ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение........................................................3
Часть 1. Топологические дефекты в моделях сильного взаимодействия
1. Центральная доминантность в глюодинамике. Центральные монопо-ли.......................................................... 9
2. Простая центральная проекция глюодинамики.................. 19
3. Абелево представление для неабелсвой петли Вильсона........ 36
Часть2.Монополи Намбу и физика Электрослабых взаимодействий
4. Решеточная регуляризация калибровочного и Хиггсовского секторов Стандартной Модели......................................... 58
о. Монополії Намбу при конечной температуре................... 77
6. Флуктуационная область в модели Вайнберга - Салама......... 90
Часть 3. Решеточные формулировки квантовой гравитации
7. Двумерная гравитация. Предел слабой связи и дискретизация 131
8. Четырехмерная квантовая гравитация. Дискретизация Телепараллелизма и Пуанкаре - гравитации..............................148
9. Многомерные динамические триангуляции......................172
Часть 4. Возможные пути построения моделей новой физики на
масштабе ТэВ
10. Малое объединение на масштабе ТэВ и симметрия Стандартной Модели.....................................................189
11. Продолжение симметрии Стандартной Модели на теории техни-цвета......................................................200
12. Калибровочная теория группы Лоренца как возможный источник динамического нарушения Электрослабой симметрии..............219
Заключение....................................................241
2
Введение
Современная теоретическая физика фундаментальных взаимодействий, на наш взгляд, имеет четыре основных направления:
1. Теория сильных взаимодействий, основанная на квантовой Хромоди-иамике;
2. Теория Элсктрослабых взаимодействий;
3. Квантовая гравитация;
4. Теории новой физики, появление которой ожидается на масштабе ТэВ, доступном Большому Адронному Коллайдеру.
Первое из указанных направлений занимается изучением физики сильных взаимодействий. В настоящее время считается, что КХД прекрасно описывает данный класс явлений и не нуждается в доопределении. Однако, с вычислительной точки зрения КХД - исключительно сложная наука. Ведущую роль в ее динамике играют непертурбативные явления. Одним из методов их изучения являются решеточные симуляции. Среди наиболее важных задач упомянем объяснение механизмов невылстания и спонтанного нарушения киральной симметрии.
Второе направление связано с изучением явлений, в которых играют роль Электрослабые взаимодействия. Здесь теория возмущений в Модели Вайнберга - Салама. превосходно описывает реальность при энергиях, не превышающих существенно 100 ГэВ. Однако, проблема иерархий указывав'!' на то, что при энергиях выше 1 ТэВ может появиться новая теория, причем модель Вайнберга - Салама должна быть ее низкоэнергитиче-ским приближением. Традиционно считается, что непертурбативный анализ при изучении Элсктрослабых взаимодействий не требуется. Однако, известно, что при температурах, приближающихся к температуре Элек-трослабого фазового перехода (кроссовера), теория возмущений работать перестает. Это вызывает необходимость использования иепертурбативных методов при конечной температуре. При нулевых температурах необходимость использования иепертурбативных методов связана с существованием объектов, не описывающихся теорией возмущений. Это, например, - так называемые Z струны и монополи Намбу, представляющие классические
3
неустойчивые решения уравнений движения. Масса этих объектов оценивается в районе нескольких ТэВ. Поэтому при характерных энергиях процессов, много меньших ТэВ, их появление не может внести значительного вклада в наблюдаемые величины. Ситуация существенно изменяется при приближении характерной энергии процесса к 1 ТэВ. Здесь указанные объекты начинают играть существенную роль. Поэтому и оказывается необходимым применение непертурбативных методов.
