СОДЕРЖАНИЮ
В ВИДЕНИЕ.................................................................4
1. ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИИ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАСПРЕДЕЛЕННОЙ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ “ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК — ОБРАТНАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА”................................................12
' 11. Основные уравнения нестационарной нелинейной теории ЛОВ............13
1.1.1. Уравнение возбуждения волновода
током медленно меняющейся амплитуды............................14
1.1.2. Уравнения движения электронов в поле электромагнитной волны 17
1.1.3. Переход к уравнениям стационарной теории....................20
12 Основные результаты теорегических и экспериментальных исследований 22
1.2.1. Физическая картина возникновения автомодуляции в ЛОВ........22
1.2.2. Детерминированные хаотические режимы колебаний ЛОВ..........26
1 3. Выводы............................................................46
2 СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА ОДНОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ
СИСТЕМЫ “ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК — ОБРАТНАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА”.......................І..........................49
2 1. Клистронная модель ЛОВ Приближенное описание при помощи
одномерного отображения............................................30
2.1.1. Основные уравнения ........................................50
2.1.2. Условия самовозбуждения....................................52
2.1.3. Режимы стационарной генерации и их устойчивость............54
2.1.4. Результаты численного моделирования .......................58
2.2. Упрошенная модель системы “электронный поток — обратная электромагнитная волна” с распределенным взаимодействием..........67
2.3. Сценарий перехода к хаосу в однопараметрической модели ЛОВ........76
2.3.1. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций
удвоения периода.............................................77
2 3.2. Область прибавлений периода................................79
2.3.3. Переход “хаос — порядок” через перемежаемость...............87
2.3.4. Переход к “развитому” хаосу.................................96
2 4. Выводы...........................................................101
3 СЛОЖНАЯ ДИНАМИКА МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ СИСТЕМ ТИНА “ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК — ОБРАТНАЯ
ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА”................................................103
3.1. Особенности нелинейной динамики двухпараметрической модели РАС “электронный поток — обратная электромагнитная волна”
(нестационарная нелинейная теория ЛОВ при конечных значениях
параметра усиления)............................................. 103
3.2. Сложная динамика РАС “электронный поток — обратная электромагнитная волна” с учетом релятивистских эффектов.........109
3.3 Влияние отражений излучения от границ замедляющей структуры на сложную динамику системы “релятивистский электронный поток — обратная электромагнитная волна”.........................119
3.3.1.Основные уравнения.......................:.................119
3.3.2. Условия самовозбуждения...................................121
3.3.3. Численное моделирование процессов самовозбуждения
и возникновения автомодуляции............;..................128
3.3.4. Переход к хаосу при больших отражениях....................136
3.3.5. Переход к хаосу при слабых отражениях.....................150
3 4. Выводы......................................................... 152
ПРИЛОЖЕНИЕ........................................................... 154
ЗАКЛЮЧЕНИЕ.............’............................................. 159
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ .....................................................162
Введение
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы диссертации. Исследование сложной динамики распределенных автоколебательных систем (РЛС) является актуальной задачей современной физики ввиду очевидной связи с такими фундаментальными проблемами, как возникновение турбулентности и образование диссипативных структур. К типичным примерам РАС следует отнести некоторые гидродинамические течения, химические системы типа “реакция — диффузия”, оптические квантовые генераторы (лазеры), диоды Ганна и т.д. [1-4]. Среди РАС, имеющих радиофизическую природу, выделяются приборы вакуумной сверхвысокочастотной (СВЧ) электроники, основанные на взаимодействии электронных потоков (ЭП) с электромагнитными волнами (ЭМВ). Хорошо известно, что многие из них способны демонстрировать сложные, в том числе хаотические, режимы колебаний. Наиболее часто рассматриваются лампы бегущей волны (ЛБВ) с запаздывающей обратной связью [5-9], лампы обратной волны (ЛОВ) [10-12], лазеры на свободных электронах (ЛСЭ) [11,13,14], гиротроны [15,16], приборы с виртуальным катодом [17,18], приборы плазменной СВЧ электроники [19,20].
