Неклассические световые эффекты, проявляющиеся в интерференции, дифракции и распространении оптических солитонов

НЕКЛАССИЧЕСКИЕ СВЕТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ, ПРО ЯВЛЯЮЩИЕСЯ В ИНТЕРФЕРЕНЦИИ, ДИФРАКЦИИ И РАСПРОСТРАНЕНИИ ОПТИЧЕСКИХ СО-ЛИТОНОВ
Оглавление
Введение
Глава 1. Квантовые флуктуации света и их преобразование
1.1. Пространственная когерентность одномодовых лазерных пучков
1.2. Генерация сжатых и субпуассоновских состоянии
1.2.1. Сжатые состояния, классическая аналогия
1.2.2. Сжатые состояния дифрагирующих параметрически усиленных световых пучков
1.2.3. Преобразование квантовых полей при самовоздействии
1.2.3.1. Преобразование поля при однократном проходе границы раздела линейной и нелинейной сред
1.2.3.2. Преобразование квантовых полей в лазерном резонаторе с нелинейным выходным зеркалом
1.2.4. Генерация субпуассоновских пространственно-временных полей широкоапертурным бистабильным интерферометром и депрессия квантовых шумов изображений
1
1.3. Основные результаты
Глава 2. Квантовые флуктуации при распространении шре-дингеровских солитонов
2.1. Распространение солитонов в недиссипативной среде: гейзенберговское описание
2.1.1. Квантовое нелинейное уравнение Шредингера
2.1.2. Континуально - интегральная форма нелинейного уравнения Шредингера
2.1.3. Сжатые состояния солитона на начальном этане
2.1.4. Подавление флуктуаций интенсивности, субпуассоновская статистика фотонов
2.2. Распространение солитонов в недиссипативной среде: шредингеронское описание. Предельная длина пробега
2.2.1. Эволюция средней амплитуды, интенсивности и флуктуаций
2.2.2. Форма солитона
2.2.3. Сжатые состояния
2.3. Влияние диссипации и усиления на распространение шредингеровских солитонов
2.3.1. Широкополосное усиление и потери
2.3.1.1. Квантовая неопределенность амплитуды и импульса
2.3.1.2. Квантовая неопределенность фазы и положения
2.3.1.3. Сжатые состояния солитона в световоде с усилением и потерями
2.3.1.4- Численные оценки и некоторые выводы
2.3.2. Узкополосное усиление и потери
2.3.2.1. Базовая модель и основные соотношения
2
2.3.2.2. Эволюция неопределенности импульса в адиабатическом приближении
2.3.2.3. Дисперсия флуктуаций волнового числа
2.3.2.4. Неопределенность положения солитона
2.3.2.5. Предельный пробег солитона
2.4. Основные результаты
Приложение 2.1. Средний амплитуда солитона Приложение 2.2. Средних интенсивность солитона Приложение 2.3. Дисперсии флуктуаций числа фотонов солитона Приложение 2.4. Средний квадрат поли солитона
Глава 3. Интерференционные квантовые эффекты
3.1. Интерференции света и априорное существование наблюдаемых
3.1.1. Интерференция третьего порядка
3.1.2. Интерференция света и скрытые переменные
3.1.2.1. Неравенства Белла типа Клаузера - Хорна - Шимони -Хольта (КХШХ) и Клаузера - Хорна (КХ)
3.1.2.2. Квантовый расчет схем с двумя наблюдателями
3.1.2.3. Интерференция четвертого порядка и априорное существование определенного числа фотонов
3.1.2.4- Шестимодовая интерференция
3.1.2.5. Неравенство Белла для трех наблюдателей
3.1.2.6. Неравенства Белла для четырех наблюдателей
3.1.2.7. Теорема Белла для пяти и большего числа наблюдателей
3.1.2.8. Парадокс Гринбергера - Хорна - Цайлингера (ГХЦ) для трех и четырех наблюдателей
3
3.2. Интерференция многофотонного света, сопоставление с классическими эффектами
3.2.1. Интерференция трехфотонных состояний
3.2.2. Интерференция четырехфотонных состояний
3.3. Двухфотонные состояния: дифракция, голографическая интерференция, преобразование двумерных сигналов
3.3.1. Интерпретация двухфотонной корреляции с помощью опережающих волн
3.3.2. Двухфотонная дифракция
3.3.3. Двухфотонная голография
3.3.4. Двухфотонное преобразование двумерных изображений
3.4. Корреляция фотонов при неупругом рассеянии света
3.4.1. Теоретическая модель
3.4.2. Корреляция интенсивностей при рассеянии света на фононах и поляритонах
3.4.3. Рассеяние на двух несвязанных фононах
3.5. Основные результаты
Приложение 3.1. Соотношения неопределенностей между амплитудными и фазовыми параметрами поля
Приложение 3.2. Вывод неравенства типа КХ (455)
Приложение 3.3. Скорость совпадений и одиночных фотоотсчетов при регистрации излучения невырожденного параметрического рассеяния
Заключение
Список литературы
4
ВВЕДЕНИЕ
Фундаментом современной лазерной физики является квантовая теория. Поэтому, подчас, удивительные эффекты, которые можно наблюдать с помощью современной лазерной техники, в основе своей имеют необычную специфику квантовой теории. В чем она состоит? Прежде всего в нарушении наших привычных интуиций пространства-времени. Причина, по-видимому, в том, что квантовая теория оперирует векторами состояний, принадлежащими гильбертовому векторному пространству, на которое стандартные пространственно-временные ограничения, строго говоря, не распространяются. Эту специфику квантовой теории хотелось бы ’’почувствовать” экспериментально. И современная лазерная физика такую возможность дает. Эксперименты по проверке неравенств Белла — тому подтверждение.