Третье направление связано с построением теории квантовой гравитации. Построение такой теории представляется важным в связи с тем, что история Вселенной как целого является экспериментом, доносящим до нас информацию о ранних этапах ес развития, когда характерные энергии соответствовали шкале, на которой квантовая гравитация может появиться. Существует огромное количество различных моделей, претендующих на описание квантовой гравитации. Среди них упомянем теорию струн, некоммутативные теории, матричные модели, петлевую квантовую гравитацию. К сожалению, на сегодняшний день невозможно сделать выбор какой - либо одной из этих моделей. Поэтому автор настоящей диссертации при изучении данной темы ограничился минимальным выбором - квантовой теорией Римановой геометрии.
Четвертое направление связано с тем, что, как было указано выше, при энергиях порядка 1 ТэВ ожидается появление новой физики. Среди моделей этой новой физики упомянем суперсимметричныс модели, модели Малого Хиггса, Модели Малого Объединения, Модели Техницвета.
Текст настоящей диссертации делится на четыре части, соответствующие каждому из указанных выше направлений. Каждая из частей состоит из трех глав, в которых автор описывает результаты своих исследований задач, относящихся к данному направлению. При этом в конце каждой главы указывается список печатных работ, в которых были опубликованы эти результаты. В конце каждой из частей размещается библиография, соответствующая данной части. Исследования, относящиеся к разным частям диссертации практически независимы друг от друга. В то же время главы каждой из частей логически связаны. Поэтому в начале каждой части мы помещаем аннотацию представленной в ней работы. В конце текста диссер-
4
тации в разделе Заключение указывается полный список работ, в которых опубликованы результаты настоящей диссертации.
Поскольку далее в тексте будут широко использоваться обозначения и терминология решеточных калибровочных теорий, мы их здесь кратко напомним.
Как правило, рассматриваются гиперкубическис решетки, состоящие из D - мерных гиперкубов, склеенных вместе. Обычно также предполагается реализация периодических граничных условий, что сводится к тому, что система склеенных гиперкубов реализует топологию D - мерного тора. Вершины гиперкубов называются 'точками или узлами решетки. Ребра, соединяющие соседние точки решетки, именуются линками решетки. Квадраты, составленные из четырех узлов и четырех линков, называются плакетами.
Дуальная решетка определяется следующим образом. Ее узлы находятся в центрах гиперкубов исходной решетки. Линками соединяются узлы, лежащие в центрах соседних гиперкубов исходной решетки и т.д.
Калибровочные поля, как правило, на решетке определяются переменными, прикрепленными к линкам. Произведение их вдоль линков одного плакета дает плакстную переменную, реализующую на решетке напряженность калибровочного поля. Скалярное поле обычно определено в узлах решетки.
Удобным формализмом для работы с Абелевыми калибровочными полями является формализм дифференциальных форм на решетке. Дифференциальная форма ранга А* на решетке - это функция фь определенная на ^-мерном кубе Сд решетки, е.д. скалярное (калибровочное) поле - это ü-форма (1-форма). Внешняя производная d определяется следующим образом:
(d0)(c*+i) = Е Ф(ск)- (1)
ск€вск+1
Здесь ÔCk - ориентированная граница А’-мерного куба сд. Таким образом, оператор d увеличивает.' ранг формы на единицу; â(p - это линковал переменная, сконстрованная через переменную определенную на узлах, a d/l - это плакстная переменная, сконструируемая из линковой переменной Л.
Скалярное произведение определяется следующим образом: если (р и ф -
5
к-формы, то (ір, ф) = ЕСД: <р(('к) Ф(ск)> где ЕСк - сумма по всем кубам с*. Каждой &-форме на £>-мерной решетке соответствует (£> —£)-форма *Ф(*с*) на дуальной решетке, *Ск - это (О — &)-мерный куб на дуальной решетке. Ко-диффсренциал 6 — *(1* удовлетворяет правилу интегрирования по частям: (<р,6ф) = Заметим, что £Ф(с*) - это (к — 1)-форма и д'Ф(со) = 0.
Норма определяется как ||о||2 = (а, а); тогда, например, ||с1<р 4 2п1\\2 предполагает суммирование по всем линкам. Е/(с1)єж означает сумму по всем конфигурациям целых чисел I, прикрепленных к линкам С\.
