Статистические оценки в акустических обратных задачах излучения и рассеяния

Содержание
I. Введение
1.1 Актуальность темы и цели исследования.
Общая характеристика диссертационной работы....................4
И Некогерентные обратные волновые задачи излучения
2.1 Методы пассивной акустической термометрии (обзор)..............8
2.2 Корреляционная волновая томография в приложении к обратным задачам акустотермометрии................................21
2.3 Оценка распределений мощности структурированных источников на фоне коррелированного помехового излучения.....................24
2.4 Потенциальная чувствительность и разрешающая способность метода пассивной волновой томографии..............................28
2.5 Возможные функциональные схемы термотомографа. Оценка объема вычислительных затрат.................................... 31
2.6 Применение модифицированного метода Кейпона к задаче характеризации излучающих структур. Результаты численного моделирования.....................................................35
2.7 Применение метода максимального правдоподобия к задаче статистической характеризации излучающих структур. Численная схема. Результаты моделирования.............................. 52
2.8 Основные результаты главы И. Взаимосвязь рассмотренных методов статистической характеризации излучающих структур.........63
2.9 Краткие выводы к главе II.....................................67
III. Статистические оценки в обратных задачах рассеяния (ОЗР)
3.1 Некоторые методы регуляризации некорректно поставленных задач (обзор)...,...!.............................................68
3.2 Оценки максимальной апостериорной вероятности характеристик рассеивателей в случае зашумленных данных рассеяния...............89
-3-
3.3 Схемы численной реализации
3.3.1 Решение модельных прямых задач рассеяния для акустических неоднородностей средней силы с учетом эффектов многократного рассеяния............................................103
3.3.2 Схема численной реализации алгоритма решения 03Р в приближении однократного рассеяния с учетом ошибок измерения и априорной информации о рассеивателе..............................111
3.3.3 Схема дискретизации уравнений и оценка объема вычислительных затрат при реализации алгоритма решения 03Р с учетом эффектов многократного рассеяния..,,........................127
3.4 Результаты моделирования
3.4.1 Результаты численного моделирования решения ОЗР в приближении однократного рассеяния.................................134
3.4.2 Результаты численного моделирования, решения ОЗР с учетом эффектов многократного рассеяния...................................148
3.5 Направления развития алгоритма и методов его практической реализации.........................................................180
3.6 Краткие выводы к главе III.....................................192
IV. Заключение.....................................................193
Приложение 1. Обратная задача излучения в пространстве
волновых векторов..................................................195
Приложение II. Статистическая обратная задача оптимального
оценивания в координатном пространстве............................ 197
Литература.........................................................200
- 4 -
I. ВВЕДЕНИЕ
1.1 АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ И ЦЕЛИ ИССЛЕДОВАНИЯ.
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ.
Теория обратных волновых задач представляет собой активно развивающееся направление в современной как математической, так и прикладной физике [4-7,19-21.25-27,53,79-89.96,147-154.178-181,186-189]. В акустике под обратными задачами этого типа понимается воссгановление характеристик неоднородностей, рассеивающих первичное поле, и источников звука по измерениям акустического поля. Значительно возросший в последние десятилетия интерес к акустическим обратным задачам главным образом обусловлен необходимостью решения актуальнейших проблем медицинской диагностики, разработки акустических томографов, более безопасных, чем рентгеновские, и менее дорогостоящих, чем ЯМР-томографы [60,188]. Помимо медицинских приложений, которым в последнее время посвящается все больший объем теоретических и экспериментальных исследований в различных областях науки и техники, неослабевающий интерес к развитию теории обратных задач излучения и рассеяния в значительной степени связан с решением обширного класса важных прикладных проблем дефектоскопии, геоакустики и акустики океана [2- 4,52-58,188,189].
