Когерентные состояния для обобщенного осциллятора

Оглавление
1 Введение 7
2 Ортогональные полиномы и алгебры обобщенных осцилляторов. Симметричный случай 33
2.1 Симметричная схема построения систем подобных осциллятору 33
2.1.1 Каноническая система ортогональных полиномов .... 33
2.1.2 Несимметричная матрица Якоби..........................36
2.1.3 Ядро Пуассона.........................................37
2.1.4 Гамильтонов формализм.................................39
2.1.5 Алгебра обобщенного осциллятора.......................41
2.1.6 Обобщенная алгебра зи^(2).............................47
2.1.7 Когда оператор импульса является дифференцированием 49
2.2 Полиномы Эрмита 49
2.3 Ультрасферические полиномы..................................51
2.4 Реализация оператора уничтожения дифференциальным оператором .........................................................55
2.4.1 Постановка задачи.....................................55
2.4.2 Условия при которых матрица оператора А имеет ненулевые элементы только на верхней
над диагонали ........................................57
2.4.3 Условия при которых оператор уничтожения А может быть реализован как дифференциальный оператор ... 58
2.5 Обобщенные полиномы Эрмита..................................59
2.6 Спектральная мера матрицы Якоби для неопределенной проблемы моментов...................................................61
2.6.1 Вспомогательные сведения .............................61
2
2.6.2 Преобразование Стильтьеса т(г) спектральной меры . . 65
2.6.3 Конструкция спектральной меры ^........................73
2.7 ц-Полиномы Эрмита.............................................75
2.7.1 Осциллятор Арика- Куна.................................76
2.7.2 ц-осциллятор, связанный с дискретными
ц-нолиномами Эрмита второго рода........................78
3 Ортогональные полиномы и алгебры обобщенных осцилляторов. Общий случай 84
3.1 Несимметричная схема построения систем, подобных осциллятору ..............................................................84
3.2 Полиномы Лагерра..............................................88
3.3 Полиномы Якоби................................................91
3.4 Полиномы Мсйкснера и Мейкснера -
Поллачека.....................................................91
3.4.1 Осциллятор Мейкснера...................................94
3.4.2 Алгебра динамической симметрии и связь между гамильтонианами Я и Я 97
3.4.3 Полиномы Мейкснера- Поллачека..........................99
3.4.4 Осциллятор Мейкснера - Поллачека......................102
3.5 Полиномы Шарлье..............................................106
3.5.1 Осциллятор Шарлье ....................................106
3.5.2 Связь с осциллятором Шарлье, предложенным в работах [20, 43] 109
3.5.3 Унитарная эквивалентность осцилляторов
Шарлье и Эрмита........................................111
3.6 Полиномы Кравчука ...........................................113
3.6.1 Конечномерный осциллятор..............................113
3.6.2 Осциллятор Кравчука...................................114
3.6.3 Вариант осциллятора Кравчука из [20]..................116
3.6.4 Связь двух вариантов осциллятора Кравчука.............117
3.7 Связь между симметричной и несимметримной схемами.............120
3
4 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора 122
4.1 Различные определении когерентных состояний для обобщенного осциллятора...................................................122
4.2 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с классическими полиномами.....................................126
4.2.1 Когерентные состояния для гармонического осциллятора,
связанного с полиномами Эрмита..........................126
4.2.2 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Лагерра...............................127
4.2.3 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Лежандра..............................128
4.2.4 Когерентные состояния Барута.- Жирарделло для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Чебышева .........................................................136
4.2.5 Когерентные состояния Барута- Ж ирарделло для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Геген-бауера ...................................................... 139
4.3 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с я-полиномами Эрмита..........................................144
4.3.1 Когерентные состояния для ц-полиномов
Эрмита- Роджерса #„(#;<?)...............................144
4.3.2 Когерентные состояния для дискретных
ц-полиномов Эрмита второго рода.........................146
4.4 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с полиномами Мсйкснсра и Мойкснора - Поллачека . . . .151
4.4.1 Когерентные состояния Барута - Ж ирарделло для осциллятора Мейкснера...........................................151
