2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ........................................................5
1. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ СОВРЕМЕННЫХ ИСССЛЕДОВАНИЙ...................11
1.1. Взаимодействие дислокаций с дислокационными петлями....11
1.1.1. Поле напряжений дислокационной петли
в упругоизотропной среде...........................1 1
1.1.2. Взаимодействие скользящей дислокации с изолированной призматической дислокационной петлей.....................21
1.1.3. Взаимодействие скользящих дислокаций с ансамблем неподвижных призматических дислокационных петель 27
1.2. Взаимодействие дислокаций с дислокациями леса..........31
1.3. Движение дислокаций через хаотические композиционные ансамбли препятствий........................................35
2. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ ДИСЛОКАЦИЙ С ХАОТИЧЕСКИМИ АНСАМБЛЯМИ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ДИСЛОКАЦИОННЫХ ПЕТЕЛЬ.........................................................46
2.1. Постановка задачи............... '.............. 46
2.2. Общие положения принятые при моделировании I ..........47
2.3. Моделирование движения скользящей дислокации через ансамбли колеблющихся призматических петель.................50
2.3.1. Ансамбль призматических дислокационных петель
с распределением 5(11]).............................50
2.3.2. Ансамбль призматических дислокационных петель
с распределением 5(Кг)..............................63
2.3.3. Ансамбль призматических дислокационных петель
с распределением 5(11з).............................75
2.4. Анализ юаимосвязи характеристик эффекта “катастрофического разупрочнения ансамбля” и структуры хаотических ансамблей призматических дислокационных петель.............................85
3. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ ДИСЛОКАЦИЙ С ХАОТИЧЕСКИМИ КОМПОЗИЦИОННЫМИ АНСАМБЛЯМИ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ДИСЛОКАЦИОННЫХ ПЕТЕЛЬ И ТОЧЕЧНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ 94
3.1. Методические особенности моделирования процессов движения скользящих дислокаций через композиционные ансамбли точечных препятствий и колеблющихся призматических петель..................................94
3.2. Моделирование движения скользящих дислокаций через композиционные ансамбли колеблющихся призматических петель и точечных препятствий..........................96
3.2.1. Композиционный ансамбль точечных препятствий и дислокационных петель с распределением 5(111).......96
3.2.2. Композиционный ансамбль точечных препятствий и дислокационных петель с распределением 5(112)......119
3.2.3. Композиционный ансамбль точечных препятствий идислокационных петель с распределением 5(11з).....132
3.2.4. Композиционный ансамбль точечных препятствий и дислокационных петель с распределением 5(1*4)......147
3.2.5. Анализ взаимосвязи характеристик процесса движения скользящих дислокаций и особенностей структуры композиционных ансамблей...........................158
4. ЗАКОНОМЕРНОСТИ ПРОЦЕССОВ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СКОЛЬЗЯЩИХ ДИСЛОКАЦИЙ С ХАОТИЧЕСКИМИ КОМПОЗИЦИОННЫМИ АНСАМБЛЯМИ КОЛЕБЛЮЩИХСЯ ДИСЛОКАЦИОННЫХ ПЕТЕЛЬ И ТОЧЕЧНЫХ ПРЕПЯТСТВИЙ..............................................177
4.1. Влияние мощности точечных препятствий на характеристики процессов движения скользящих дислокаций через композиционные ансамбли..........................................177
4
4.2. Влияние относительной плотности точечных препятствий на характеристики процессов движения скользящих дислокаций через композиционные ансамбли.....................205
4.3. Совместное влияние точечных препятствий и призматических дислокационных петель на сопротивление кристаллов деформированию...............................................233
ВЫВОДЫ..........................................................247
ЛИТЕРАТУРА
249
5
ВВЕДЕНИЕ
Физические процессы прочности и пластичности кристаллических твердых тел в значительной мере обусловлены и предопределены особенностями дефектной структуры кристаллических твердых тел, особенностями и характеристиками дислокационных взаимодействий. Для целенаправленного изменения механических свойств материалов и изыскания возможных способов управления процессами пластической деформации, необходимо понимание микроскопических механизмов соответствующих процессов. Движение и торможение дислокаций непосредственно связано с их взаимодействием с различными ансамблями структурных несовершенств кристаллов, среди которых ансамбли дислокационной природы играют первостепенную роль. К числу последних относятся хаотические ансамбли, состоящие из дислокационных петель, которые в особенно большом количестве формируются при облучении твердых тел.