Следует отметить, что по сравнению с системами с конечным (точнее говоря, с небольшим) числом степеней свободы, успехи в изучении сложной динамики распределенных систем пока еще незначительны. С одной стороны это связано с чисто техническими трудностями при проведении вычислительных и физических экспериментов. С другой стороны для таких систем, как правило, характерна чрезвычайно сложная картина различных динамических режимов, что обусловлено очевидными причинами: наличием бесконечного числа степеней свободы и несколько управляющих параметров. Таким образом, часто бываег затруднительно наблюдать основные сценарии перехода к хаосу, присущие конечномерным динамическим системам, выявить физические причины, ответственные за тот или иной тип динамики, и т.д. Поэтому приборы СВЧ электроники, для исследования которых существуют хорошо апробированные теоретические и экспериментальные методы, представляются весьма удобными объектами для анализа
Среди вакуумных СВЧ генераторов системы типа “электронный поток — обратная электромагнитная волна” (ЛОВ О- и М-тмпов, гиро-ЛОВ и другие [12]) занимают особое место. Прежде всего, именно для подобных систем (ЛОВМ [21-23], ЛОВО [10,22,24]) были впервые разработаны теоретические методы анализа нестационарных нелинейных процессов и обнаружено явление автомодуляции выходного сигнала и ле-
4
Введение
реход к хаосу в ЛОВО [10,24]. Существенно, что режимы регулярной [25] и хаотической [26,27] автомодуляции были вскоре обнаружены экспериментально.
На сегодняшний день является особое внимание привлекают ЛОВ с сильноточными релятивистскими электронными пучками (релятивистские карсинотроны). С практической точки зрения интерес к исследованию сложной динамики и хаоса в ЛОВ (и других РАС электронной природы) вызван тем, что подобные процессы достаточно типичны для мощных приборов СВЧ электроники, где часто выступают в качестве паразитных явлений, приводящих к неустойчивости стационарных режимов олночастот-ной генерации. В то же время имеется потребность в создании широкополосных генераторов хаотических сигналов с управляемыми характеристиками.
Несмотря на большое количество работ, посвященных нелинейной динамике ЛОВ, ряд важных вопросов до сих пор остается без ответа. В частности, не ясно, по какому сценарию происходит переход к хаосу. Согласно наиболее распространенной точке зрения, доминирует сценарий разрушения квазипериодического движения [11,12]. Формально это утверждение справедливо, поскольку по мере увеличения бифуркационного парамегра колебания из периодических сначала становятся квазинериодиче-скими (автомодуляция), а затем хаотическими. Однако, как известно, разрушение квазипериодического движения может происходить самыми различными способами [1,2] Каждому из таких сценариев соответствуют свои количественные закономерности. Убедительные доказательства того, что происходит именно разрушение квазипериодического движения, пока отсутствуют. С другой стороны, в ряде работ был обнаружен переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода авто модуляции (см., например, [28]).
Не проведено подробное исследование влияния на сложную динамику многих важных с практической точки зрения факторов, таких, например, как отражение излучения от концов замедляющей структуры, пространственный заряд, релятивистские эффекты Соответствующие модели РАС “ЭП — обратная ЭМВ” являются многопараметрическими, что существенно осложняет проведение вычислительного эксперимента. Па сегодняшний день для вышеперечисленных систем отсутствует полная картина динамических режимов в пространстве управляющих параметров.
Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики в той ее части, которая связана с генерацией и усилением электромагнитного излучения СВЧ диапазона.
5
Введение
Цель работы состоит в летальном теоретическом исследовании особенностей сложной
динамики и сценариев перехода к хаосу в моделях распределенной автоколебательной
системы “электронный поток — обратная электромаг нитная волна”, в частности:
• в разработке и исследовании численными и аналитическими методами упрощенных моделей РАС “ЭГ1 — обратная ЭМВ” со сложной динамикой.
• в исследовании путем численного моделирования деталей сценария перехода к хаосу в традиционной для СВЧ электроники однопараметрической модели РАС “ЭП — обратная ЭМВ” (уравнения нестационарной нелинейной теории ЛОВ типа О).