4.4.2 Когерентные состояния типа Псрсломова для осциллятора Мейкснера................................................154
4.4.3 Когерентные состояния Барута - Жирарделло для осциллятора Мейкснера - Поллачека.............................155
4
4.5 Когерентные состояния для обобщенных осцилляторов, связанных с полиномами Шарлье............................................157
4.5.1 Когерентные состояния типа Барута - Жирарделло для обобщенных осцилляторов, связанных с полиномами
Шарлье.................................................157
4.5.2 Когерентные состояния типа Псрсломова для осциллятора Шарлье...................................................159
4.6 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора в конечномерном гильбертовом пространстве.................................160
4.7 Когерентные состояния для обобщенного осциллятора, связанного с полиномами Кравчука.........................................170
4.8 Неравенства на коэффициенты рекуррентных соотношений, следующие из соотношения неопределенностей............................172
4.8.1 Вывод неравенств в общем случае.........................172
4.8.2 Неравенства (4.8.14) для конкретных осцилляторов . . . 174
4.9 Вычисление параметра Манделя для обобщенного осциллятора........................................................178
4.9.1 Получение формулы для вычисления параметра Манделя обобщенного осциллятора ..............................178
4.9.2 Вычисление параметра Манделя для осциллятора Гегенбауера...................................................180
4.9.3 Вычисление параметра Манделя для q-ocциллятopa . . 191
4.9.4 Вычисление параметра Манделя для осциллятора Мейкснера.....................................................193
4.9.5 Вычисление параметра Манделя для осциллятора Шарлье........................................................194
5 Перспективы физических приложений 195
5.1 Мульти-бозонные системы........................................195
5.2 Квантовые оптические состояния в конечномерном гильбертовом пространстве...................................................200
5.3 Релятивистская модель осциллятора..............................204
5
Литература
Глава 1
Введение
Круг вопросов, затронутых в диссертации, связывает меж^іу собой три основные понятия: многочлены, ортогональные на вещественной оси; простейшие системы квантовой механики, такие как обычный гармонический осциллятор; и, наконец, состояния квантовой механики наиболее близкие к классическому случаю, которые называются когерентными состояниями. Множество публикаций, в которых изучаются и используются эти понятия, слишком велико. По этой причине мы ограничимся в этой главе кратким введением в интересующую нас область работ, наиболее близких к нашим исследованиям. При этом мы заранее приносим извинения тем авторам, чьи работы (но преднамеренно) не попали в наше поле зрения.
Системы ортогональных многочленов на вещественной оси являются одним из важнейших объектов математическою анализа, начиная с се|)едины девятнадцатого века. Свойства этих многочленов хорошо изучены [1| [10], и они широко используются практически во всех разделах современной математической и теоретической физики. Наиболее часто используются в приложениях многочлены Эрмита, через которые, в частности, выражаются волновые функции простейшей квантовой системі,т - гармонического осциллятора. Основной тезис диссертации состоит в том, что в этом смысле многочлены Эрмита нс являются исключением, так как каждой системе ортогональных многочленов на вещественной оси можно сопоставить систему подобную осциллятору [И]. Имея в виду возможные физические приложения, представляется интересным изучение свойств ортогональных многочленов в связи со свойствами соответствующих подобных осциллятору систем (которые далее
7
мы будем называть обобщенными осцилляторами). В последние годы заметно вырос интерес к построению обобщенных осцилляторов, связанных с различными системами ортогональных многочленов. Имеется несколько подходов к построению таких систем. Один из них, развитый в работах [15]-[20], рассматривает в качестве исходного объекта конкретную модель осцилляционного типа, а многочлены возникают при нахождении волновых функций системы, точно так же как многочлены Эрмита возникают при квантовании стандартного гармонического осциллятора. В другом подходе (см. [37].(23),[24],[40]), связанном с изучением квантовых алгебр, ряд результатов о связи алгебр Ли с алгеброй Гейзенберга (аа+ — а+а = 1) легко переносятся на квантовые алгебры после введения q-дeфopмиpoвaнныx осцилляторов (аат — сіп~а. = 1). Полиномы срЭрмита появляются в этих моделях при исследовании представлений деформированных алгебр. Помимо этого, отметим работы [С8|, а также |67], в которых указана связь некоторых систем бозонов с семействами ортогональных многочленов.
