2-
Оглавление
Общая характеристика работы. 4
Введение. Современное состояние оптики многослойных покрытий и обратные задачи, возникающие в пей 14
1 Теоретические и вычислительные основы методов синтеза многослойных оптических покрытий 19
1.1 Постановка задачи синтеза многослойных оптических покрытий . . 20
1.2 Вариационные методы в задачах синтеза многослойных оптических покрытий............................................................ 24
1.3 Вопросы численной реализации метода игольчатого синтеза.......... 39
1.4 Новые нелокальные подходы к решению задач синтеза многослойных оптических покрытий............................................. 59
1.5 Учёт требований наилучшей практической реализуемости............. 78
2 Физические особенности различных классов задач синтеза и актуальные приложения 84
2.1 Выбор начального приближения, роль полной оптической толщины покрытия и метод последовательной эволюции в задачах синтеза . . 84
2.2 Задачи синтеза просветляющих покрытий............................ 99
2.3 Синтез покрытий с поглощающими и металлическими слоями ... 113
2.4 Синтез покрытий в случае наклонного падения света................118
2.5 Синтез оптических элементов для работы со сверхкороткими импульсами ...........................................................134
3 Исследование оптических параметров тонких слоев на основе спектральных фотометрических измерений 157
3.1 Основы подхода к исследованию оптических параметров тонких слоев при помощи спектральной фотометрии...............................158
-3-
3.2 Исследование влияния малых неоднородностей на спектральные характеристики тонких слоёв............................................172
3-3 Физические возможности фотометрических методов исследования и
практические аспекты их применения...............................194
3.4 Влияние систематических и случайных ошибок в спектрофотометрических данных на решение задачи определения оптических параметров тонких плёнок ...............................................205
4 Исследование оптических параметров тонких слоёв на основе
спектральных эллипсометрических измерений 215
4.1 Основы подхода к исследованию оптических параметров тонких слоев при помощи спектральной эллкпеометрии.............................215
4.2 Исследование влияния малых неоднородностей на спектральные эллипсометрические характеристики тонкого слоя.........................217
4.3 Физические возможности эллипсометрических методов исследования и практические аспекты их применения.............................231
5 Исследование параметров многослойных оптических покрытий 252
5.1 Особенности обратной задачи исследования оптических свойств многослойных покрытий ..................................................254
5.2 Спектральные свойства многослойных покрытий со слабо неоднородными слоями.......................................................264
5 3 Иерархия моделей для решения обратной задачи определения параметров многослойного покрытия........................................276
5.4 Исследование параметров многослойных покрытий in situ.............239
Литература
321
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Обратные задачи синтеза и распознавания составляют основу современной оптики многослойных покрытий. В первую очередь к ним относится задача проектирования многослойных покрытий, то есть задача поиска таких многослойных покрытий, которые обладают заранее заданными спектральными свойствами. Кроме этот, в связи с достигнутым в последние годы общим технологическим прогрессом и резко возросшими требованиями к исследованию параметров тонких слоёв и покрытий (например, в такой области, как телекоммуникации), особое значение получают обратные задачи типа распознавания. В их число входит задача об определении оптических свойств тонких пленок по спектральным фотометрическим и/или эллипсометрическим данным и задача определения оптических параметров многослойных покрытий.
Исторически именно с задачи синтеза началось исследование обратных задач в оптике многослойных покрытий. Методы синтеза многослойных оптических покрытий начали интенсивно разрабатываться в 50-е годы, то есть примерно на два десятилетия позднее начала интенсивного развития методов синтеза радиотехнических цепей. С самого начала была очевидна определённая близость задач синтеза в оптике и радиофизике. В силу отмеченного исторического первенства неудивительно, что в первые годы развитие методов решения задач синтеза многослойных оптических покрытий шло по пути интенсивного заимствования идей из теории радиотехнических цепей. В то же время, в связи с бурным развитием вычислительной техники начали широко разрабатываться методы прямой оптимизации параметров вскрытия с целью достижения требуемых спектральных свойств. Однако, уже к концу 7ft-x годов стала очевидной ограниченность и недостаточная эффективность обоих направлений развития.
Между задачами синтеза цепей и оптических покрытий существует принципиальное различие, состоящее в roxi, что в первом случае параметры рассматриваемого объекта являются сосредоточенными, в то время как во втором — распределёнными. С точки зрения математической формулировки задачи синтеза многослойных оптических покрытий наиболее близки к задачам синтеза четырёхполюсников СВЧ, но и здесь имеются принципиальные различия, связанные с разными условиями физической и технологической реализуемости устройства.
Уже в 80-х годах стало возможным изготовление покрытий, состоящих из десятков и даже сотен слоёв. Но при этом даже при современной мощи вычислительной техники, методы прямой оптимизации позволяют эффективно решать
лишь отдельные задачи синтеза многослойных оптических покрытий. Это связано с чрезвычайно сложным и многоэксгремальным рельефом минимизируемых целевых функционалов даже в простейших ситуациях, когда число слоёв покрытия (соответственно, число оптимизируемых параметров) невелико (порядка 10-20). Во многих же современных задачах для достижения заданных спектральных характеристик с требуемой точностью необходимо использование покрытий с ббльшим числом слоёв.
В 1982 году А.В.Тнхонравовым был предложен принципиально новый подход к решению задач синтеза многослойных оптических покрытий — метод игольчатых вариаций. Спецификой этою подхода является то, что в процессе решения задачи синтеза пространство параметров, то есть число слоёв покрытия, не фиксируется и находится в самом процессе решения задачи. К началу 90-х годов стало ясно, что метод игольчатых вариаций является самым перспективным и многообещающим методом решения задач синтеза многослойных покрытий, однако, его массовое применение одерживалось отсутствием удобной реализации, недостаточной изученностью критически важных алгоритмических аспектов и отсутствием опыта и методологии применения метода в различных но своим физическим особенностям случаях. Кроме этою, применение метода игольчатых вариаций для решения задач синтеза с большим числом параметров затруднялось медленной сходимостью применявшихся тогда методов оптимизации первого порядка-
Таким образом, с иачача 90-х годов стала крайне актуальной задача проработки критически важных деталей реализации метода игольчатых вариаций, исследования разнообразных вариантов и модификаций этого метода, а также применение бметросходящихся современных методов минимизации, в частности методов второго порядка. Появление персональных компьютеров и постоянный быстрый рост их производительности и возможностей визуализации позволил по-новому подойти к решению упомянутых обратных задач, особенно — к рассмотрению труд-ноформалнзуемых аспектов. В частности, актуальная задача учёта требований наилучшей практической реализуемости при синтезе многослойного оптического покрытия может быть решена путем разработки полуэвристических интерактивных алгоритмов и процедур. Априорная информация при решении обратных задач типа распознавания также может учитываться в ходе их интерактивною решения,
Возможности достигнутого в последние годы технологического прогресса в области практического изготовления покрытий могут быть в полной мере реализованы только при условии хорошего знания оптических свойств тонких плёнок материалов, которые могут значительно отличаться от свойств тех же материалов
-6
в массивной форме. Неточности в определении показателей преломления материалов и других параметров слоев многослойного покрытия неизбежно приводят к деградации его спектральных свойств и сводят на нет все усилия по точному контролю толщин слоев. Отметим также, что измерительная техника (спектрофотометры, эллкпсометры) также существенно совершенствовались в последние годы, что привело к значительному повышению точности входных экспериментальных данных и, тем самым, открыло новые возможности в исследовании свойств тонких плёнок и покрытий.