Широкий спектр практических приложений и. соответственно, многообразие постановок обратных задач породило большое количество различных методов их решения. Нет, к сожалению, универсальных подходов — метод, оптимальный для одного класса задач, может оказаться неприменимым в задачах другого типа. Потребность в учете различных статистических аспектов при рассмотрении обратных задач приводит к тому, что одним из наиболее эффективных методов решения таких задач является статистический подход. Так, например, к статистической постановке задачи приводит учет ошибок и шумов, неизбежно сопровождающих измерения в любой реальной системе (источники и рассеиватели при этом могут быть и детерминированными) В ряде случаев используемый источник облучения имеет случайный характер и, в силу такой своей природы, не конролируется детерминистическим образом в процессе эксперимента. Подобная ситуация возникает, например, в геотомографии с естественными (землетрясения) или искусственными (вибрации крупных промышленных установок) источниками, в гидроакустической томографии океана с использованием шумовых источников. Учет
- 5 -
многократных перерассеяний в обратных задачах рассеяния (03Р) делает эти задачи нелинейными относительно неизвестных характеристик рассеивателя, обладающими сложным характером неустойчивости. Подход к решению таких задач как к проблеме, получения статистических оценок на основе тех или иных (зашумленных) данных и всей имеющийся в наличии априорной информации в достаточной мере эффективен, поскольку в нем самом уже заключена определенная степень регуляризации решения. В качестве примера некогерентной обратной задачи излучения (ОЗИ), имеющего важное практическое значение, можно привести обратную задачу акустотермографии -построения карты пространственного распределения внутренней температуры объекта по результатам наблюдения акустического термического шумового излучения. , В задачах статистической характеризации рассеивающих объектов (или излучающих структур) сам процесс формирования поля носит статистический характер. В этом случае исследуемая структура рассматривается как реализация из некоторого ансамбля пространственных случайных функций. Искомыми могут быть или сам вид реализации, или же параметры, характеризующие поведение рассеивателя (источника) как статистического объекта (например, пространственная функция корреляции). Возможна задача одновременной оценки неизвестных параметров распределения и оценки вида конкретной реализации, наблюдаемой в конкретном эксперименте. Практические приложения такого типа задач могут быть весьма разнообразными. В частности, различия в структуре здоровых и имеющих патологии тканей (размеров, ориентации зерен и т.п.) могут служить основой для их статистической характеризации. Положительным моментом является то обстоятельство, что многие биологические ткани представляют собой диффузные рассеиватели с медленно меняющимися характеристиками. Тогда оценка некоторых статистических характеристик, описывающих распределение случайных рассеивателей в пространстве, может производиться на основе одной реализации, если эти характеристики являются медленно меняющимися (в пространстве) функциями по сравнению с шириной интервала пространственной корреляции характеристик случайного рассеивателя. Иными словами, рассеиватель должен быть пространственно квазиоднородным, с тем, чтобы эти характеристики могли быть оценены путем текущего усреднения по некоторой конечной пространственной области.
Перечисленные выше и подобные им задачи относятся к задачам проверки статистических гипотез, и их решение представляет собой
- 6 -
статистическую оценку тех или иных характеристик источника или рассеивателя. Наиболее простыми (в принципиальном отношении) являются задачи, имеющие в качестве своего предельного случая детерминистическое решение. Следует подчеркнуть, однако, что статистический подход и современная интерпретация статистических оценок (например, восстановление недостающей информации с точки зрения максимизации энтропии) позволяют ставить и решать задачи, не имеющие аналога в классе детерминистических. Подход к решению обратных задач как к статистической оценке является традиционным в статистической радиофизике, однако, до сих пор наиболее разработанными являются методы решения обратных задач в детерминистической постановке, с последующим введением процедур регуляризации в те или иные этапы решения. Поэтому в настоящее время развитие статистических подходов к решению волновых обратных задач излучения и рассеяния является актуальным.
Целью диссертационной работы является разработка методов решения акустических обратных задач излучения и рассеяния в статистической постановке.
Материалы диссертации докладывались на 22-ом Международном Симпозиуме Acoustical Imaging (Флоренция, сентябрь 1995г.), на 23-ем Международном Симпозиуме Acoustical Imaging (Бостон, апрель 1997г.) и на семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ. Принят доклад на на 25-й Международный симпозиум Acoustical Imaging (Бристоль, 2000).
Основные результаты диссертации изложены в работах [45,46,63,179,180].
Диссертация состоит из трех глав, заключения и двух приложений, в конце диссертационной работы приводится список литературы.
В первой - вводной - главе обсуждается актуальность темы диссертационной работы, формулируется общая постановка задачи. В диссертации нет одного общего раздела, целиком посвященного обзору литературы. Вместо этого отдельный обзор по каждой из исследуемых проблем дается в начале главы. Это позволяет более тесно связать известные результаты с конкретными результатами работы.
