Реконструкция характеристик стационарных и движущихся сред по данным многопозиционного акустического сканирования

Оглавление
Введение 6
1 Скалярная акустическая томореконструкция как обратная
задача рассеяния 18
1.1 Современное состояние исследований в области обратных задач рассеяния 19
1.2 Волновая акустическая томография. Линеаризованный вариант..... 2-1
1.2.1 Проекционные соотношения дифракционной томографии........ 24
1.2.2 Структура спектральных томографических данных: проекционный подход............................................. 31
1.2.3 Структура спектральных томографических данных: Г-матричный подход................................................. 35
1.2.4 Согласование сегок дискретизации исходных данных и прост ранственного спек гра неоднородности ................................... 41
1.2.5 Прямая фурье-реконструкция............................... 53
1.2.6 Модельная реконструкция борцовских неоднородностей рефракционного тина.......................................... 55
1.3 Учет многократных рассеяний в акустических обратных задачах томографического типа 66
1.3.1 Итерационная процедура реконструкции контрастных неоднородностей в пространстве Фурье.................................... 66
1.3.2 Включение интерполяционных процедур в итерационный процесс 75
2
Рычагов А 1.Н. Реконструкции характеристик ... 3
1.3.3 Модельная реконструкция рефракционных неоднородностей сред-
нсП силы......................................................... 77
1.4 Реконструкция неоднородностей скорости звука на основании экспериментальных данных........................................................... 89
1.5 Итоговые замечания...................................................... 92
1.6 Выводы по первой главе.................................................. 95
2 Идентификация и реконструкция гисустичсских неоднородностей
на основе нейронно-сетевого подхода 97
2.1 Основные термины....................................................... 102
2.2 Однонаправленные нейронные сети........................................ 104
2.2.1 Модель нейрона.................................................. 101
2.2.2 Обобщенная модель многослойного перцептрона......................106
2.2.3 Архитектура перценгрона ........................................ 108
2.2.4 Обучение перцептрона. Алгоритм обратного распространения .. 110
2.3 Иейронно-сстсвая идентификация......................................... 111
2.3.1 Геометрия задачи................................................ 111
2.3.2 Математическая модель 03Р ь слоисто неоднородной среде . ... 113
2.3.3 Содержание концепции............................................ 116
2.3.4 Численное моделирование задачи нейронно-сетевой идентификации 117
2.4 Нейронно-сетевая реконструкция с использованием динамических сетей
Хон филда............................................................. 136
2.4.1 Нейронные сети Хопфнлла и оптимизация........................... 137
2.4.2 Нейронные сети Хонфилда н скалярная обратная задача..............142
2.4.3 Численное модешрованис задачи нейронно-сетевой реконструкции 141
2.5 Конструирование специализированных нейронных сетей......................149
2.6 Итоговые замечания и выводы по второй главе.............................154
Рычагов М.її. Реконструкция характеристик ... 4
3 Многоплоскогтная ультразвуковая потокометрия 155
3.1 Конструкция измерительного модуля и методика измерений.................159
3.2 Обработка УЗ данных в «стандартном» ГЧ-модуле..........................160
3.2.1 Длина пути УЗ сигнала....................................... 160
3.2.2 Аппроксимация профиля скорости.............................. 161
3.2.3 Оценка величины расхода..................................... 163
3.2.4 Основные квадратурные формулы численного интегрирования . . 164
3.2.5 Сравнительная характеристика квадратурных процедур .............166
3.2.6 Численное моделирование..................................... 168
3.3 Обработка УЗ данных в «модифицированном» ГЧ-модуле................... 172
3.3.1 Интегральные оценки......................................... 173
3.3.2 Метрологическая эффективность однохордовых измерений .... 176
3.3.3 Метрологическая эффективность двухордовых измерений .... 183
3.3.4 Конструкция оптимизированного модуля с использованием меж-
плоскосгных измерений....................................... 188
3.4 Экспериментальный образец и результаты лабораторного тестирования 190
3.5 Моделирование несимметрично возмущенных потоков.......................192
3.6 Итерационные алгоритмы восстановления................................ 194
3.6.1 Дискретизация задачи .......................................... 195
3.6.2 Общая схема реконструкции...................................... 196
3.6.3 Способ корректировки .......................................... 197
3.6.4 Последовательность корректировки.............................197
3.6.5 Алгебраический алгоритм восстановления
(ART-алгоритм).............................................. 199
3.6.6 Итерационная реконструкция профиля скорости в многоплоскост-
ных УЗ измерительных модулях....................................204
3.7 Квадратурное интегрирование и обработка веерных данных ................211
Гычагов А 1.11. Реконструкция характеристик
5
3.8 Алгоритм ортогонального полиномиального разложения ..................218
3.9 Выводы по третьей главе.............................................2*21
4 Лучевая и дифракционная акустическая томография вихревых потоков 223
4.1 Процедура обращения времяпролетных данных............................226
4.1.1 Геометрия эксперимента и проекционные соотношения ............226
4.1.2 Раздельное отображение скалярной и «движущейся» компонент . 229
4.1.3 Реконструкция векторного поля интерполяцией в пространстве Фурье................................................................230
4.1.4 Экспериментальная реализация..................................235
4.2 Реконструкция вихревого потока обращением проекционных данных рассеяния ..................................................................240
4.2.1 Дифференциальные уравнения акустики неоднородной движущейся среды..........................................................240
4.2.2 Геометрия эксперимента........................................244
4.2.3 Дифракционная томографическая фурье*теорсма для вихревых потоков..............................................................245
4.2.4 Разделение скалярной и векторной компонент ...................249
4.2.5 Полная реконструкция поля скоростей в дифракционной томографии .................................................................252
4.3 Восстановление вихревых течений обращением амплитуд рассеяния . . . 255
4.3.1 Процедура реконструкции...........................................255
Заключение 259
Литература 260
Список сокращений 283
Введение
Важное место в ряду перспективных направлений исследований в акустике занимает акустическая визуализация и реконструкция, или. используя термин, введенный известным физкком-акустнком С.Я. Соколовых«, «зпуковидснис». В профессиональной англоязычной литературе дія обозначения данной области акустики используется выражение «acoustical imaging».
Современное акустическое звуковндеикс охватывает широкий спектр исследований и практических применений: медицинская визуализация и диагностика, ультразвуковая (УЗ) хжкроскопия, дефектоскопия и неразрушаюший контроль различных хіате-риалоа и конструкций, пассивная и активная гидролокация, получение изображений геологических структур, акустический мониторинг технологических процессов в про мышленных установках и т.д. Дли формирования акустических изображений в каждой из перечисленных областей используются акустические поля в широком диапазоне частот - от единиц герц до десятков гигагерц, чем определяется обширное многообразие техничес ких реализаций соответствующих акустических устройств. Тем не менее всестороннее использование вычислительной техники в каждой из названных областей формирует единую тенденцию в формулировке физико-математических принципов. полагаемых в основу обработки и интерпретации акустических данных. Речь идет о цифровой реконструкции характеристик исследуемых объектов или структур, т.е. ориентации измерительного и вычислительного процесса на получение достаточной количественной информации о каждом элементарном объеме исследуемой области и формировании на этой основе качественного изображения неоднородности.