В настоящей работе предложен не стандартный подход к изучению связи между ортогональными полиномами и алгебрами некоторых оециллято-]юв. В отличие от упомянутых выше стандартных подходов мы строим соответствующий осциллятор и его гамильтониан по заданному набору собственных функций гамильтониана (в то время как при стандартном подходе алі'ебра самого осциллятора и его оператор энергии известны, а следует искать систему собственных функций). Заметим, что понятие "обоб-щешюго"осциллятора возникает как естественное обобщение широко используемого в современной литературе понятия "деформированный "осциллятор (|23|,|24],[40|). Понятие "деформированногопосциллятора трактуется довольно широко в упомянутых выше работах. А именно, под алгеброй "деформирован ного "осциллятора понимается любая свободная алгебра, генераторы которой удовлетворяют некоторым перестановочным соотношениям с одним или несколькими "деформационными"парамстрами. Единственное ограничение состоит в том, чтобы при предельном переходе параметров (к 0 или к 1) "деформированная"алгебра переходила в алгебру Гейзенберга (для обычного гармонического осциллятора). Определяемое нами в настоящей работе понятие ,,обобщенного"осциллятора сохраняет основные черты алгебры
8
"деформироваиногопосциллятора. Однако, в отлично от "деформированных "осцилляторов здесь отсутствует связь с алгеброй обычного гармонического осциллятора при предельных значениях параметров деформации. Остановимся ниже на некоторых основных аналогиях, которые дают нам право использовать термин "обобщенный"осциллятор.
Рассматривается гильбертово пространство, в котором исследуемая система полиномов образует ортонормированньтй базис. Трехчленные рекуррентные соотношения для этих полиномов определяют матрицу Якоби оператора "координаты"X. С помощью ядра Пуассона для данной системы полиномов определяется обобщенное преобразование Фурье, которое позволяет ввести оператор "импульса"Р, причем справедлива обычная связь между операторами "координаты"X и "импульса"Р. Более того, это преобразование оставляет инвариантным оператор энергии (гамильтониан) II = X2 4- Р2. Оператор Н имеет простой дискретный спектр, причем собственными функциями оператора Н являются исходные ортогональные полиномы. Собственные значения оператора II ( уровни энергии) вычисляются для всех исследуемых систем ортогональных полиномов. За исключением гармонического осциллятора уровни энергии не эквидистантны . Отметим, что известны выражения ядер Пуассона для всех ортогональных полиномов схемы Аски- Вилсона (|5),|10]) через специальные функции математической физики Для классических ортогональных полиномов мы отсылаем читателя к 112]-114]. Будем рассматривать заданное гильбертово пространство как реализацию пространства Фока. Лестничные операторы (уничтожения) а~ и (рождения) а+ строятся обычным образом из самосопряженных операторов "координатыпХ и "импульса"Р. Кроме них, определяется оператор числа N в этом пространстве Фока. Операторы уничтожения а и рождения а+, а также оператор числа N удовлетворяют перестановочным соотношениям и служат генераторами некоторой алгебры, которую естественно называть алгеброй "обоб-щенного"осциллятора. Эта алгебра возникает лишь в том случае, когда матрица Якобп оператора "координаты"X (в представлении чисел заполнения) имеет нулевую диагональ. Соответствующую систему ортогональных полиномов естественно называть "осцилляцион ной "системой. В случае ненулевой диагонали матрицы 51коби соответствующую систему ортогональных поли-
9
номов разумно называть системой "рождения-гибели”. Заметим, что и в этом случае мы можем построить алгебру некоторого "обобщен ного"осциллятораг но гамильтониан имеет стандартный вид относительно новых операторов "координаты-импульса которые получаются из первоначальных с помощью "поворота". Если промежуток, на котоіюм рассматривается система ортогональных полиномов, и мера, относительно которой они ортогональны, обладают симметрией относительно начала координат, то мы будем говорить о симметричной схеме. В противном случае рассматриваемая схема называется несимметричной.