Вторая глава посвящена решению в волновом приближении задачи оптимальной оценки распределения интенсивности источников теплового излучения и, в ряде случаев, внутренней температуры нагретой поглощающей среды по результатам наблюдения акустического термического шумового излучения. Предлагается блок-схема
- 7 -
термотомографа и рассматриваются возможные упрощенные варианты реализации корреляционного метода, отличающегося, в его полном виде, большой вычислительной сложностью. Оцениваются потенциальная чувствительность и разрешающая способность метода пассивной волновой томографии, а также объем вычислительных затрат, необходимых для реализации предложенного алгоритма на ЭВМ. Анализируется возможность получения оптимального решения обратной задачи излучения для случая сложных конфигураций случайных источников с произвольной функцией корреляции. Представлены результаты численного моделирования процесса статистической характеризации термоакустических источников
В третьей главе рассматривается метод получения статистчески х оценок характеристик рассеивателей в случае зашумленных данных рассеяния, базирующийся на системе уравнений Липпмана-Швингера для данных рассеяния в импульсном (или координатном) представлении. Обсуждаются достоинства и слабые стороны предлагаемой итерационной схемы. Вспомогательная прямая задача рассеяния для рассеивателей средней силы с учетом многократных перерассеяний решается методом последовательных итераций. Анализируются пределы уширения пространственного спектра вторичных источников с ростом силы рассеивателя и условия его “насыщения”. Приведены иллюстрации к численному моделированию решения обратной задачи рассеяния в борновском приближении и с учетом эффектов многократного рассеяния (для случая зашумленных данных рассеяния). Результаты, представленные в этой главе, являются плодом совместной работы, в которой автор диссертации принимал активное участие. Численное моделирование решения вспомогательной прямой задачи рассеяния было выполнено студентами А.Ю. Жуковец и A.B. Богатыревым. Огромное содействие в разработке программ дтя решения обратной задачи рассеяния было оказано сотрудником ИПУ к.ф.-м.н. Е.Г. Суховым. Разработка численных схем и моделирование решений ПЗР и ОЗР проводились под руководством и при непосредственном участии к.ф.-м.н.
О.Д. Румянцевой.
В заключении сформулированы основные результаты работы.
В диссертации принята двухзначная нумерация формул. Обращение к формулам осуществляется в виде, например (2.5), что означает пятую формулу второй главы, номер (11.5) означает пятую формулу Приложения II. Нумерация рисунков также двухзначная. Например, ссылка {рис.2.7) означает седьмой рисунок второй главы.
I. НЕКОГЕРЕНТНЫЕ ОБРАТНЫЕ ВОЛНОВЫЕ ЗАДАЧИ ИЗЛУЧЕНИЯ.
2.1 МЕТОДЫ ПАССИВНОЙ АКУСТИЧЕСКОЙ ТЕРМОМЕТРИИ (ОБЗОР).
Проблема пассивной акустической интроскопии с точки зрения математической физики представляет собой обратную задачу излучения. Суть таких задач состоит в определении характеристик источников излучения по измеренному полю. Важным практическим приложением такого рода задач является измерение пространственного распределения некоторой “эффективной” внутренней температуры неинвазивными методами, основанными на регистрации собственных излучений исследуемого объекта.
Тепловое хаотическое движение атомов и молекул является физической причиной шумового радиочастотного и акустического излучения тел. Если рассматривать тепловые акустические флуктуации (шум) в бесконечной однородной срсдс, находящейся в состоянии термодинамического равновесия, то средняя фононная энергия в небольшом частотном интервале ДГ вблизи Г на единицу объема будет равна [1]:
где с - скорость звука; Г - частота акустических колебаний; к -постоянная Больцмана; Т - термодинамическая температура среды. Эта величина может быть выражена через средний квадрат акустического давления:
где р - плотность среды. Тогда для среднего квадрата давления термоакустического шума в частотном интервале А? имеем:
Таким образом, выражение для среднего квадрата акустического давления р* в этом случае аналогично известной формуле Найквиста [2,3].
Пропорциональность интенсивности теплового излучения абсолютной температуре являегся основой доя оценки внутренней температуры объекта. Из регистрируемой экспериментально величины
р? рассчитывается эффективный параметр среды - акустояркостная температура ТА, которую можно определить как температуру акустически “черного” тела, создающего такой же поток теплового
(2.1)
(2.2)
рг = 4лГ'с~'ркТДГ.
(2.3)
-9-
акустического излучения, как и исследуемое тело. Решая обратную задачу можно по известной функции ТА найти распределение
термодинамической (ТД) температуры Т в среде [4].