С математической точки зрения следует говорить об использовании современной вычислительной техники для нахождения решений различных акустических обратных задач. Основные уравнения определяются при этом физико-математическими моделями и могут быть как линейными, так и нелинейными задачами относительно пространственного распределения реконструируемых акустических параметров среды. Таким образом, речь идет не столько о звуковидении. сколько о «реконструктивной
6
Рычагов М.Н. Реконструкция характеристик .
7
акустике» как совокупиости физических принципов, математических методов и технических средств, предназначенных для формирования акустических изображений в процессе компьютерной обработки данных акустического сканирования.
Основные математические задачи реконструктивной акустики сводятся к решению систем линейных алгебраических уравнений, систем операторных уравнений первого рода и т.п., ориентированных на нахождение кусочно-непрерывных функций с компактными носителями. Известно, что процедуры нахождения решений данных систем существенно упрощаются н математическом плане при наличии избыточности измерительных данных. В большинстве случаев сбор необходимого количества измерительных данных, т.е. большого объема информации об исследуемом объекте, осуществляется с использованием многочастотного или многопозиционного сканирования, что характеризует акустические обратные задачи томографического типа.
Одним из сдерживающих факторов на пути создания эффективных алгоритмов акустической томографической визуализации является отсутствие детально разработанных методов (физических, математических и вычислительных) реконструкции, в которых существенным обстоятельством является исходная строгая постановка задачи, макезшально соответствующая физическому содержанию томографического эксперимента.
Целью работы являлись формулировка физических моделей, теоретическое исследование и численное моделирование задач реконструктивной акустики, которые базируются на томографической методике хшогоракурсного сканирования, и демонстрация того, как эти модели можно использовать в практике создания устройств количественной акустической интроскопии в целях биомедицинской диагностики и акустического мониторинга технологических процессов, а также непосредственная техническая реализация конкретных акустических измерительных систем.
Научная новизна работы.
1. Исследована взаимосвязь между различными схемами томографического эксперимента как частными случаями ОЗР. Показана существенная роль эффекта многократных рассеяний н расширении спектра вторичных источников, что приводит :< необходимости увеличения частоты их пространственного квантования. Акустическая ОЗР томографического типа решена с использованием нового итсрациопно-иитерполяционного алгоритма восстановления контрастных рефракционных неоднородностей.
2. Предложен способ идентификации и реконструкции характеристик бинарных
Рычагов М.И. Реконструкция характеристик
8
неоднородностей дефектоскопического типа, базирующийся на принципах нейронно-сетевой обработки данных акустического ммогопозиционного сканирования. Показано, что задача восстановления граничного рассеивателя, полностью характеризуемого малым ЧИСЛОМ параметров, тождественна при использовании многослойного перцептрома задаче идентификации или синтеза неоднородности, чьи характеристики наиболее точным образом соответствуют исходному набору измеренных данных рассеяния. Задача акустической реконструкции может быть переформулирована ь рамках нейронно-сетевой концепции как задача оптимизации, которая, п свою очередь, решается с использованием свойств нейронной сети Хопфнлда.
3. Сформулированы эффективные методы УЗ потокометрии, позволяющие осуществлять как прецизионные измерения расхода транспортируемой среды, так и пространственную визуализацию потока. Продемонстрировано применение этих методов для проектирования измерительных модулей и в качестве дополнительного средства косвенной калибровки и оптимизации УЗ расходомеров.
4. Проведены теоретический анализ, компьютерное моделирование и экспериментальные исследования задач лучевой и дифракционной акустической томографии вихревых потоков. Сформулирована и доказана томографическая дифракционная теорема для вектора вихря. Установлено, 'по и рамках волновой томографии возможна полная реконсірукция ноля скоростей произвольного потока, что неосуществимо в рамках лучевой модели.
Практическая и научная ценность работы заключается ь следующем:
1. Разработанный томографический алгоритм восстановления акустических характеристик неоднородных структур в пространстве волновых векторов, позволяющий наряду с линеаризованным вариантом учитывать многократные рассеяния падающего поля иа рассеивателе, описываемом ьмсокоразмсрнмми массивами, может использоваться при разработке медицинских акустических систем томографического типа, функционирующих в трансмиссионном и отражательном режимах, и давать принципиально новую диагностическую информацию.
2. Применение нейронно-сетевого подхода к решению специального класса обратных задач, т.е. задач идентификации и/или реконструкции акустических неоднородностей по данным акустического сканирования, является основой для создания устройств обработки измерительных данных, базирующихся на принципах параллелиэации вычислительного процесса.
3. Проведенные теоретический анализ, численное моделирование и лабораторные
Рычагов М.И. Реконструкция характеристик
9
исследования разработанных многоплоскостных измерительных модулей, в которых стандартное квадратурное интегрирование дополняется математической обработкой межплоскостных измерительных данных, позволяют обеспечить конструктивную модификацию измерительных модулей, существенно повышающую их метрологические возможности даже при минимальном наборе измерительных элементов.
4. Создан лабораторный комплекс для измерений потоков в реальном масштабе времени, дающий возможность визуализировать однофазные и многофазные потоки на основе прецизионных томографических времялролотиых акустических измерений.
Основные научные положения, выносимые на защиту:
1. Формулировка проекционных соотношений дифракционной томографии, устанавливающая связь излучающих компонент в спектре источников вторичного излучения со спектральными характеристиками просвстных данных рассеяния.
2. Итерационно-интерполяционный алгоритм восстановления контрастных акустических рассеивателей в целях решения акустических обратных задач томографического типа.
3. Способ идентификации и реконструкции характеристик бинарных неоднородностей дефектоскопического типа, основанный на нейронно-сетевой обработке данных акустического многопозиционного сканирования.
•1 Методы прецизионных измерений расхода транспортируемой среды и пространственной визуализации потока с использованием многоплоскостных ультразвуковых измерительных модулей.
5. Теоретические и экспериментальные методы лучевой и дифракционной акустической томографии вихревых потоков.
Апробация работы.
