Проблемы теории гравитации с квадратичными лагранжианами в пространствах с кручением и неметричностью

Содержание
ВВЕДЕНИЕ 5
1 ПРИНЦИП ЛОКАЛЬНОЙ КАЛИБРОВОЧНОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ 30
1.1 Инвариантность относительно обобщенной группы Пуанкаре 31
1.2 Теорема Нетер для полной группы симметрий.............. 37
1.3 Принцип локальной инвариантности....................... 39
1.4 Определение структуры лагранжиана взаимодействия с калибровочным полем........................................ 44
1.5 Определение структуры лагранжиана свободного калибровочного поля............................................... 53
1.6 Уравнения калибровочного поля. Теорема об источниках калибровочного поля . . . :................................ 56
1.7 Взаимодействие калибровочных полей. Редукция прямого произведения. Введение констант связи...................... 61
1.8 Геометрическая интерпретация теории калибровочных полей 64
1.9 Физические интерпретации теории калибровочных полей . 74
1.9.1 Стандартная интерпретация на языке четырехмерной псевдоримановой геометрии..........................74
1.9.2 Объединение пространственно-временных и внутренних симметрий. Погруженное пространство-время 76
1.9.3 Калибровочная теория гравитации как теория гравитации типа Логунова................................. 79
1
2
2 ВАРИАЦИОННЫЙ ФОРМАЛИЗМ В ТЕОРИЯХ ГРАВИТАЦИИ
С НЕЛИНЕЙНЫМИ ЛАГРАНЖИАНАМИ 82
2.1 Вариационный формализм для нелинейных лагранжианов
при тетрадном представлении гравитационного поля .... 82
2.2 Вариационный формализм для нелинейных лагранжианов в пространстве Вейля-Картана и обобщенная теорема Гаусса-Бонне.......................................... 95
2.3 Лемма о параметрической инвариантности классической калибровочной теории....................................100
2.4 Законы сохранения в тетрадной теории гравитации в пространстве Римана........................................105
2.5 Законы сохранения в теории Эйнштейна-Картана........115
2.6 Законы сохранения в пуанкаре-калибровочной теории гравитации ................................................118
3 АНАЛИЗ ПУАНКАРЕ-КАЛИБРОВОЧНОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ С КВАДРАТИЧНЫМИ ЛАГРАНЖИАНАМИ 127
3.1 Квадратичный лагранжиан общей теории калибровочных полей ..................................................127
3.2 Общие свойства квадратичной пуанкаре-калибровочной теории гравитации.........................................132
3.3 Бесторсионный предел квадратичной пуанкаре-калибровочной теории гравитации................................139
3.4 Конформные преобразования......................... 145
3.5 Оператор конформной кривизны пространства Римана-Картана и его свойства..................................153
3.6 Теорема о представлении тензора конформной кривизны пространства Римана-Картана.............................157
3.7 Принцип обобщенной конформной инвариантности........163
3
3.8 Обобщенно конформно инвариантные лагранжиан и уравнения гравитационного поля...............................168
3.9 Спонтанное нарушение масштабной инвариантности .... 172
4 СФЕРИЧЕСКАЯ СИММЕТРИЯ В ОБОБЩЕННО-КОН-ФОРМНОЙ КВАДРАТИЧНОЙ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ 179
4.1 Уравнения гравитационного поля в случае сферической симметрии................................................179
4.2 Сферически симметричные решения в физическом вакууме 185
4.3 Нестатические сферически симметричные решения.......193
4.4 Сферически симметричные конфигурации идеальной жидкости ...................................................203
4.5 Изучение сферически симметричного распределения идеальной жидкости в особых точках..........................207
5 МАТЕРИАЛЬНЫЕ ИСТОЧНИКИ НЕРИМАНОВЫХ СВОЙСТВ ПРОСТРАНСТВА-ВРЕМЕНИ 214
5.1 Идеальная спиновая жидкость с внутренним цветовым зарядом ...................................................214
5.1.1 Динамические переменные, лагранжева плотность, уравнения движения..................................214
5.1.2 Уравнения цветового поля и тензор энергии-импульса жидкости.........................................220
5.1.3 Гидродинамическое уравнение движения спиновой жидкости с цветовым зарядом.........................224
5.1.4 Уравнения движения частицы со спином и цветовым зарядом.............................................227
5.1.5 Движение спина частицы в цветовом поле в пространстве Римана-Картана............................228
4
5.2 Идеальная дилатон-спиновая жидкость в пространстве Вейля-Картана.............................................231
5.2.1 Пространство Вейля-Картана .....................231
5.2.2 Динамические переменные и уравнения движения . 232
5.2.3 Тензор энергии-импульса и гидродинамическое уравнение Эйлера.........................................236
5.2.4 Движение частиц в пространстве Вейля-Картана . . 238
5.3 Идеальная гипермоментная жидкость.....................241
5.3.1 Динамические переменные и уравнения движения . 241
5.3.2 Материальные токи гипермоментной жидкости и гидродинамическое уравнение Эйлера ..................244
5.3.3 Особенности движения гипермоментной жидкости . 246
б НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ ГРАВИТАЦИИ С НЕ-ЛИНЕЙНЫМИ ЛАГРАНЖИАНАМИ НА ЯЗЫКЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ФОРМ 251
6.1 Вариационный формализм на языке дифференциальных форм251
6.2 Плоские волны кручения и ограничения на параметры квадратичного лагранжиана.................................259
6.3 Топологические инварианты Понтрягина и Эйлера, члены Черна-Саймона в пространстве Вейля-Картана................267
6.4 Дилатон-спиновая идеальная жидкость как источник нери-мановой космологии........................................276
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 280
ПРИЛОЖЕНИЕ. Используемые обозначения 285
ЛИТЕРАТУРА
286
ВВЕДЕНИЕ
Основной темой данного исследования является изучение возможности модификации уравнений поля общей теории относительности [1], возникающей при добавлении к линейному лагранжиану Гильберта-Эйнштейна инвариантов, квадратичных по напряженностям гравитационного поля, в пространствах более сложной геометрической структуры, чем пространство Римана, таких как пространство Римана-Картана и Вейля-Картана. В этих пространствах напряженность гравитационного поля будет описываться как тензором кривизны, так и тензором сегментарной кривизны, тензорами кручения и неметричности.