Исследование отдельных микроскопических механизмов процессов пластической деформации как экспериментальными, так и аналитическими методами в чрезвычайной степени затруднено из-за множественного характера дислокационных взаимодействий в данных процессах. В настоящее время наиболее эффективным средством для систематического изучения особенностей процессов движения скользящих дислокаций являются методы моделирования соответствующих процессов на ЭВМ. Компьютерное моделирование, во-первых, позволяет отказаться от многих упрощающих предположений, принимаемых при аналитическом рассмотрении, во-вторых, что особенно важно, позволяет рассматривать гипотетические модели, выявляя тонкие особенности процессов и влияние отдельных факторов, что невозможно сделать никакими другими средствами.
7
3) анализ сложения вкладов однокомпонентных ансамблей различной природы в упрочнение соответствующих композиционных ансамблей.
Научная новизна работы. В соответствии с поставленными задачами в работе впервые:
- разработаны оригинальные физические модели и методики моделирования процессов движения скользящих дислокаций через хаотические композиционные ансамбли, составленные из призматических дислокационных петель и точечных препятствий;
- с учетом дальнодействующих полей напряжений, создаваемых ансамблем призматических дислокационных петель, осуществлено моделирование процессов движения скользящих дислокаций через различные модификации хаотических композиционных ансамблей призматических дислокационных петель и точечных препятствий;
- получены основные статистические характеристики процессов движения скользящих дислокаций через композиционные ансамбли и проведен анализ их зависимости от мощности точечных препятствий, типа распределения ансамбля призматических дислокационных петель и относительной концентрации различных однокомпонентных ансамблей препятствий, входящих в состав композиционных;
- для однокомпонентных ансамблей призматических дислокационных петель, независимо от типа их распределения, установлен эффект “катастрофического” разупрочнения ансамбля при достижении критического значения амплитуды колебаний, когда призматические петли прекращает оказывать сопротивление движению скользящих дислокаций;
- установлено, что независимо от мощности точечных препятствий и их относительной плотности в композиционных ансамблях разупрочнение ансамбля с ростом амплитуды характеризуется двумя этапами, которым соответствуют различные механизмы разупрочнения. На первом этапе,
6
Первые исследования, связанные с моделированием процессов множественного взаимодействия дислокаций были проведены в начале 70-х годов в Московском Государственном Университете им. М.В. Ломоносова под руководством проф. А.А.Предводителева, и, в настоящее время, в основном, продолжаются его учениками.
Настоящая работа посвящена исследованию взаимодействия скользящих дислокаций с хаотическими композиционными ансамблями, составленными из колеблющихся призматических дислокационных петель и точечных препятствий и по своему идейному содержанию является непосредственным продолжением и развитием работ [1,44,45].
Моделирование проводилось применительно к кристаллам с ГПУ структурой. Такой выбор обусловлен наличием наиболее полных теоретических данных относительно особенностей полевого взаимодействия скользящих дислокаций с единичными дислокационными петлями. Такие кристаллы удобны как для теоретического, так и для экспериментального изучения, поскольку в них оказывается возможным независимое нагружение отдельных систем скольжения, а также контролируемое введение широкого спектра различных дефектов, что представляется важным при количественном сопоставлении экспериментальных и теоретических данных.