• в исследовании влияния на особенности сложной динамики таких важных с практической точки зрения факторов, как конечное значение параметра усиления, релятивистские эффекты и отражение излучения от границ замедляющей системы.
• в установлении связей между последовательностью динамических режимов, реализующихся в рассматриваемых системах, и процессами формирования пространственно-временных структур в электронном потоке.
Научная новизна.
1. В работе исследована сложная динамика двух упрощенных моделей системы “ЭП — обратная ЭМВ”. Для клистронной модели, предложенной ранее в работе [11], теоретически проанализированы условия самовозбуждения колебаний, режимы стационарной генерации и условия их устойчивости. Впервые проведено подробное численное моделирование режимов сложной динамики и хаоса. Предложена и исследована упрощенная модель с распределенным взаимодействием, которая позволяет преодолеть некоторые принципиальные недостатки клистронной модели.
2. При анализе однопараметрической модели РАС “ЭП — обратная ЭМВ” впервые выявлена сложная последовательность смены регулярных и хаотических автомоду-ляционных режимов В частности, обнаружен переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода и показано, что выполняются некоторые универсальные количественные закономерности, присущие сценарию Фейгенбаума. Выявлена область прибавлений периода, в которой имеется большое количество окон периодичности в хаосе, период которых, начиная стрех, последовательно увеличивается на единицу. Обнаружен переход через перемежаемость от хаотической автомодуляции к периодической. Показано, что динамика системы демонстрирует ряд аналогий с приближенными моделями
6
Введение
3. Установлено, что переходы между различными автомодуляционными режимами связаны с процессами образования пространственно-временных структур — электронных сгустков.
4. Проведено численное исследование сложной динамики двух пара метрической модели РАС “ЭГ1 — обратная ЭМВ”, учитывающей конечное значение параметра усиления Пирса. Показано, что при больших значениях электрической длины системы N » ] сохраняются основные особенности перехода к хаосу, наблюдаемые для однопараметрической модели, однако при умеренных значениях N (начиная с Л7 ~ 15) последовательность динамических режимов существенно изменяется. В частности, практически пропадают промежуточные области хаотических колебаний.
5. Проведено численное исследование сложной динамики модели системы “релятивистский ЭП — обратная ЭМВ”, В частности показано, что зависимость порога автомодуляции от релятивистского фактора у0 носит значительно более сложный характер, чем предполагалось ранее. Впервые обнаружено, что в слаборелятивистской и ультрарелятивистской областях имеют место два принципиально различных динамических режима, приводящих к неустойчивости одночастотной генерации. Показано, что переход от одного режима к другому связан с трансформацией пространственно-временных структур в электронном потоке
6. Впервые выполнено подробное численное моделирование автомодуляционных процессов в релятивистской ЛОВ с отражениями. Показано, что зависимость границы автомодуляции от фазы параметра отражений имеет сложный вид, что обусловлено процессами конкуренции различных собственных мод распределенного резонатора, образован нот отрезком замедляющей струкгуры с отражениями на границах.
Практическая значимость диссертации связана, прежде всего, с тем, что взаимодействие электронного потока с обратной ЭМВ лежит в основе принципа действия широкого класса усилителей и генераторов СВЧ диапазона [12]. Наиболее распространенными и перспективными среди них являются лампы обратной волны типа О, в которых прямолинейный ЭП взаимодействует с продольной компонентой обратной пространственной гармоники замедленной ЭМВ. В диссертационной работе рассматривается семейство РАС, являющихся моделями ЛОВ типа О.
ЛОВО широко используются как генераторы микроволнового излучения, главным образом, сантиметрового и миллиметрового диапазонов Одним из главных досто-
7
Введение
инств ЛОВ-генератора является возможность электронной перестройки частоты генерации в широком диапазоне. Особый интерес вызывают ЛОВ с сильноточными релятивистскими электронными пучками (релятивистские карсинотроны), которые способны обеспечивать мощность выходного сигнала в несколько ГВт при КПД свыше 10% [29,30].