Таким образом, приобретает особое значение и становится крайне актуальной обратная задача распознавания, состоящая в определении свойств тонких плёнок по данным фотометрических и/или .эллипсометрических измерений. До начала 90-х годов в этой области в основном применялись лолуэмпирические методы, основанные на анализе отдельных характерных деталей соответствующих спектральных данных. Общей для всех этих методов проблемой являлись низкие достоверность и надежность результатов, появление нефизических решений Эта проблема вызвана тем, что применявшиеся методы слабо или не полностью использовали имеющуюся априорную информацию. Особенно плохо была исследована задача обработки данных эллнпсомстрическкх измерений, что, вероятно, было обусловлено относительно более сложной структурой оператора прямой задачи, а также отсутствием до самого последнего времени достаточно надёжной экспериментальной аппаратуры.
Прогресс последних лет обусловил также возрастающее значение и другой обратной задачи — задачи определения свойств и параметров многослойных покрытий. Попытки непосредственного решения этой задачи с использованием метода наименьших квадратов не приводили к успеху по той причине, что рассматриваемая задача является некорректно поставленной, большое число параметров приводит к фактической неустойчивости и появлению нефизнческих решений. Успешное решение задачи определения параметров многослойных покрытий требует детального изучения возможных физических причин, вызывающих отклонения получаемых спектральных характеристик от заданных, и построения соответствующей системы моделей многослойного покрытая. Такая система моделей должна адекватно описывать основные причины возможных отклонений, быть гибкой и удобной в использовании, должна учитывать наличие различных типов априорной информации.
В самое последнее время в связи с повышением точности процессов напыления многослойных покрытий актуальной стала задача компенсации случайных оши-
-7-
бок. Конкретные значения случайных ошибок являются уникальными для каждой реализации процесса, поэтому для компенсации таких ошибок необходимо использование методов исследования и реоптимизации многослойных покрытий в режиме реальном времени непосредственно в процессе напыления. Первая попытка практической реализации этой возможности была предпринята в Канаде {ИКС, группа Дж.Добровольского и Б. Салливана) в начале 90-х годов с использованием процесса магиетронного напыления плёнкообразующих материалов. Известным недостатком процесса мягнетронного напыления является его низкая скорость. Кроме этого, многие плёнкообразующие материалы не соответствуют тому уровню однородности и (лабильности напыления, который требовался доя реализации подхода Дж-Добровольского и Б.Салливана. Таким образом, является актуальной и разработка более универсальных методов решения задач распознавания и реюп-■пшичации в режиме реального времени с учётом широкого класса дополнительных факторов, включающих пористость и неоднородность материалов. Решение этой задачи требует детального изучения физических щюцессов. происходящих в процессе напыления н контроля, а также исследования факторов, связанных с переносом покрытия из вакуума во внешнюю атмосферу.
Целью диссертации является разработка методов решения обратных задач синтеза и распознавания, возникающих при проектировании и изготовлении многослойных покрытий, а также детальное исследование наиболее важных доя решения этих задач физических эффектов. Впервые предпринимается попытка решения указанных задач с учётом их тесных взаимных связей. Для достижения этой цели развивается и детально исследуется метод игольчатого синтеза в применении к широкому кругу задач разработки многослойных систем с заранее заданными оптическими свойствами. Кроме этого, разрабатывается методика решения обратных задач типа распознавания, к которых« относится задача определения оптических параметров тонких слове и многослойных покрытий. Целью диссертации является также изучение возхшжности решения задачи определения параметров многослойного покрытия в процессе его изготовления И ВОЗРЯОЖносги его реопти-мнзации для компенсации случайных ошибок в режиме реального времени.
Научная новизна и практическая ценность. В диссертации впервые комплексно рассмотрена вся совокупность обратных задач, возникающих в оптике х« ногослойных покрытий. Выявлены связи различных задач друге другом и непосредственно с процессом изготовления многослойных покрытий.
Центральной задачей является задача проектирования многослойных покрытий, обладающих заданными оптическими свойствами. с>га задача откосится к
- 8 -
классу задач синтеза, к для её решения применен метод игольчатых вариаций, впервые предложенный А.В.Тихонравовым в 1982 году. Для задач синтеза многослойных покрытий автором впервые получены выражения для вторых вариаций целевою функционала, что позволило применить быстросходящиеси алгоритмы минимизации высокого порядка. Кроме этого, автором разработан 1>яд модификаций метода игольчатых вариаций, позволивший кардинально повысить надежность и эффективность метода в целом и впервые применить его для решения широкого круга прикладных задач. Разработаны эффективные приёмы учёта требований наилучшей практической реализуемости, что позволяет существен по повысить практическую значимость результатов решения задач синтеза многослойных оптических покрытий.
К числу новых и практически значимых результатов относится выяснение роли суммарной оптической толщины покрытия как одного из основных параметров, определяющих качество окончательного решения, и в то же время как параметра, от которого косвенным образом зависит сложность получаемого решения (число слоев). Сделанные выводы подтверждаются получением большого числа уникальных по своему качеству решений практических задач. Независимым подтверждением высокой эффективности разработаииых алгоритмов являк/п:я результаты победы в конкурсе по решению задач синтеза многослойных покрытий, проведенного во время подготовки конференции ОЮ’95 (Туссон, Аризона, США).
Детально исследованы задачи синтеза просветляющих покрытий видимого и инфракрасного диапазона, при этом получены результаты, превосходящие все ранее известные аналоги. Разработано обобщение метода игольчатого синтеза, позволяющее решать задачи с металлическими и поглощающими слоями и в случае наклонного падения света на покрытие. Показано, что метод игольчатого синтеза позволяет автоматически выбирать нужные материалы слоев в таких задачах, где необходимо использование более чем двух материалов в покрытии. Получен важный для практического решения задач вывод о том, что при наклонном падении света из оптически плотной среды для успешного решения задач синтеза в большинстве случаев необходимо использование более чем двух материалов с различными показателями преломления, причём близким к оптимальному является использование трёх материалов, выбор которых обоснован в работе.