Целыо работы являлось:
1) построение физических моделей и методик моделирования процессов взаимодействия скользящих дислокаций с хаотическими композиционными ансамблями, составленными из колеблющихся призматических дислокационных петель и точечных препятствий;
2) исследование закономерностей процессов движения скользящих дислокаций через композиционные ансамбли в зависимости от относительной концентрации точечных препятствий, их мощности и типа распределения призматических дислокационных петель;
8
рост амплитуды приводит к снижению доли призматических дислокационных петель способных оказывать сопротивление движению скользящих дислокаций, что и обуславливает монотонное снижение величины критического напряжения прохождения. На втором этапе, дислокационные петли перестают оказывать сопротивление движению скользящих дислокаций, в следствии чего скользящие дислокации тормозятся исключительно точечными препятствиями, что и обуславливает в данной области неизменность значения критического напряжения прохождения;
- проведен анализ вкладов в суммарное упрочнение компонент для различных композиционных ансамблей.
На защиту выносится:
1. Методика моделирования процессов взаимодействия скользящих дислокаций с хаотическими композиционными ансамблями призматических дислокационных петель и точечных препятствий.
2. Результаты детальных исследований процессов движения скользящих дислокаций через различные модификации хаотических композиционных ансамблей призматических дислокационных петель и точечных препятствий; закономерности зависимости статистических характеристик данных процессов от относительной концентрации компонент композиционных ансамблей, типа распределения призматических петель и мощности точечных препятствий.
3. Положение о существовании двух характерных размеров призматических дислокационных петель, которые предопределяют различные механизмы разупрочнения композиционных ансамблей; положение о возможном двухэтапном характере разупрочнения композиционного ансамбля призматических дислокационных петель и точечных препятствий по мере роста амплитуды колебаний петель.
4. Правило определения суммарного критического напряжения для композиционных препятствий, составленных из дислокаций леса и
9
точечных препятствий по данным о вкладах в упрочнение соответствующих однокомпонентных ансамблей.
Научное и практическое значение диссертационной работы состоит в том, что полученные результаты и установленные закономерности вносят вклад в развитие физической теории прочности и пластичности углубляя современные представления о физической природе процессов, лежащих в основе деформационного упрочнения кристаллических твердых тел. Развитые в работе методы моделирования могут быть использованы для количественного анализа широкого круга вопросов физики деформационного упрочнения, связанных с взаимодействием дислокаций со сложными композиционными ансамблями препятствий, что должно способствовать решению задачи целенаправленного формирования механических свойств кристаллических материалов.
Практическая ценность работы заключается также в том, что полученные в ней результаты дают предсказание ряда новых эффектов и стимулируют постановку новых экспериментов по динамике дислокаций.
Апробация результатов. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих отечественных и зарубежных конференциях:
1. International Conference on Systems, Modelling, Control. Institute of Computer Science, Technical University of Lodz, Polish Cybemetical Society. Zakopane, Poland, April 27 - May 1, 1998.
2. International Conference on Systems, Signals, Control, Computers. Center for Engineering Research Technical Natal. Durban, South Africa, September 22-24, 1998.
3. International Conference on Systems and Signals in Intelligent Technologies.
Belarus State University. Minsk, Belarus, September 28-30, 1998.
4. International Conference on Modelling and Simulation. University de Santiago. Santiago de Compostela, Spain, May 17-19, 1999.
10
5. Прогрессивные технологии автоматизации. Санкт-Петербургский государственный электротехнический университет, Вологодский научно-координационный центр РАН, Вологодский государственный технический университет. Вологда, 28-30 мая, 1999.
6. International Conference on Artificial Intelligence. Center for Engineering Research Technical Natal. Durban, South Africa, September 24-26, 1999.
7. ХП Международная конференция по нейрокибернетике. НИН Нейрокибернетики, Ростовский государственный технический университет. Ростов-на-Дону, 27-29 сентября 1999.
8. XX Международная конференция “Релаксационные явления в твердых телах”. Воронежский государственный технический университет. Воронеж, 19-22 октября 1999.