Основные положения и результаты диссертационной работы были представлены и обсуждены на: 1 й Дальневосточной акустической конференции «Акустические методы и средства исследования океана» (Владивосток, 1986 г.); III Всесоюзном симпозиуме по вычислительной томографии (Киев, 1987 г.); 1-й Всесоюзной научно-технической конференции «Методы диагностики двухфазных и реагирующих потоков: теоретические основы и технические средства» (Алушта, 1988 г.); 1й Всесоюзной школе-семинаре по вычислительной томографии (Куйбышев, 1988 г.); 111 Всесоюзной школе-семинаре «Методы гидрофизических исследований» (Светлогорск, 1989 г.); X Всесоюзном симпозиуме по дифракции и распространению волн (Винница, 1990
Рычагов М.Н. Реконструкция характеристик ...
10
г.); на Международном симпозиуме «Acoustical Imaging» (Германия, Бохум, 1991 г.); Международной конференции UI-91 «Ultrasonic International-91» (Франция, Ле Туке, 1991 г.); Международной конференции Ul-93 «Ultrasonic International-93* (Австрия, Вена, 1993 г.); заседании Германского биомедицинского общества (Германия, Росток, 1994 г.); Международном симпозиуме «IEEE Ultrasonics Symposium 1994» (Франция, Канны, 1994 г.); Международной конференции «Process Tomography-95* (Норвегия, Берген, 1995 г.); Международной конференции «Ultrasonic International - 95» (Великобритания, Эдинбург, 1995 г.); Международной конференции «Диагностика, информатика, метрология-96» (С.-Петербург, 1996 г.); Международном симпозиуме «ШЕЕ AP-S International Symposium and URSI Radio Science Meeting» (Канада, Монреаль, 1997 г.); Международной конференции DAGA-98 «XXIV Meeting of German .Acoustical Society» (Швейцария, Цюрих, 1998 г.); Международном симпозиуме PIRS-98 «Progress in Radio Scicnce-98» (Франция, Нант, 199S r.); I Международном конгрессе IPT-99 «Industrial Process Tomograpliy-99» (Великобритания, Бакстон, 1999 г.); Международной конференции DAGA-2000 «XXVI Meeting of German Acoustical Society* (Германия, Олденбург, 2000 г.); X сессии Российского Акустического Общества (Москва, 2000 г.), а также на: школах молодых ученых МГУ «Методы редукции и обратные задачи рассеяния» (Москва, 1987 г., 198S г.); научном семинаре Всесоюзного паучно-исслсдоватсльского института компьютерной томографии (Москва, 1989 г.); научном семинаре Института спектроскопии АН СССР (Троицк, 1990 г.); объединенном научном семинаре по обратным задачам математической физики факультета вычислительной математики и кибернетики МГУ и физическою факультет МГУ под руководством ироф. А.Б.Бакуипшского и проф. А.Г.Яголы (Москва, 1989, 1999 гг.); научном семинаре Института высокочастотной техники Университета Бохум под руководством проф. Х.Эрмерта (Германия, Бохум, 1991, 1995, 1998, 1999 гг.); научном семинаре кафедры акустики Университета Олденбург под руководством проф. Ф.Меллерта (Германия, Олденбург, 1995 г.); научном семинаре отдела измерительных систем университета Париж VI под руководством проф. Г.Патрнка (Франция, Париж, 1997 г.); научном семинаре отдела волн Высшей школы электротехники (Франция, Жиф-сюр-Иветт, 1991, 1997 гг.); научном семинаре кафедры акустики МГУ (Москва, 1989,1999 гг.); V, VI и VII Математических чтениях (Руза, 1997, 1998, 1999 гг.); научном семинаре «Цифропыс методы обработки сигналов и изображений* МИЭТ (Москва, 1998 г.); научно-учебном семинаре «Компьютеры в математическом образовании инженеров» МЭИ (Москва, 1999 г.); на научных семинарах кафедр высшей математики, теоретической и экспериментальной физики, биомедицинских систем МИЭТ (Москва, 1996 - 1999 гг.).
Работы в данной области были поддержаны двумя грантами Российского фонда
Рычагов АГII. Реконструкция характеристик .
11
фундаментальных исследований 96-02-18900 (1996 - 1998 гг.). 97-01-00686 (1997 -1998 гг.), двумя грантами Минобразования РФ по фундаментальным исследованиям в области приборостроения ГР 01980064787 (1998 -1999 гг.) и в области автоматики и телемеханики, вычислительной техники, информатики, кибернетики, метрологии и связи ГР 0198000*1788 (1998 - 1999 гг.), грантом RP1-517 Американского фонда гражданских исследований и разработок (CRDF) и Министерства науки и технологий РФ по программе «Следующие шаги к рынку».
Публикации. По теме диссертации опубликовано 37 научных работ, из них 1 учебное пособие, 2 препринта н 24 статьи, в том числе в журналах «Акустический журнал» - 4, «Электронное моделирование» - 1, «Дефектоскопия» - 1, «Вестник Московского университета. Сер. Физика. Астрономия» - 1. «Biomedizinische Technik» - 1, «Acoustics letters» - 1, «Ultrasonics» - I, «Inverse Problems» - 1, «Journal of Acoustical Society of America» - 1, «Acustica»- 1 и в сборниках и трудах конференций «Гидродинамика» - 1, «Математические методы и приложения» - 3, «Acoustical Imaging» - 1, «Proceedings of the Ultrasonic International» - 2, «Proceedings of IEF.F Ultrasonic Symposium» - 1, «Process Tomography» - 1, «Физическая акустика. Дифракция и распространение волн» - 2.
Личный вклад автора. В основу диссертации легли результаты исследований, выполненных автором на кафедре акустики Московского государственного университета им. М.В.Ломоносова: на кафедрах математики, теорет и ческой и экспериментальной физнкии и кафедре биохседицинскпх систем Московского института электронной техники (технического университета); в Институте высокочастотной техники Университета Бохум (Ruhr University of Bochum, Germany) в рамках присужденной стипендии фонда Александра фон Гумбольдта; в Высшей школе электротехники (SUPELEC, Oif-sur-Yvette, France) в рамках именного гранта Министерства науки и народного образования Франции. Постановка теоретических и экспериментальных задач, их анализ и численное решение, а также обобщение полученных результатов осуществлялись лично автором или при непосредственном участии автора. Теоретические и экспериментальные исследования в рамках совместного гранта Американского фонда гражданских исследований и разработок (CIM)F) и Министерства науки и технологий РФ по программе «Следующие шаги к рынку» проводились под руководством автора коллективом специалистов МИЭТ совместно с сотрудниками фирмы Паиаметрике (Волт-хам. США).
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит иэ введения, четырех глав, заключения и списка литературы, содержит 283 страницы текста, 121 рисунок и 7 таблиц. Список литературы включает 271 наименование.