Действие для калибровочных полей инвариантно относительно калибровочных преобразований А* = А + сіа, ір* = (р + а благодаря свойству (I2 = 62 = 0. Решеточный лапласиан определяется как Д = с1£ 4- 6(1.
6
Часть І
Топологические дефекты в моделях сильного взаимодействия
Одним из наиболее важных явлений физики сильных взаимодействий является невылетание цвета. Материал настоящей части диссертации относится к описанию конфайнмента с точки зрения различных Абелевых проекций теории. Мы изучаем КХД без динамических фермионов. В первой главе рассматриваются свойства центральных вихрей в Максимальной Центральной Проекции глюодинамики. Демонстрируется их связь с явлением невылетания, изучаются перколяционные свойства. Вводится новое понятие - центральный монополь. Показано, что в теории при конечной температуре Центральные монополи и центральные вихри сконденсированы в фазе конфайнмента. Во второй главе вводится понятие простой центральной проекции, являющейся альтернативным методом выделения центральных вихрей из полевых конфигураций нсаболевых калибровочных теорий. Рассматриваются фрактальные свойства вихрей и центральных монополей в этой проекции. Демонстрируется связь этих объектов с конфайнментом. В третьей главе решается техническая задача об Абелевом представлении для неабелевой петли Вильсона, которое может быть полезно при исследовании различных абелевых проекций. Получено Абелево представление для неабелевой петли Вильсона на решетке, являющееся аналогом непрерывной формулы Дьяконова - Петрова. Разрешается вопрос о справедливости непрерывного представления, связанный с определением меры но калибровочным преобразованиям.
8
Глава 1
Центральная доминантность в глюодинамике. Центральные монополи.
1.1 Центральная проекция 5/7(2) глюодинамики и Центральные Монополи
Исследование конфайнмента в 5(У (А) калибровочных теориях во многих работах основывается на частичной фиксации калибровки до некоторой абелевой группы. Примером подобной фиксации калибровки, предложенной в [1], является так называемая Центральная проекция, когда оставшейся группой является Zк. В центральной калибровке 5С/(А^) калибровочная теория редуцируется к г к калибровочной теории, которая содержит вихревые струны в качестве топологических дефектов. Решеточные вычисления [2] в Максимальной Центральной калибровке показывают, что динамика этих дефектов играет важную роль в невылстании цвета. Автором настоящей диссертации также предложено понятие Центрального монополя, связанного с вихревой струной. Ниже приводится его определение и результаты численных исследований, демонстрирующих его связь с конфайнмен-том. При этом для простоты мы ограничиваемся изучением глюодинамики баз динамических фермионов.
Прежде всего, рассмотрим случай 56г(2) глюодинамики, которая является упрощенной моделью реалистической 5^/(3) глюодинамики, сохраняя - при этом ее основные свойства. Максимальная Центральная проекция делает линковыс матрицы II максимально близкими к центральным элементам
9
группы 577(2). Эта калибровка определяется следующим образом [1]: вначале фиксируется Максимальная-Адслева калибровка посредством максимизации функционала (см. [3]) Е/Тг(/7*<т3/7г‘а3) относительно калибровочных преобразований 1/^) = (сумма берется по липкам I решетки; оа
- матрицы Паули). Далее, максимизируется функционал Е* сов2 а1^((/7Цп) относительно оставшихся /7(1) калибровочных преобразований, таким образом линковал матрица становится близкой к центральным элементам ± 11.
Центральные вихри определяются следующим образом [1]. После фиксации Максимальной Центральной, проекции мы определяемплакетную переменную ар:
ар = (с!п)Р,= П1 + п2 - пз — , . (1.1)
где линки 1,... ,4 формируют границу плакета Р ищ = з1^п(Тг7/г). Мировая поверхность струны центрального вихря определяется на дуальной решетке как совокупность *а плакетов дуальных ненулевым плакстам сгр, мировая поверхность V замкнута на дуальной решетке (5*а = 0).