11
1. ОБЗОР СОСТОЯНИЯ СОВРЕМЕННЫХ ИСССЛЕДОВЛНИЙ
1.1. Взаимодействие дислокаций с дислокационными петлями
До недавнего времени анализ полевого взаимодействия скользящей дислокации с дислокационными петлями носил качественный и полукачественный характер ввиду большой сложности вопроса. Впервые строгое и наиболее полное исследование данного вопроса проведено в диссертационной работе [1]. Основные результаты исследований [1], непосредственно используемые в настоящей работе, рассматриваются в следующих двух параграфах.
1.1.1. Поле напряжений дислокационной петли в упругоизотропной среде
Рассмотрим круговую дислокационную петлю с радиусом Я 0, расположенную в плоскости Z=0 с центром в начале координат (см. рис. 1.1). Вектор Бюргерса петли Е'п произвольно ориентирован в пространстве и образует угол у с осью г, сдвиговая компонента вектора Бюргерса петли Б“, расположенная в плоскости ее залегания составляет угол р с осью х. Краевую компоненту вектора Бюргерса петли, перпендикулярную ее плоскости, обозначим Ьх. Согласно формуле Пича-Келера [2]:
Рис.1 Л. Схема расположения круговой призматической петли
в бесконечном кристалле.
13
*У
= —г
An •*
+ d^2
ИК
, R J y
Г XYZ)
• ^ r>5
-b.
3cH1-n4
R5 R3
-b.
где: ^ = —, N = ^h = -^, X = x-£,, Y = y-£2> Z=z-£3=z,
1 -V 1-V
R2=X2+Y2 + Z2.
G-модуль сдвига, v - коэффициент Пуассона, (x.^z)-координаты точки, в которой вычисляются напряжения, £,,£2,£,- текущие координаты вдоль дислокационной кривой С, Ь. -координаты ее вектора
Бюргерса.
Для рассматриваемого случая круговой дислокационной петли bx-bu sin/cos/?, by=bn sin /sin Д 6z=£ncos /.
Используя параметрическое задание дислокационной линии
4t=K cos<p, £2=/^sin^, 4з= 0 и вводя новую переменную .9 = ~ ,
контурные интегралы, входящие в соотношения (1.1) можно свести к полным эллиптическим интегралам [3]:
гп =
Х>
Gb
2ffR0(l-v)V(l + u)2+v2
vcos/cosor 4 . г, л л Лч1
т —--------A,+sm/[A2 cos/? +А3 cos(2a-/?)J
(l-u)
2+v2
Gb
vcos / sina
[(l-u)
2+v2
2л^0(1-у)-Д1 + и)2 +v
Gbri fcos/sin26r v .
--------------_.........— \----------- B,+ —sin/
2я R0(l - y)>/(l + u)2 + v2 I ^ u
A, + sin /[A2 sin /? + A j sin(2a - /?)] \ (1.2)
B2 sin(a + p)+ B, 52nPg-/7)
где: u =
V
x2 + у2
Rr,
'x2+y2 , v = —, k2 = r lu
Rq |(l + u)
2 + v2 1 '
14
А,=К(к)
Л2 = К(к)
1 1 | (1 + и)(и2+У2-1)'
2+у2
+ Е(к)
_________4и(и2 + V2 -1]2_______
и [(1 + и)2 + у2][(1-и)2 + V2]
^ у у2 (и2 + у2 — 1)
” 2 " 2 [(1 + и)2 + V2 ] [(1 - и)2 4- у2 ]
н- Щ х
(1-и)2+У2 8(у2 -и2 +1) ( У4)/ 2 2
А3 = К(к)
у у + у
(у2+1) у2(и2 + у2-1)
I2 2[(1 + и)2 + у2][(1-и)2+у2]
т) у(и2 + V2 - 1 ) _ у2(и2 + у2 — 1) + у [(1 + и)2 + V2] [(1-и)2 + V2]
(1-и)2+У2 2 7 1 и
у2 +•— 2
\ _ 8(у2-и2-ы)_____
ч [(1 + и)2+у2][(1-и)2+у2Ц
В, = К(к)
3 _ 2у - 4(1-у)(и2 + у2 -1)+2(3-4и) _ у2(и
." ^ “2 " [О+и)
и.. 2+у2
2+У2
2 + V2
Е(к)
(1-и)
2 + у2
2у(и
2 + у2
-1)- Зу2 + - г) [(' + ц)2 + V21 [(< - “)* + У21-2(и2 + V2 - 0 +
В2 = К(к)
5
у — +
у2(и2+у2+1)
4 4[(1 + и)2 + у2] [(1 - и)2 + у2]
Е(к)
(1-и)2 + у2
л \( 2 2 Л 1 + и2 4и2у2
*—Л» ♦» *0+—-[(„„у
В3=К(к)
-5 +
8(и2 + у2 +1) У2(и2 + у2 4- 1)
Е(к)
О-и)
2+У2
[(1 + и)2 + V2] [(1-и) + V2]
| + иЧ 4(и2 + У2 -1)+ Ф + и)2+у2]|(1-и)2 + у2] +
16и V
2.,2
[(1 + и)2 + V2] [(1 - и)2 + V*
«-угол между осью х и проекцией радиуса вектора точки наблюдения на плоскость 2=0. К(к) и Е(к)-полные эллиптические интегралы первого и второго рода, соответственно.