Возникающее при этом большое разнообразие в построении возможных вариантов теории должно ограничиваться определенными требованиями, имеющими характер основополагающих принципов теории. К таким принципам в первую очередь относится принцип локальной калибровочной инвариантности относительно группы Пуанкаре. Поэтому в Гл. 1 диссертации будут получены ограничения, которые налагает на физическую теорию применение этого принципа, заключающегося в требовании инвариантности интеграла действия теории и соответствующих уравнений поля относительно группы Пуанкаре с параметрами, являющимися произвольными функциями точек пространства событий.
Процедура перехода от теории, не удовлетворяющей требованиям локальной калибровочной инвариантностью, к теории, которая этим требованиям удовлетворяет, называется процедурой локализации. Эта процедура состоит в следующем. Пусть интеграл действия некоторой фи-
5
6
зической теории инвариантен относительно группы Ли с постоянными параметрами. Затем, налагая на этот интеграл действия требования локальной калибровочной инвариантности по отношению к этой группе Ли, выясняют, как должна видоизмениться лагранжева плотность и вся физическая теория, чтобы калибровочная инвариантность имела место.
Впервые идеи локальной калибровочной инвариантности были высказаны Г. Вейлем [2], [3] в его единой теории гравитации и электромагнетизма, затем в работе [4] по описанию спиноров в римановом пространстве, и наконец, в работе [5]. Хотя в настоящее время введенное Вейлем калибровочное поле - вектор Вейля - уже не интерпретируется как без-массовое электромагнитное поле, а трактуется как массивное дилатонное поле, тем не менее позднее в основополагающих работах Янга-Миллса [7] и Утиямы [8] и в последующих работах [9]—[13] (см. также [15]) было показано, что требование локальной калибровочной инвариантности является конструктивным принципом, который в соединении с разумными физическими требованиями позволяет построить достаточно содержательную физическую теорию поля в ее классическом (не квантовом) аспекте.
К начальному этапу применения локальной калибровочной инвариантности к теории гравитационного поля можно отнести наряду с работой Утиямы также работы [12]—[70]. В указанной работе Утиямы и в более поздней работе [13] свойства гравитационного поля выводились из требования локальной калибровочной инвариантности относительно группы Лоренца. При этом в теории не возникало кручение пространства-времени. В последующем Кибблом [12], основывась на идеях Сиамы [И], и автором [17], [18] был проведен вывод теории гравитационного поля из требования локальной калибровочной инвариантности относительно группы Пуанкаре. Один из результатов этих работ заключался в том, что в теории с необходимостью должно появляться кручение пространства-времени, так как тензор кручения представляет собой напряженность ка-
7
либровочного поля, вводимого локализованной группой трансляции. При этом обосновывалось, что источником кручения пространства-времени является спиновый момент внешнего спинорного поля. Этот факт представляет собой частный случай доказанной автором в [18] общей теоремы об источниках калибровочного поля (см. параграф 1.6 Гл. 1). Построенная таким образом теория, в основе которой лежит линейный лагранжиан Гильберта-Эйнштейна, обобщенный на пространства с кручением (пространство Римана-Картана), получила название теории гравитации Эйнштейна-Картана [66].
В Гл. 1 излагается развитая автором в [18], [22] общая теория калибровочных полей, вводимых при локализации полной группы симметрий физической теории, преобразующей не только физические поля, но также и координаты пространства физических событий. В основу теории положена связь между принципом локальной инвариантности и известными теоремами Э. Нетер. При этом дифференциальные тождества теоремы Э. Нетер трактуются как системы дифференциальных уравнений в частных производных относительно неизвестных лагранжевой плотности взаимодействия материального поля с калибровочным полем и лагранжевой плотности свободного калибровочного поля. Условия разрешимости этих систем уравнений позволяют получить законы преобразования калибровочных полей под действием локализованной группы. Результатами данной теории являются, во-первых, указанная выше Теорема об источниках калибровочного поля. Во-вторых, определение структур напряженностей калибровочных полей, в частности, напряженности поля трансляций, которая при геометрической интерпретации теории окажется тензором кручения пространства-времени. Наконец, удается обнаружить структуру тетрадных коэффициентов и показать, каким образом они содержат калибровочные поля, соответствующее локализованной группе трансляций и локализованной группе Лоренца. Этот последний
8
результат будет полезен при построении квантовой теории гравитационного поля. Отметим, что позднее теория калибровочных полей применительно к группам, преобразующим координаты пространства-времени, развивалась в [20], а значительно позднее аналогичные работы на близкой идейной основе в различных вариантах развивались многими авторами [26]—[31]. Этой же теме, но уже с использованием аппарата теории расслоенных пространств, посвящены работы [32], [33].
В указанной выше работе А. Траутмана [70] на основе использования формализма внешних форм Э. Картана теория Киббла-Сиамы была изложена в изящной математической формулировке, которую мы будем активно использовать в Гл. 5 и Гл. 6. Отметим, что существует более глубокая математическая интерпретация калибровочного поля как связности некоторого расслоенного пространства [34], [35] (см. замечание на стр. 120 русского перевода этой монографии), [36]. Это не удивительно, так как любая дифференциально-геометрическая структура может быть описана на языке теории расслоенных пространств. В настоящее время структуру расслоенного пространства с пространством-временем в качестве базы и с калибровочной группой Г в качестве структурной группы принято рассматривать как исходную точку при изучения калибровочных взаимодействий [37]—[50]. Такой подход в равной степени основан как на принципе локальной инвариантности, так и на принципе минимальности взаимодействия (см. параграф 1.3 Гл. 1). Однако, второй принцип не является столь же очевидным и фундаментальным, как первый. Возможны локально калибровочные взаимодействия, которые не удовлетворяют принципу минимальности взаимодействия. Эти взаимодействия уже не могут быть описаны на стандартном языке теории расслоенных пространств. Поэтому с нашей точки зрения теория калибровочных полей является более первичной и фундаментальной, чем те или иные геометрические структуры, на ней основанные. В настоящем исследовании мы
9
не будем использовать аппарат теории расслоенных пространств.