Взаимодействие центрального вихря с петлей Вильсона является топологическим. Чтобы увидеть это представим 31/(2) калибровочное поле /У/ в Максимальной Центральной калибровке как произведение переменной ехр{.г7ГП/}, щ = 0,1, и 1 5/7(2)/^2* переменной V/, Тг1^ > 0: /У* = схр{г7гп{}; • V/. Принимая во внимание (1.1) мы представляем петлю Вильсона для контура С как:
= Тг П /7г = ехр{гтг^(С, а)}'Гг Ц И , (1.2):
. ' 1<=С
где //«(С, а) - число зацеплений кварковой траектории С за мировую поверхность струны V [11]:
][у(С,а) = (аут[С)) = (а, Д'МС), (1-3)
т[С\ - это поверхность, натянутая на контур С: 5т[С] = С. Последнее выражение для //у есть четырехмерный аналог формулы Гаусса, описывающей зацепление замкнутой поверхности ха и замкнутой петли С. Известно [1,5], что топологическое взаимодействие схр{27гУ/у} дает очень хорошее приближение к выражению для натяжения струны.
10
Благодаря 2&ч периодичности теория содержит монополеподобные возбуждения, которые названы нами "Центральные монополий Их мировые траектории определяются следующим образом:
2 = ^с1[(с1гг) то(5 2] = тос! 2].
/л £
(1.4)
заряд Центральных монополей сохраняется, монопольные траектории замкнуты: = 0.
12
Рис. 1.1: (а) Перколяция центральных вихрей С\0п и Центральных монополей Стоп от (3 на решетке 16** х 4; (Ь) Фрактальная размерность V центральных впхрей па решетке 123 х 8.
Мы исследовали модель при конечной температуре, что соответствует асимметричной решетке, у которой размер по одному из измерений (мнимое время) меньше, чем по трем оставшимся. Важное динамическое свойство центральных монополей это перколяция Стоп, которая определяется как вероятность двум разным точкам решетки быть связанными монопольной траекторией [6]. Мы видим, что Стоп занулястся в фазе деконфайнмента и отлична от нуля в фазе конфайнмента (Стоп показана квадратами на Рис 1.1(а)). Мы заключаем, что фаза конфайнмента сопровождается конденсацией Центральных монополей. Монополи являются дуальными абелевыми степенями свободы и их конденсация означает, что конфайнмент соответствует фазе дуального сверхпроводника в Максимальной Центральной проекции.
Псрколяционная вероятность для центральных вихрей 6\.ог1 определяется аналогично перколяции монополей. Следует отмстить, что в данной
11
<
главе нами используется определение СУОГь отличное от общепринятого (и использующегося в других главах) Ч
Величина Суон от р на решетке 163 х 4 представлена на Рис. 1.1 (а) кругами. Явно видно, что в фазе конфайпмента вихри перколируют.
На Рис. 1.1 (Ь) мы представляем фрактальную размерность вихревой мировой поверхности £> = 1 + 2А/Ь на решетке 123 х 8. Здесь А - число пла-кстов и I; число линков на поверхности струны. Фрактальная размерность В высока в фазе конфайнмента. В фазе деконфайнмента она близка к 2 поскольку мы имеем разреженный ансамбль струн.
1.2 Центральная Доминантность и Центральные мо-нополи в ££7(3) глюодинамике
Как было сказано выше, центральная доминантность, открытая в работах Д. Гринсайта наблюдается в так называемой Максимальной Центральной проекции. Струнонодобные объекты взаимодействуют с кварками посредством сил Ааронова - Бома. Известно, что эти силы в значительной степени ответственны за конфайнмент [9]. Конфайнмент традиционно описывается механизмом дуального сверхпроводника. Этот механизм явно реализуется в 5(7(2) глюодинамике в Максимальной Абелевой проекции [10], в которой появляются монополи, сконденсированные в фазе конфайнмента. Благодаря этой конденсации силовые линии концентрируются в струне, соединяющей кварк и антикварк. Эта струна имеет ненулевое натяжение, что приводит к нсвылетанию цвета. Многие полагают, что та же картина должна наблюдаться и в 5(7(3) теории. Однако, в 57/ (3) глюодинамике после фиксации Максимальной Абелевой проекции появляется не один, а два монополя, что существенно усложняет общую картину [8].