15
Для вычисления поля напряжений краевой призматической петли следует положить Б"=Б\ тогда выражение (1.2) принимает вид:
ИЬА усо бо:
2*R0(1 -v) /(, + иу +>|(|_и)Чv2]
ri =-
K(k)
Gb1
I (l + u)(u2+v2-l) u (l 4- U)2 + V2
+ E(k)
1 4u(u2 + v2-l)2
u [(l + u)2 + v2] [(l - u)2 + v2]
vsina
21 " _ 2*R0(1-v) + uy + v> [(] _ uу + vi]
x<
ri = -
K(k) Gb1
1 . (l + u)(u2 +v2 -l)
u (1 + u)7 ‘
'2 + v2
+ H(k)
1 4u(u2+v2-l)2
U‘u“[(| + u)2 + v2][(l-u)2 + ^
sin 2a
2;zR0(l-w) 2yj(l + u)2 + v2
K(k)
3 — 2v —
4(l - r)(u2 + v2 -1)+ 2(3 - 4i/)
(1.3)
-3v2 +(u2 + v2 -l)
-•) ■■ H(k) 4(l - v)[(l + u)2 + V 21 f(l - u)2 + V2 -2(v2-u2+l)
u)2 + v2] / \ + 2v- \ (l-u)2+v2 u2(u2 +v2 -1 )+(v2 -u2 + )] u2
[(l + u)2+v2 f [(1 - u)2 + V2
Из выражений (1.3) видно, что сдвиговые напряжения краевой дислокационной петли центросимметричны относительно начала координат, т. е. замена (u,a,v) на (и,я + а,-\) не приводит к изменению величины сдвиговых напряжений. При этом функции и гуг обладают
плоскостью симметрии а = 0для и « = ^ для и двумя плоскостями антисимметрии а = ^для г£ и а = 0для туг и v=0. т7у имеет три плоскости симметрии of = ^/,a = -^/4,v = 0 и две плоскости антисимметрии а = 0и а = у^. Плоскости антисимметрии одновременно являются плоскостями нулевых значений сдвиговых напряжений г^,г2,г^у. Для сдвиговых напряжений г* и гух в плоскости v=const u=0 является центром инверсии, т.е. при заданном и т£ и гух на линии a- const равны по величине и
16
противоположны по знаку соответствующим значениям на линии а + п = const. При этом прямые а=/^и а = Оявляются линиями нулевого уровня напряжений и соответственно. Кроме того, значения в точках на прямой а = constpaBHbi соответствующим значениям г£ вдоль прямой а + ^ = const. Величина сдвиговых напряжений и вдоль оси z и в любой точке в плоскости петли, за исключением линии дислокаций, тождественно равны нулю. Сдвиговые напряжения т^у в плоскостях y=const (x=const) антисимметричны относительно проекции оси z на рассматриваемую плоскость и симметричны относительно проекции оси х (оси у). Величина напряжений г* в точках, принадлежащих проекции оси z, равна нулю.