Измерение глубинной температуры пассивными методами имеет важное значение для решения ряда задач неинвазивной интроскопии. В настоящее время наиболее разработаны и используются на практике методы инфракрасного тепловидения и СВЧ-радиометрии [5 - 16]. Так, например, ИК-тепловидение применяется при диагностике онкологических заболеваний уже на протяжении почти двадцати лет [5,6,8-10]. В згой области накоплен значительный опыт в 011Ц РАМН, ИНХ РАМН и других ведущих медицинских учреждениях [5,6]. Имеется ряд работ по проведению исследований и оценке возможностей применения в медицинской практике динамического термокартирования в радиодиаиазоне [6,7,11-15]. Много десятилетий радиометрическая техника активно используется для дистанционного контроля температуры атмосферы [16]. Однако пассивная акустическая теплолокация твердых и жидких сред позволяет проводить исследования, для выполнения которых средства радиолокации, инфракрасной техники, активной акустоскопии и томографии зачастую являются непригодными или недостаточными. Иллюстрирующими примерами могут служить тепловая акустическая интроскопия металлических конструкций, горных пород [4] и развивающаяся в настоящее время акустотермография биологических объектов [1,14,15,18-21,23-41,43-50]. Так, излучение в диапазоне длин волн 3-И2мкм (ИК-излучение), благодаря его поглощению водой и органикой, наблюдается лишь из слоя глубиной не более 300 мкм [5]. Исследования с помощью многоканальной дециметровой радиометрии обеспечивают регистрацию распределения тепловых нолей в тканях глубиной до 2 - 4 см [6]. Таким образом, в ряде случаев, вследствие недостаточной глубины проникновения электромагнитных волн в поглощающую среду, методы, использующие электромагнитное излучение, могут уступать методам пассивной акустической интроскопии. Снижение же рабочей частоты ведет к ухудшению второй - не менее важной характеристики метода -разрешающей способности. Например, при использовании в задачах медицинской диагностики, разрешение, которое обеспечивает тот или иной метод термографии, является одним из главных критериев его применимости на практике. Повышение разрешающей способности в этом случае имеет смысл, поскольку в результате термостатического влияния кровотока, участок с повышенной температурой оказывается в
- 10-
достаточной степени локализованным вблизи первоисточника, (например, злокачественного новообразования). Для акустических волн ткани биологических объектов достаточно прозрачны в диапазоне частот 1 -г 5 МГц. Длины воли в этом диапазоне А. < 1 мм, что можег являться основой для получения высокого пространственного разрешения (в радиотермографии, при длинах волн в человеческом теле 5 - 7см, можно получить разрешающую способность 2-3 см).
Акустотермография может стать перспективным диагностическим методом. Кроме того, измерение с помощью акустотермометров (АТ) температуры внутренних органов можег служить для отслеживания результатов процесса физиотерапевтического воздействия на организм человека. Так, в [18] обсуждаются эксперименты по измерению с помощью акустотермометра температуры печени человека. Суть эксперимента состояла в использовании эффекта влияния на температуру некоторых физиологических воздействий, в частности, стандартной дозы глюкозы при исследовании динамики изменения уровня сахара в крови человека. Фармакологическая проба с глюкозной нагрузкой может быть использована для “усиления” термографического ответа и в диагностике онкологических заболеваний [6,7]. В основе этой методики лежит экспериментально доказанная теория повышения углеводного обмена в злокачественных опухолях [8].
Другим практически интересным применением акустотермометров в медицине является использование их дня сопровождения процедур гипертермичсской терапии [15,19-21]. При гипертермическом воздействии в онкологии, например, необходимо поддерживать в нагреваемой ткани температуру (42±0.5)°С [15]. Ее измеряют, как правило, инвазивным способом. Регистрация теплового акустического излучения организма открывает возможности для дистанционного определения этой величины. Так, например, в работе [19] обсуждается возможность обеспечения на практике точности измерения температуры в зоне нагрева (с характерным размером порядка диаметра приемной апертуры акустотермометра -• около 1.5 см) до Г'С. Проблемы, связанные с некрозом окружающих опухоль здоровых тканей, возникают при “перегреве” свыше 45°С [21] - таким образом, возможность неинвазивного контроля температуры даже с относительно невысокой точностью (для диагностических целей чувствительность должна быть на порядок выше) для метода гипертерм и ческой терапии открывает новые перспективы развития [19-21].
- и -
В последние годы разрабатывались три направления в решении задач акустотермографии: а) в лучевом приближении [1,4,14,15,18-21,23-33,35,37,39,69-73,112,124]; б) на основе корреляционно-лучевого подхода [47,48]; в) с использованием корреляционных алгоритмов и решеток линейных приемников [40,41,43-45,68,116]. Основная масса публикаций по этой теме посвящена активно развивавшемуся до недавнего времени яркостно-лучсвому подходу. В этом случае измеряется интегральная интенсивность излучения вдоль акустических лучей,
пересекающих под разными • углами исследуемый объект. Если
рассматривается модель плоскослоистой среды (акустические свойства и интенсивность излучения, создаваемого источниками, зависят только от одной координаты - глубины г), то в отсутствие внешних источников звука акустояркостная температура среды на частоте f [4]:
г
Тд(0= Jt(z)<x(z, 0-[ехр(- Ja(l, f)dl)] dz, (2.4)
L 0
где T(z) и a(z,f) - распределения no акустическому лучу L
термодинамической температуры в исследуемом объекте и коэффициента
Z
поглощения. Множитель ехр(-Ja(l, f)dl) определяет поглощение волны
о
при ее распространении вдоль луча. В [14] проводится сравнение чувствительности (минимальной обнаруживаемой разности температур) и точности измерения продольных и поперечных координат нагретого участка с помощью методов радио- и акустотермографии. Границы нагретого участка определялись посредством перемещения датчика по поверхности тела и измерения зависимости интенсивности излучения от координаты. Величина нагрева участка ДТ и его глубина определялись посредством многочастотного пассивного зондирования в среде с частотнозависимым затуханием. Сравнение разрешающей способности на глубине показывает явное преимущество метода акустотермографии.