Впервые разработаны обобщения метода игольчатого синтеза для принципиально новых классов задач, возникших в самые последние годы. При проектировании оптических элементов для работы с сверхкороткими (фемтосекундными} импульсами в число задаваехшх характеристик входят требования, накладываемые
9-
на групповую задержку и/или дисперсию групповой задержки фазы отраженного или прошедшего излучения. Разработан полностью аналитический подход к решению таких задач синтеза, позволивший эффективно решать упомянутые задачи и получать уникальные практически важные результаты.
Для практической) решения задач определения параметров тонких слоев построена серия моделей, позволяющая при минимальном наборе параметров с наибольшей полисной учитывать наиболее существенную информацию» содержащуюся в экспериментальных данных. Это позволяет надёжно определять наиболее существенные параметры тонких слоев на уровне, соответствующем принципиальным возможносгям современной экспериментальной техники.
Впервые детально исследовано влияния различных типов н«юднородностей на спектральные фотометрические и эллиисомстричеекке характеристики, позволяющее делать качественные выводы о типе неоднородности на основе изучения невязок на характерных длинах волн. Впервые введены '‘промежуточные“ волновые (1\№) точки, позволяющие оценивать влияние поверх постной неоднородности (микрошероховатостей) на эллипсометрические измерения. Проведено изучение влияния систематических и случайных ошибок измерений на достоверность получаемых результатов. Эти новые результаты позволяют добиться высокой достоверности результатов при практическом решении задач обработки экспериментальной информации.
Проведена обработка экспериментальных данных по определению свойств плёнок ЗЮ2, ИЮ2>ЬаРз, .^Ь20г„ 2гОг, полученных в ряде наиболее авторитетных в мире лабораторий с: использованием различных измерительных приборов. При этом получены физически обоснованные достоверные результаты, согласующиеся как между собой, так я с данными независимых исследований.
Для практического решения обратной задачи послелроизвсдственного определения параметров многослойных покрытий впервые построена иерархия моделей, позволяющая с наибольшей полнотой при наименьшем числе параметров описывать все существенные эффекты в многослойном покрытии В рамках такой иерархии моделей возможен гибкий учёт априорной информации, что позволяет получать достоверные решения. Эффективность системы моделей продемонстрирована на практической задаче определения параметров пористых НЮ^-ЙОг покрытий.
Впервые разработана методика и алгоритмы для решения задачи определения свойств пористых слабонеоднородных покрытий и реоптимизации в режиме реального времени. Критически важной частью данной задачи является надёжное
-10-
определенис толщин слоёв іп вііи, накопленный опыт позволил выработать систему эвристических критериев, обеспечивающих требуемую надежность методики в реальных условиях. Полученная методика и алгоритмы имеют большое практическое значение для построения систем реоптимизации многослойных покрытий в режиме реального времени.
Основные положения, выносимые на защиту:
1. Получены аналитические выражения рекуррентного типа для вычисления вторых вариаций функционалов в задачах синтеза многослойных покрытий, что позволило впервые применить для их решения методы оптимизации высокого порядка. Детально разработаны вопросы численной реализации метода игольчатого синтеза, в результате чего данный метод счал наиболее эффективным методом решения задач синтеза элементов многослойной оптики.
2. Разработаны эффективные приёмы учёта требований наилучшей практической реализуемости, что позволяет существенно повысить практическую значимость результатов решения задач синтеза многослойных оптических покрытий.
3. Впервые детально исследована роль полной оптической толщины покрытия в достижении заданных спектральных характеристик. Показано, что она является наиболее важным физическим параметром, характеризующим покрытие. Разработан метод последовательной эволюции решения задач синтеза, основанный на осознании определяющей роли полной оптической толщины покрытия.
4. Детально исследованы задачи синтеза просветляющих покрытий видимого и инфракрасного диапазона. Обнаружен эффект группировки слоев просветляющих покрытий в кластеры и дано физическое обоснование этого явления.
5. Изучены особенности решения задач синтеза покрытий с металлическими и поглощающими слоями и в случае наклонного падения света на покрытие. Показано, что метод игольчатого синтеза позволяет автоматически выбирать нужные материалы слоев в таких задачах, где оптимальным является использование более чем двух материалов покрытия. Показано также, что при наклонном падении света из оптически плотной среды для успешного решения задач синтеза необходимо использование более чем двух материалов
-11 -
с различными показателями преломления, причём и большинстве случаев близким к оптимальному является использование трёх материалов, выбор которых обоснован в работе.
6. Разработан полностью аналитический подход к решению задач синтеза покрытий, предназначенных дли работы со сверхкороткими импульсами. Показано, что чнри-зеркала представляют собой комбинацию отражателя и фазового корректора Дано теоретическое обоснование того, что определённый остаточный уровень осцилляций дисперсии групповой задержки неизбежен.
7. Построена физически обоснованная иерархия моделей тонкого диэлектрического слоя, базирующаяся на подробном анализе влияния на его спектральные свойства таких фахторов, как поглощение, неоднородность слоя, дисперсия его оптических параметров. С использованием этой иерархии разработана методика решения обратных задач обработки данных спектральных фотометрических и эллипсометрических измерений.
8. Получено новое приближение для спектральных характеристик диэлектрического слоя со слабой неоднородностью показателя преломления в поперечном сечении. Это приближение точно учитывает сильные интерференционные эффекты на границах слоя и использует борцовское приближение для учёта более слабых эффектов непосредственно в толще слоя. Полученные приближённые формулы позволяют качественно оценивать тип неоднородно-сги на основе анализа невязок между экспериментальными и теоретическими данными. Для обратной задачи спектральной эллипсометрии впервые введены в рассмотрение “промежуточные” волновые (!№') точки, анализ невязок в которых позволяет оценивать влияние поверхностной неоднородности (микрошероховатостей) на эдлипсомстрические данные.
9 При решении широкого круга практических задач получены физически обоснованные данные об оптических параметрах тонких оксидных и фторидных слоев, согласующиеся как между собой, гак и с данными независимых исследований.
10. Впервые построена система моделей для решения обратной задачи определения оптических параметров многослойных покрытий, позволяющая с максимальной полнотой при наименьшем числе параметров описывать наиболее существенные эффекты в многоалойном покрытии. Эффективность системы моделей продемонстрирована на задаче определения параметров пористых
-12-
НЮз Si()2 покрытий, получаемых при помощи электронно-лучевого напыления в вакууме.
И. Построен эффективный алгоритм расчёта спектральных характеристик многослойных покрытий со слабонеоднородными слоями. Произведён анализ влияния слабых неоднородностей на спектральные характеристики некоторых типичных покрытий, позволяющий делать качественные выводы о типе неоднородностей.