Теперь перейдем к другому понятию, которое наиболее часто используется в настоящей работе, а именно, к когерентным состояниям. После возникновения квантовой механики было естественно ожидать появления состояний, которые обеспечивали бы тесную связь между старым (классическим) и новым (квантовым) формализмами. Такие состояния, как нерасплывающи-еся волновые пакеты с квазиклассическим поведением, ввел в работе (|73])
Э.Шредингер. Позднее они получили название когерентных состояний. Особую популярность когерентные состояния приобрели после появления работ Р.Глаубера ([74],|75]), Дж.Клаудера ([76]) и Э.Сударшана ([77]), которые применили эти состояния к описанию коллективных явлений в квантовой оптике ([69]). В последующие 40 лет появилось огромное число публикаций, посвященных изучению, использованию и многочисленным обобщениям когерентных состояний.
Обширная библиография (вплоть до 2000г.) имеется в обзоре (78]. Только за последнее время появился ряд интересных работ, посвященных обобщению векторных когерентных состояний на случай матричного индекса [79|-|82|. ги-ггсргсометричсских [83] и комбинаторных [84] когерентных состояний, развитию их математических [85.. 86] и физических [87, 88] приложений, в том числе к описанию моделей с точно решаемыми потенциалами [89], суперсимметрич-ной конформной теории поля [90] и функциональному интегралу |91]. Введённые для бозонного осциллятора (группа Гейзенберга) [73] (и пере-открытые в [92]-[95] в связи с созданием квантовой оптики), когерентные состояния в настоящее время определены для широкого класса квантовых физических систем (в том числе и квантовополевых), а также для систем, связанных с
10
другими группами (в том числе и с супергруппами). Когерентные состояния могут быть определены для квантовых групп, а также е использованием различных обобщений (деформаций) экспоненты.
В настоящее время известно несколько основных вариантов определения когерентных состояний:
1) как собственных состояний оператора уничтожения:а\г) = г\г), г € С (в этом случае их обычно называют когерентными состояниями тина Барута - Жирарделло, поскольку в работе [96) это определение было перенесено на случай некомпактных групп):
2) как результата действия унитарного оператора сдвига
на выделенный вектор пространства состояний (обычно вакуум Фока |0)): \г) = О(г)\0) (когерентные состояния тина Переломова, активно изучавшего эти состояния в исследованиях, суммированных в [52| );
3) как состояний, минимизирующих соотношение неопределенности Гейзенберга (или Шредиигера - Робертсона);
4) как состояний, удовлетворяющих естественным условиям - нормируемость, непрерывность по индексу, (сверх) пол нота и связанное с ней существование разложения единицы, эволюционная стабильность (когерентные состояния типа Клаудера - Газ о [51, 62]).
Все эти определения в случае бозонного осциллятора порождают одно и тоже семейство когерентных состояний, однако это не так в общем случае.