Следует отметить еще одно направление в калибровочной трактовке гравитации, связанное с представлением о том, что гравитационное поле должно вводится при локализации только группы трансляции [82]-[86] (см. также монографию [49]). Основанием для такого подхода служит то, что ток, соответсвующий группе трансляций, есть как раз тензор энергии-импульса, порождающий гравитационное поле в стандартном подходе общей теории относительности (ОТО). Однако, индуцируемая при таком подходе геометрия оказывается не геометрией Римана, как в ОТО, а геометрией пространства абсолютного параллелизма (пространство Вейценбека) с отличным от нуля тензором кручения и равным нулю тензором кривизны [84]. Поэтому главная аргументация данного подхода - аналогия с ОТО - оказывается несостоятельной. Теория оказывается даже более далекой от ОТО, чем теория, возникающая при локализации группы Пуанкаре. Наша точка зрения состоит в том, что поскольку группа Пуанкаре не представляет собой прямого произведения группы трансляций и группы Лоренца, то группу трансляций нельзя рассматривать изолировано, а только как подгруппу полной локализованной группы Г(я) всех симметрий теории [18].
Основной недостаток теории Киббла-Сиамы и основанной на ней теории Эйнштейна-Картана заключается в том, что в этой теории тензор кручения алгебраически зависит от тензора спинового момента внешнего поля. Этот факт лишает тензор кручения динамического содержания. Данный недостаток может быть преодолен, если к линейному лагранжиану теории Эйнштейна-Картана добавить члены, квадратичные по кривизне. Подобная теория была развита в работах автора [18], [19], [22] и в последующем в различных вариантах (с учетом дополнительных членов в лагранжиане, квадратичных также и по тензору кручения) предлагалась и исследовалась в многочисленных работах [24], [87]—[143] (см. также
10
обзоры [112], [44] и монографии [36], [46]—[49]). Краткий обзор подобных теорий дан в параграфе 3.2 Гл. 3. Отметим также, что к необходимости использования квадратичных лагранжианов со временем пришла также и теория супергравитации [144].
Следует подчеркнуть, что начатая в работах автора модификация теории гравитации, основанная на учете в пуанкаре-калибровочной теории в пространстве Римана-Картана квадратичных по кривизне и кручению лагранжианов (наряду с линейным), принципиально отличается от других, развиваемых в пространстве Римана, гравитационных теорий с квадратичными лагранжианами (см. [2], [155]—[182] и цитируемые там работы), которые развивались, начиная с классических работ Вейля [2], Баха [155], Эддингтона [156], [157], Ланцоша [158], Бухдала [159], [161], Стефенсона [162], вплоть до современных исследований, стимулируемых попытками построения перенормируемой [173], [174] и унитарной [175] теории гравитации, а также попытками устранения сингулярностей [176]—[178] за счет учета квантовых флуктуаций и решения проблемы инфляции [172]. Все эти теории строятся в пространстве Римана. Получаемые в них модифицированные уравнения гравитационного поля выводятся при помощи вариационной процедуры второго порядка, которая приводит к уравнениям, содержащим производные от метрики выше второго порядка.
В Гл. 2 диссертации показано, что пуанкаре-калибровочная квадратичная теория гравитации в пространстве Римана-Картана требует для получения уравнений поля применения вариационного принципа первого порядка, который заключается в независимом варьировании по метрике (или тетрадам, или базисным 1-формам) и связности (или эквивалентного варьирования независимо по метрике и тензору кручения). Этот метод варьирования часто называют методом Палатини, ссылаясь на работу [145], однако, как отмечено в [147], впервые этот метод варьирования был
11
применен А. Эйнштейном в своей работе по единой теории гравитации и электромагнетизма [198]. Обобщение формализма Палатини на тетрадную теорию гравитации в пространстве Римана-Картана было проведено автором в [148]. По поводу использования вариационного формализма первого порядка с учетом дополнительных связей см. [149]—[154]. В Гл. 2 диссертации данный метод применен к тетрадной реализации теории гравитации с нелинейными лагранжианами, произвольно зависящими от тензоров кривизны и кручения, сначала при условии полной независимости тетрад и связности, а затем в пространствах Вейля-Картана, когда на связность наложено некоторое ограничение. Полученные результаты применены для вывода обобщенного тождества Баха-Ланцоша (обобщенной теоремы Гаусса-Бонне) в пространстве Вейля-Картана, проделанного в работах автора [196], [197]. Данные результаты могут быть использованы при выяснении вопроса о влиянии пространства Вейля-Картана на перенормируемость квантовой версии теории гравитации.
Затем в Гл. 2 развитый метод применяется к построению вариационного формализма первого порядка с произвольными нелинейными лагранжианами в тетрадной теории гравитации с целью получения законов сохранения типа энергии-импульса и спинового момента. Здесь автор продолжает известные работы [198]-[204], в которых вариационные принципы использовались для цели получения законов сохранения в римановых пространствах. Тетрадная теория гравитации стала пользоваться популярностью после известного предложения Мёллера [205] рассматривать в качестве истинных потенциалов гравитационного поля не компоненты метрического тензора, а тетрадные коэффициенты (даже в теории гравитации в пространстве Римана). Хотя следует отметить, что идея тетрадной теории гравитации по существу уже встречалась в работах
А. Эйнштейна 1928-31 годов, в частности, в работах с Р. Майером (см. [199]), где она развивалась в связи с построением единой теории грави-
12
тации и электромагнетизма в пространстве абсолютного параллелизма. Данная идея представляется необходимой также в связи с проблемой параллельного переноса спиноров в пространстве Римана [210], [4].