12. Разработаны алгоритмы и методика решения задачи определения свойств многослойных покрытий in зііи. Данные методика и алгоритмы позволяют надёжно определять толщины слоев покрытия даже в наиболее трудном случае пористых покрытий, чю позволяет производить реоптимизацию покрытий в режиме реального времени.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Международной конференции по некорректно поставленным задачам в естественных науках (Москва, 1991), на Международном симпозиуме по разработке оптических систем (Берлин, Германия, 1992), на Международном Симпозиуме по оптическим интерференционным покрытиям (Гренобль. Франция, 1994), на конференциях “Оптические интерференционные покрытия’’ (Туссон, Аризона, США, 1995 и 1998. и Банфф, Канада, 2001). на Международной конференции 'Обратные и некорректно поставленные задачи”, посвященной памяти академика А.Н.Тихоновд (Москва. 1996), на .Международной конференции “Разработка оптических систем - 11“ (Глазго, Великобритания, 1996), на Международной конференции "Рассеяние электромагнитных воли и свеча: теория и приложения" (Москва, 1997), на Международном Симпозиуме но оптическим наукам, приложениям и инструментарию (Сан-Диего, Калифорния, США, 1997), на Международной конференции “Новое в оптических интерференционных похрытиях” (Берлин, Германия, 1999), на научно-технической конференции "Технология производства и обработки оптического стекла и материалов”. (Москва, дом Оптики. 2000), на Ломоносовских чтениях 1997,1998, 1999, 2000,2001 годов, на научных семинарах кафедры математики физического факультета МГУ, на научных семинарах проф. А.Г.Свешннкова (Физический факультет МГУ им. M B.Ломоносова), проф. А П.Сухорукова (Физический факультет МГУ им М.В.Ломоносова), проф. В А.Алешкевича (Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова), проф. А.В.Тихонр&вова (Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ им. М.В Ломоносова), проф.
-13-
А.Г.Яголы и А-В-Тихонравова (Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ им. М.В.Ломоносова).
Публикации. Диссертация написана по материалам 51 работы автора, которые указаны в списке литературы.
Научные результаты, наложенные в диссертации, получены автором самостоятельно или r соавторстве с другими сотрудниками физического факультета МГУ, НИВЦ МГУ. научно-исследовательских институтов России, Европы, США и Канады. Автору принадлежат постановка соответствующих задач, формулировка и реализация методов и алгоритмов решения обратных задач, анализ и интерпретация полученных результатов. Из материалов совместных публикаций в диссертации использованы лишь тс результаты, в которых личный вклад автора был определяющим.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы, включающею 188 наименований. Объём диссертации составляет 337 страниц, диссертация содержит 187 рисунков и 21 таблицу.
- 14-
В ведение.
Современное состояние оптики многослойных покрытий и обратные задачи, возникающие в ней
Бурное развитие технологии изготовления многослойных оптических покрытий приводит к тому, что •»дачи, качавшиеся нереальными ещё несколько лет назад, в настоящее время успешно решаются. Это приводит к появлению новых классов оптических приборов, к повышению эффективное!и их работы и к удешевлению процесса производства. В настоящее время вполне реально изготовление оптических неравнотолщинных покрытий с числом слоев в несколько сотен Возникает необходимость разработки методов, позволяющих проектировать такие покрытия, а также добиваться нужной точности при их изготовлении.
Задача проектирования многослойных оптических покрытий, обладающих заранее заданными слектратьными характеристиками, играет центральную роль в оптике многослойных покрытий (Рис. 1). Входной информацией для задачи проектирования оптических покрытий являются спектральные и/или угловые характеристики будущего покрытия, а также оптические свойства материалов, которые можно использовать в покрытии. В результате решения задачи проектирования получается конструкция покрытия, обеспечивающая свойства, достаточно близкие к заданным. В наиболее распространённом случае конструкция описывается толщинами слоён покрытия и последовательностью используемых материалов.
Таким образом, задача проектирования оптических покрытий относится к классу образных задач синтеза. Характерной чертой обратных задач синтеза является то, что для них несущественна единственность решения [1,2|. Более того, если для задачи синтеза имеется широкий набор близких по качеству решений, то возникают дополнительные возможности отбора, например, с точки зрения наилучшей практической реализуемости.
Обратная задача синтеза многослойных оптических покрытий в общем случае оказывается чрезвычайно сложной. Многими исследователями предпринимались попытки решения её для различных частных случаев при помощи аналитических и эмпирических методов. Попытки численного решения задачи синтеза многослойных оптических покрытий начались ещё в 50-х годах с появлением первых ЭВМ Однако до недавнего времени эффективные и универсальные методы её решения, пригодные для широкого класса задач, отсутствовали.
В 1982 году А В Тихонравов предложил |.3| для решения задач синтеза много
15-
г
Фориулмроока Определение параметров К
требований к покрытий ГГ) и к/
синтелирусмому рсоптимилация в режиме Ь^-
ПОфЫИШ реапьного времени
Эксперимент го ' N. | Э*сперимемт по
мзкесе*ыю
одиночных ело** ! У, пробных пофыткй
Эглипсометр*нес*ме И Элпипоометр*гчео<кв и
фотсметрмчеосие фотометоичеосмс
данные данные
Риг. 1. Общая схема связей различных обратных задач многослойной оптики друг с другом и с процессом изготовления многослойных покрытий.
слойных покрытий новый метод» названный методом игольчатых вариаций. Дальнейшее развитие метода игольчатых вариаций позволило превратить ею в гибкий универсальный инструмент решения широчайшего множества задач синтеза многослойных покрытий. В настоящей работе получены выражения рекуррентною тина, позволяющие эффективно и аналитически точно вычислять вторые вариации целевых функционалов, что позволило впервые применить методы оптимизации высокого порядка. Детально проработаны вопросы численной реализации, разработаны эффективные приёмы учёта дополнительных условий практической реализуемости. Рассмотрению упомянутого круга вопросов посвящена большая часть норной главы настоящей диссертации. К|юме этого, в первой главе исследован новый нелокальный метод решения задач синтеза оптических покрытий, названный методом неоднородной оптимизации. Данный метод является хорошим дополнением к метод)' игольчатого синтеза, позволяя в ряде случаев лучше учи-
-16-
тывать требования практической реализуемости при решении ряда актуальных специфических задач многослойной оптики.
Вторая глава посвящена рассмотрению физических особенностей различных классов задач синтеза многослойных оптических покрытий, а также соответствующим модификациям метода игольчатого синтеза. Выяснена роль полной оптической толщины покрытия при решении задач синтеза и разработан новый метод последовательной эволюции, автоматизирующий процесс решения многих задач синтеза Рассмотрен широкий набор задач синтеза широкополосных покрытий различных типов, в отдельные классы выделены задачи, имеющие специфические физические свойства, например, задачи синтеза просветляющих покрытий, задачи с поглощающими и металлическими слоями, задачи для наклонного падения света, задачи с фазовыми характеристиками и задачи синтеза покрытий для работы со сверхкороткими импульсами.