Исследование нестационарных автомодуляционных режимов колебаний играет важную роль при разработке ЛОВ-генераторов, поскольку возникновение автомодуляции ограничивает возможность повышения мощности и КПД стационарной одночастотной генерации. Важно определить условия устойчивости одночастотного режима, а также предложить возможные способы подавления автомодуляции. С другой стороны, в последнее время самостоятельное значение приобрело изучение сложных автоколебательных режимов в связи с потребностью в создании мощных источников шумоподобных сигналов с управляемыми характеристиками. Таким образом, результаты диссертации могут найти применение для улучшения характеристик существующих ЛОВ типа О, работающих в качестве генераторов монохроматических колебаний, а также для создания новых приборов — генераторов хаоса на их основе.
Основные положения, выносимые на защиту.
1. В распределенной автоколебательной системе “электронный поток — обратная электромагнитная волна” по мере увеличения бифуркационного параметра, пропорционального току электронного пучка, реализуется сложная последовательность смены регулярных и хаотических автомодуляционных режимов, характеризующаяся несколькими переходами “порядок — хаос” и “хаос — порядок” по различным сценариям. Наблюдаются все основные сценарии, известные для конечномерных динамических систем: сценарий Фейгенбаума, разрушение квазипериодического движения, перемежаемость. Последовательность бифуркаций завершается переходом к так называемому “развитому хаосу”, который характеризуется достаточно однородным сплошным спектром и отсутствием какой-либо крупномасштабной структуры на проекции фазового портрета.
2. Существование нескольких принципиально различных автомодуляционных режимов, сменяющих друг друга по мере увеличения параметра неравиовесности, обусловлено процессами формирования и разрушения пространственно-временных структур — электронных сгустков. С ростом бифуркационного параметра вследствие инерционной перегруппировки электронов становится возможным появление все большего
я
Введение
числа сгустков, что приводит к усложнению картины мгновенных пространственно-временных распределений поля и тока вдоль длины системы. В результате формируются динамические режимы, отличающиеся характерными частотами и числом образующихся сгустков. Переходы между этими режимами происходят либо жестко, либо через перемежаемость.
3. В системе ‘'релятивистский электронный поток — обратная электромагнитная волна” в слабо- и ультрарелятивистской областях наблюдаются два принципиально различных автомодуляционных режима, отличающиеся базовыми частотами, видом переходного процесса и характером пространственно-временных распределений амплитуд поля и тока. Конкуренция этих двух автомодуляционных режимов приводит к появлению “клюва” на границе автомодуляции на плоскости параметров (£,у0).
4. В системе “релятивистский электронный поток — обратная электромагнитная волна” с учетом отражений излучения от границ замедляющей структуры автомодуляция при малых отражениях возникает по амплитудному механизму, а при больших — по частотному (т.е. происходит возбуждение еще одной собственной моды резонансной колебательной системы). В случае сильных отражений по мере увеличения тока пучка наблюдается чередование автомодуляционных режимов на базе различных собственных мод. Переходы между этими режимами происходят либо жестко, либо через перемежаемость. Такое поведение связано с перестройкой пространственно-временной динамики электронных сгустков.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложения. Объем работы составляет ] 70 стр. основного текста, из них 62 стр. иллюстраций Список литературы на 9 стр включает 95 наименований.
Краткое содержание работы.
Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы ее цели, научная новизна и практическая значимость полученных результатов, основные положения, выносимые на защиту.
Первая глава диссертации представляет собой аналитический обзор современного состояния исследований сложной динамики РАС “ЭП — обратная ЭМВ”. Подробно рассмотрены основные уравнения, описывающие нестационарные нелинейные процессы в данной системе, проанализированы основные приближения, используемые
9
Введение
при их выводе. Дано описание физической картины возникновения автомодуляции. Рассмотрены основные результаты теоретических и экспериментальных исследований периодических и хаотических автомодуляционных режимов, представленные в литературе.