Как известно, стандартные когерентные состояния одного бозонного осциллятора определяются соотношением
Связанные с этим определением обобщения когерентных состояний (известные как нелинейные, обобщенные или деформированные когерентные состояния), имеют вид
Б(г) = ехр (га+ — га)
(1.0.1)
(1.0.2)
11
гдеЛ7- нормирующий множитель, {<Ц-}£0- ортонормированный базис в гильбертовом пространстве (рассматриваемом как базис Фока и пространство Фока, соответственно), /д! обобщенный факториал но индексу />*! = р, • р2 •... • ркУ при условии ро\ = 1. Возможный выбор последовательности {рк}^=о положительных чисел ограничен требованием (сверх) пол ноты семейства когерентных состояний
где / - единичный оператор в а мера ф. является решением проблемы моментов |21], связанной с последовательностью {/?&}£!о (см- также (25. 6.3]). Различные семейства обобщенных когерентных состояний различаются различным выбором этих последовательностей. Известно, что при условии расходимости ряда
указанной последовательности (а значит соответствующему семейству обобщенных когерентных состояний) можно сопоставить семейство многочленов, ортонормированных но некоторой однозначно определяемой мере <\г/ на вещественной оси, и образующих базис Фока {е^}о° в 9)р = Ь2(М; Эти многочлены определяют подоби>чо осциллятору систему, для которой они играют ту же роль, что и полиномы Эрмита в случае стандартного гармони чеекого осциллятора. Спектр гамильтониана этой системы определяется коэффициентами {/д}£1() рекуррентных соотношений для указанного семейства многочленов. Отметим, что специфический выбор в качестве базиса Фока семейства ортогональных (на веществен ной оси) многочленов, связанных с матрицей Якоби (т.е. удовлетворяющих трехчленным рекуррентным соотношениям), расширяет круг прикладных задач квантовой оптики, где успешно применяются когерентные состояния (97, 98, 69. 78, 67]. Использование производящих функций для известных полиномов позволяет явно выразить когерентные состояния через стандартные специальные функции и. решая соответствующую классическую проблему моментов, доказать полноту системы когерентных состояний. Возможно также, что интерпретация некоторых из возникающих в этом подходе дифференциальных и разностных уравнений,
(1.0.3)
12
как уравнений Шредингера для системы "обобщенных осцилляторов укажет пути решения определенных асимптотических и спектральных задач, хорошо изученных для обычного уравнения Шредингера.
Такая мотивировка лежит в основе нового подхода к построению обобщенных когерентных состояний, развитого в работах автора [99]-[103]. [35], (36]. [104]-[111]. Этот новый подход к построению когерентных состояний связан с конструкцией, предложенной в работе |11|, алгебр некоторых "обобщенных "осцилляторов. порождаемых произвольными системами ортонормиро-ванных полиномов. 13 конкретных ситуациях основные осложнения связаны с необходимостью решения соответствующей классической проблемы моментов и выражением когерентных состояний через стандартные специальные функции. Описанная схема построения семейств когерентных состояний реализована в работах автора [99]- [103] для когерентных состояния ч ипа Барута - Жирарделло и Клаудера - Газо, связанных с классическими полиномами непрерывного аргумента, т.е. полиномами Эрмита, Лагерра, Гегеттбауера, Лежандра и Чебышева. Развитый подход был распространен в [35. 36] на случай ^-полиномов Эрмита и в работах |105]-|111] на случай классических многочленов дискретного аргумента,т.е. полиномов Мейкснера, Шарлье и Кравчука.
Опишем вкратце содержание работы.
Вторая глава посвящена построению алгебр обобщенных осцилляторов для полиномов, ортогональных на вещественной оси относительно положительной борелевской меры, имеющей все конечные моменты и симметричной относительно начала координат.
В первом параграфе главы 2 дана общая схема конструкции алгебры обобщенного осциллятора для симметричной меры. Рассматривается положительная борелевекая мера р. на вещественной оси Л1, для которой конечны все моменты
(1.0.4)
причем справедливы соотношения
/*о = 1> /*2*-и =0, к = 0,1,------
(1.0.5)
Будем называть такую меру [х симметричной вероятностной мерой и обо-
13
значим через ‘Нц = Ь2(Я1; ц.((1х)) - гильбертово пространство квадратично
суммируемых функций по мере [I. По заданной последовательности моментов {д2п}^=о единственным образом определяется положительная последовательность {Ьп}™=0, К > 0, п = 0,1,... . Матрица Якоби
У которой ОТЛИЧНЫ ОТ нуля ТОЛЬКО положительные элементы &,,*+! = Ь{+1,г = г = 0,1,..., задает некоч'орую "канон и ческу ю"систему вещесч-венных по-
Тогда система {'фп(х)}п=о ортонорм и рована относительно меры д и полна в гильбертовом пространстве = Х2(/?1; только в том случае, когда
мера д является N - экстремальным решением проблемы моментов для матрицы ,). Вводится ядро Пуассона
- унитарный оператор. Операторы называются прямым и обрат-
ным обобщенными преобразованиями Фурье.