Рычагов М.Н. Реконструкция характеристик
12
В первой главе представлены результаты теоретической) анализа, численного моделирования и экспериментального исследования задачи акустической волновой томографии с точки зрения более общей задачи, а именно, обратной задачи рассеяния (ОЗР). Одновременно дается краткая характеристика работ но томографической тематике. Изложено современное состояние иссслсдований в области обратных задач рассеяния, в том числе некоторых ОЗР квантовой теории рассеяния, имеющих общий характер. Анализируются известные алгоритмы решения ОЗР, позволяющие учитывать многократные рассеяния, и возможности их численной реализации. Исследуется взаимосвязь между различными экспериментальными томографическими схемами как частными случаями обратной задачи рассеяния, проводится анализ структуры данных в пространстве волновых векторов и их физическая интерпретация с точки зрения скалярной обратной задачи. Рассматриваются вопросы, связанные с решением акустической прямой задачи рассеяния (ПЗР) в томографической постановке. Анализируются основные интегральные соотношения, позволяющие производить расчет рассеянного неоднородностью поли с учетом многократных рассеяний, а также вопросы решения прямой задачи итерационными способами. Обсуждаются условия и скорость сходимости итерационных процессов при использовании для решения ПЗР ряда Борна-Неймаиа. Проводится рассмотрение процедур линеаризации исходных интегральных уравнений, а именно, борновского и рытовского приближений, а также 1раниц применимости данных приближении в акустических ОЗР. Глава содержит вывод проекционных соотношений дифракционной акустической томографии для схем съема экспериментальных данных с фиксированной приемной апертурой и согласованной приемно-излучательной системой. Анализируется структура данных о рассеянии в пространстве волновых векторов для каждой экспериментальной схемы. Исследованы вопросы, связанные стомореконструкцисИ акустических рассеивателей по дискретным данным. Алгоритмы дифракционной Фурье - томографии подразделены на две группы. Первая группа включает алгоритмы, в которых получение оценок пространственного спектра расссипазеля связано с процедурами интерполяции. Показано, что практическая реализация таких алгоритмов вносит упрощения в экспериментальном плане, но сопряжена со значительными вычислительными сложностями. Вторая группа объединяет безьпгторполяционные алгоритмы, в которых наиболее трудоемким является этап сбора данных, а процедура обработки сводится к выполнению обратного Фурье преобразования дискретного массива, определенного в узлах равномерной сетки. Экспериментальная реализация указанных алгоритмов предполагает многопо-зиционкое, а иногда и многочастотное облучение и сопровождается значительными метрологическими сложностями. Последующий анализ показал, что при попытке обобщения безынтериоляционных алгоритмов для решения ОЗР с учетом МР возникают
Рычагов М.Н. Реконструкция характеристик
13
дальнейшие серьезные затруднения, так как резко возрастает набор {к£}, для которых необходимо решать большое количество вспомогательных ПЗР. В этой связи более перспективными, по-видимому, являются алгоритмы восстановления, основанные на выполнении процедур интерполяции. Интерполяционный подход применен в работе первоначально к решению борцовского варианта уравнения рассеяния. В рамках Т -матричного формализма реализована процедура интерполщюванкя, позволяющая в отличие от широко распространенных интерполяций нулевого порядка и билинейной интерполяции исключить локальность формируемых оценок. Многочисленные модельные эксперименты, проведенные на реальных биомедицинских фантомах, показали достаточно высокую эффективность интерполяции на многоточечных шаблонах и подтвердили правильность теоретических оценок значений среднеквадратических ошибок реконстукции, связанных с интерполяцией. Далее показано, что для реконструкции достаточно контрастных рассеивателей требуется строить итерационную процедуру, основанную па попеременной оценке компонент соответствующей Т - матрицы рассеяния и спектра неоднородности £(к — к0) для всех значений волновых векторов к и ко, либо более сложную процедуру, неявно содержащую такие оценки. При этом итерационный процесс сводится, фактически, к последовательному решению ряда линейных задач, число которых определяется заданной точностью восстановления. Общей проблемой псех способов решения ОЗР, основанных на итерационных методах, является установление условий сходимости итерационного процесса. Анализ сходимости различных алгоритмов решения ОЗР, в том числе и в пространстве Фурье, показал, что все способы непосредственного итерирования имеют (в безыэбыточном варианте), вообще говоря, одинаковый радиус сходимости: итерационный алгоритм сходится, если рассеянное поле внутри рассеивателя н(г) ни в одной точке не превосходит по модулю зондирующее поле /70(г), т.е. |м(г)/г/0(г)1 < 1. Интерполяционный алгоритм был использован для реконструкции неоднородностей фазовой скорости звука в плоском акустическом волноводе на основе рассеянных полей, регистрируемых в лабораторном эксперименте.
Во второй главе представлены результаты применения нейронно-сетевого подхода для решения специального класса обратных задач - задач идентификации и/или реконструкции бинарных рассеивателей, локализованных в слоистой среде, по данным акустического дистанционного зондирования. Рассмотрены три основных направления применения нейронных сетей в реконструктивной акустике, каждое из которых нашло свое отражение в соответствующих разделах данной главы: применение многослойных перцептронов для решения задач интерпретации данных (разд. 2.2 - 2.3); применение сетей Хопфилда для решения линеаризованных вариантов задач реконструкции томо-
Рычагов МЛ. Реконструкция характеристик ..
14
графического и голографического типа (разд. 2.4) и конструирование нейронных сетей специальной архитектуры для решении скалярных ОЗР акустической интроскопии (разд. 2.5). Показано, что использование многослойное перцептроиа позволяет рассматривать акустическую обратную задачу как задачу идентификации или синтеза неоднородности, чьи характеристики наиболее точным образом соответствовали бы исходному набору измеренных данных. Принтом структура нейронно-сетевого алгоритма определяется общими принципами функционирования мноюслойных перцептронов и включает в себя три этапа: (а) сбор и подготовка данных, (6) обучение перцептрома и (в) распознавание. Использование мшмххглойного перцептроиа демонстрируется на примере решения скалярной ОЗР, состоящей в определении формы, местонахождения и контраста бинарною рассеивателя, расположенного в слоисто-неоднородной среде. В качестве параметров идентифицируемой неоднородности иыбраны геометрические характеристики, определяющие конфшурацию и положение однородного рефракционного объекта, и величина изменения локальной скорости звука между объектом и окружающей его иммерсионной средой. Обратная задача реконструкции рассматривается в рамках нейронно-сетевой концепции как задача оптимизации, которая, в свою очередь, решается с использованием свойств нейронной сети другого класса, а именно, нейронной сети Хопфилда. Доказано, что удовлетворение определенных требований по отношению к структуре ней(юнной сети приводит к сходимости динамического процесса, в результате которого нейронная сеть приходит к устойчивому состоянию. Эффективность разработанной динамической нейронной сети с обратными связями демонстрируется в процессе численного моделирования. Показано также, что предложенный нейронно-сетевой алгоритм <*>|>л6отки данных акустического сканирования может быть особенно эффективным при проведении многочастотного эксперимента, когда в полной мере используется параллелизм обработки входных данных, присущий нейромно-ссгевым структурам. В заключение, рассматриваются специализированные нейронные сети, архитектура которых ориентщювана на наиболее адекватное соответствие процесса, нейрояно-сетевой обработки данных исходной математической системе интегральных уравнений Лини мама-Шиишера, описывающих процесс рассеяния акустической волны на скалярных неоднородностях. Для каждого из вышеперечисленных случаев анализируются критерии оптимального построения архитектуры нейронной сети, а также стратегия эксперимента, наиболее подходящая для выбранной схемы нейронно-сетевой обработки данных дистанционного зондирования.
