»Iі+9^
Рассмотрим внутренний интеграл в (1.32), для чего выразим функцию /г(г,С2) через ее спектр (1.12) и подставим в этот интеграл. Имеем
/ехр1/Цг, ^2)]я(ед01)Щ<*02)<^а^1-<2) (1-33)
2Я\
-оо
-СО
где і = ^--1 - мнимая единица, а символ “надчеркивание” означает операцию комплексного сопряжения. С учетом (1.33) для интегралов по ^ и <#2 первого слагаемого в (1.32) можем записать
|/Г іЖ*2“**^2Ц
О 0 ь-®
ЧЧ
Ж\Ж2= М у/ (її - Г2)Л] <3X2 = (1.34)
00
- Київ+380960830922