Далее вводятся квантовомеханические переменные: операторы "координаты "импульса” и "гамильтониан".
Соотношения (1.0.6) определяют действие оператора "координаты"
Хи на базисные векторы в пространстве СНу Оператор
"импульса" Р;/ определяется следующим образом:
0.
линомов с помощью следующих рекуррентных соотношений :
хф„(х) = Ьпфп+і(х) + Ьп-іфп-ііх), п> 0, 6-і = 0, (1.0.6)
ф0(х) = 1.
(1.0.7)
ОС
Наконец, на плотном в УС^І} множестве В(Х,1) П 0{Р^{І)) определяется оператор энергии или "гамильтониан”
яд*) = (Хр)2 + (РДО)2- (1.0.12)
Одним из основных результатов второй главы является следующая (теорема 2.1.12).
Теорема 1.0.1. Пусть каноническая система {^л(я)}»*1о яоллется полной ортонормированпой системой в пространстве Уі^х\ Эта система является системой собственных функций самосопряженного оператора ЯД*) в ГКД1', определенного как замыкание оператора (4-2.12) в том и только в том случае, когда * = =рг. При этом собственные значения оператора ЯДх?;) равны:
А0 = 262, Л?1 = 2(62_1 + Л2)? п>1я (1 0 13)
Операторы Рц = Р^ = -РД—і) и Н,( = = ЯД—г) в пространстве
УІ,У^ называются в дальнейшем операторами "импульса” и "гамильтонианом" ортонормированпой системы {^п(^)}о°- Далее пространство Уі^ рассматривается как реализация пространства Фока и с помощью построенных ранее операторов Р^ на плотном в УС^ множестве Р(Х(1) р| 0(Р,,) определяются лестничные операторы рождения и уничтожения а~ по формулам:
а£ = ^(*м + *р*»)> % = ^ № - ІРі‘) ■ (1.0.14)
Операторы (1.0.14) на векторы базиса пространства Уі,^ действуют по формулам (6-і = 0) :
а+фп(х) = у/УЬпфп+^х), а~фп(х) = у/26п_і^Л-і(а:), п > 0. (1.0.15)
и дли них справедливы следующие равенства
%* = ($, о+* = а~, (1.0.16)
на 0(11,,).
15
Далее вводится оператор "числа частиц" который действует обычным образом на базисные векторы:
Мцірп(х) = пфп(х), п > 0. (1.0.17)
и оператор-функция В(Лу) от оператора Дг/{ в пространстве 36,/действие которой на векторы базиса {фп(х)}^0 описывается следующими формулами:
Вф^Мх) = Ч-іМх), п> 0, 6-1 = 0. (1.0.18)
Одним из основных результатов второй главы является следующая (теорема 2.1.24).
Теорема 1.0.2. Для операторов определенных (1.0.14)* (1-0.18) в пространстве Фока 36,/^ имеют место соотношения:
(а-<£] = 2+1„) - В(К„)), [ЛГ„в±] = ±а% (1.0.19)
Определение 1.0.3. Алгебру, порожденную генераторами а/4, которые удовлетворяют перестановочным соотношениям (1.0.19). мы будем называть в дальнейшем алгеброй обобщенного осциллятора, соответствующего орто-нормировапной системе {^?»(^)}^0> и обозначать через Лц.
Теорема 1.0.4. Центр алгебры Лц определяется элементом.
С = 2В(ЛГМ) - а*а~.