В соответствии с гипотезой Центральной Доминантности центральные вихри ответственны за конфайнмент. Таким образом, возникает вопрос, какова связь между центральными вихрями и картиной дуального свсрхпро-
1 Определим вероятность того, что дне точки х, у связаны вихревым кластером как р{х,у). Определение, исиользующесся в настоящей главе: Суом — Общепринятое определение:
С'ч'о« — ■^т1],0,у01»п!|£.р|...00^([х>а:о]||у,1/о]). Здесь 4 - вектор х = |х,хо) имеет "пространствен-ную,,компонецту х и "врсмсииую"компоиепту хо. ЛГт - размер решетки по ,|ирсме!шомуинаправленшо.
12
водника. Для того, чтобы ответить на этот вопрос мы конструируем монопо-леподобные объекты из централ ьных вихрей и называем их Центральными Монополями. Оказывается, что их конденсат является параметром порядка для перехода конфайимент - деконфайнмент, что даст надежду полагать, что именно эти объекты могут играть роль скалярных частиц в механизме дуального сверхпроводника.
Мы рассматриваем SU(3) глюодинамику с действием Вильсона S(U) = /?EPiaq(l ~ l/3ReTrC/plaq). Здесь сумма по плакетам решетки. Если данные плакет СОСТОИТ ИЗ ЛИНКОВ [xy])[yz])[zw]1[wx] TO C/plaq = U[xv)U\yz]U[zw]U[Wx].
Максимальная Центральная проекция делает линковую матрицу U возможно более близкой к элементам центра группы SU{3): =
{diag(e^2,ri^iV,e^2,r*/3^, e(2nt№N}) где N <E {1,0,—1}. Мы используем так называемую непрямую (indirect) версию Максимальной Центральной проекции, которая работает следующим образом.
Прежде всего, максимизируем функционал
Q\ = (\Un\ + Ifel + Щзз|) (1.5)
links
по отношению к калибровочным преобразованиям Uxy —► g^UxyOy, таким образом фиксируя Максимальную Абелеву калибровку. Как следствие, лин-ковыс матрицы становятся почти диагоиальны. Далее, для того чтобы сделать эти матрицы максимально близкими к элементам центра SU(3), делаем фазы этих диагональных элементов матриц максимально близкими друг к другу. Это достигается минимизацией функционала
Qi = £ К1 - cos(Aig(t/ii) - Arg(t/22))) + (1 - cos(Arg(f/u) - Arg(%з)))
links
+(1 - cos(Arg(f/22) - Arg(r/33)))]. (1.6)
rio отношению к калибровочным преобразованиям.
Центральные вихри определяются следующим образом. Определяем целочисленную линковую переменную N:
Nxy = 0 : (Arg((/U) 4- Arg(t/22) + Arg((733))/3 € ] — 7г/3,7r/3],
Nxy = l : (Arg((/U) + Arg([/22) + Arg(l/M))/3 € )тг/3,7г],
Nxy = -1 : (Arg(Cln) + Arg(£/22) + Аг8(Узз))/3 6 ] - тг,-тг/3]. (1.7)
13
Таким образом, /V = 0 если I/ близко к 1, N = 1 если (У близко к е2?г^3, и N = —1 если и близко к е_27Г*/3.
Далее, определяем плакетную переменную:
(1.8)
Мы вводим дуальную решетку, и определяем переменную а* дуальную к а: если плакет дуален плакету П, то аГп = ап. Можно легко проверить, что а представляет замкнутую поверхность. Эта поверхность и есть мировая поверхность центрального вихря.