Практические задачи прецизионной оптической метрологии в ряде приложений сталкиваются с фундаментальным ограничением точности измерений вследствие квантовых флуктуаций. Квантовые шумы налагают предел на основное свойство лазерного света — когерентность. Спонтанные переходы снижают когерентность. После экспериментальной регистрации неполной пространственной когерентности одномодовых лазерных пучков [1] была предложена модель подпорогового возбуждения высших поперечных мод резонатора [2]. Эти оценки оказались согласными с экспериментами. Однако, построение последовательной теории естественной пространственной когерентности представлялось актуальным.
С квантовыми флуктуациями вакуума связаны дробовые шумы фотодетекторов. Замечательным результатом квантовой теории явилось открытие сжатых и субпуассоновских состояний света с подавленными, по отношению к флуктуациям вакуума, флуктуациями. Теория приго-
5
товления таких сотояний методами нелинейной оптики первоначально была одномерной: учитывалась только временная эволюция. На очереди стоял учет дифракции.
Экспериментальная реализация сжатых состояний затруднялась сложностью лазерной техники параметрического преобразования света, посредством которого в большинстве экспериментов приготавливались эти квантовые состояния. Поиск более простых решений привел к эффекту самовоздействия света — фазовой самомодуляции, в кварце, например. В отличие от параметрического усиления, самовоздействие не сопровождается преобразованием частоты света. Напрашивался поиск схемных решений в этом направлении. Разработкам диссертанта по этим вопросам посвящена первая глава.
Успехи исследователей оптических солитонов открывали перспективы приготовления необычных квантовых состояний света. Существовала приближенная теория [3], фактически построенная в параметрическом приближении и справедливая на самом начальном этапе распространения солитонов. Затем появилась квантовая теория [4], которая описывала распространение солитонов в оптических волокнах без диссипации. Однако, влияние квантовых флуктуаций на скорость распространения солитона, как показали оценки, проявлялось лишь на длинных дистанциях (сотни и тысячи км), когда потери существенны. Теория, таким образом, нуждалась в дальнейшем развитии. Этому посвящена вторая глава диссертации.
Известный спор Нильса Бора с Альбертом Эйнштейном, строго говоря, не получил своего окончательного разрешения. Многочисленные эксперименты по проверке неравенств Белла до сих пор не привели к однозначно интерпретируемым результатам. Поиски возможностей свести квантовую теорию к разделу классической статистической физики продолжаются до сих пор. И пока не будет твердого эксперименталь-
6
ного опровержения теории скрытых переменных, такие попытки правомочны. Интересным представлялось тщательное изучение как тонкостей теоретических аспектов неравенств Белла, так и их экспериментальной проверки.
Другой вопрос квантовой теории, связанный с альтернативой теории скрытых переменных: существуют ли измеряемые величины до их измерения? Принципиально, этот вопрос также допускает экспериментальную проверку [5], с.159; [6]. Однако, предложенные вначале эксперименты с трехуровневыми молекулами носили лишь умозрительный характер. Актуальным представлялся поиск реального эксперимента.