Определенная выше алгебра обобщенного осциллятора имеет нетривиальный центр. Поэтому для нсс существует множество неэквивалентных неприводимых представлений, в отличие от алгебры Гейзенберга, где в силу теоремы единственности фон Нейманна имеется (с точностью до унитарной эквивалентности) только представление Фока. Мы будем рассматривать далее под алгебру алгебры Лц, определяемую дополнительным соотношением (7 = 0. Поскольку эта под-алгебра имеет (с точностью до унитарной эквивалентности ) только представление Фока, естест венно называть ее обобщенной алгеброй Гейзенберга.
16
В оставшихся параграфах второй главы общая схема применяется к построению обобщенных осцилляторов для наиболее известных систем ортогональных полиномов.
Во втором параграфе рассмотрена система полиномов Эрмита, которые порождают стандартный квантовомеханический осциллятор. Заметим, что рассмотрение именно этого примера привело к созданию общей схемы. В конце первого параграфа доказано, что если потребовать, чтобы оператор импульса был дифференцированием (т.е. выполнялось правило Лейбница для произведения), то соответствующий осциллятор унитарно эквивалентен обычному квантовомеханическому осциллятору.
В третьем параграфе построен обобщенный осциллятор, отвечающий системе ультрасферических полиномов. Получена явная формула для оператора импульса
Р,. = + (<* - (2-1))/д.)“1((Лд. + (« + ЗСЗ-1))/^)-1
- (а + (2~1))Х^ (1.0.20)
где
А = (1-т2)і'
1Иа - тождественный оператор и N^la - оператор ’’числа частиц” її пространстве 0Со. Тогда можно написать явную формулу и для гамильтониана На = НЦа соответствующего обобщенного осциллятора
Па = (Х,У + (Р)1а)2. (1.0.21)
Вычислены собственные значения (уровни энергии) для этого (ограниченного) гамильтониана
X _ 2 Ч п(п + 2а + 1) + (а — 2-1)
Л о — • Ап — , ..,. , . і,. . Я ^ і). (1 1
2о: 4- 3 (п 4* & 4* 3(2-1))(?г + си - (2“*))
Отметим, что гамильтониан не является дифференциальным оператором конечного порядка. Ситуацию улучшает следующая (теорема 2.3.2, которая является одним из основных результатов третьего параграфа)
17
Теорема 1.0.5. Уравнение Нафп(х) = Лп^>л.(а:), п > 0, где собственные значения Ап оператора HQ = (AT/1<v)2 + (Р//л)2 определяются соотношением (1.0.22). эквивалентно известному дифференциальному уравнению для улътрасферических полиномов (/1)):
(1-^((1 -х2Г-1±)Р}?°\х) +
п(п + 2а + 1)(1 - х^'Р^Нх) = 0, (1.0.23)
где (п > 0).
Замечание 1.0.6. Важнейшими частными случаями ультрасферических полиномов являются полиномы Лежандра (о = 0) и Чебышева (а = ±2 '). Поэтому все результаты этого параграфа сохраняют силу и для соответствующих обобщенных осцилляторов.
В четвертом параграфе дается ответ на вопрос: когда оператор уничтожения (а, следовательно, также операторы импульса и гамильтониан) можно представить в виде некоторого дифференциального или разностного оператора? Получены достаточные условия на коэффициенты рекуррентных соотношений для полиномов, при которых это так.
В пятом параграфе рассматриваются обобщенные полиномы Эрмита (полиномы Эрмита - Чихара |4|) в качестве примера применения результатов предыдущего параграфа (см. для сравнения [68]).
В шестом параграфе получены существенные уточнения общих результатов ([21]) относительно спектральной меры // симметричной матрицы Якоби J в случае неопределенной проблемы моментов.
В оставшихся двух параграфах второй главы рассматриваются обобщенные осцилляторы для так называемых деформированных полиномов Эрмита (или q-полиномов Эрмита).
В седьмом параграфе с точки зрения предлагаемого подхода исследуются непрерывные q-поли номы Эрмита; что в результате дает известный осциллятор Арика- Куна. Отметим, что полученные результаты согласуются с известными ранее (см.[37]). Кроме того, впервые рассмотрен обобщенный осциллятор для дискретных q-полиномов Эрмита. В частности, используя формулы (2.6.85) и (2.6.89) шестого параграфа, получены новые результаты относительно меры ортогональности для таких полиномов.