Мёллер пришел к формулировке своей идеи в связи с проведенным им анализом трудностей стандартной общей теории относительности в связи с проблемой получения в этой теории величины, описывющей плотность энергии и импульса гравитационного поля. Невозможность удовлетворительного решения данной проблемы в ОТО, а также неизбежность наличия в ОТО сингулярностей пространства-времени, вытекающей из известных теорем Пенроуза и Хокинга (см. [211]), Мёллер назвал ” кризисом теории гравитации” [209]. Глубокий анализ трудностей с формулировкой закона сохранения энергии в ОТО был проведен А. А. Логуновым с сотрудниками [52]—[61]. О современном состоянии проблемы сохранения энергии в ОТО см. [212].
Результаты, полученные автором по проблеме законов сохранения в теории гравитации, изложены в [18], [213]—[216], [25]. В основе развиваемого вариационного формализма лежит Лемма о параметрической инвариантности классической калибровочной теории [215], [216], [25], доказанная в параграфе 2.3. Обсуждаемая в этой Лемме параметрическая инвариантность, которой обладает классическая калибровочная теория, дополняет параметризационную инвариантность перенормируемой квантовой теории поля, на исследование которой затрачиваются значительные усилия (см., например, [217]—[219]). С использованием развитого вариационного формализма в Гл. 2 находятся несколько сохраняющихся общековариант-ных выражений типа энергии-импульса как в пространстве Римана, так и в пространстве Римана-Картана. Эти выражения удовлетворяют известным условиям слабой локализуемости энергии Мёллера [205], но однако не являются ковариантными величинами относительно локализованных преобразований группы Лоренца. Найденные автором общековариантные
13
сохраняющиеся выражения типа энергии-импульса и спинового момента получили достаточную известность (см., например, работы [207], [83], [220], [221], а также монографии [208], [222]), а в иностранной научной литературе впоследствии неоднократно переоткрывались вплоть до настоящего времени (см. [223] и цитируемые там предыдущие работы).
В параграфе 2.6 Гл. 2 формулируется критерий сильной локализуемое-ти общей энергии материи и гравитационного поля, означающий требование, чтобы интегральное значение энергии-импульса в любом объёме было ковариантно как относительно общих преобразований координат, так и относительно локализованных преобразований Лоренца. В этом параграфе доказывается, что в пуанкаре-калибровочной теории гравитации, если лагражиан гравитационного поля содержит квадрат тензора кручения (напряженности калибровочного поля трансляций), может быть найдено выражение для плотности энергии-импульса, удовлетворяющее сильному условию локализуемости, и что это выражение есть как раз то, которое было предложено автором в работе [18] (и впоследствии переот-крытое К. Лопезом [224]).
В Гл. 3 формулируются общие принципы, которым должна удовлетворять квадратичная пуанкаре-калибровочная теория гравитации в пространстве Римана-Картана и обсуждаются те теоретические возможности, использование которых может привести к уменьшению числа произвольных параметров в гравитационном лагранжиане (параграфы 3.1 и 3.2). Здесь рассматривается первоначальная теория автора, предложенная в [22], квантовая версия которой была исследована в серии работ П. Л. Познанина [90]—[92], что вызвало определенный интерес [46], [141]. В параграфе 3.3 изучается бессторсионный предел этой теории (кручение отсутствует) [22], [97] и показывается, что возникающие при этом уравнения гравитационного поля совпадают в бесторсионном пределе с уравнениями поля для общего лагранжиана Хаяши при наложении на па-
14
раметры этого лагранжиана только одного условия (Теорема 3.1) [130],
Ш
Далее в параграфе 3.4 Гл. 3 с целью найти физические требования, которые могли бы существенно уменьшить число произвольных параметров в гравитационном лагранжиане, изучаются различные типы конформных преобразований в пространствах сначала Вейля-Картана, а затем Римана-Картана. Начиная с первых пионерских работ Вейля [2], [3], были развиты многочисленные теоретические построения, в том числе в пространстве Вейля-Картана, реализующие конформно инвариантную (калибровочно или нет) теорию поля [227]—[289]. Обширный список литературы можно найти также в [281]. В основе теории, изложенной в Гл. 3, лежит новый принцип симметрии, именно, принцип обобщенной конформной инвариантностиу сформулированный и развитый в работах автора [266], [269], [274], [275], [286]. Указанный принцип заключается в требовании инвариантности теории относительно наиболее общих преобразований в пространстве Римана-Картана, оставляющих инвариантным световой конус. Это введенное автором преобразование зависит от одной произвольной скалярной функции о(х) и от одной произвольной векторной функции qli{x) и названо обобщенным конформным <7, ^-преобразованием. Данное преобразование включает в себя в качестве частных случаев все типы конформных преобразований в пространстве Римана-Картана, как предложенные в более ранних работах [250], [251], [261] (в последней работе преобразования относятся также и к пространству Вейля-Картана), так и в более поздней работе [280], а также проективное пребразование связности (А-преобразование Эйнштейна) [292], [293]. По поводу конформных преобразований в пространстве Римана см. монографии [293], [401].
Конформные свойства пространстве Римана-Картана описываются с помощью введенного в [294] тензора конформной кривизны, обобщающего на пространства с кручением тензор конформной кривизны Вейля про-
15
странства Римана. Математические свойства данного тензора раскрываются в параграфе 3.5 с помощью введенного автором понятия оператора конформной кривизны в пространстве Римана-Картана. Развитая теория этого оператора применяется в параграфе 3.6 при доказательстве Теоремы о представлении тензора конформной кривизны пространства Римана-Картана (Теорема 3.3), раскрывающей структуру членов, отличающих данный тензор от тензора конформной кривизны Вейля. Данная теорема позволит в следующем параграфе образовать с помощью тензора конформной кривизны выражение, которое было бы обобщенноконформно инвариантно и которое будет использовано при построении теории гравитации.