"Почувствовать” специфику квантовой оптики проще в экспериментах, где классическое и квантовое описание предсказывают противоречивые результаты. Первые эксперименты по наблюдению интерференции интенсивностей двухфотонных состояний давали лишь повышенные значения видности интерференции по сравнению с классическим описанием. Сама же интерференционная зависимость интенсивности от фазы в обоих случаях оставалась синусоидальной. Возникла мысль проанализировать в этом плане многофотонную интерференцию.
Но и в исследовании двухфогонных эффектов намечались новые перспективы. Эффект "опережающей волны" [7, 8], помимо необычайной красоты, открывал новые возможности в практических приложениях передачи, кодирования и обработки изображений.
Современная лазерная техника позволяет исследовать не только оптические эффекты, но и квантовые эффекты в акустике. Предложение о зондировании кристаллов светом, с целью выяснения квантового состояния колебаний атомов кристаллической решетки [9], нуждалось в теоретической проработке. Решению этих задач посвящена последняя глава диссертации.
Целью диссертационной работы являлось изучение возможно-
7
стей подавления квантовых флуктуаций, ограничивающих предельные характеристики оптических измерений и обработки информации, а также выявление, исследование и использование квантовых эффектов, представляющих фундаментальный или практический интерес.
Согласно этой цели были поставлены следующие конкретные задачи.
1. Анализ предельной пространственной когерентности одномодовых лазеров.
2. Исследование возможностей подавления квантовых флуктуаций путем приготовления квантовых сжатых и субпуассоновских состояний света.
3. Исследование квантовых эффектов, сопровождающих нелинейное распространение шредингеровских соли тонов и ограничивающих предельную длину пробега; учет диссипации и компенсирующего ее усиления.
4. Поиск интерференционных эффектов, демонстрирующих необычные свойства света, не согласующиеся с классическими представлениями, которые можно было бы наблюдать экспериментально.
5. Формулирование парадоксов Белла, исходя из гипотезы существования функции распределения совместных вероятностей наблюдаемых, в том числе для количества наблюдателей, большего двух, и с учетом неидеальности детекторов.
Практическое значение этих исследований обусловлено тем, что квантовые шумы света полагают принципиальный порог оптических измерений, передачи и обработки информации. Конкретно научная новизна и практическая значимость работы состоит в следующем.
1. Развита последовательная теория естественной пространственной когерентности одномодовых лазерных пучков. Даны рекомендации по повышению когерентности.
8
2. Впервые учтена дифракция в описании процесса приготовления квантовых сжатых состояний света посредством параметрического усиления. Физический смысл пространственных эффектов проанализирован на основании классической аналогии. Выявлены возможности повышения эффективости квантового сжатия.
3. Разработан оригинальный способ сравнительно простого приготовления субпуассоновских состояний света путем пропускания когерентного излучения через границу раздела линейного и нелинейного диэлектриков, во втором происходит фазовая самомодуляция.
4. На основании квантовой теории распространения шредингеров-ских солитонов в континуально-интегральном виде, которая описывает распространение оптических солитонов в прозрачных нелинейных волокнах на начальной стадии, исследованы возможности приготовления сжатых и субпуассоновских состояний солитонов и подавления шумов детектирования.
5. Выявлена предельная длина пробега оптического солмтона в диссипативном волокне с компенсирующим усилением исходя из критерия равенства среднего смещения солитоиа под действием квантовых флуктуаций величине собственной ширины солитона. Установлено, что при совладении полосы усиления с шириной и расположением спектра солитона, эта предельная длина лишь незначительно меньше предельной длины пробега в идеально прозрачном волокне. Эти результаты могут быть использованы яри создании оптических линий связи.
6. Предложен эксперимент, который впоследствии подтвердил положение ортодоксальной интерпретации квантовой теории о том, что априорного (до измерения) определенного значения наблюдаемой, в частности, количества фотонов в поле, может не существовать.
7. Разработан алгоритм формулирования парадоксов Белла для три-хотомных наблюдаемых и произвольного числа наблюдателей. Предло-
9
жен вариант эксперимента, способного строго доказать теорему Белла и опровергнуть теорию скрытых параметров.
8. Выявлены резкие качественные различия предсказаний классической и квантовой теорий в четырехфотонной интерференции. Этот результат выгодно отличается от двухфотонных интерференционных экспериментов, где квантовая специфика касается лишь повышения вид-ности интерференционной картины.
9. Эффекты двухфотонной оптики: двухфотонная голография и двухфотонная передача и обработка изображений составляют основу нового раздела лазерной физики - двухфотонной оптики. На практике их можно использовать для повышения конфиденциальности передачи информации по оптическим каналам связи.