Для решения задачи синтеза оптического покрытия необходимо достаточно точное задание ВХОДНОЙ информации об оптических свойствах материалов, составляющих слои проектируемого покрытия. Хорошо известно, что оптические свойства материалов в значительной степени зависят от используемого процесса напыления, от его параметров и даже от специфических особенностей конкретпой напмлительиой установки. Поэтому важную роль играют предварительные исследования оптических свойств тонких одиночных слоёв {Рис. 1). Входной экспериментальной информацией являются спектральные фотометрические или эллипсометрические данные, измеренные для одиночного слоя на подложке с заранее известными оптическими свойствами. По этим данным требуегся определить оптические свойства тонкого слоя. Такая задача, очевидно, является обратной задачей типа распознавания, и здесь существенным является построение устойчивого единственного решения Детальному рассмотрению обратной задачи исследования оптических параметров тонких слоев па основе спектральных фотометрических измерений и построению устойчивого метода её решения, основанного на анализе физических особенностей рассматриваемой задачи и учёте априорной информации, и посвящена третья глава. Обратная задача исследования физических параметров тонких слоев на основе спектральных эллипсоыстрическнх измерений хотя и близка к предыдущей, но обладает рядом существенных особенностей. Именно поэтому рассмотрение обратной задачи спектральной эллинсометрии выделено в отдельную четвёртую главу.
Изготовленное многослойное покрытие неизбежно отличается от той идеальной конструкции, которая получается в результате решения задачи синтеза. В резуль-
- 17-
татр его спектральные характеристики также отличаются от ожидаемых значений. Таким образом, возникает следующая актуальная обратная задача типа распознавания. состоящая п нахождении причин, вызывающих указанные отклонения, Входной информацией для этой задачи является спектральная фотометрическая информация, выходной — оптические параметры исследуемого многослойного покрытия. к которым относятся систематические и случайные ошибки в толщинах слоев, скорректированные оптические свойства материалов слоев, степени неоднородности слоев и пр. При этом имеется также и априорная информация о параметрах идеального покрытия, изготовление которого являлось конечной целью. Именно благодаря этой информации удаётся построить устойчивые методы решения указанной обратной задачи. Подученная в результате информация позволяет в определённой мере скорректировать процесс изготовления многослойных покрытий путём компенсации систематических ошибок и уточнения исходных данных для задачи синтеза (Рис. 1).
Случайные ошибки можно скомпенсировать только динамически, во время изготовления покрытия, путём ргоптимизацни оставшейся, ещё не напылённой части конструкции. Для этого необходима разработка методики решения специального случая задачи определения параметров многослойных оптических покрытий, когда спектрофотометрнческне измерения производятся в вакуумной камере в процессе напыления покрытия in situ. Устойчивое и надёжное определение оптических параметров уже напылённой части покрытия позволяет применить процедуру реоптимкзацин к оставшейся части, что часто позволяет уменьшить влияние не слишком больших случайных ошибок Исследованию обратных задач определения оптических параметров многослойных покрытий и смежным вопросам посвящена пятая глава диссертации.
Па Рис. 1 представлена схема, на которой показаны логические и информационные связи различных задач с процессом изготовления многослойных оптических покрытий п друг с другом. Все эти задачи отногятся к классу обратных задач синтеза или распознавания. Заметим, что схема на Рис. 1 носит в определённой степени идеализированный харахтер. В реальности процесс изготовления нового оптического покрытия обычно начинается с пробного решения серии задач синтеза с различными требованиями на результирующие характеристики покрытия. Это позволяет оцепить предстоящие затраты, выбрать материалы и процессы напыления, которые будут использоваться в дальнейшем. Затем, при необходимости, производятся эксперименты по нанесению тонких слоев и определению их оптических свойств. С новыми, уточнёнными оптическими параметрами слоев вновь
-18-
решаегся задача синтеза. Иногда производятся также предварительные эксперименты по нанесению пробных простых покрытий, например, четвертьволновых зеркал, с целью определения источников систематических ошибок и процессе изготовления покрытий. После изготовления спроектированного покрытия решатся задача о нахождении его оптических свойств, в результате чего получаются дополнительные данные о систематических и случайных ошибках, позволяющие внести новые уточнённые коррекции. В сложных ситуациях описанная процедура или её части повторяются несколько раз, что позволяет постепенно добиться требуемой точности.
19
Глава 1 Теоретические и вычислительные основы методов синтеза многослойных оптических покрытий
Рассмотрим центральную задачу оптики многослойных покрытий — задачу синтеза многослойных систем с заданными спектральными и/или угловыми свойствами. Исторически эта задача является первой обратной задачей в оптике многослойных покрытий, и попытки ее численного решения начались еще в 50-х годах с появлением первых ЭВМ Однако, чрезвычайно сложный характер обратной задачи, обусловленный сильной нелинейностью прямого оператора и, как следствие, иевыпуклостью и многоэкстремальностыо соответствующей задачи оптимизации, длительное время не позволял развить эффективные и достаточно универсальные алгоритмы, пригодные для широкого круга задач. Этим, а также и большой практической значимостью вызван большой объём работ различных авторов, посвященный данной проблеме. Следует отметить работы |4—7), использующие аналитические методы для различных частых случаев, работы [8-10], предлагающие различные эвристические и приближенные подходы, работы [11 14), основанные на минимизации целевой функции Хорошие обзоры численных методов решения задач синтеза можно найти в [15,16).
В 1982 году А.В.Тихонравовым [3] был впервые предчожеи метод игольчатых вариаций дтя решения задач синтеза многослойных покрытий. Развитие этого метода и применение его к широкому классу задач синтеза показало высокую эффективность данного подхода.
Автор настоящей работы развивает х(етод игольчатых вариаций в применении к самому широкому кругу разнообразных задач многослойной оптики. Примене-
20-
Рис. 1.1. Модель многослойного покрытия, поперечное сечение.
ние методов оптимизации высокого порядка сходимости внутри основного цикла процесса игольчатых вариаций позволило кардинально улучшить свойства метода в целом. Детальная проработка вопросов численной реализации метода игольчатого синтеза сделала его наиболее эффективным инструментом для решения разнообразных задач синтеза многослойной оптики. Предложенные в работе эффективные приемы учёта требований практической реализуемости позволили существенно повысить практическую значимость получаемых результатов.
Результаты настоящей главы опубликованы в работах 117-29).
1.1 Постановка задачи синтеза многослойных оптических покрытий
Рассмотрим среду, комплексный показатель прелохшения п которой зависит только от координаты г. Пусть при г < 0 и при г > гй показатель преломления постоянен. Область, соответствующую г < 0, назовем подложкой, а область г > г0 — внешней средой. Обозначим показатель преломления подложки как п#, а показатель преломления внешней среды как пй (Рис. 1.1). Покрытие, находящееся между плоскостями г = 0 и г ^ задано произвольной кусочно-непрерывной функцией п{г). В общем случае при наличии поглощения и покрытии функция 71(2) является комплекснозначной.