I 2
В чувствительности же: 0 = ТоЛ [22], где Т0 - средняя фоновая
V Aft
температура среды, Д - ширина полосы принимаемых частот и х -время усреднения, этот метод проигрывает радиометрическому, т.к. полоса пропускания единичного акустического датчика примерно на три порядка уже. Компенсировать этот недостаток предлагалось посредством использования матричного приемника с квадратичным суммированием сигналов с выходов элементов, образующих матрицу акустических
- 12-
датчиков. Вследствие малой длины акустической волны и, соответственно, небольших размеров самих датчиков, геометрический размер матрицы также будет невелик. В работе приводятся вполне оптимистические оценки чувствительности в этом случае: «0.17 "К. Вопрос о влиянии неразрывной связи (см. выражение (2.4)) распределений внутренней температуры и коэффициента поглощения, значения которого на практике известны весьма приближенно, на достижимую точность оценки температуры не обсуждается, так же как и в [23], где расчетная величина чувствительности 0 с учетом реальных параметров типичных АТ составила порядка 0.1 ч- 0.4 “К. (т = 30 с). В большинстве работ используется предположение, что распределение коэффициента поглощения по энергии априорно известно для каждого конкретного объекта исследования. Однако, для обнаружения достаточно малого локального контраста температур, как того требуют, например, медицинские диагностические приложения («0.1 °К), необходимо априорное знание картины распределения коэффициента поглощения с очень высокой точностью (если положить Т0 « 300 ''К и АТ« 0.1 °К - тогда нужно определить относительную разницу температур порядка 1/3000, а точность оценки а(г) должна быть не
грубее, т.е. «ИГ4). В [24] решается пространственная обратная задача акустотермографии с учетом неоднородности среды (наличия областей с различным поглощением, возможности отражения и преломления волн на границах сред с разными акустическими импендансами). Приводятся результаты численного эксперимента по восстановлению двумерного распределения внутренней температуры печени и молочной железы. Рассматриваемая область разбивается на подобласти, в пределах каждой из которых термодинамическая температура и коэффициент поглощения полагаются постоянными. Значения коэффициентов поглощения для разных подобластей, моделирующих различные типы тканей (мышцы, сухожилия, печень, жировую ткань), считаются известными и задаются с относительной точностью «Ю 'ч- Ю"2. При этом предполагается, что полученные результаты свидетельствуют о возможности восстановления внутренней температуры исследуемого объекта с приемлемой для медицинских нужд точностью, т.е., с относительной точностью порядка 10"3 ч-К) 4. В используемой модели полагается, что в прямоугольнике 2x3 см задано превышение температуры АТ = 5 ЛК, в остальной части исследуемой области (квадрат со стороной 5 см) АТ = 0. В численном эксперименте, иллюстрирующем восстановление
- 13-
распределения температуры в печени, приемники акустического излучения (всего 11 штук) располагались на одной из границ области и могли поворачиваться таким образом, что через весь исследуемый квадрат проходило 67 лучей. Температура нагретого участка восстанавливалась с точностью до 0.7 (|К на передней границе участка, с ростом глубины точность снижалась до 1.5 °К, в связи с поглощением акустического излучения, несущего информацию о температуре глубинных областей. Этот результат показывает, что задача точного восстановления температурного распределения достаточно сложна. В схеме эксперимента для определения внутренней температуры молочной железы, форму продольного сечения которой аппроксимировали треугольником с прямым углом у вершины, 16 приемников располагались по двум осям вдоль границы исследуемой области и за счет этого точность восстановления на глубине несколько лучше. В лучевой акустотермографии наиболее перспективным является многоракурсный прием несколькими приемными антеннами, расположенными под углами друг к другу, которые производят сложное сканирование объекта [25]. При переходе к одномерной задаче (плоско-слоистая среда со слоями, параллельными поверхности тела) хорошо восстанавливаются только монотонные распределения температуры [26]. Для определения по отдельности температуры и толщины слоя, нагретого относительно окружающей среды, в данной ситуации необходимо использовать априорную информацию.