10. Теоретически доказана возможность измерения параметра группировки фононов или поляритонов вещества путем зондирования его светом и регистрации антистоксовой компоненты рассеяния по схеме интерференции Врауна-Твисса. Эти результаты могут быть использованы в диагностике прозрачных сред.
На защиту выносятся следующие положения:
- модель подпорогового возбуждения высших поперечных мод позволяет построить последовательную теорию естественной пространстве-ной когерентности одномодовых лазерных пучков;
- дифракция света при параметрическом усилении снижает эффективность сжатия квантового состояния;
- использование эффекта фазовой самомодуляции позволяет сравнительно просто приготовить квантовые сжатые и субпуассоновские состояния;
- предельная длина пробега шредингеровского солитона в кварцевом волокне при соответствующем подборе полосы усиления лишь незначительно меньше предельной длины пробега в идеально прозрачном
10
волокне;
- интерференционные эксперименты третьего и более высоких порядков позволяют подтвердить положение ортодоксальной интерпретации о том, что априорного (до регистрации) значения измеряемой величины может не существовать;
- методы формулирования и исследования парадоксов Белла с помощью функции распределения совместных вероятностей наблюдаемых допускают обобщение на случай трихотомных наблюдаемых и произвольного числа наблюдателей;
- новые неклассические эффекты двухфотонном обработки изображений и двухфотонной голографии составляют физическую основу для разработки методов повышения конфиденциальности передачи информации.
Диссертация включает Введение, три главы с Приложениями, Заключение и Список литературы.
Первая глава посвящена изучению квантовых флуктуаций светового поля и возможностей их подавления. Исследуется предельная пространственная когерентность одномодовых лазерных пучков, возможности приготовления сжатых и сублуассоновских состояний с подавленными квантовыми флуктуациями по сравнению с флуктуациями вакуума. Предпринимаются попытки поиска и анализа классических аналогов этих эффектов.
Во второй главе рассматриваются квантовые эффекты нелинейного распространения шредингеровских солитонов и связанные с этими эффектами предельные ограничения на длину пробега. Производится учет влияния диссипации и соответствующего компенсирующего усиления.
Третья глава посвящена квантовым интерференционным эффектам и изучению необычных свойств света, не согласующихся с классическими представлениями ’’здравого смысла”. Предлагается эксперимент по на-
11
блюдению нелинейной трехчастотной интерференции, который позднее был реально осуществлен авторами работы [10]. Подтверждается вывод Д.Н.Клышко [6] о том, что априорно (до детектирования) определенного числа фотонов в поле может не существовать.
Неклассическая корреляция пространственно разделенных световых пучков изучается с помощью теоремы Белла. Подтверждается вывод Е. Сантоса [И] о необходимости учета неединичной эффективности детекторов г} в экспериментах по проверке неравенств Белла. Дан пример реальной ситуации, когда неучет этого факта приводит к ошибочным выводам. Предлагаются неравенства Белла для трихотомных наблюдаемых, пригодные в случае т) < 1.
Высокие пребования к квантовой эффективности детекторов (> 2/3) и чисто академический интерес побудили к попыткам обощения теоремы Белла на случай произвольного числа наблюдателей. Предельную эффективность т/, как оказалось, при этом можно снизить до 1/2.
Во второй половине третьей главы рассмотрении эффекты двухфотонной оптики и корреляции фотонов при неупругом рассеянии света. Они носят более прикладной характер.
Основные итоги подведены в Заключении.
Ряд математических результатов вынесен в Приложения 2.1-2.4 ко второй главе и Приложение 3.2 к третьей главе. В Приложение 3.1 к третьей главе вынесен материал, наглядно иллюстрирующий интерференционные эффекты. В Приложении 3.3 к третьей главе дано обобщение квантового расчета схемы эксперимента с параметрическим рассеянием на многомодовый случай.