Треть я глава посвящена разработке эффективных вычислительных методов ультразвуковой расходометрии (нотокометрии) и созданию на их основе высокоточных акустических измерительных модулей, основанных на принципах многопозиционного ска-
Рычагов М.Н. Реконструкция характеристик
15
нирования. Использование стандартной двухдагчиковой схемы ультразвуковых время-пролетных измерение позволяет получить лишь усредненную вдоль траектории сигнала оценку значения вектора скорости без учета реальной формы профиля скорости потока в поперечном сечении канала. Показано« что в большинстве случаев данная проблема может быть решена проектированием специальных мультисенсорных измерительных модулей, встраиваемых впоследствии в измерительный канал. Поскольку измерительные данные, а значит и величины средних значений скорости, доступны в реальных условиях лишь в ограниченном наборе измерительных плоскостей, наиболее целесообразно при вычислении величины расхода в миогонлоскосгнмх измерительных модулях обратиться к численному интегрированию, при кагором указанные интегралы заменяются соответствующими квадратурными формулами. В работе рассмотрим отловные формулы квадратурного интегрирования и представлена их сравнительная теоретическая и численная характеристика с точки зрения их использования в рассматриваемом классе задач. Современные методы вычислительной динамики жидкости дают возможность производить компьютерное моделирование широкого спектра жидких потоков в каналах произвольных конфигураций и для различных гидродинамических режимов потока. В работе демонстрируется применение этих методов как « процессе проектирования измерительных модулей, так и в качестве дополнительною средства косвенной калибровки и оптимизации ультразвуковых расходомеров. Стандартный измерительный миогоплоскостной модуль в силу строго определенной ориентации и положения измерительных плоскостей в канале не является чувствительным к вихревым и прочего рода вращательным движениям в исследуемом объеме. Повышение информативности ультразвуковых измерений можно, однако, достичь либо выполнением дополнительных томографических измерений, либо применяя модифицированные измерительные модули, обеспечивающие возможность дополнительных меж плоскостных измерений, что позволяет, в свою очередь, использовать современные математические методы компьютерной реконструкции функций (в данном случае, формы аксиального профиля скорости, завихренности, распределения плотности, тсх!-перагуры и т. д.) по ограниченному набору их косвенных интегральных оценок. Первый подход сложнее сложнее с точки зрения его практической реализации, во втором случат возникает задача совхссстпой трехмерной реконструкции скалярной функции пространственной переменной и векторного поля скоростей. В диссертационной работе последовательно рассматривается каждый из вышеназванных подходов. Н разд. 3.3 предложены и анализируются вычислительные процедуры обработки ультразвуковых данных в модифицированных модулях, реализующих две методики мсжплоскостных измс|книП: (а) однохордовые измерения, когда излучатели находятся в одной измерительной ГМ - плоскости, а отражательные площадки - в другой и (6) двухордовые изме-
Рычагов МЛ. Реконструкция характеристик
16
рения, производимые в разных, смежных измерительных плоскостях. Техника прямых интегральных оценок справедлива лишь для случая, когда двумерный профиль скорости в поперечном сечении канала имеет радиальную симметрию. Однако, хорошо известно, что для большинства течений в транспортных каналах такая симметрия отсутствует. В згой ситуации, естественный путь для получения высокоточных оценок -г*го реконструкция двумерного распределения поля скоростей на основе методов итерационной апгебраической реконструкции или некоторых квазитомографических подходов, с последующим интегрированием по сечению канала. При этом одновременно обеспечивается получение дополнительной важной информации, а именно, визуализация состояния потока даже в случае ограниченного набора данных. Реконструктивный подход, таким образом, может найти применение не только в области высокоточных расходомерных измерений, но и в приложениях, связанных с управлением технологическими процессами, в которых используется процесс транспортировки жидких или газообразных сред. В разд. 3.6 рассматривается техника итерационной реконструкции и, в частности, алгоритм алгебраического восстановления. В разд. 3.7 - 3.8 представлены различные варианты томографических алгоритмов для плосколараллельной и веерной измерительных геометрий (в частности, преобразование Абеля, алгоритм Марри) и результаты их численной реализации.
В четвертой главе представлены результаты теоретического анализа, компьютерного моделирования и экспериментальных исследований методов лучевой и дифракционной акустической томографии векторных полей. Рассмотрен эксперимент но томографическому зондированию неоднородной движущейся среды УЗ импульсами в рамках схемы параллельного сканирования. Представлены результаты численных экспериментов по раздельной реконструкции вектора скорости и стационарных неоднородностей д/1 я различных гидродинамических моделей движущейся среды. В диссертационной работе представлен лабораторный измерительный комплекс для томографических измерений потоков в реальном масштабе времени. Экспериментальное оборудование включает в себя две подсистемы: систему сканирования и систему автоматизированной обработки результатов диагностических измерений. Первую подсистему составляют электронные измерительные блоки и механическая система иермещения датчиков. Система автоматической обработки результатов объединяет прикладное программное обеспечение для управления процессом измерений, а также для обработки измерительных данных н реконструированных изображений. Оригинальное прикладное программное обеспечение и созданный многофункциональный графический интерфейс позволяют реализовывать интерактивную визуализацию трехмерных и двумерных сцен, а также производить сравнение процедур обработки данных для различных
Рычагов МЛ. Реконструкция характеристик
17
условий измерений. Далее в диссертационной работе рассматривается задача дифракционной томографии векторною поля. Получено уравнение, связывающее образ Фурье измеренных просветных данных рассеяния с пространственным спектром вектора вихря несжимаемого потока. Установлено, что «невзаимность» рассеяния звуковой полны потоком предоставляет дополнительную информацию, которая может использоваться, чтобы произвести полную покомпонентную |>еконструкцию поля скоростей произвольного потока. Приведены результаты численного моделирования задачи волновой томографической реконструкции вихревых квазистационарных неоднородных потоков.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы.