Далее в параграфе 3.7 Гл. 3 определяется, к каким следствиям приводит применение принципа обобщенной конформной инвариантности к классическим физическим системам. Здесь находится обобщенноконформное уравнение Дирака и выясняется причина возникновения у спинорного поля канонического веса 3/2, а затем доказывается теорема, выясняющая необходимые и достаточные условия обобщенноконформной инвариантности произвольной полевой физической системы первого порядка (Теорема 3.4). Применение следствий данной теоремы к идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе приводит к установлению важного факта, а именно, что условие Френкеля является прямым следствием требования обобщенной конформной инвариантности [275], [286]. Тем самым устанавливается связь между принципом обобщенной конформной инвариантности и (выражаемой условием Френкеля) пространственно-подобной природой спина, которая представляет из себя факт исключительной физической значимости. Таким образом выясняется, что принцип обобщенной конформной инвариантности играет важную роль в современной теории поля.
Наконец, в параграфе 3.8 Гл. 4 строится модель обобщенно-конфор-
16
мно инвариантной пуанкаре-калибровочной квадратичной теории гравитации. С помощью дилатонного поля ß конформного веса ”-1”, введенного в известной работе Дирака [231], строится лагранжиан теории, содержащий часть, определяющую динамику дилатонного поля с включением са-модействия дилатонного поля вида /Т4, затем линейный по кривизне член, а также квадратичные по тензору кручения и по тензору кривизны части, причем все эти части лагранжиана обобщенно-конформно инвариантны. Из данного лагранжиана на основе вариационного принципа первого порядка находятся уравнения гравитационного поля, включающие три группы уравнений как результат варьирования по тетрадам, по коэффициентам связности пространства Римана-Картана и по дилатонному полю.
Дилатонная часть построенного лагранжиана похожа на лагранжиан Хиггса, что определяет возможность спонтанного нарушения масштабной инвариантности, различные механизмы которого обсуждаются в параграфе 3.9. Идея о спонтанном нарушении масштабной инвариантности в конформно инвариантной теории гравитации с неминимальной связью со скалярным дилатонным полем имеет длительную историю и часто переоткрывается в различных новых формах, см. [239], [186], [243]—[245], [253]—[275], а также обзоры [188], [281] и цитируемую там литературу. Один из механизмов спонтанного нарушения масштабной инвариантности связан с квантовой коррекцией дилатонного потенциала, который в однопетлевом приближении превращается в эффективный потенциал, обладающим минимумом при ненулевом среднем значении дилатонного поля. Данное явление было обнаружено в [183] в модели скалярной электродинамики (см. также обсуждение в [188] и [281]). В так называемой индуцированной гравитации (впервые предложенной А. Д. Сахаровым [184], [185]), спонтанное нарушение масштабной инвариантности описывается как следствие особых свойств коллективного поля связанных пар полей
17
материи (аналога конденсата куперовских пар), см. [188] и ссылки в этой работе. Несколько иной механизм спонтанного нарушения масштабной инвариантности в рамках индуцированной гравитации был рассмотрен в работах И. J1. Бухбиндера с сотрудниками [191]—[195], где были выполнены вычисления эффективного дилатонного потенциала, основанные на идее о возможности индуцированного кривизной фазового перехода первого рода, при котором происходит скачок среднего значения дилатонного поля /?, когда кривизна принимает некоторое критическое значение. Обобщение этой идеи на пространства с кручением было осуществлено в [194].
Точка зрения автора, изложенная в параграфе 3.9, заключается в том, что скачок среднего значения дилатонного поля зависит как от критических значений кривизны и кручения, определяющих фазовый переход первого рода, так и от величины плотности полей материи, динамика которых в этот момент была заморожена и которые представляли собой конденсат вакуумных полей. Отсутствие динамики материальных полей определило период инфляции, который окончился, когда динамика полей материи стала существенной [286]. В конце данного параграфа приводятся уравнения гравитационного поля обобщенно-конформной квадратичной теории гравитации вблизи критического значения дилатонного поля в частном случае нулевого кручения. Особенностью этих уравнений является различная зависимость членов этих уравнений (квадратичного по кривизне члена, космологического члена, члена с материальными источниками) от критического значения дилатонного поля. Так как это последнее значение зависит от средней плотности материальных полей, то оно должно меняться в процессе эволюции Вселенной, тем самым определяя различную роль каждого из членов уравнений гравитационного поля в разных фазах эволюции Вселенной.
В Гл. 4 изучаются те следствия, к которым приводят установленные
18
в Гл. 3 уравнения гравитационного поля обобщенно-конформной квадратичной теории гравитации в частном случае отсутствия кручения и при наличии сферической симметрии. В параграфе 4.1 исследуются общие свойства этих уравнений поля. Показывается, что второе из этих уравнений, не содержащее источников поля, в рассматриваемом частном случае может быть полностью проинтегрировано. При этом расширена известная классификация И. Д. Новикова решений, реализующихся в R-и Г-обласгях, и в нее предложено включить новое классифицирующее понятие: решения, реализующиеся в L-области, в которой выбором системы координат МОЖНО удовлетворить условию 022 = const.
В параграфе 4.2 для рассматриваемых уравнений поля при равном нулю кручении исследуется внешняя задача Шварцшильда. Сферически симметричные решения данных уравнений поля ищутся в физическом вакууме, который понимается как среда с тензором энергии-импульса А-членного типа. Показывается, что в R-области, когда выбором системы координат можно удовлетворить условию 022 = 022М Ф const, единственным сферически симметричным решением этих уравнений в физическом вакууме будет метрика Шварцшильда в пространстве де Ситтера (метрика Коттлера) [98]. Полученный автором результат ввиду наличия космологического члена не вытекает из известной теоремы о совпадении класса вакуумных решений уравнений Эйнштейна и уравнений квадратичной теории гравитации [103] и поэтому требовал специального рассмотрения. Затем в параграфе 4.2 выясняется, что если решение удовлетворяет условию 022 = const (L-область), то исследуемые уравнения поля имеют своим решением кроме известной метрики Нариаи-Бертотти, являющейся решением уравнений Эйнштейна с космологическим членом в вакууме, также новое решение, которое уже не удвлетворяет вакуумным уравнениям Эйнштейна [286]. Новое неэйнштейновское решение зависит от параметра го, характеризующего значение тензора конформной
19
кривизны Вейля, и если параметр характерной длины А = (г0к/)1/3 достаточно мал по сравнению с характерной длиной 1/\/Л, обусловленной наличием космологической постоянной, то найденное решение обладает свойствами конфайнмента, а именно, в данном решении при удалении от центра возникает возрастающая экспоненциально сила притяжения к центру [295].