В рамках яркостио-лучсвого подхода много работ посвящено исследованию достижимой на практике точности измерения пространственного распределения температуры, как за счет усовершенствования различных частей приемного тракта акустотермометра [1,23,27-31], так и за счет использования различных схем измерения и различных алгоритмов обработки экспериментальных данных [24.25,32,33,39,124]. Так, в [33] оценивается точность решения двумерной обратной задачи акустотермографии при некорреляционном приеме. Сравнивается качество решений, полученных с помощью метода наименьших квадратов (МНК), метода отбрасывания нефизических решений и с использованием регуляризации по Тихонову. Авторы пришли к выводу, что алгоритм МНК наиболее удобен и прост и может использоваться при любом характере распределения внутренней температуры. Для гладких распределений температуры, возникающих, например, при нагревании тканей организма в процедурах СВЧ-гипертермии, предлагается использовать метод регуляризации решения
- 14-
по Тихонову. Метод отбрасывания нефизических решений полагают пригодным в случае, когда сильно нагревается только часть исследуемой области (в качестве практического примера такой ситуации приводится нагревание небольшого участка фокусированным ультразвуком) - тогда считают, что внутренняя температура не уменьшается: инкремент ЛТ > О, и, если при решении получаются отрицательные значения инкремента, то их следует положить равными нулю. Следует заметить, что такой упрошенный подход может привести в итоге к неверному решению, поскольку не учитывается тот факт, что вместе с температурой изменяется и вязкость среды (а, следовательно, и поглощение). Даже при небольшом нагреве вязкость среды может измениться так сильно, что измеренная акустояркостная температура уменьшится. В таком случае нельзя говорить о корректном подходе к данной задаче, как, впрочем и всегда, когда при рассмотрении связи между искомыми локальными значениями внутренней температуры и измеренной акустояркостной температурой, не учитываются с достаточной точностью локальные значения коэффициента поглощения. Однако, совершенствуя конструкции акустотермометров и алгоритмы обработки данных для достижения высокой точности измерения внутренней температуры, авторы этой работы (и большинства других) не принимают во внимание, как уже говорилось, что эта точность ограничена прежде всего достижимой на практике точностью измерения (или априорного знания) поведения коэффициента поглощения вдоль луча. По этой причине и появляются в литературе весьма оптимистичные оценки “достижимой на практике” точности измерения внутренней температуры методами а к у сготер м о I ра ф и и.
Помимо всевозможных численных экспериментов, делаются попытки практической реализации акустотермографа. Так, в работе еще десятилетней давности [35] была экспериментально продемонстрирована возможность зондирования внутренней температуры объектов по их тепловому акустическому излучению. Пьезодатчик, представляющий собой пластинку ниобата лития размером 1смх1см, и исследуемый объект помещались в воду на расстоянии около 5 см друг от друга, чтобы исключить возможность изменения температуры приемника за счет потока тепла от объекта. В качестве исследуемых объектов использовались: сжатая в кулак человеческая ладонь и диск из пластилина диаметром 15 см и толщиной 5 см, охлажденный до -10 0 С. Достоинством первого объекта является известная и слабо меняющаяся за время измерений (3-5 мин.) температура, поддерживаемая кровотоком.
- 15-
Достоинством второго - близость его акустических параметров к
свойствам воды (скорость звука: »1.5-105см/с, плотность: »1.4 г/см3), а также существенное затухание (на частоте Г = 1.3 МГц - около 150 дБ/см), которое обеспечивает “черноту" такого диска для акустического излучения. Чувствительность, оцененная по величине шумовой дорожки, составила 0.8-0.9° С. Расхождение экспериментального результата с теоретически предсказанным (чувствительность должна быть почти на порядок лучше) авторы объясняют несовершенством электронной части приемной системы. В другой своей работе [36], описывающей подобные эксперименты, они приводят в качестве примера, подтверждающего это предположение, улучшение результата до 0.2” С при той же самой величине времени интегрирования (т = 30с), для более совершенной системы с рабочей частотой 6.5 МГц. В докладе [37], посвященном восстановлению распределения глубинной температуры кисти руки, было проведено сравнение двух способов восстановления внутренней температуры: мультиспектрального зондирования и пассивной
термоакустической томографии с помощью набора датчиков, настроенных на одну частоту. Шумовой сигнал от опущенной в аквариум с водой кисти руки регистрировался акустотермометром с полосой пропускания пьезопреобразователя 1.7 ч-2.5 МГц. В силу недостаточной точности измерений в эксперименте не удалось выявить выраженной зависимости мощности теплового излучения от частоты и, таким образом, метод мультиспектрального зондирования в рассматриваемой полосе частот не позволил восстановить профиль внутренней температуры кисти. При пассивной термоакустической томографии измерения призводились с помощью одного датчика при четырех положениях руки. Полное время измерений составляло от четырех до двенадцати минут. Коэффициент поглощения при восстановлении профиля внутренней температуры считали величиной постоянной и достаточно высокой: а=1.00 ± 0.05 см-1. Рассчитанная погрешность восстановления внутренней температуры составила порядка
0.4 К при погрешностях определения акустояркостной температуры О.ЗК.