Мы выражаем 5С/(3) калибровочное поле и как произведение ехр((27гг/3)Л/') и V, где V - это 5(7(3)/^з переменная (А^(Ун) + А^Ум) + А1^(^з))/3 € ] — 7г/3,7г/3]. Тогда V = ехр((27гг/3)ЛГ)У
Далее, петля Вильсона вдоль контура С записывается как:
Здесь (27гг/3) L(C, а) представляет взаимодействие Ааронова - Бома. Величина L(6Y,a) - это число зацепления контура С и поверхности сг*.
Содержание гипотезы центральной доминантности заключается в том, что в Максимальной Центральной калибровке взаимодействие Ааронова -Бома само по себе вызывает конфайнмент и определяет натяжение струны.
Центральный монополь - это Zj аналог монополя в С/(1) теории. В электродинамике уравнения Максвелла (IF = 0 запрещают существование магнитных зарядов. Но в компактной теории значения F, отличающиеся друг от друга на 2тг, эквивалентны. Таким образом, правильное натяжение струны это Fmod27r и *d(F mod 2тг) = 2irjmi где jm - монопольный ток.
Взаимодействие Ааронова - Бома между кварками и центральными вихрями зависит только от fa] mod 3. Здесь a - это Z$ аналог U{ 1) напряженности поля. Переменная [a] mod 3 представляет поверхность с границей. Эта граница - замкнутая линия. Мы предполагаем что эта линия представляет Центральный Монополь:
(Здесь используются обозначения дифференциальных форм на решетке. См., например, [ИЮ
Wo = її CU = ехр((2тгг/3) L(C, a))Wc.V
(1.9)
3jm = *rf([a] mod 3) = <H(a*] mod3).
(1.10)
14
Мы предлагаем гипотезу, что Центральный Монополь может играть роль скаляра в механизме дуального сверхпроводника. Это частично подтверждается результатами численных рассчетов модели при конечной температуре, представленных ниже.
Используется решетка размера 163 х 4. Фазовый переход конфайнмент - деконфайнмент для этой решетки имеет место для /3 = 5.69 (см. [12]). Наши численные результаты следующие:
Р
Рис. 1.2: Перколяция центральных вихрей (непрерывная линия) и Центральных монополей (прерывистая линия).
Центральные вихри сконденсированы в фазе конфайнмента, и не сконденсированы при высокой температуре. Это следует из рассмотрения вероятности того, что две точки на решетке связаны струнной мировой
15
поверхностью. Эта вероятность р{х,у)УОтЬ —> Суот^((3) при |х — у\ —> оо. (Непрерывная линия на Рис. 1.2.)
Р
Рис. 1.3: Плотность центральных вихрей.
Плотность центральных вихрей представлена на рис. 1.3.
Мы определяем фрактальную размерность Центральных вихрей как
Я = 1 + 2 А/Ь (1.11)
где А - это число плакетов, а Ъ - число линков струны. В таком виде это определение существенно отличается от определения Хауедорфо-вой размерности, которое используется нами в следующей главе в п.
16
Рис. 1.4: Фрактальная размерность центральных вихрей.
2.3. для изучения свойств вихрей и мононолей в так называемой Простой Центральной Проекции. Выражение (2.20) можно рассматривать как интерполирующую формулу. Легко проверить, что (2.20) дает правильное значение для фрактальной размерности Э - мерных решеток, если считать, что А - это полное число плакетов решетки, аЬ - полное число линков. Результаты численных исследований В представлены на рис. 1.4.
4. Центральные монополи сконденсированы в фазе конфайнмента, и не сконденсированы в фазе деконфайнмента. Это следует из рассмотрения вероятности того, что две точки связаны монопольной линией. Для
17
ЭТОЙ величины f)(x, у)топ —> Стпопф) для \х — у | —* ос. Мы видим, что Стоп равно 0 в фазе дсконфайнмента, и отлично от 0 в фазе конфайн-мента. Конденсат как функция р представлен на рис. 1.2 прерывистой линией.