Во второй главе последовательно рассматривается сложная динамика семейства моделей РАС “электронный поток — обратная электромагнитная волна”, которые характеризуются единственным управляющим параметром имеющим смысл безразмерной длины системы и пропорциональным току электронного пучка. В п. 2.1 подробно анализируется так называемая клистронная модель, предложенная ранее в работе [11]. Считается, что взаимодействие между пучком и полем происходит только в узких промежутках вблизи левой и правой границ системы. Динамика системы описывается уравнением с запаздывающим аргументом, которое при некоторых предположениях можно свести к точечному отображению. Проведен теоретический анализ условий самовозбуждения колебаний, режимов стационарной генерации и условий их устойчивости Представлены результаты подробного численного моделирования сложной динамики. Показано, что по мере увеличения I реализуется сложная последовательность автоколебательных режимов, связанная с эффектом многократной перегруппировки электронов в сильном поле. Обнаружено многократное чередование регулярных и хаотических режимов, причем переходы к хаосу происходят по сценарию Фейгенбаума, а переходы “хаос — порядок” — через перемежаемость.
В п. 2.2 предложена еще одна простая распределенная модельная система, которая строится путем нелинейного обобщения уравнений нестационарной линейной теории ЛОВ и позволяет устранить некоторые принципиальные недостатки клистронной модели. Проведено численное моделирование автомодуляционных процессов. По мере увеличения /, происходит несколько бифуркаций удвоения периода, однако, полного каскада удвоений в отличие от клистронной модели не наблюдается. Переход к хаосу происходит через перемежаемость. Для этой модели также характерно чередование регулярных и хаотических автомодуляционных режимов. Проведен анализ пространственно-временной динамики поля и тока, показавший, что такое поведение обусловлено конкуренцией динамических режимов с различными пространственными конфигурациями поля и тока (т е. с различным числом образующихся сгустков).
Результаты исследования сценария перехода к хаосу на основе уравнений нестационарной нелинейной теории ЛОВ изложены в п 2.3. Подробное численное моделирование выполнено при помощи традиционного для СВЧ электроники метода
К)
Введение
“крупных частиц”. Обнаружена сложная последовательность смены различных автоколебательных режимов, сопровождающаяся несколькими переходами “порядок — хаос” и “хаос — порядок” по различным сценариям. Первый переход к хаосу происходит по сценарию Фейгенбаума. В хаосе обнаружено большое число окон периодичности, период которых последовательно увеличивается на единицу' (явление прибавлений периода). Далее происходит переход через перемежаемость к режиму периодической автомодуляции с качественно иным характером пространственно-временных распределений поля и тока. Последовательность бифуркаций завершается переходом к “развитому хаосу”, когда на двумерной проекции фазового портрета уже не проявляется какая-либо крупномасштабная структура Анализируется связь наблюдаемых бифуркационных переходов с процессами образования и разгруппировки сгустков. Проводится сравнение с результатами, полученными при исследовании упрощенных моделей.
В третьей главе рассматриваются многопараметрические модели РАС “ЭП — обратная ЭМВ”. В п 3 1 исследуется модель, учитывающая конечное значение параметра усиления Пирса, которая имеет два управляющих параметра: Ь и электрическую длину пространства взаимодействия Л'. Показано, что при N»1 сохраняются основные особенности перехода к хаосу, характерные для однопараметрической модели (п 2.3), однако при умеренных значениях N (начиная с Лг ~ 15) последовательность динамических режимов существенно изменяется. Как правило, вместо полного каскада бифуркаций удвоения наблюдается лишь одна-две бифуркации. Построена карта динамических режимов на плоскости управляющих параметров.