В диссертации используется двузначная нумерация формул. Обращение к формулам осуществляется в виде, например, (1.2), что означает вторую формулу первой главы.
Глава 1
Скалярная акустическая томореконструкция как обратная задача рассеяния
Одним из сдерживающих факторов на пути создания эффективных алгоритмов акустической томографической визуализации является отсутствие детально разработанных методов (математических и вычислительных) решения задач восстановления, в которых существенными являются процессы рассеяния исходного поля на области локализации неоднородности. Среди этих задач значительную роль в прикладном аспекте играют обратные задачи рассеяния (ОЗР) для скалярного волнового уравнения. Сущность ОЗР скалярной акустики состоит в определении количественных характеристик локализованной иго;шо|>одности среды (скорости звука, вязкости, теплопроводности и Т. д.) по данным рассеяния падающего на неоднородность известного поля (см., напри-мер. [1] - [5]).
В настоящей главе представлены результаты теоретического анализа, численного моделирования и экспериментального исследования акустических томографических задач и рамках решения более обшей задачи, а именно, обратной задачи рассеяния. Данный подход позволил разработать эффективные алгоритмы восстановления неоднородностей, основанные на моделях, адекватных физическим механизмам распространения звуковых волн в исследуемом объекте. Собственно же томографическая постановка эксперимента является в этом случае способом съема данных о рассеянии и определяет эффективность и быстродействие вычислительных процессов.
Глава подразделена на две взаимосвязанные части. В первой части решается лине-
18
Рычагов М.Н. Реконструкция характеристик
1!)
авизованная ОЗР в приближении однократного рассеяния (приближении Борна), что позволяет выявить соответствие развиваемого подхода стандартным методам волновой томографии, основанным на процедуре интерполяции п пространстве Фурье [б) -(11|. Во второй части рассматривается задача реконструкции контрастных рассеивателей. При атом учитываются многократные рассеяния первичного поля на области локализации неоднородности.
1.1 Современное состояние исследований в области обратных задач рассеяния
Имеющаяся в настоящее вре\1я литература по ОЗР весьма разнородна не только по проблемам, которые в ней анализируются, но и по глубине их исследования. Попытки достаточно полной систематизации предприняты, в частности, в [12] - [18]. В данном разделе остановимся лишь на тех работах, которые имеют непосредственное отношение к рассматривающимся в диссертации вопросам.
Насколько известно, первым (в 1877 году) об обратной задаче заговорил Ралей [13], [19]. Поставив вопрос о том, можно ли найти распределение плотности неоднородной струны по собственным частотам колебаний, ом как бы предвосхитил математическое исследование спектральной обратной задачи, начавшееся примерно семьюдесятью ю-дами позже. Современный аналог и обобщение указанного места Релея - лекция Марка Каца [20] под названием «Можно ли услышать форму барабана?»
В 1945 году Боргом была поставлена задача восстановления функций или граничных условий Штурма - Лиувилля гго спектральным данным (21]. К этому времени, в связи с появлением уравнения Шредингера, необычайно расширилось физическое содержание математических понятий, связанных со спектрами дифференциальных уравнений с заданными граничными условиями. Действительно, уравнениями этого типа, ранее применявшимися только для анализа механических колебаний, теперь стало возможно пользоваться и для описания атомов и молекул. С этого момента начинается детальное и углубленное изучение обратной задачи квантовой теории рассеяния отечественными математиками Чудовым Л.А., Марченко H.A., Гельфандом И.М., Левитаном Б.М.. Березанским IO.М.. Фаддеевым Л.Д. и зарубежными исследователями Левинсоном H., Ньютоном Р. и др.
Процедура явного построения сферически симметричного потенциала бtrs особен-
Рычагов А 1.11. Реконструкция характеристик
20
ноети была описана Гельфандом И.М. и Левитаном K.M. в [22). Кмло показано, что искомый потенциал мож<уг быть определен по спектральной мере, соответствующей данным граничным условиям, путем решения линейною уравнения Фредголъма, которое теперь носит имя авторов работы.
Мощный метод обратной задачи, основанный на уравнении Гельфанда - Левитана. вскоре был распространен на системы дифференциальных уравнений (ссылки » 112), (13]).
Полученные Крейном М.Г. и Марченхо В.А. более точные условия на спектральную функцию, доведенные до необходимых и достаточных, но существу завершили об-
щую проблему восстановлен и я одномерного потенциала д(х) по заданной спектральной функции J?(fc) из уравнения
—^^х,к) + фЩх,к)=кяф(х,к) (1.1)
при условии, что решение имеет асимптотику
ф,к)*С(к)*іп(кх-г,(к)) (1.2)
и потенциал д(х) досгаючио быстро убывает при х —* ос [23], (24).
Важным вкладом в теорию решения ОЗР явилось введенное А Н. Тихоновых! понятие регуляризирующего алгоритма (25), а также созданные на ею основе теоретические и вычислительные методы решения широкою круга некорректных задач, имеющих непосредственный прикладной интерес (5). [26] - [28).
В 70-х годах Фаддеевым Л-Д. (12], (29) и Ньютоном Р. [30] проведены два эквивалентных исследования трехмерной обратной задачи в случае локального потенциала. Сформулированные в [29], [30] алюритмы восстановления являются к настоящему п|к\мени глубоко проработанными. Тем не мсисс, область их прихсеиимости ограничивается сугубо обратными задачами квантово- мехам ичеткого типа [31[, в которых предполагается отсутствие зависимости потенциала от частоты зондирующего ноля <*?. Как известно, в задачах акустического рассеяния частотно-независимым является лишь рассеяние на неоднородностях плотности среды, в то время как объект, характеризуемый неоднородностями фазовой скорости звука, имеет квадратичную частотную зависимость и, следовательно, становится более контрастным при увеличении частоты. Действительно, уравнение, являющееся исходным в задачах волнового распространения, имеет следующий вид [32] (будем использовать обозначения, применявшиеся в (1.2)):
(V* + Jfc2n(*)l^(xffc)»0. (1.3)
Рычагов hl.Н. Реконструкция характеристик
21
Если сделать подстановку п(х) = 1 — н>(.г), то (1.3) п|мч»6разуегся к виду
[V2 + = k2w(x)ij>{x%k). (1.4)
По аналогии с (1.2) уравнение (1.4) можно рассматривать как уравнение рассеяния скалярной волны на потенциале рефракционного типа q(x), который в этом случае следует заменить на fc*u?(x). При фиксированном к поведение решений в ЭТИХ двух случаях идентично, но зависимость рассеивающего потенциала от к (т.е. от и) принципиально различает (1.2) и (1.4). В частности, применение некоторых асимптотических соотношений к решению уравнения (1.4) оказывается неприемлемым. Данное обстоятельство не позволяем- использовать алгоритмы типа (22], (23), (29), [30) для решения ОЗР, в основе которой лежит уравнение (1.4), без формулировки дополнительных требований. В связи с этим нахождение более простых фунхционально-аналитических конструкций, решающих обратную задачу, а также более полных условий, характеризующих амплитуду рассеяния, остается актуальной задачей (33).