5. В дополнение добавим что в соответствии с перколяционными свойствами центральные вихри и центральные монополи распределены однородно. Это следует из того, что вероятность двум точкам быть связанным мировой поверхностью (мировой линией) этих объектов не зависит существенно от расстояния между точками.
1.3 Публикации
Результаты настоящей главы опубликованы в работах:
"Aharonov-Bohm effect, center monopoles and center vortices in SU(2) lattice gluodynamics", M.N. Chernodub, M.I. Polikarpov, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Nucl.Phys.Proc.Suppl.73:575-577,1999, [hep-lat/9809158]
"Central dominance and the confinement mechanism in gluodynamics", B.L.G. Bakkcr, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Phys.Lctt.3471:214-219,1999, [hep-lat/9902010]
"Central dominance and the confinement mechanism", B.L.G. Bakkcr, A.I. Veselov, M.A. Zubkov, Nucl.Phys.Proc.Suppl.83:565-567,2000.
18
Глава 2
Простая центральная проекция глюодинамики
2.1 Определение Простой Центральной Проекции
Как было отмечено выше, Абелева проекция глюодинамики является одним из самых популярных методов исследования механизма невылетания1 цвета. После фиксации какой-либо Абелевой калибровки теория становится Абелевой, и возникает возможность рассматривать механизм невылетания в упрощенном виде.
Абелевы проекции отличаются друг от друга выбором Абелевой подгруппы и методами проектирования. Близость данной Абелевой проекции к решению проблемы конфайнмента измеряется следующим образом. Предположим, что линкован групповая переменная #цпк £ О спроектирована на элемент Абелевой подгруппы eiink Е Е С G. Мы рассматриваем
Zc = Tr П eiink (2:1)'
linke С
вместо полной петли Вильсона и извлекаем потенциал из Zc, ( спроецированный потенциал). Если этот потенциал близок к исходному удерживающему потенциалу на достаточно больших расстояниях, можно говорить о том, что проекция пригодна для исследования механизма невылетания.
Для калибровочной группы SU(2) се Картанова подгруппа (7(1) и центральная подгруппа Z<i были рассмотрены подобным образом. Наиболее популярные проекции это Максимальная Абелева и Максимальная Центральная проекция, рассмотренные в предыдущей главе. Эти проекции до-
19
стираются минимизацией по отношению к калибровочным преобразованиям расстояния между заданной конфигурацией линковых полей и Картаио-вой (Центральной) подгруппой группы 6Т/(2). В обоих случаях потенциалы близки к полному удерживающему ви(2) потенциалу, но. к сожалению, не совпадают с ним в точности. Гринсайт и соавторы [13, 14] указывают, что только центральный заряд ([ = ±1 подвержен невылетанию в неабелевых калибровочных теориях.
Из работы Борнякова и соавторов [15] известно, что процедура фиксации калибровки страдает от проблемы калибровочных копий (Грибов-ская проблема). В практических симуляциях были использованы прямая и непрямая Центральные калибровки, и Лапласова Центральная калибровка [16]. Только первые две страдают от проблемы Грибовских копий, в то время, как последняя свободна от этой трудности. В соответствии с [13, 17] эта проблема исчезает для больших решеток и тогда, когда увеличивается количество рассматриваемых Грибовских копий. Разумеется, это означает необходимость увеличения вычислительных мощностей.
Автором настоящей диссертации также предложена новая Центральная проекция, не связанная с процедурой частичной фиксации калибровки. Таким образом, все объекты, существующие в этой проекции калибровочно инвариантны. Данная проекция названа Простой Центральной проекцией (ПЦП). Ниже показывается, что спроецированный таким образом потенциал близок к полному 5(/(2) потенциалу на больших расстояниях (с точностью до члена, соответствующего перенормировке массы).