Основное содержание диссертации опубликовано в 45 статьях, а также вошло в главу 3 монографии А[12]. Здесь и далее буквой ”А” помечены работы, написанные с моим участием. Мой личный вклад в работы нескольких соавторов в некоторых случаях специально оговаривается в
12
тексте. Как правило, он не ниже 50 %. У Д.Н.Клышко, А.С.Чиркина и М.В.Чеховой я получил устное согласие на использование результатов совместных работ в диссертации. Результаты диссертационной работы были представлены на 12 Всес., 13 и 14 Межд. конф. по когерентной и нелинейной оптике (МГУ 1985, Минск 1988, С.-Петербург 1991), на 5 Всес. конф. "Оптика лазеров" (Л. 1987), на 2 и 3 Всес. семинарах по квантовой оптике (Раубичи 1988 и 1990), на расширенном заседании секции научного совета АН СССР "Лазерные люминофоры" (Звенигород 1989), на Межд. семинаре "Проблемы квантовой оптики" (Дубна 1991), на Межд. совещании по сжатым и коррелированным состояниям в квантовой оптике (ФИАН 1991), на 15 Межд. конф. по раманов-скому рассеянию (Питтсбург 1996), на семинаре "Изучение феномена времени” (МГУ им. М.В.Ломоносова 1998), на Московском семинаре по квантовой оптике (МГУ им. М.В.Ломоносова 1998), на 7-ых Рождественских чтениях (Физический факультет МГУ им. М.В .Ломоносова 1999), на семинарах А.Н. Ораевского (ФИАН, 1990, 2000).
Глава 1. Квантовые флуктуации света и их преобразование
Квантовые шумы света полагают принципиальный порог точности оптических измерений. Изучение их свойств носит также фундаментальный характер.
В разделе 1.1 рассматриваются естественные пространственные флуктуации одномодовых лазерных пучков, обусловленные спонтанным излучением активной среды. Развита идея работы [2] об ограничении предельной пространственной когерентности сщномодового лазера под-пороговым возбуждением высших поперечных мод. В [2] даны лишь теоретические оценки пространственной когерентности. В указанном
13
же разделе приведен детальный расчет корреляционной функции и степени пространственной когерентности одномодового лазера.
В разделе 1.2 проанализирован эффект приготовления квантовых сжатых и субпуассоновских состояний. В подразделе 1.2.1 рассматривается аналогия описания квадратурных компонент квантового и классического шума, усиленного вырожденным параметрическим усилителем. На момент написания работ А[13, 14] процесс приготовление квантовых сжатых состояний рассматривали как сугубо квантовый эффект, не имеющий классических аналогов. Однако, определенные аналогии с классическим параметрическим усилением все же обращали на себя внимание. Поэтому актуальным представлялось выяснение, в чем же именно состоит квантовая специфика приготовления квантовых сжатых состояний.
В подразделе 1.2.2 проанализирован параметрический процесс приготовления квантовых сжатых состояний с учетом многомодовости по пространству. Ранее учитывалась многомодовость по частотам, например, в [15, 16]. Эволюция квантовых состояний вследствие дифракции в свободном пространстве исследовалась в [17]. Актуальным представлялось учесть дифракцию в процессе приготовления квантовых сжатых состояний при параметрическом усилении.
В последующих подразделах исследован эффект фазовой самомоду-ляции с точки зрения подавления квантового шума детектирования и приготовления квантовых сжатых и субпуассоновских состояний. В отличие от традиционно используемого для этой цели параметрического преобразования, фазовая самомодуляция не требует выполнения условия фазового синхронизма, которое существенно для параметрического взаимодействия. Ранее известно было описание фазовой самомодуляции квантовой теорией в приближении кубической нелинейности [18, 19]. Естественно было попытаться обобщить описание на случай нелиней-
14
ности произвольного порядка. С этой задачи начинается подраздел
1.2.3. Далее, в пункте 1.2.3.1, предложен простой способ приготовления субпуассоновских состояний света путем пропускания когерентного излучения через границу раздела линейного и нелинейного диэлектриков. Интересно было посмотреть и обратное расположение диэлектриков, а также использование такого составного устройства в качестве выходного зеркала лазерного резонатора (п. 1.2.3.2).
В работах М.И.Колобова и И.В.Соколова [20, 21, 22, 23, 24] предложен способ приготовления пространственно-временнных сжатых состояний и трехмерной антигруппировки фотонов с использованием параметрического преобразования. Несколько смущала в этом решении его сложность. Поиски более простого способа отражены в подразделе
1.2.4. При этом используется преобразование квантовых полей пассивным нелинейным широкоапертурным многолучевым интерферометром, возбуждаемым внешним излучением. В нелинейной среде его имеет место фазовая самомодуляция.