В параграфе 4.3 изучаются нестатические сферически симметричные решения. Здесь прежде всего рассматривается задача Фридмана (случай однородного и изотропного распределения вещества) и доказывается, что задача Фридмана для уравнений поля обобщенно-конформной квадратичной теории гравитации имеет то же самое решение, что и для обычных уравнений Эйнштейна [101]. Последний результат был впоследствии подтвержден и получил дальнейшее развитие в известной работе [134]. Поэтому к новым эффектам уравнения поля квадратичной теории гравитации могут привести только в случае неоднородного распределения вещества.
В качестве примера подобной неоднородной задачи в параграфе 4.3 находится нестатическое решение уравнений Эйнштейна, описывающее погружение во вселенную Фридмана несингулярного обобщения внешнего решения Шварцшильда [297], [296]. Это решение представляет собой несингулярное обобщение известного нестатического решения Мак-Витти [298], [299]. Данное решение обладает весьма интересными свойствами. Вели отвлечься от проблемы погружения во вселенную Фридмана, то это решение описывается двумя параметрами: один из них, т, характеризует сингулярность решения, а второй, ^2, характеризует размазанность центрального сгущения. В нерелятивистском пределе данное решение будет описывать распределение плотности в шаровом звездном скоплении в соответствии с эмпирическим распределением Шустера (закон ”5/2” [423]). Хотя данное решение не является точным решением уравнений
20
поля квадратичной теории гравитации при / ф 0, при поисках подобных решений данное решение может приниматься в качестве нулевого приближения в тех случаях, когда величина / может рассматриваться как малый параметр.
Далее, в параграфах 4.4 и 4.5 изучаются сферически симметричные неоднородные конфигурации идеальной жидкости и доказывается, что в данном случае уравнения поля полностью определяют уравнение состояния идеальной жидкости. В частности, показывается, что в центральных областях конфигурации асимптотическое уравнение состояния оказывается совпадающим с уравнением состояния кварк-глюонной плазмы в модели кваркового мешка [276]. Наконец, в параграфе 4.5 в качестве нулевого приближения к решению уравнений поля квадратичной теории гравитации найдено новое точное решения уравнений Эйнштейна, обобщающее внутреннее решение Шварцшильда с постоянной плотностью [276].
В Гл. 5 излагается построение вариационных теорий некоторых типов материальных сред, которые в качестве источников уравнений поля пуанкаре-калибровочной теории гравитации могут порождать различные неримановы свойства пространства-времени, такие как кручение и неметричность. К подобным средам относятся сплошные среды, обладающие внутренними степенями свободы. Теория таких сред в плоском пространстве Минковского и в пространстве Римана развивалась, начиная с классической монографии братьев Коссера [300]—[306]. К средам подобного типа прежде всего относится идеальная спиновая жидкость Вейссенхоффа-Раабе [307], [308]. К настоящему времени теория этой жидкости, в том числе ее вывод из вариационного принципа, получила значительное развитие в работах [309]—[326], поэтому эта теория в Гл. 5 не излагается. Отметим только, что в подавляющем числе работ вариационная теория строится при помощи формализма, обобщающего метод неопределенных множителей Лагранжа, который был применен к обычной
21
идеальной жидкости в пространстве Римана в [327]—[329]. Теоретическая значимость модели спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе заключается в ее тесной связи с проблемой движения частиц со спином во внешних полях, которая еще не получила окончательного решения, несмотря на значительные усилия [330]—[340]. Если пространство-время допускает более сложную структуру, чем пространство Римана, то спиновая жидкость Вейссенхоффа-Раабе служит источником кручения пространства-времени, что имеет место в теории гравитации Эйнштейна-Картана и в пуанкаре-калибровочной квадратичной теории гравитации.
В Гл. 5 развиваются вариационные теории более сложных сред, представляющих собой обобщение идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе. К этим средам относятся идеальная спиновая жидкость с цветовым зарядом (порождающая геометрию пространства Римана-Картана), идеальная дилатон-спиновая жидкость (порождающая геометрию пространства Вейля-Картана) и идеальная гипермоментная жидкость (порождающая геометрию общего аффинно-метрического пространства). При построении этих теорий используется математический формализм внешних форм Э. Картана и основанная на нем вариационная процедура.
Общепризнанным подходом к описанию элементарных частиц является квантовая теория поля. При этом квантовое поле трактуется как бесконечный ансамбль взаимодействующих осцилляторов. Тем самым сложная теоретико-полевая конструкция аппроксимируется некоторой механической средой, свойства которой можно осознать и изучить на основе существующего математического аппарата. Наряду с аппаратом квантовой теории поля при решении проблем современной фундаментальной физики может быть также использована механическая модель, основанная на гидродинамическом описании среды. Подобный подход обладает определенной предсказательностью как в квантовой электродинамике, так и
22
в теории элементарных частиц, включая, например, гидродинамическую модель Ландау множественного рождения адронов [345], [346].