Несмотря на серьезные проблемы, которые неминуемо возникают при попытке решения такой сложной задачи, как неинвазивная интроскопия биологических объектов, перспективы применения метода акустотермографии в медицинских приложениях привлекают к нему внимание все большего числа исследователей. В литературе неоднократно обсуждалось создание устройства для измерения распределения глубинной температуры объектов по их собственному
-16-
тепловому акустическому излучению, проводились численные расчеты и эксперименты [1,14,19-21,23-41,44-49,68,69,112,124]. Исследовались возможности применения к задачам акустотермотомографии традиционных методов активной томографии. Так, например, в [39] проведена адаптация алгоритма алгебраической реконструктивной томографии (АРТ) применительно к многоканальному сканирующему акустотермографу. Полагается, что этот метод наилучшим образом подходит к условиям измерений, когда массивы данных неполны (т.е. число измеренных сечений существенно меньше числа точек в изображении), а сами данные сильно зашумлены. При этом вопрос о единственности полученного решения остается открытым. В этой работе речь идет о восстановлении распределения акустояркостной температуры (без конкретизации механизма излучения) для однородного распределения коэффициента поглощения. Основным допущением является гладкость температурного профиля. Моделировалась работа сканирующего томографа, в качестве приемной антенны которого использовался 12-элементный датчик, позволяющий реализовать угловое сканирование поворотом приемных элементов. Ширина сканирующих лучей предполагалась равной апертуре пьезодатчиков (8 мм). Чувствительность порядка 0.1 - 0.2 градуса реализуется при времени измерения 5 с, поэтому для сканирования сечения в 60 различных направлениях требуется 5 мин. Таким образом, относительно большое время единичного измерения температуры порождает ограничение на объем входных данных, а, следовательно, и на качество решения. В результате численных экспериментов были исследованы возможности метода по восстановлению различных форм пространственного распределения температур: плавного распределения и сложного
изображения. Во втором случае качество реконструкции объектов резко ухудшается с увеличением глубины их залегания (свыше 2 см). Результаты моделирования показали, что АРТ-алгоритм позволяет восстанавливать распределение акустояркостной температуры объекта, приблизительно повторяющее форму и размеры исходного распределения и передающее с достаточно высокой точностью интегральную интенсивность. Большие градиенты интенсивности в исходном распределении сглаживаются при восстановлении, а наличие шума приводит к появлению дополнительной изрезанности изображения. Тем не менее, считают авторы, уже и такой точности должно быть достаточно для многих приложений, в которых необходимо выявление областей с аномальным нагревом. Однако, если говорить о диагностических приложениях, то было бы слишком оптимистичным
- 17-
полагать, что разрешения, которое способны обеспечить лучевые методы, достаточно для решения задач ранней диагностики. Продольное разрешение (по глубине), осуществляемое в акустотермометрах такого типа на основе частотного анализа принимаемого сигнала, может быть порядка 70% от величины расстояния до исследуемой области, а поперечное разрешение определяется диаметром пучка [21]. Опухоли таких размеров обычно уже прощупываются непосредственно при наружном осмотре, а новообразование желательно обнаружить еще в начальной стадии развития (размером порядка 1-2 мм). Поэтому одной из причин, препятствующих широкому применению таких акустотермометров в медицинской диагностической практике, является трудность обеспечения с их помощью приемлемого пространственного разрешения.