1.1. Пространственная когерентность одномодовых лазерных пучков А[12, 25]
Спонтанный шум, неизбежно присутствующий в лазерах, приводит к неустранимым естественным флуктуациям амплитуды и фазы поля излучения во времени и пространстве. Результаты исследования временных флуктуаций лазера подытожены, например, в [26, 27]. Они характеризуются коэффициентом амплитудной модуляции и естественной шириной линии, которая определяется формулой Шавлова - Таунса. Пространственные флуктуации лазерных пучков обычно описываются степенью когерентности и радиусом корреляции, которые связаны как с амплитудными, так и фазовыми флуктуациями. Наибольшей когерент-
15
ностыо обладают одномодовые лазерные пучки, одномодовость которых заключается в том, что порог генерации превышает только низшая мода. Пространственная когерентность таких пучков была исследована экспериментально в [1, 28, 29, 30, 31, 32], теоретически - в [2, 32, 33] и в А [12, 25, 34]. Далее проанализирована предельная пространственная когерентность лазерных пучков, влияющие на нее факторы и возможности управления степенью пространственной когерентности. По определению она равна
А(г,і)- комплексная амплитуда поля. Ось г положим совпадающей с направлением распространения пучка и исследуем зависимость ^(0, гі) в поперечной плоскости, совпадающей с выходным зеркалом резонатора.
В экспериментах [1, 28, 32] степень пространственной когерентности излучения одномодовых Не-Ме лазеров (Л =0.6328 мкм) в центре пучка слабо огличась от идеальной, равной единице. Для лазера Л Г-36 (мощность излучения IV « 1 мкВт) были получены следующие результаты. Вблизи центра пучка степень когерентности |0(О,О)| =0.99997 ± 10”5, а при удалении от центра она уменьшалась до 0.9991 ±Ю~4, и 0.009 ±10~3 для точек, интенсивность которых составляла, соответственно,
0.1 и 0.001 от максимальной интенсивности.
Типичный результат для лазера Л Г - 159 мощностью 100 мкВт, имеющего неоновую ячейку для получения одночастотного режима генерации, приведен на рис. 1.1.1. Отличия </(0, гі) от единицы порядка 10“в.
(1)
где корреляционная функция
£(гЬГ2) = (А(гЬ<)Л*(г2,{)),
(2)
16
о
40
80
160 г± ^ МКи
Рис.1.1.1. Изменение степени пространственной когерентности лазерного одномодового пучка по его сечению. По оси абцисс
отложено удаление от центра пучка. Сплошная кривая - экспериментальная, прерывистая - теоретическая
і
і
Основную причину нарушения полной пространственной когерентности можно усмотреть в подпороговой генерации высших мсщ, возбуждаемых спонтанным излучением. Такая модель предложена в [2]. В дальнейшем она получила как теоретическое А[12, 25], так и экспериментальное [32] обоснование. Проанализируем ее, в основном следуя А[12, 25].
Рассмотрим резонатор Фабри - Перо длиной 12 с плоскими прямоугольными зеркалами со сторонами 1Х и /у. Собственные моды такого резонатора можно представить в виде [35], с.37: ^(rj_) = Ф{я)ф(у)у Ф{х) = cos птХ при натуральных нечетных т — 1, 3,..., и ф(х) = sin тгтХ при натуральных четных т = 2, 4,..., а X = x/[lx -f 0.824(i 4-1 )фхЩ* Аналогично выражение для ф(у). В этих обозначениях низшей модой является фи, которая обладает наименьшими потерями. Индексы здесь соответствуют значениям то в ф(х) и ф(у). С их ростом потери растут. Поэтому при возбуждении низшей поперечной моды комплексную амплитуду поля на выходе лазера можно приближенно записать как
Здесь предполагается, что низшая надпороговая мода абсолютно стабильна, и Сп не зависит от £. Фактически небольшие флуктуации этой моды остаются, но они локализованы на краях зеркал А[34].
Вычислим коэффициенты Сі2(*) и С2\{Ь) подпороговых мод без учета нелинейности активной среды, поскольку флуктуации подпороговых мод малы.
Из уравнений Максвелла
A(i\l,£) = Сі 1^ц (гj.) 4- С\ъ{£)ф\ъ(хх) 4-С2і(£)^2і(і*±)- (3)
(4)
(5)
17
*
divE{r,t) = ^-p(r,t), (6)
в которых сторонняя индукция Dc учитывает случайное воздействие, обусловленное тепловыми шумами активной среды [36], с. 128, исключим Н(г
л 4л- 8E(r,t) 1 d2D(r,t) ia2De(r,t) „
с го. го.Е(г,.) 4- + --^г1 + —ЩГ1 = СО
Поскольку АЕ = grad divE — rot rotE, а плотность заряда p = 0, с учетом (6), имеем
(8)
Электрическое поле £(r, £) в резонаторе считаем линейно-поляризованным. Поэтому его можно описывать скалярным неоднородным уравнением:
(9)
Как обычно, с- скорость света в вакууме; а— удельная проводимость среды, характеризующая потери и усиление; электрическая индукция D(r, t) = €#(г,г), с— линейная диэлектрическая проницаемость среды.