Пусть плоская электрох!агнитная монохроматическая волна циклической ча-
- 21 -
стоты и» (зависимость от времени выберем в виде ехр(го/1)) падает из внешней среды на покрытие под углом 0. В этом случае уравнения Максвелла приводятся к следующим задачам Коши |30):
^ - ікн, ^ = ік \п2(г) - а2) и, 0 < г < гл, (1.1а)
и2 аг 3
«|*=0 = 1, Иж=0 = ^ (1.1Ь)
(1.2а)
лля случая .ч-поляризовашюго света и
^и і Г. а2 1 •# *>/ \ л
г='*1 ;^)Г’ йі=,іп(г)“' »<*<*••
н|х=о = 1, Ч1=© = < (1 -2Ь)
для случая р-иоляризовашюго света. Здесь к = и {с волновое число в вакууме, а = ііі0. Посредством обозначим ж|х1)ективные показатели ирелохі-ления подложки для случаев 5- и /ьноляризации. В общем случае эффективный показатель преломления д для материала, имеющего показатель ирелоглления п, ощхуц'ляется как
■!.
>/п2 - от для 5-поляризации
4"ш і *7гт—2 <и>
• /уг - о2 для р-поляризации.
При злом следует выбирать главную ветвь квадратного корня.
Для любого заданного набора параметров п„п(г),п0, га, 0, к задачи Коши (1.1) или (1.2) позволяют определить амплитудные коэффициенты отражения г‘у и пропускания 1‘*\
,=_________________ г . Ц.»!.... - «к«. (14.
+ гф-г. ’ в.«!*«« + г>|,=**
Здесь и далее обозначение поляризации (■)*•* будем опускать, если выражения для обеих поляризаций аналогичны и при этом не возникает недоразумений
Энергетические коэффициенты пропускания Т и отражения Я определяются посредством соотношений:
й=|г|2' <1л>
Заметим, что все ощжделенные в (1.4) и (1.5) характеристики зависят аг к и
в. как от параметров, входящих в (1.1 )-(1.3)- С использованием (1.1)—(1.5) можно найти и другие характеристики, используемые в оптике слоистых покрытий коэффициенты отражения и пропускания для иеполяризонанного излучения
Т* + Тр ІЇ' + яр
г = ~~, па = —, (1.6)
-22-
коэффнциенты поглощения для произвольного состояния поляризации
Л »1 -П-Т, (1.7)
разнообразные фазовые характеристики, например, фазовый сдвиг между а- и р-поляризованным отраженным светом
Ч?'"* = аде г‘ - адегр.
<1-8)
Уравнения (1.1)—(1.4) и вспомогательные соотношения (1.5)—(1.8) позволяют по заданной кусочно-непрерывной функции п(г) вычислить спектрально-угловые характеристики слоистой системы и, таким образом, описывают прямую задачу. Перейдем к постановке обратной задачи — задачи синтеза многослойных по-
А
крытий. Пусть П*‘*(к, 0) — заданные в качестве требуемых зависимости коэффициентов отражения. Данные зависимости задаются в некоторых спектральном и угловом диапазонах к € (А*„,т, &„***]. О € (0г..»пД«.а*1 В самом общем случае можно рассматривать целевой функционал вида
- = /„,6.‘(М))К'(М)-/ИМ))^Ы0 1пи>‘(к,$)Лк<Ю
. ^{к.0)тк,0) - Щк,0)\2ММ .
)апр(к,в)акм 1 '
где П — некоторая область, принадлежащая прямоугольнику [А;тт,£тах] ® [®тт^тдх{. а ь}**{к,в) — весовые функции. Функционал (19) характеризует бли-
л
зость текущих характеристик Я*4* к требуемым ЯЛ4>. Многоточием в (1.9) обозначены аналогичные по структуре члены, содержащие Т^4* и все остальные характеристики, необходимые в конкретной задаче.
Введем в рассматриваемом прямоугольнике спектральную &ь...,£.г и угловую вх,...,01 сетки. Вместо (1.9) рассмотрим следующий целевой функционал, который можно рассматривать как некоторую конечно-разностную аппроксимацию функционала (1.9):
*н=^Е
/ 2 і 2
1 і ■ Т г . • • 1
(1.10)
Здесь 6Н^ — заранее заданные величины, характеризующие степень возможных отклонений фактических коэффициентов от заданных. Эти величины выполняют в выражении (1.10) ту же роль, что и весовые функции в выражении (1.9),
23-
Л, "и
Подложка пг і і і і і і і і і і і пі і 1 Г — 1 1 Внешнаа среда пй
►
і ■ і і і і і і і і і і
го-0 ^ ^лм
Рис. 1.2. Модель МНОГОСЛОЙНОЮ двухкомпоіійптного покрытия.
позволяя управлять весом отдельных точек по отношению к остальным. Суммирование в (1.10) проводится по введенным спектральной и угловой сеткам, М -общее количество слагаемых в (110). Выражение (1 10) удобно тем, что величина >/ф характеризует среднеквадратичное уклонение текущих характеристик но итношеншо к заданным.
В весьма общем случае задача синтеза многослойных систем может быть сформулирована в виде:
"осг(2) = а^1п1Ф(п), (1.11)
п(*)«ЛГ
где Л'’ — множество, определяемое физическими и технологическими ограничениями, накладываемыми на вид функции п(х). При этом коэффициенты преломления подложки п, и внешней среды на фиксированы, а толщина системы г*, вообще говоря, не фиксирована.
На практике наиболее часто используются покрытия, состоящие из двух чередующихся материалов. Если задать порядок следования материалов и число слоев зУ, то условие п(г) є У в (1.11) означает принадлежность множеству кусочно-постоянных функций, попеременно принимающих два значення тц и пл на N полуинтервалах г б (з/-і,гу], г =. 1,...,ДГ (см. Рис. 1.2). Такая многослойная система может быть однозначно описана вектором толщин X = {<(,• = г, - г^_ьі —
1,.... ЛГ}. Таким образом, функционал Ф превращается в функцию N переменных, и задача синтеза может бы ть переформулирована в виде:
Хот = аг8ЫФ(Х!, (1.12)
хср
где V множество, задаваемое физическими (условие неотрицательное™) и тех-
-24-
кологнческими ограничениями на толщины слоев.
Отметим своеобразный дуализм: задача синтеза многослойных покрытий может рассматриваться как задача оптимальною управления (1.11) с функционалом. заданным на правом конце траектории (задача Майера), и одновременно как задача поиска минимума (вообще говоря, глобального) функции многих переменных (1.12). В рамках второго подхода размерность пространства параметров N заранее не известна и также выбирается в процессе решения.