В параграфе 5.1 рассматривается один из аспектов гидродинамического подхода, при котором квантовая система взаимодействующих кварков и глюонов апроксимируется классическим образом как идеальная жидкость с внутренними степенями свободы, роль которых играет спин и неабелевый цветовой заряд частиц жидкости. Важность теории подобной жидкости заключается, в частности, в ее связи с проблемой движения частицы с изотопическим или цветовым зарядами во внешних полях [347]—[350]. Классическая нерелятивистская хромогидродинамическая модель жидкости (без учета спиновых свойств) была предложена в [351], а затем распространена на релятивистский случай в [352], где однако имел место ряд упрощений, в частности, отсутствовал учет поляризационных свойств частиц жидкости. Дальнейшее развитие теория получила в работах автора [353]—[355], [358]-[360]. Данная теория излагается в параграфе 5.1, где развивается релятивистская вариационная теория идеальной спиновой жидкости с внутренним неабелевым цветовым зарядом, взаимодействующей с порождаемым этим зарядом неабелевым полем Янга-Миллса с учетом спиновых поляризационных хромомагнитных эффектов в пространстве Римана-Картана с кривизной и кручением. В теории явно учитывается пространственноподобная природа спина путем включения в лагранжиан условия Френкеля. Получены уравнения движения жидкости, а также законы изменения тензора спина и цветового заряда (п. 5.1.1), а затем выражение для канонического тензора энергии-импульса рассматриваемой модели жидкости (п. 5.1.2).
Необходимость математически корректного вывода тензора энергии-импульса идеальной жидкости с цветовым зарядом обуславливается тем фактом, что на его основе с использованием производных Ли из закона квазисохранения тензора энергии-импульса в пространстве Римана-
23
Картана с кривизной и кручением может быть выведено (п. 5.1.3) гидродинамическое уравнение типа уравнения Эйлера, описывающее движение идеальной спиновой жидкости, частицы которой наделены цветовым зарядом, в неабалевом цветовом калибровочном поле, соответствующем калибровочной группе £77(3), и находящейся в гравитационном поле сложной структуры, описываемом геометрией пространства Римана-Картана. Данная задача является самосогласованной, так как гравитационное поле порождается тензором энергии-импульса, а цветовое поле порождается током неабелева цветового заряда рассматриваемой жидкости.
Далее в п. 5.1.4 на основе данного уравнения выводятся, найденные в работах автора [353], [355], [358], [360] классические уравнения движения цветовой частицы, обобщающие уравнения Вонга [347] на случай цветовой группы 811(3) и учитывающие также наличие спина частиц. При этом показано, что сила, действующая на такую частицу, представляет собой результат действия следующих типов сил: обобщенной силы Лоренца, порождаемой неабелевым цветовым зарядом; обобщенной силы типа Штерна и Герлаха, градиентной по напряженности цветового поля; силы Матиссона, отражающей взаимодействие спина частицы с кривизной пространства-времени, и силы ”трансляционного” типа, отражающей взаимодействие обобщенного импульса частицы с кручением пространства-времени. Интересно отметить, что аналог двух последних сил можно найти в современной калибровочной теории пластичности, использующей калибровочные группы вращений и трансляций для описания дефектов кристаллов (соответственно, дисклинаций и дислокаций) [341], [342].
Полученный тензор энергии-импульса может быть также использован при обосновании гидродинамической модели кварк-глюонной фазы до-конфайнмента [343], [358], [359]. На основе этой модели в [343], [344] было проведено обобщение гидродинамической модели множественного рождения частиц Ландау [345], [346], явным образом учитывающее структуру
24
вакуума квантовой хромодинамики и цветовой заряд кварков.
В п. 5.1.Б полученное уравнение движения частицы будет использовано для вывода уравнения изменения вектора спина частицы, найденное в работах автора [353], [360], которое обобщает на случай движения частицы со спином и неабелевым цветовым зарядом во внешних цветовом и гравитационном (с кривизной и кручением) полях известные уравнения, описывающие движение спина заряженной частицы в электромагнитном поле (уравнение Баргмана-Мишеля-Телегди [332], [339], [340], для случая однородного поля и уравнение Тамма-Гуда [331], [338] для случая неоднородного поля), а также обобщает уравнения, описывающие прецессию незаряженной частицы со спином в пространстве Римана-Картана [69], [76], [74].
В параграфе 5.2 излагается построенная в работах автора [376], [377] вариационная теория идеальной дилатон-спиновой жидкости, частицы которой наделены кроме спина также дилатонным зарядом. Данный гипотетический тип материи будет порождать в пространстве-времени структуру пространства Вейля-Картана и взаимодействовать с этой геометрической структурой. Важность рассмотрения материи, наделенной дилатонным зарядом, основана на том факте, что теория струн в низкоэнергетическом пределе эффективно сводится к теории, описываемой взаимодействием метрики и дилатонного поля [437]. В этой связи дилатонная гравитация представляет собой один из наиболее привлекательных подходов в современной гравитационной физике.
В теории дилатон-спиновой жидкости возникает новая динамическая величина - тензор дилатон-спина частиц жидкости, которая обобщает тензор спина жидкости Вейссенхоффа. Существенным при построении теории является то обстоятельство, что условию Френкеля удовлетворяет не весь тензор дилатон-спина, а только одна его составляющая -тензор спина. Устанавливается лагранжева плотность теории и определя-
25
ются вариационные уравнения движения жидкости, а также уравнение эволюции тензора дилатон-спина, которое содержит в себе закон сохранения дилатонного заряда. Затем находятся материальные токи дилатон-спиновой жидкости (каноническая 3-форма энергии-импульса, метрическая 4-форма энергии-импульса, 3-форма дилатон-сп и нового момента), которые являются источниками гравитационного поля в пространстве Вейля-Картана. Данные выражения затем используются для вывода из тождеств теоремы Нётер обобщенного гидродинамического уравнения типа Эйлера для дилатон-спиновой жидкости. В предельном случае исчезающего давления жидкости (уравнения состояния пыли) это последнее уравнение переходит в уравнение движения пробных частиц со спином и дилатонным зарядом в пространстве Вейля-Картана.
В п. 5.2.4 доказывается теорема о специальном виде гидродинамического уравнения Эйлера в пространстве Вейля-Картана. Важным следствием этой теоремы является утверждение о том, что тела и среды, не обладающие дилатонным зарядом, не подвержены влиянию возможной вейлевской структуры пространства-времени (в противоположность часто высказываемому мнению) и поэтому не могут служить инструментом для обнаружения подобной структуры. Для ’’обычной” материи без дилатонного заряда вейлевская структура пространства-времени ненаблюда-ема. Следовательно, для обнаружения различных проявлений вейлевской структуры пространства-времени (если подобная структура существует) следует использовать тела и среды, наделенные дилатонным зарядом.