Для расчета сторонней индукции Dc с учетом случайного воздействие, обусловленного не только тепловыми шумами, но и спонтанным излучением активной среды, воспользуемся флуктуационно-диссипаци-онной теоремой (ФДТ). В резонаторе в отсутствие усиления эквивалентная диэлектрическая проницаемость среды с учетом потерь <т/05, равна ceq = € - iAnai0$i/(jJ. Здесь и— круговая частота излучения. ФДТ позволяет записать корреляционную функцию тепловых шумов следующим образом [36], с.137:
(D=(r,(j)D*(r',w')) = {Dt(t,w)Dt{t',J)) = йэтМг(е4?-<^)£(г—r',w—t/),
(10)
18
где использованы трансформанты Фурье:
(н)
а N7— среднее число тепловых фотонов:
-ч—
«ф(Й-)-
(12)
Здесь «в— постоянная Больцмана, Т — температура.
Корреляционная функция спонтанного излучения получается из (10) при помощи замены положительной проводимости на отрицательную. Отрицательная температура Т соответствует инверсной населенности активной среды [33], с.521:
где N2 и N1— населенности верхнего и нижнего уровней атомов активной среды, а^и^- кратности вырождения уровней. Следовательно,
Представим электрическое поле в резонаторе в виде двух волн, бегущих в противоположных направлениях:
(13)
Корреляционная функция шума равна
<£>c(r,u>)L>;(rV» = фт(гМО'т(г',Л)) + (Ü»P(r,w).D*p(r',ü/)). (15)
E(rx, z, t) = і А+(гх, г, £)е‘(ш£-Ь) + ^А_(гх, г, £)е‘(“,+ь) + с.с. (16)
Аналогично
Dc[r±, х, t) = U+(r±, z, £)е‘>£-ь> + \d. (rXl *, £)е‘(“<+ь> + c.c. (17)
19
Входящие в (16) комплексные амплитуды, согласно (9), в квазиопти-ческом приближении удовлетворяют уравнениям параболического типа:
й д±+1+й+* ~7)А+(г±- *•£) = ~^+(г-£)’ (18)
(іДі - I+1ш+К ~7) Д-(Г1>2-£) = £)> (19)
где к и у— декремент поглощения и инкремент усиления активной среды, к = о»/г;, V — с/у/ё> а с1±{т, £) описывают источники 6—коррелированного шума, причем
1б7гЛе
7
^2
лі -
-Ь /с Л/т
) % - г',
*-0. (20)
Далее мы не будем учитывать тепловой шум, поскольку обычно N7 < 1.
Перейдем к фурье- амплитудам (11), тогда (18), (19) преобразуются к виду
(іДх+1+*'?+* ~ 7)і+ =~тМг'п)- (21)
(4Дх - ^+£?+л -7)л-=-14(г’п)- (22)
Здесь Г2— частота отстройки от ш.
Решение уравнения (21) имеет вид
X I <12г'.1_.Д+(г,1,2о, Л) ехр
■ік
г± - г'іі2
2(г - 2о)
+
+к
2 ехр [(7 — к — і^) (г-го)] гг ,ехр [(*-7 + 1%) (г'-яр)]
Г М •'20
х /<12г,1^+(г,±,2г/,^)ехр
2(-г - *')
(23)
20
Этим соотношением определяется амплитуда ПОЛЯ В ПЛОСКОСТИ 2 при заданном поле в плоскости г0. Интегрирование по т*± ведется в плоскости 2г0. Применительно к рассмотриваемой задаче можно связать амплитуды поля на зеркалах. Пусть зеркала резонатора с амплитудными коэффициентами отражения 7^1 и 712 расположены в плоскостях х = ±/*/2, тогда
Таким образом, стационарное поле в резонаторе должно удовлетворять неоднородному интегральному уравнению
Л+(гхЛ/2,П) =
= Я1те2ей*Ч2[А+(т±, 1г/2, П)] 4- 7г,еш- £[Ґ_(г±> П)] + ^(г±,П) *
Л+(гх,|,П) - 1 [Л+(гх,-|,П) + ^+(гх, |,П)
(24)
где оператор
ехр [(7 - * - »'“) Ь]
X
27Г/г
(25)
а
(26)
(27)
(28)
21
* ПхП^ш-Ьг[А+{тиІ>І2,Щ + емТ.(гх,П) + Р+(rx.fi). (29)
В приближенном выражении не учитывается влияние зеркала на шум.