Дальнейший прогресс в обратных задачах оказался связанным с возможностью выражать зависимость данных рассеяния от спектрального параметра в виде 9-уравнения (первая работа по 5-уравнениям в одномерном случае принадлежит Р. Биллсу и Р. Кой-фману (34). Результаты последующих исследований в этом направлении, в том числе для обратных задач акустическою рассеяния, представлены в (16), (31), (35).
Спустя год после опубликования упоминавшейся статьи Гельфанда И.М. и Леви тана Б.М. [22] появилась работа Поста Р. и Кона В. [36;, н когорой предлагалась иная систематизированная процедура построения потенциалов по фазовому сдвигу и связанным состояниям, заданным с одним угловым моментом I. В алгоритме потенциал воспроизводился, по существу, путем обращения ряда Борна дня матрицы рассеяния
/(k',k) = J е-*'ггігЖг,к)Аг, (1.5)
п
где 7?. - область локализации рассеивающего потенциала г/(г); к, к' - полковые векторы.
В квантовой теории рассеяния метод Поста и Кона оказался менее эффективным, поскольку результаты получались в виде рядов, сходимость которых сама по себе требовала дополнительного доказательства, и менее привлекательным, чем метод Гель-файла и Левитана. Однако универсальность введенной Т-матрицы позволила Мозесу X. (37). а затем Проссеру Р. [38], (39] формально применить алгоритм Поста и Кона для решения ОЗР на рефракционных неоднородностях и для случая отражения на мягких границах.
Рычагов МП. Реконструкция характеристик ...
22
Особо отметим то обстоятельство, что использование алгоритма Поста и Кона оказываемся самым непосредственным образом связанным с организацией сбора данных о рассеянии, а это, в свою очередь, определяет многообразие различных его модификаций. Так, в работах [36], [38], [39] рассмотрен случай регистрации волн, рассеянных неоднородностью назад, при падении исходного поля со всего многообразия направлений и при всех энергиях. В [40] фиксируется направление падения и наоборот, рассеянное поле регистрируется на континууме направлений приема, после чего исходная процедура применяется для образованной системы базисных функций.
В работе Девалея А. и Вольфа Э. |41] изучается дискретизованный вариант ОЗР на рефракционной неоднородности. Предполагается,что положение исследуемого объекта фиксировано и имеется дискретный набор направлений падающей полоской волны, задаваемый единичными векторами В эксперименте регистрируются амплитуды рассеяния /(в, в0), где s - набор единичных векторов, характеризующих направление приема. Понятно, что поскольку амплитуда рассеяния /(s,su) пропорциональна элементу Г-матрицы, оцениваемой на энергетической оболочке в импульсном пространстве [42], то фактически решается задача определения неоднородности на основании известных матричных элементов Г(кМсо), принадлежащих поверхности Эвальда (43], то есть излучающих компонент в спектре рассеяния. Авторами (41 ] предложен метод алпроксимационкого восстановления потенциала, который состоит в определении коэффициентов разложения функции, описывающей искомую неоднородность, по стандартному в теории цифровой обработки сигналов зтобазису. Причем аппроксимация коэффициентов Достигается разложением но порядку возмущений членов ряда Борна -Неймана, аналогично тому, как это делалось в работах [37] - [40]. Отметим, что данный метод справедлив в тех случаях, когда можно пренебречь вкладами в рассеянное поле от пространственных структур потенциала, имеющих линейные размеры, меньшие Л/2.
В |>а6оте (44] алгоритм Поста и Кона применяется для решения скалярной рефракционной ОЗР. когда данные о рассеянии соответствуют различным пространственным ориентациям исследуемого объекта. Ясно, что постановка этой задачи полностью аналогична той. кагорам имела место п [41]. Однако здесь в основе итерационной процедуры вместо использовавшегося в [41] разложения искомого потенциала по системе базисных функций, лежит «пертурбационная релаксационная теория», разработанная Хейгсманоы Л. и Янгом Д. [45] для решения систем линейных уравнений.
В названных выше работах (36] - [41] реконструкция рассеивающей неоднородности осуществлялась в пространстве Фурье. Эти работы объединяет также то, что в каждой из них ставилась задача получения точного решения, т. е. учитывались многократные
Иычагои М.Н. Реконструкция характеристик ...
23
рассеяния поля на неоднородности. Как было сказано, это достигалось созданием различных итерационных процедур решения уравнения Лннпмана - Швннгера, записанного 11 терминах '/'-операторов :46].
Решению аналогичной задачи в пространстве координат посвящены работы [2], [5], [47] - (51), в которых представлены двухшаговыс итерационные процедуры решения уравнения рассеяния, заключающиеся в поочередной оценке дискретных отсчетов, характеризующих неоднородность и источники вторичного излучения или рассеянное поле внутри рассеивателя, (’ходимость разработанных итерационных процессов доказана для случая, когда рассеянное поле не превосходит по норме падающего поля в любой точке пространства. Однако с учётом результатов, полученных в [52], область сходимости может быть существенно расширена, а алгоритмы применены для восстановления сильных неоднородностей (областей фокусировок, каустик и др.). Численные расчёты на ЭВМ с использованием указанных алгоритмов проводились дня тестовых неодно|юдностей, представляющих собой наборы дискретных рассеивателей, а также для простейших неоднородностей, описываемых функционально [51], [53], [54].
Наряду с традиционными методами решения ОЗР для контраст ных неоднородностей изучаются альтернативные подходы и трактовки. В работе [55] обосновывается возможность использования техники «пятого параметра» Фока В.А. для решения задач дистанционного зондирования ионосферы в параксиальном приближении (рассматривается случай малоуглового рассеяния). В [56] представлены результаты модельной реконструкции двухкомпонентной неоднородности в томографическом эксперименте для случая, когда прямая задача рассеяния решается с помощью уравнений Тверского [57]. Эффективный подход к решению задачи акустического рассеяния на основе разложения волнового поля по мультиполям, который может стать аффективным средством также дня решения акустических ОЗР, предложен в [58]. В [59] демонстрируется успешное применение метода конечных элементов для решения акустических ОЗР томографического типа.