В параграфе 5.3 развивается вариационная теория идеальной гипер-моментной жидкости. Данный тип жидкости можно рассматривать как естественное обобщение идеальной спиновой жидкости Вейссенхоффа-Раабе и идеальной дилатон-спиновой жидкости. Этот новый гипотетический вид материи был впервые предложен в работах [361], [325] под именем идеальной жидкости с внутренним гипермоментом. По-
26
нятие гипермомента было введено в работе [152] при формулировке аффинно-метрической теории гравитации и обобщает такие динамические величины как спин и дилатонный заряд. Действительное существование гипермоментной жидкости представляло бы из себя факт фундаментальной физической значимости, так как в качестве источника гравитационного поля подобный тип материи порождал бы новый тип геометрии пространства-времени, именно, геометрию общего аффинно-метрического пространства (£4,д). В настоящее время аффинно-метрическая теория гравитации вызывает интерес в связи с проблемой взаимоотношений между теорией гравитации и теорией элементарных частиц [374], а также в связи с проблемой перенормируемости квантовой теории гравитации [375].
Вариационная теория идеальной гипермоментной жидкости развивалась в работах [362]—[373], в том числе в работах автора. В [365], [281] этот тип жидкости был назван ” гипержид костью”, что с нашей точки зрения неудачно, так как этот тип жидкости никак не связан с гиперзарядом - одним из характеристик элементарных частиц. Различия в вариационных теориях гипермоментной жидкости обусловлены в значительной степени использованием различных модификаций условия Френкеля. Так, в первоначальных работах [361]—[362], [365] обобщенное условие Френкеля накладывалось на весь тензор гипермомента, в то время как в последующих работах автора [366], [367], [381], [370] использовалась обычная форма условия Френкеля для тензора спина. Оба эти подхода имеют недостатки (см. п. 5.3.1) и развиваемая нами вариационная теория идеальной гипермоментной жидкости основана на другом типе обобщения условия Френкеля, сформулированного в работах автора [371], [373], в которых было предложено, чтобы условию Френкеля удовлетворяла бесследовая часть тензора гипермомента.
В п. 5.3.1 устанавливается вид лагранжевой плотности теории и вы-
27
водятся уравнения движения жидкости и уравнение эволюции тензора гипермомента, а в п. 5.3.2 вычисляются материальные токи гипермо-ментной жидкости, такие как каноническая 3-форма энергии-импульса, метрическая 4-форма энергии-импульса и 3-форма тока гинермомента. Основной результат теории заключен в выводе из тождеств Нётер гидродинамического уравнения движения жидкости типа Эйлера и анализе на его основе особенностей движения гипермоментной жидкости, который осуществлен в п. 5.3.3 на основе доказанных Теорем 5.2 и 5.3 и ряда следствий. Главный вывод заключается в том, что движение гипермоментной жидкости в аффинно-метрическом пространстве в предельном случае исчезающего гипермомента совпадает с движением обычной идеальной жидкости в пространстве Римана. Поэтому движение тел и сред, не обладающих гипермоментом, не чувствительно к возможному наличию неметричности пространства-времени. Любое исследование возможного наличия неметричности должно происходить при помощи тел и сред, обладающих гипермоментом, то есть частиц и жидкостей со спином, ди-латонным зарядом или внутренним гипермоментом.
В Гл. 6 математический формализм внешних форм Картана используется для решения некоторых задач квадратичной теории гравитации. В параграфе 6.1 вариационный формализм, развитый А. Траутманом [66] на языке внешних форм для линейного по кривизне лагранжиана теории Эйнштейн а-Кар тан а, обобщается на квадратичные лагранжианы. В основе обобщения лежит доказанная в работах автора [388], [391] Лемма 6.1, определяющая правило коммутации вариации произвольной р-формы и операции дуального сопряжения Ходжа. Данная Лемма позволяет легко выписать уравнения гравитационного поля, соответствующие независимым вариациям общего квадратичного лагранжиана, записанного через 2-формы кривизни и кручения, по базисным 1-формам 0а и 1-форме связности Г^.
28
В параграфе 6.2 рассматривается задача о возможном существовании плоских волн кручения в квадратичной теории гравитации. Поиск решений уравнений пуанкаре-калибровочной теории гравитации, представляющих собой волны кручения, в частности плоские волны, осуществлялся в [382]—[391]. В работах автора [386]—[389], [391] понятие плоской волны кручения, сформулированное в работе [382] на основе аналогии с электромагнитными волнами, обобщается на теорию гравитации с произвольными квадратичными лагранжианами. Рассмотрение производится на языке внешних форм. В параграфе 6.2 общие уравнения поля, выведенные в параграфе 6.1, решаются для случая плоских волн метрики и кручения. С помощью производных Ли дается определение пространства Римана-Картана £/4 типа плоской волны как пространства, допускающего группу симметрии Оь) являющейся группой симметрии плосковолновых решений в теории электромагнитного поля. Плоские волны кручения определяются как частный случай пространств типа плоской волны, связность которых удовлетворяет некоторому условию, аналогичному тому, которым обладает 4-потенциал плоской электромагнитной волны. Доказывается, что след и псевдослед плоской волны кручения равны нулю, а бесследовая часть имеет специальный вид и зависит только от двух произвольных функций запаздывающего параметра. Основной результат этого параграфа заключен в Теореме 6.1 [386]—[389], [391], выясняющей необходимые и достаточные условия того, что плоские волны метрики и кручения удовлетворяют уравнениям гравитационного поля квадратичной теории гравитации с общим лагранжианом Хаяши. Оказывается, что одним из условий этого является наличие дополнительного ограничения на константы связи лагранжиана Хаяши, смысл которого состоит в том, что кванты бесследовой части поля кручения должны иметь нулевую массу покоя.
Далее, в параграфе 6.3, опираясь на вариационные методы в форма-