Случайная функция і'Хгі, Л) = е%кІЯ^_-Ь^+ обусловлена шумом <Р(г, £}). Ее среднее значение (^(п,^)) = (і*(г,П)) = 0, а корреляционная функция равна
<Г(гх, П)Г(г'х, П')) « Ъ-Ук) ^ ~ Г'^П <30)
Здесь для простоты также пренебрегается влиянием зеркал на шум и принято к « 7, что справедливо при малом превышении потерь над усилением в высокодобротном резонаторе.
Задача определения амплитуды Д+(г_і.,П) сводится к решению неоднородного интегрального уравнения (29). Будем его искать в виде разложения по собственным модам резонатора [35]:
І+(rx.fi) = £ стп(П)т/>тп(гх), (31)
т,п
где гртпігі)— решения однородного уравнения
Ь[фтп{ Г±)] ) — А тп^Ртп (г±) (32)
в котором Атп- собственные значения этого уравнения, модуль которых определяет дифракционные потери моды.
Коэффициенты Стп(ії) ИМЄЮТ ВИД
Л /^ГХ-РСгх.Й^тЛгх) _ г.,і г. \^2_ „оч
Стп(П) - (1 _ )Мтп. *«. - / ^т>х)<1 Гх. (33)
Интегрирование ведется по площади зеркал.
Порог возбуждения мод соответствует условию
^і7г2Л^пе[2(7~Л,г*1 = 1. (34)
Как уже отмечалось, он превзойден лишь модой с то = п = 1.
22
Распределение средней интенсивности мод, в соответствии с (33), при « 7^2 « 1 равно
Из выражений (3), (16), (35) можно найти степень когерентности (1). Наглядными получаются формулы для частных случаев. Так, при г± = {0?2/}? имеем
а У связан с у так же, как и X с я; [V— мощность лазера. К аналогичной структуре выражения степени когерентности приводят расчеты для круглых зеркал и других типов резонаторов.
Оценка |<7(0,г/)| по формуле (37) для условий экспериментов [1] дала удовлетворительное согласие с приведенными выше данными для лазера Л Г-36.
Вблизи центра пучка (при У «С 1) имеем
где р— радиус поперечного сечения пучка.
На рис. 1.1.1 теоретическая зависимость (40) изображена плавной линией. Привязка к эксперименту производилась по наибольшему значению (подгонялось значение постоянного коэффициента Б). Видно, что
Гтп( ГХ) = ^(|Стп(0|г)|^(гі)|2,
(35)
(36)
1з(0, у)| = \/і + 5|8ІптгУ|2
(37)
где постоянная
сгМі-КІ) 1Мі| К еЖ(Л„ - Атп) |М*| ^2 - £ЛІ
(38)
|з(0,іОІ « \/і + 3(ку/2рУУ
(39)
ИЛИ
(40)
23
экспериментальные точки хорошо ложатся на параболу. Совпадение результатов рассмотренной теоретической модели подпорогового возбуждения высших поперечных мод с экспериментом свидетельствует о ее праве на существование. Дополнительные аргументы в пользу этого вывода можно найти в [32]. Подчеркнем еще раз, что такое подпо-роговое возбуждение обусловлено спонтанным излучением атомов активной среды. Повышение степени пространственной когерентности в принципе возможно за счет спектральной фильтрации, поскольку резонансные частоты высших поперечных мод отличаются от резонансной частоты основной генерируемой моды.
С корреляционной функцией (1) связан естественный угловой спектр
т = ^{ 5(Д^)е‘ИДгМАгх, (41)
откуда средний квадрат естественной угловой расходимости равен
<#’> = £ в'тм = (42)
Согласно (40), (42), среднеквадратичная естественная угловая расходимость равна
Д«? = у/Щ = (43)
или
Д0 = (44)
где Д$скуг = “ дифракционная расходимость лучка. Поскольку 5 «С 1 (для указанных выше лазеров 5 « 10”5 — 10~6), то Д$ -С Д#<д/Г.
Естественная угловая расходимость является статистическим параметром. Ее можно интерпретировать как угол, в пределах которого блуждает направление излучения лазерного пучка [32]. Такое блуждание может определять предельные возможности лазерных записывающих и считывающих оптическую информацию устройств.
24