18
Третья глава посвящена построению алгебр обобщенных осцилляторов для полиномов, ортогональных на вещественной оси относительно борелев-ской положительной меры /і. имеющей все конечные моменты (условие симметричности (1.0.5) при этом не выполняется).
По заданной последовательности моментов {рп}^=о единственным образом определяются две вещественные последовательности {Ьп}2°, {«„и как решения некоторой алгебраической системы уравнений. Далее определяется каноническая система полиномов с помощью рекуррентных соотношений
хфп(х) = Ьпірп+і(х) 4- апфп(х) 4- Ьп-іфп-і(х), п > 0, = 0, (1.0.24)
где
фо(х) = 1. (1.0.25)
Система {Фіі(я)Уп () ортонормирована относительно меры р и полна в гильбертовом пространстве = Ь2(Я1; р(дх)) только в том случае, когда мера // является N - экстремальным решением проблемы моментов для матрицы связанной с рекуррентными соотношениями (1.0.24).
Как и прежде, можно определить оператор импульса 1),., который двойственен оператору координаты Хи относительно базиса {0п(^)}^=о п и симметричный гамильтониан, #**(£), который но будет самосопряженным оператором. Болес тоіч>, система {Фп{х)}^0 не является системой собственных функций оператора #,<(£) ни при каком значении £. Тем не мснсс, можно исправить ситуацию, используя новые опера горы координаты и импульса. Введем новые операторы координаты и импульса Р/х следующим образом:
Хц = Ле(Хц — Рм), (1.0.26)
= (—г)1т(Хц - Р„). (1.0.27)
Теперь мы определим опера гор энергии:
Н, = Х? + (1.0.28)
Одним из основных результатов третьей главы является следующая (теорема 3.1.5).
Теорема 1.0.7. Оператор Н^, определенный с помощью (1.0.28), есть самосопряженный оператор в пространстве ‘К,, с ортопормальным базисом
19
{Фп(я)}™=о- Волге того, система {$n(®)K£Lo является системой собственных функций оператора Hfl и собственные значения зтпого оператора равны:
А0 = 26д, А„ = 2(6*_! + «£), n> 1. (1-0.29)
Определим лестничные операторы:
^ = 71 + ^ = 71 Р* ~ ’ (1 азо)
Если мы заменим а* ■—* а*, тогда формулы (1.0.15) справедливы. Более того, теорема 1.0.2 также верна.
Замечание 1.0.8. Следует подчеркнуть, что в общем случае нам тоже удалось построить некоторую подобную осциллятору систему. Однако теперь оператор "координаты” но является оператором умножения на независимую переменную.
Основная цель остальных параграфов третьей главы - применение общей схемы к построению обобщенных осцилляторов для наиболее хороню известных систем ортогональных полиномов.
В следующих двух параграфах рассмотрены классические полиномы непрерывного аргумента, а именно, полиномы Лагерра и Якоби.
Во втором параграфе с точки зрения нашего подхода построен обобщенный осциллятор для полиномов Лагерра. Эти результаты согласуются с полученными другими методами в ([53]).
В третьем параграфе впервые рассмотрен обобщенный осциллятор для общих полиномов Якоби ІЇҐ’(х), а ф ,3. Полученные новые результаты являются обобщением соответствующих результатов параграфа три из второй главы диссертации.
Оставшиеся три параграфа третьей главы посвящены рассмотрению классических полиномов дискретной переменной: полиномы Мейкснера, Шарлье и Кравчука. В четвертом параграфе построен обобщенный осциллятор для полиномов Мейкснера. По формулам (1.0.26),(1.0.27), (1.0.28) определяются обобщенная координата X, обобщенный импульс Р и квадратичный гамильтониан
Нм = X2 + Р2. (1.0.31)
20