Благодаря указанной симметрии, для получения сдвиговых напряжений г^,т£,г*у в плоскостях v=const и x=const или y=const достаточно определить значения напряжений (или г£) и г*у в одной четверти соответствующих плоскостей. Численные расчеты проводились для компоненты в плоскостях v=0.25; 0.5; 1; 2; 3.
Рис. 1.2 иллюстрирует характер изменения поля напряжений т£ в плоскостях v=const. Здесь и далее сплошные линии соответствуют положительным значениям г^, пунктирные - отрицательным, штрих пунктирные - нулевому уровню. Цифры на кривых отвечают значениям
f«=7— v. Линии равного уровня сдвиговых напряжений г * в
(Gb / 2^rR0 (1 — v')J
плоскости y=0 изображены на рис. 1.3.
Рис. 1.2 Поле напряжений т^7 краевой дислокационной петли при различных значениях V.
19
Рис. 1.3. Поле напряжений гх^ краевой дислокационной петли в плоскости у=0.
20
Рис. 1.4. Зависимость г£ приа=0(или г^ при а=тг/2) от и для различных значений V.
На рис. 1.4 представлен график зависимости от расстояния и вдоль прямой а = 0 при различных у=0.25; 0.5; 1; 2; 3.
Видно, что сдвиговые напряжения в плоскостях У=СОП81
характеризуются наличием от одного до трех экстремальных значений
(^«)Г'Г и быстро спадают при удалении от петли, становясь пренебрежимо малыми на расстояниях двух диаметров от центра петли. Число и положение экстремумов функции зависят от параметра V. При этом центральный минимум 2 существует при любом значении V, а максимумы 1 и 3 появляются при малых V, меньших 0.45 и 1.5 соответственно.
21
1.1.2. Взаимодействие скользящей дислокации с изолированной призматической дислокационной петлей
Особенности взаимодействия скользящей дислокации с призматическими дислокационными петлями зависит от взаимной ориентации их векторов Бюргерса и геометрии скольжения. Если векторы Бюргерса удовлетворяют критерию Франка [4], возможно контактное взаимодействие, сопровождающиеся протеканием дислокационных реакций. Результаты ранних исследований в этом направлении суммированы в обзорах [5,6]. Наиболее полный и строгий анализ указанной задачи проведен в [1], где, в частности, на основании метода моментов [7,8] проведен анализ узловых конфигураций, формирующихся при протекании дислокационных реакций между скользящими базисными дислокациями и призматическими петлями в ГПУ кристаллах и показано, что в результате протекания дислокационных реакций должны формироваться Ф- образные дислокационные конфигурации, характеризующиеся наличием двух плоских тройных узлов и дефекта упаковки. Поскольку в ГПУ кристаллах с преимущественно базисным скольжением относительная доля контактных взаимодействий мала и составляет согласно [9] до 10% от общего числа актов взаимодействия, то наибольший интерес представляет рассмотрение упругого взаимодействия скользящих дислокаций с призматическими дислокационными петлями . Анализу этого вопроса посвящен ряд работ [10-17], в которых рассмотрение упругого взаимодействия скользящей дислокации с призматическими дислокационными петлями проводилось в предположении, что набегающая дислокация в процессе взаимодействия остается прямолинейной. Допущение о жесткости скользящей дислокации является слишком грубым приближением, которое никогда не выполняется. Движущиеся дислокации являются гибкими и легко изменяют свою конфигурацию в процессе скольжения. Учет гибкости может привести не только к количественным, но и к качественным новым
22
особенностям взаимодействия скользящих дислокаций с призматическими дислокационными петлями. Поэтому учет анизотропии в рамках модели жестких прямолинейных скользящих дислокаций и сделанные на этот счет заключения [15,17] в значительной мерс обесцениваются.