В п 3.2 рассматривается влияние релятивистских эффектов на сложную динамику. При этом необходимо учитывать еще один параметр: релятивистский масс-фактор у0. Подробно исследовано возникновение автомодуляции. Обнаружено, что в
слаборелятивистской и ультрарелятивистской областях имеют место два принципиально различных автомодуляциоиных режима с различными характерными частотами и пространственно-временными распределениями поля и тока
В п. 3.3 представлены результаты исследования влияния отражений на сложную динамику релятивистской ЛОВ. Учет отражений излучения от границ замедляющей системы увеличивает число управляющих параметров: добавляются комплексный параметр отражений рехр(/у) и параметр 5, характеризующий различие групповой скорости волны и начальной скорости электронного пучка. Подробно исследовано самовозбуждение ЛОВ и возникновение автомодуляции в случаях малых и больших отра-
11
Введение
жений. Влияние отражений приводит к сложной зависимости границы возникновения автомодуляции от фазы параметра отражений у> что обусловлено процессами конкуренции различных собственных мод резонансной колебательной системы. Проанализирован характер переходных процессов для различных случаев. Проведено численное моделирование сценариев перехода к хаосу.
В Приложении описан конечно-разностный метод, используемый при численном моделировании.
В Заключении приведены основные результаты, полученные в диссертации.
Апробация работы и публикации. Материалы диссертационной работы докладывались на научных семинарах кафедры электроники, колебаний и волн СГ'У, а также на VI Всероссийской школе-семинаре “Физика и применение микроволн” (Красновидово, Московская обл., 1997 г.); Международной конференции “Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ” (Саратов, 1997 г.); Международной научно-технической конференции “Актуальные проблемы электронного приборостроения” (Саратов, 1998 г.); 5-й Международной школе “Хаотические автоколебания и образование структур CHAOS-98” (Саратов, 1998 г.); XI Международной зимней школе но СВЧ электронике и радиофизике (Саратов, 1999 г.), Международной конференции “Electronics and Radiophysics of Ultra-High Frequencies” (С.-Петербург, 1999 г.); Научной школе-конференции “Нелинейные дни в Саратове для молодых — 99” (Саратов, 1999 г); II Международной конференции “Фундаментальные проблемы физики” (Саратов, 2000 г.).
По теме диссертации опубликованы работы [80-95J.
Результаты диссертации использовались при выполнении грантов РФФИ № 98-
02-16541 и № 99-02-16016, грантов поддержки ведущих научных школ РФФИ № 96-15-96536 и № 00-15-96673, программы “Университеты России - Фундаментальные исследования” (проект № 282), ФЦП “Интеграция” (проект № А0057) и US Civilian Research and Development Foundation (grant No REC-006).
12
Глава /
1 ОБЗОР ТЕОРЕТИЧЕСКИХ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ НЕСТАЦИОНАРНЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ПРОЦЕССОВ В РАСПРЕДЕЛЕННОЙ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЕ "ЭЛЕКТРОННЫЙ ПОТОК — ОБРАТНАЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ВОЛНА”.
В данной главе представлен аналитический обзор современного состояния исследований сложной динамики РАС “ЭГ1 — обратная ЭМВ”. В п. 1.1 излагается процедура вывода основных уравнений, описывающих нестационарные нелинейные процессы в данной системе. Обсуждаются основные приближения, используемые при их выводе. В п. 1.2 подробно анализируются основные результаты теоретических и экспериментальных исследований периодических и хаотических автомодуляционных режимов, представленные в литературе Обзор не только позволяет выявить наиболее существенные вопросы теории, которые остаются невыясненными, и определить, таким образом, круг задач, решаемых в диссертации, но и представляет самостоятельный интерес для специалистов, интересующихся нелинейной динамикой распределенных систем радиофизики и электроники, поскольку охватывает все наиболее важные работы, опубликованные на сегодняшний день
1.1. Основные уравнения нестационарной нелинейной теории ЛОВ
1.11. Уравнение возбуждения волновода током медленно меняющейся амплитуды.