Лучевое приближение, как известно, не реализует всех потенциальных возможностей, заложенных в волновой природе поля. В задачах активного и пассивного акустического лоцирования давно развиты корреляционные подходы, которые позволяют получить достаточно высокое пространственное разрешение. В последние годы корреляционные методы стали активно разрабатываться в применении к задачам пассивной термоакустической томографии [40,41,44-46], потеснив традиционную яркостно-лучевую схему. Возможность получения информации о пространственном распределении температуры путем использования корреляционной обработки сигналов, принимаемых многоэлементной решеткой пьезопреобразователей исследуется в работе [40]. Обсуждаются физические основы этого метода и анализируются достижимые пространственное разрешение и флуктуационная чувствительность. Показана возможность реализации пространственного разрешения < 1см на глубине около 7см, что существенно лучше, чем при использовании метода, основанного на спектральном анализе сигнала. Возможность получения информации)! томографического типа о распределении внутренней температуры объекта на основе принципа корреляционной обработки сигналов с нескольких приемников экспериментально показана в работе [41]. Эксперимент заключался в корреляционном приеме четырмя микрофонами акустического сигнала динамического громкоговорителя, возбуждаемого шумовым электрическим сигналом. Использование в задачах акустотермографии модели некоррелированных источников вполне оправданно. Для термодинамических флуктуаций температуры
любой природы корреляционная длина определяется, как Ь, ~ , где
- 18-
X - температупропроводность вещества, а со - циклическая частота
флуктуаций [42]. Даже в случае относительно низких частот (~1Мгц) и достаточно большой температуропроводности (для конденсированных сред х~ 1 см2 /с) Ь, ~ 6*10"3см, а это г ораздо меньше, чем требуемое на практике пространственное разрешение Лг. В заключении доклада [41] подчеркивается, что основное отличие предложенной в работе методики от “известных принципов пассивного сканирования, требующих количества приемников равного или превосходящего количество элементов разрешения", состоит в том, что оказывается достаточно четырех приемников для получения трехмерного распределения источников некогерентных сигналов с количеством элементов разрешения много больше четырех. По этому поводу следует заметить, что при пассивной локации с использованием методов корреляционной обработки сигналов, число источников, которое может разрешить та или иная приемная система, определяется полным количеством независимых элементов пространственно-временной корреляционной матрицы принимаемых сигналов. Так, например, в случае линейной эквидистантной решетки и узкополосных сигналов, максимальное число разрешимых независимых источников равно: = 2*(М -1), где М
число приемников. Для плоской антенной решетки с произвольным расположением элементов ]т;и зависит от количества различных пространственных частот Я, реализуемых с помощью этой апертуры, которое, в свою очередь, растет пропорционально квадрату числа приемных элементов: ^ши ~ 2Р - М2 [43]. Если сигналы широкополосные, то добавляется разрешение по разности времени прихода, позволяющее
разрешить еще большее количество источников: ]тях*Нг, где ЫТ «—,
с
О - характерный размер апертуры, а - продольная длина
когерентности принимаемого сигнала, с0 - скорость звука, А[ - ширина спектра источника. Таким образом, и в стандартных схемах пассивного сканирования число элементов разрешения может быть значительно больше количества приемников и полученный в цитируемой работе выигрыш представляется вполне естественным. Следующая работа [44] посвящена исследованию пространственного разрешения используемого в [41] метода корреляционной обработки сигналов, основанного на анализе корреляционных моментов 4-го порядка. Заметно более плохое (по сравнению с поперечным) продольное пространственное разрешение,
- 19-
полученное в первом эксперименте [41], объясняется расположением приемников в одной плоскости. Проводится расчет оптимального пространственного расположения приемников относительно источника и экспериментальная проверка выбранной схемы. В работах [45,46] развит корреляционный подход к решению обратной задачи акустотермографии, включающий в себя использование решетки линейных приемников и применение алгоритма некогерентной волновой томографии. Следует отметить, что корреляционные методы, как и, например, методы спектрального анализа, имеют несколько уровней полноты реализации потенциальных возможностей в зависимости от постановки задачи и используемой математической модели [52].
В приложении к задачам ранней медицинской диагностики, авторы практически всех рассмотренных выше работ опираются в своих исследованиях на априорную информацию о пространственном распределении коэффициента поглощения. Приводятся достаточно оптимистичные оценки достижимой на практике точности измерения внутренней температуры. Однако, известные методы измерения коэффициента поглощения не позволяют достичь требуемой точности.
Некоторыми авторами делались попытки обосновать возможность получения картины распределения коэффициента
поглощения в исследуемой среде с помощью того же метода акустотермографии [24,47-49]. Так, в уже упомянутой выше работе [24], обсуждалась возможность расчета относительного изменения
коэффициента поглощения в каждой точке исследуемой области, при
использовании мультиспектрального измерения акустояркостной температуры. В [48] предлагается схема реализации пассивного
термоакустического томографа, “способного функционировать без априорной информации о пространственном распределении коэффициента поглощения”. Рассматриваемый в этой работе (и далее в [49]) корреляционно-лучевой подход предполагает объединение в томог рафической системе двух схем приема сигналов: корреляционного приема и некорреляционного приема отдельными независимыми преобразователями. Па начальном этапе предлагается использовать корреляционные свойства теплового акустического излучения для решения вспомогательной задачи восстановления пространственного распределения коэффициента поглощения. На заключительном этапе, для восстановления пространственного распределения внутренней температуры, предлагается применять “классическую схему измерения акустотермографии” - интенсиометрический прием. Первый шаг рассматриваемого алгоритма базируется на полученном в [50] (на основе