В рамках ПЦП мы строим центральные вихри и центральные монополи, также известные как нексусы (пехияе.чу см. [18]). Свойства монополей ПЦП найденные в ходе численных исследований говорят о том, что эти объекты могут быть кандидатами на роль куперовских пар в механизме дуального сверхпроводника.
Мы рассматриваем Б11 (2) глюодинамику с Вильсоновским действием
Ь\и) =/?£(!- 1/2ТгС/р1|М1). (2.2)
р1ои
Здесь сумма по плакетам решетки. Плакетная переменная С/р 1и<1 определена стандартным образом.
20
Прежде всего мы рассматриваем плакетную переменную
~plaq ~ 1 (Тг t^plaq < 0)>
2pluq = 0 (ТГ ^plaq > 0). (2*3)
Мы можем представить z как сумму замкнутой формы (IN для N G {0,1} и формы 2т 4- q. Здесь N = N\nik, <7 G {0,1}, и rn G 2.
2 = dN + 2 rn + q. (2.4)
Физические переменные, зависягцис от z могут быть выражены через
sign Tr C/piaq = cos(7r(eW 4- q)). (2.5)
Далее мы будем говорить, что N\m^ - это и есть спроецированная линкован переменная. Есть множество способов организовать проекцию. Максимальная Центральная проекция использует калибровочную свободу для того, чтобы сделать все линковыс матрицы максимально близкими к etnN. Таким образом 1-форма N фиксируется для каждой калибровочной конфигурации.
Существует несколько способов фиксации Максимальной Центральной проекции. Прямая проекция (direct) - это минимизация функционала
« = £ £ mU^TtiujXx)}. (2.6)
х ц
В непрямом виде (indirect) проекция минимизирует функционал
R' = £ £ (2.7)
X /i
и извлекает из Ufl(x) диагональную часть A,t = exp[i^(x)cr3], фиксируя таким образом калибровку. Оставшаяся Абелева симметррия используется для того, чтобы сделать Afl максимально близкой к элементу Z2 максимизируя
= (2.8)
X fl
Ясно, что обе процедуры сложны и требуют значительное количество временных ресурсов поскольку число переменных, включенных в процедуры
21
в случае группы SU(2) - три. Для любого метода 1-форма N фиксируется для каждой калибровочной конфигурации. Ниже предлагается более простая процедура. А именно, представим поверхность Е, формируемую планетами дуальными к 11 негативным"планетам (для которых zp|aq = 1). Эта поверхность имеет границу. Мы увеличиваем поверхность, добавляя новую поверхность £add так, что:
1. результирующая поверхность S1 = Е -I- Eatid замкнута;
2. когда мы устраняем из поверхности Еа(м плакеты, несущие четные числа 2piaq = • • • j “4, —2, 2, 4,..., площадь оставшейся поверхности минимальна для заданной границы.
Таким образом, £' может быть представлена как замкнутая форма dN на исходной решетке для целочисленной переменной N € {0,1}. И N -требуемая переменная ПЦП.
Численно данная процедура выглядит следующим образом. Для данной переменной 2 мы должны выбрать такую Z2 переменную АГ, что [dN] mod 2 близко насколько возможно к 2. Это означает, что мы минимизируем функционал
Q — Л \{z ~ dN) m°d 2| (2.9)
ylaq
rio отношению к N.
Эта процедура работает следующим образом. Мы рассматриваем данный линк L и сумму по плакетам
Qiink = Л | (z “ dN) mod 2| (2.10)
/"yGplaq
Минимизируем эту сумму по отношению к одной линковой переменной N. Все линки обрабатываются подобным образом, и процедура повторяется пока не обнаруживается минимум.
Мы называем описанную процедуру Простой Центральной Проекцией. Наш метод также находит локальные минимумы и Грибовские копии. Поскольку процедура много проще чем привычные Центральные проекции, включить в рассмотрение несколько Грибовских копий оказывается несложно.
22
- Київ+380960830922