Последовательное теоретическое изучение нестационарных нелинейных процессов в приборах СВЧ с длительным взаимодействием, в том числе и в ЛОВ, стало возможным после создания нестационарной теории возбуждения волноводов [21,22] (см. также [31]). Эта теория является обобщением теории возбуждения заданными гармоническими (монохроматическими) токами, развитой Л.А Вайнштейном [32], на случай токов с медленно меняющейся амплитудой, спектр которых имеет характерную ширину До И сосредоточен В окрестности некоторой несущей частоты (£>„, причем
До «ол Тогда представляется естественным рассматривать только поля, лежащие в
узком спектральном интервале |о> - о„| < До, представляя их как функции с медленно
13
Главо 1
меняющейся амплитудой Если выполнить разложение вихревой части поля по собственным модам волноведущей структуры и ограничиться учетом только одной моды, синхронной с электронным пучком, то для нее будем иметь следующее выражение:
£(г,/) = Ке[С(х,0£(>\2)ехр/(сйс/ - к0х)]. (1.1.1)
Здесь С(х,/) медленно изменяющаяся по сравнению с экспонентой функция, со0 — частота, на которой скорость электронного пучка у(, равна фазовой скорости электромагнитной волны \>^% =о>0/т0, мембранная функция Е{у,г) описывает распределе-
ние поля синхронной моды в поперечном сечении.
Условия медленности изменения С имеют вид:
дс а/
ЯГ
«|/о)0С|, — <сс |/^0С|. (1.1.2)
Они означают, что возбуждаемый сигнал является узкополосным, так что в разложении постоянной распространения в ряд Тейлора
а \ I /а, / \ д'-к/д®1 2 Л/Эсо3 з
к((й)ък() + дк/сс£)-(а-<я1)) + (со - о>0) + («'-«о) + —
2 6
можно ограничиться лишь двумя первыми членами:
£(©)« к0 +дк/с<й - (о -<00).
Если пренебречь затуханием электромагнитной волны, тогда постоянная распространения будет чисто действительной величиной.
Подставляя получившееся соотношение в уравнения возбуждения Л.Л Вайнштейна [32,33] и осуществляя обратное преобразование Фурье, можно получить нестационарное уравнение возбуждения [21,22]:
^|-Лг0лг)]йК. (1 1.3)
$ $
где у, = \дю/дк\ — групповая скорость па частоте о0, N — норма волны, 5 — площадь поперечного сечения волновода, ./('V) — плотность тока, а черта сверху обо-значаег усреднение по периоду 2д/о)0. Знак в левой части (1.1.3) отражает тот факт, что уравнение возбуждения записано для обратной пространственной гармоники Отметим, что уравнение (1.1.3) позволяет пренебречь изменением профиля волны при распространении ее в свободной от источников области волновода. Если по
14
Гпаво I
какой-либо причине в разложении к{со) по степеням (со — со,,) нельзя ограничиться
первым двумя членами (например, вблизи границы полосы пропускания замедляющей системы), в левой части уравнения (1.1.3) появятся члены с производными более высокого порядка [21,22].
Будем считать, что движение электронов происходит только в продольном направлении, так что плотность тока имеет только продольную компоненту: j(rj) = j(r,t)x0t где х0 — единичный вектор, направленный вдоль оси х. Тогда уравнение (1.1.3) принимает вид
7§-§=ff7(7 ’ ^Ех ^z) ехр “ к*х№ ’
где Ех - продольная компонента вектора £(>’,z). Также предположим, что электронный пучок является тонким, вследствие чего на все электроны действует одно и тоже продольное поле и можно не учитывать расслоение, т е. зависимость скорости от поперечных координат'. Тогда можно выполнить интегрирование по поперечному сечению пучка, что дает
1 К х 2S\ Л с* Г" "/"ТТ'Уі
где £х- усредненное по поперечному сечению пучка значение продольной компоненты поля Домножив это уравнение на Ё' и обозначив Є(х,/) = С(х,/)Ё', получим
-Lf-S-iE,,, (, ,4)
vs dr dr 2 '
где
К
2№У
*iN
— сопротивление связи пучка и волны [32-34],
71 (*>') = ~ / ./(^,/)ехр[-/0]с/0,1 (1-15)
Я V
— комплексная амплитуда первой гармоники сгруппированного тока,
0 - (о,/ - £,Л')
Неоднородность тока пучка в поперечном сечении можно учесть более строго, вводя гак называемые усредненные поля (см [.12]).
15
- Київ+380960830922