Попытки применять второй подход начались еще в 50-х годах (11), но в силу того, что Ф’|Х] является невыпуклой и многоэкстремалыюй функцией .V переменных, не удается построить эффективный метод, позволяющий решать сложные задачи. Для типичных задач уже при числе слоев более 10-15 число локальных минимумов целевой функции Ф[Х] столь велико, что для нахождения глобального минимума на достаточно широкой области изменения толщин необходимо использование суперкомпьютеров. Для иллюстрации сказанного на Рис. 1.3 показан рельеф целевой функции 20-ти слойного отражателя с 90% уровнем для диапазона 400-700 нм в зависимости от толщин седьмого и восьмого слоев. Эта картина качественно не меняется, если выбрать любую другую пару слоев. Заметим, что данная задача является достаточно простой, как будет ясно из последующего материала
Если рассматривать диэлектрические покрытия (*(г) = 1тп(г) = 0), то. как показано А.В.Тихонравовыы |3,31|, для достаточно широкого класса задач синтеза многослойных покрытий справедлив принцип максимума. Его следствием является то, что если пт, < п(г) < пн при 0 < г < г„, то оптимальное решение нужно искать в классе кусочно-постоянных функций, принимающих предельные значения пі и пи. Таким образом, часто оправдан поиск оптимальных решений на множестве двухкомпонентных слоистых покрытий, причем среди возможных пар материалов следует выбирать ту, которая обеспечивает максимальное отношение Пд/пв-
1.2 Вариационные методы в задачах синтеза многослойных оптических покрытий
Целью настоящего параграфа является построение в общем виде способов вычисления первых и вторых вариаций целевого функционала задачи синтеза многослойных покрытий при вариациях показателя преломления покрытия различных видов. Одним из важных частных случаев являются такие вариации профиля но-
-25-
Рис. 1.3. Рельеф целевой функции для '20-слойного 90% отражателя в диапазоне 400-700нм в завнеимосги от толщин 7-го и 8-го слове.
казателя преломления, которые можно интерпретировать как вариации толщин слоев соответствующей многослойной оптической системы. Рассмотрение данного частного случая позволяет получить быстрые и аналитически точные методы вычисления градиепта и матрицы вторых производных по толщинам слоев покрытия н задаче синтеза (1.12). Другой важный частный случай относится к игольчатым вариациям профиля показателя преломления покрытия, ^го вариации конечной высоты, но малой ширины; именно ширина вариации является малым параметром. С физической точки зрении такая вариация соответствует введению в покрытие нового слоя с известным показателем преломления с бесконечно малой толщиной. Важным свойством игольчатых вариаций является то, что они позволяют вводить новые интерференционные эффекты в оптическое покрытие даже в таких ситуациях, когда возможности обычной оптимизации уже исчерпаны, то есть тогда, когда оптимизация привела вектор толщин оптического покрытия в точку локального минимума.
Методика вычисления вариаций функционалов в задачах оптимальною управления хорошо известна (см., например 132]), однако рассматриваемая задача обладает определенной спецификой (комплекснозначность фазовых переменных), кро-
-26-
ме того, для реализации алгоритмов необходимы вычислительные формулы (1 Э| для различных частных случаев.
Для того, чтобы сделать выкладки более компактными, удобно рассмотреть следующую задачу оптимального управления. Пусть имеется задача Коши:
Здесь правая часть и решение дифференциального уравнения (1.13а) являются комплекснозначными ^-мерными вектор-функциями (х,{ (Е С*), функция п(г) управляющая функция, выбор которой определяет решение задачи Коши (1.13), а следовательно, и выходные характеристики управляемой системы.
На правом конце г = га на решении системы (1.13) определен вещественно-значный целевой функционал:
Для простоты изложения предположим, что все необходимые по ходу выкладок требования гладкости правой части (1.13а) и функционала (1.14) выполнены, легко проверить, что задача синтеза многослойных покрытий (1.1)—(1.5), (1.10) таким требованиям заведомо удовлетворяет.
Как было отмечено в § 1.1, наибольший интерес с практической точки зрения представляет рассмотрение целевого функционала, заданного на пространстве толщин слоёв. Легко видеть, что малые изменения этих параметров можно рассматривать как игольчатые вариации (см. |3|) управляющей функции п(г). Таким образом, нас интересуют специфические вариации управляющей функции. Задача состоит втом, чтобы получить достаточно эффективный алгоритм вычисления соответствующих им первых и вторых вариаций целевого функционала, который сделал бы реальным практическое применение методов оптимизации второго порядка к рассматриваемым задачам. С этой целью используем приём Дубовкцкого-Милютина |33]. позволяющий свести рассмотрение игольчатых вариаций к анализу влияния малых в норме пространства С вариаций управляющей функции, а также аппарат матричных сопряженных функций. Введем новую независимую переменную г, связанную с г преобразованием:
— в/(*,п(г)), 0<2<г„,
(1.13а)
(І.ІЗЬ)
Ф = Ф[х(*,)].
(1-М)
(1.15)
где р(т) — неотрицательная функция, такая, что
27 -
После замены переменных система уравнений (1.13а) преобразуется к виду:
/<*(«),«(<)), 0< *<*,,, (1-16)
(U
а начальное условие (1.14) перейдет в начальное условие в точке t = 0:
*1.-0 = *«*> ■ (1.17)
Функционал (1.14) примет форму ф[:г(<„)]. Далее для использования приёма Дубовнцкого-Милютина рассмотрим данный функционал на множестве функций р(<), считая функцию п(г) фиксированной. Получим общие выражения для первой и второй вариаций функционала Ф при малых в норме пространства вариациях функции p{t).
Пусть
Ps{t) = p(t)+6v(t), (1.18)
где 1] — некоторая ограниченная функция, а 6 — малый параметр Вариации функции p{t) соответствует изменение решения Дя(<) задачи (1.13). В результате целевой функционал получит приращение
\ (0Ф . . 0Ф . Л
+
дф = фыо] - фмо] = Ё (||д*;+
+Щм1Ах>*:г''+ + •
Здесь т?у и* — вещественные и .иннмые части координат комплексного вектора х. Введем комплексный вектор Фг с координатами
.. _ дФ яф
( щ '
и две комплексные матрицы ф£г и порядка к с элементами
„ с^Ф 02Ф . / (ЯФ а*Ф \
" ді'рх\ + д^дх? +і [дх^ " дх)дхч) ’
ш и а **. - -£*. + ,■ (1*- + _£*Л
1 **ы дх^дхі дх*дх? [щдхї щд$)
Заметим, что матрица Ф*Г — эрмитова, а матрица Ф*г — симметрическая. Приращение функционала Ф представляется в виде
ДФ = Ііе(Ф„Дх(*в))+
+ \ К* [(Ф*,Д*(«Д Д*(«.)) + <Ф^А*‘(«а), Дх(«а))] +о(||Дх||*).