Качественно новому, наиболее строгому уровню исследований упругого взаимодействия скользящих дислокаций с призматическими петлями отвечают [1,18], результаты которых представляются целесообразным рассмотреть более подробно.
Схемы взаимодействия, положенная в основу расчетов [1,18] представлена на рис. 1.5. Призматическая дислокационная петля радиуса Я0 располагалась в плоскости г~0 с центром в начале координат и характеризовалась вектором Бюргерса Бп. Гибкая дислокация, плоскость скольжения которой ^сопб^ параллельна плоскости залегания дислокационной петли, имела вектор Бюргерса В, составляющий угол [3 с осью х.
Дислокационные петли создают локальные быстро затухающие поля внутренних напряжений [3,18], поэтому скользящая дислокация в данной модели так же как и в [20-22] считалась закрепленной в точках ±х\ При заданном уровне однородного внешнего напряжения туг, равновесной конфигурации у(х) гибкой дислокации в приближении постоянного линейного натяжения определяется как решение уравнения:
где: Т = кОЬ2; О - модуль сдвига; к=1/2; Ь - вектор Бюргерса скользящей дислокации; р - локальный радиус кривизны дислокационной линии;
краевой и сдвиговой компонентами дислокационной петли с векторами Бюргерса Ьх и Ь".
I = Ь [(г; + )со5 Р + (г* +г ^ )в1п р}+ Ьгу1 ап р
(1.4)
с краевыми условиями: у(±х*,0,г)=0
(1.5)
Г*г>Гуг и Т«>г!г " сдвиговые напряжения, создаваемые
Рис. 1.5. Схема взаимодействия гибкой скользящей дислокации с призматической дислокационной петлей.
Рис. 1.6. Последовательные равновесные конфигурации гибкой
дислокации при постепенном увеличении внешнего напряжения. Стрелками отмечены переходы, совершаемые в динамическом режиме. Значения приведенного внешнего напря-
т.
жения равны г =
: =1 —--------------
** |ОЬх/2яИ0(1-1/)
= 0(1); 0,025(2); 0,04(3);
0,05(4); 0,075(5); 0,10(6); 0,15(7); 0,165(8); 0,203(9); 0,205(10).
24
Сдвиговые компоненты тензора напряжений, создаваемые круговой дислокационной петлей могут быть выражены через контурный интеграл, с помощью формулы Пича-Келера [2]. В этом случае уравнение (1.4) становится интегро-дифференциапьным, а нахождение его решения становится очень трудоемким. В [1,3] был проведен специальный анализ, в результате которого контурный интеграл, определяющий компоненты тензора напряжений дислокационной петли был сведен к полным эллиптическим интегралам. В частном случае, для компонент тензора напряжений краевой дислокационной петли (ьп = Ь*) в бесконечной упругоизотропной среде полученные в [1,3] соотношения имеют вид (1.3).
Таким образом, уравнение (1.4) представляет собой неоднородное нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, содержащее в правой части полные эллиптические интегралы с краевым условием (1.5). Задача нахождения равновесной формы гибкой дислокации сводится к задаче Коши, и для ее численного решения в [1,18] был использован метод Рунге-Кутта [23]. В результате проведенного исследования было установлено, что при заданном уровне внешнего напряжения, гу2, в зависимости от параметра V, возможно существование от одной до девяти различных равновесных конфигураций гибкой дислокации. В [1,18] также показано, что в зависимости от расположения плоскости скольжения гибкой дислокации относительно дислокационной петли могут иметь место три варианта механизмов прохождения гибкой дислокации. Для плоскости скольжения -1,4<у<0,1 процесс прохождения гибкой дислокации определяется взаимодействием с передним краем дислокационной петли (рис. 1.6а); для плоскостей 0,42<у<1,85 - с противоположным краем петли (рис. 1.66). В интервале значений 0,1<\'<0,42 гибкая дислокация сначала тормрзится передним краем дислокационной петли, затем, при определенном уровне внешнего напряжения скачком переходит в новое состояние, где тормозится
- Київ+380960830922