Некоторые из рассмотренных алгоритмов восстановления [36] - [41]. [44^, [49], [50] имеют весьма ограниченные возможности с точки зрения их использования в -задачах дифракционной томографии. Эта ограниченность объясняется требованием безызбыточности экспериментальных данных по отношению к количеству степеней свободы искомого потенциала, и, как следствие, ограничением на область сходимости итерационных процедур. В [60] описан итерационный алгоритм решения ОЗР скалярных волн на рефракционной неоднородности, в котором предусмотрена возможность обработки данных при их избыточности (МИК оценивание). Аналог ичный подход рассмотрен в
Рычагов М.II. Реконструкция характеристик .
24
работе (61). Сходимость соответствующих итерационных процедур доказана в [62].
Итогом вышесказанного может быть следующий вывод: 1ак Как При описании процесса распространения звуковых поли в среде с неоднородностями необходимо учитывать дифракционные и рефракционные эффекты, то это обстоятельство не позволяет использовать при разработке алгоритмов восстановления характеристик среды предположение о лучевом распространении проникающего излучения, которое широко прихсеняегся в классической рентгеновской томографии. В акустической томографии, в том числе ультразвуковой, приходится решать волновую ОЗР, состоящую в количественном описании рассеивателя на основании данных о рассеянии на нем известного первичного ПОЛЯ.
1.2 Волновая акустическая томография. Линеаризованный вариант
1.2.1 Проекционные соотношения дифракционной томогра-
Рассмотрим задачу определения количественных характеристик локализованной в среде неоднородности по данным о рассеянном ею акустическом поле, предположив, что это поле в пространстве и времени описывается в рамках модели линейной теории упругости [63], [6-1]. 1>олее ТОГО, ограничимся изучением «скалярной» среды, в которой распространение акустических колебаний, вызываемых источниками с временной зависимостью ехр(-)оц>0, описывается уравнением Гельмгольца
дополненным условиями сопряжения на поверхностях Г разрыва коэффициента:
Здесь 0'(г,-.\э) - спектральная амплитуда акустического ноля в точке г € № на частоте и.\з; /(г,и.\,) - функция, характеризующая расположение, конфигурации» и плотность
фи И
Д£/(г,що) + А3(г.о»о)^{г,<*\>) = /(г.иг0), г € К1, д = 2,3,
(1.6)
0-7)
и условиями излучения Зоммерфслвда при |г —* 00
(1.8)
Рыч&гов Л/.Н. Реконструкция ХлрАКТерНСТИК
25
источников колебаний; fc(rfu*) - локальное волновое число, полностью определяющее акустическую неоднородность такой скалярной среды.
Сформулируем теперь задачу акустического томографического зондирования. Пусть финитный в пространстве ß* объект локализован в области 'R С /?*. которая полностью содержится ь шаре (в трехмерном варианте) или покрывается кругом радиуса (в двумерном варианте). Пусть объект помещен в однородную среду, характеризуемую плотностью р{> = const и скоростью звука с<, = const. Для жидкостноподобных сред акустический рассеиватель описывается в общем виде функцией [48)
ЯГЛ)_(4 * ) + (,.9)
\с* (P(t)J U)l \y/p(j)J ^t-(r)
где ('(г), /)(г) - локальные значения фазовой скорости звука и плотности среды в точке г соответственно; a(r,wo) - коэффициент поглощения. В этом случае уравнение (1.6) можно представить в виде
Д1Г(г,<*) + (*£ -и^(г,^)Щг,1.ь)) = /(г.и.'о), г € Ят, 7 = 2,3, (1.10)
учитывая, что предел
lim £(г,Мо) = — = *0 (131)
ÖO Со
существует И соответствует ван новому числу ДЛЯ невозмушенной среды. Величина i(i входит п (1.8).
Ог дифференциальной задачи (1.7), (1.8), (1.10) удобно перейти к интегральным уравнениям. Для этого рассмотрим функцию Грина
I- ехрО'А-„|г - г'|)/(4т|г - г'|) при 7 = 3,
-J//<,»(**|r-r'|) при 7 = 2. (1.12)
- cxp(j*b|r - г'|)/2 при 7=1.
являющуюся решением уравнения Гельмгольца с коэффициентом ко = а*о/с<) и Ь-образной правой частью:
Дг(7(г,ггДо) + ВДг5г#Л)- -*(г-г'). (1.13)
В уравнении (1.10) перенесем член w’o£(r,wo)6'(r. иъ) в правую часть и, предположив, что свертка суммы / -f u?^(r,u^i}f/(r.uio) с функцией Грина существует, получим интегральную форму уравнения рассеяния:
(/(г,а*) = [/0(г,адо)+Ч> JG(r>r'tko)i(r\uo)V{r\u\))dr', г, г'€ Я9, (1.14)
Рычагов МЛ. Реконструкция характеристик ..
26
где
£/o(p,wj) = J G(r,r\ko)f(r',w»)dr'.
(1.15)
к
Рассмотрим сначала случай двумерного акустического рассеяния. Строго говоря, приближенное сведение задачи реконструкции реальной трехмерной структуры к двумерной обратной задаче возможно лишь в борцовском приближении однократного рассеяния (см. ниже) посредством послойного (томографического в классическом смысле) посстаноп.чемия изображения с использованием сильно сжатого по третьей координате волнового пучка при условии, что функция неоднородности является медленно изменяющейся вдоль -»той координаты- Тем не менее, существует определенный класс задач, в которых физическая картина расп|>острансния и рассеяния волн может быть вполне адекватна двумерной рассматриваемой в дифракционной томографии. К этому хлассу относятся задачи, связанные с распространением различных типов волн на поверхностях раздела двух сред (при ряде дополнительных ограничений на физические условия постановки эксперимента), изгибных воли в пластинах, а также волн в плоских волноводах и условиях одномодового распространения (65).
Предположим также. ЧТО ПЛОТНОСТЬ является величиной ПОСТОЯННОЙ, р(г) = (Н) везде в П2 и поглощение звуковой волны в среде распространения отсутствует, т.е. о(г) = 0. Тогда, акустический рассеиватель характеризуется на области Я лишь возмущениями фазовой скорости звука с(г):
Итак, мы рассмотрим задачу нахождения кусочно-гладкой функции £(г) вида (1.16) с носителем в Я из интегрального уравнения (1.14) поданным 6^(г, и.»), измеренным в некоторой области, не пересекающейся с Я. Эту задачу назовем обратной задачей рефракционного типа.
Пусть положение объекта фиксировано в пространстве, а облучение исследуемой области производится плоскими волнами
с различных направлений, задаваемых на6о|юм волновых векторов { к£ : к;,' - },
где = »о(о) = (сдает,»іпа)-единичный вектор. Свяжем с неподвижным объектом систему координат (х, у). Пусть рассеянное поде регистрируется линейной матрицей приемников с конечной апертурой Оа , расположенной на расстоянии /» от начала системы
г Є Я,
г Є Я.
(1.16)
^о(г,<**о) = t/oexp {> — г)
(1.17)