28-
Введем комплексную вектор-функцию Ф(4) и две комплексные матричные функции 0(0 и 2(0. определенные на отрезке I € [0,<а]. Потребуем, чтобы эти функции удовлетворяли следующим граничным условиям:
щи) = -Фх, эцл) = -ф^, зиа) = . (1.20)
Тогда приращение целевого функционала с учётом условия Ая1(=0 можно зависать в виде:
ДФ = -11с J £ Дх} + ^(0Дя,Д*) + ^(2Дх\Дх)^ Л +о(||Дх||2). (121)
Перед тем, как производить преобразования подынтегрального выражения в (121), выпишем уравнение для функции Дя, удерживая в правой части члены до второго порядка малости по 6 включительно. В координатной форме записи оно имеет вид:
к * <122) + 2 51 дх'дх, ^£}Ах( + *4 Ь + о0*2)» * = 1, ,Л •
Рассмотрим первое скалярное произведение в (1.21), продифференцируем его и, используя уравнение (1.22), получим
Л /<М' \
- <Ф. Дя> = Дяу + р <*, ЛДя) + 6ч (Ф, /} +
л / * Л2 / \ (1 ’23)
+ *, (*. /,Д*> + Ц*. £ + „(6*).
Если функция Ф(1) определяется как решение сопряженной задачи
= 0 < / < #в, Ф(/в) = -Фг, (1.24)
то первые два слагаемых в (1.23) исчезают. Здесь и далее (-)+ означает операцию эрмитова сопряжения, а (-)г — операцию транспонирования.
Введём в рассмотрение комплекснозначную функцию Гамильтона
Н( Ф1я,п) = <Ф,/). (1.26)
После несложных преобразований выражение (1.23) принимает вид:
-£{Ф, Дя) = 6чИ + **(♦, /аДя) + £ №,Дя‘, Дя) + о{6>). (1.26)
аг I
-29-
П реобразу ем производную по f от второго скалярного произведения (1.21). С учётом (1.22) имеем
Ш <ЄЛ*.М = ((* + рЄ/. + р/в+в) Ах, Ах) + (127)
+ *Ч ((0/, Ах) + (вДг, /)) + о{Р).
Требуя обращения в нуль норного слагаемого в выражении (1.27), получаем следующую задачу для матричной функции 0(/):
+ /;©). О < 1 < ґ„ , ©(«а) = -*«• (128)
Как легко видеть, задача (1.28) инвариантна относительно операции эрмитова сопряжения, следовательно, её решение является эрмитовой матрицей.
В результате (1 /27) упрощается и приводится к виду:
^ (8Дх, Ах) = 26т,ІЬ(вї, Ьх) + о{62) • (1-29)
Аналогично преобразуется производная по I третьего скалярного произведения п (1.21). Определяя матричную функцию Н(С) как решение задачи
Л
получаем
^ = -р(Н/; + Д+Е + 2Я«), О <t<ta, 5«.в) = -ф*„( (1.30)
| (ЕАх\Ах) = 2$ijRe(S/*, Ах) - 2рЩхгАх ,Ах) + о(^). (1.31)
Так как матрица HTJ и начальное условие (1.30) задаются симметрическими матрицами, решение Е(() также является симметрической матрицей.
Подставляя (1 26), (1.29) и (1.31) в (1.21). папу чаем искомое выражение для приращения целевого функционала. Выпишем по отдельности выражения для его первой и второй вариации. Первая вариация определяется линейным по 6 членом в правой часіи преобразованного выражения (1.21) и имеет вид
<5Ф = -6Re J r^t)H{<t,x, п) dt. ( 1.32)
Вторая вариация записывается в виде (очевидно, что Да: имеет тот же порядок малости, что и 6):
бЧ = -6Ъе£ vit) </+Ф +10/ +1 SA Ах) dt. (1.33)
-30-
Для дальнейшего удобно исключить из (1.33) приращение Дх. Пусть git) = //Ф + 0//2 + Е/*/2, а У(0 матрица фундаментальной системы решений сопряженной задачи (1.24). С учётом условия Дх(0) = 0 скалярное произведение в (1.33) можно представить в виде:
{g(t), Д®(*)> = jf j~{Y(т)У1 (%(<), Дх(т)) Лт.
Дифференцируя под знаком интеграла, получаем:
(.9(e), МО) = S f v(T)(Y(T)Y-l(t)9(thf(T))dT + 0(6) .
J о
В результате выражение для второй вариации приобретает следующий окончат тельный вид:
62Ф = -62 Re Г i)(t) dt fv(T)(Y(r)Y-l(t)9(t),f(T))dr. (1.34)
Jo Jo
Рассмотрим случай системы, состоящей из Дг однородных слоев с заранее заданными коэффициентами преломления nj (Рис. 1.2). Обозначим через Zj координаты границ раздела слоев, причем zq = 0 соответствует границе между подложкой и первым слоем, a Zs = z* — границе раздела между многослойной системой и внешней средой. Функционал является при этом функцией N переменных — ТОЛЩИН слоев dj = Zj - Zj-\.
Получим сначала выражения для первых производных целевой функции по толщинам слоев. Зададим функции p(t) и тj(l) следующим образом:
Г 1, ie|o,*)Ufo + i,*. + i],
\о, I € (Z),Zj + 1), f?(<) = 1 - p(t)t t € (0,-f 1].
В результате замены переменной (1.15) целевая функция Ф[Ф <i,vJ перейдет в Ф(р(<))- В (116) имеем п(1) = п(г) при t < Zj, n(< + 1) = n(z) при f > zy Значение функционала Ф[р{*)] не меняется при изменении п(<) на тех участках, где p(t) = 0. Поэтому при t <= + 1) функцию п(<) можно задать произволь-
но. Положим n(<) = nj на указанном интервале. Как легко проверить, при этом приращение функционала Ф[р(<) + <М*)] - Ф(/,(0] будет совпадать с приращением целевой функции Ф[ф,...,ф\г] при изменении толщины у-го слоя на 6 (для этого достаточно сделать обратную замену переменной). В соответствии с (1 32) для первой вариации целевой функции получаем выражение:
<5Ф = -O'Re Г+ ff(*,z,nj)dt. (1.35)
-31 -
Заметим, что функции 'If и х не зависят от переменной t на тех участках, где = 0. Следовательно, функция Гамильтона постоянна на интервале (zj,Zj -f 1). Поэтому из (1.35) получаем:
Щ = - Re Я(Ф(2>),x[zj),nj), 3 = 1,..., N. (1.36)
Как и следовало ожидать, это выражение совпадает с результатами (30,34).
Далее удобно считать, что в (136) сделана обратная зах<ена переменной t на г (она, очевидно, не изменяет внешнего вида (136)) и функция х(:) является решением системы (1.13). Функция 'I'(z) является при этом решением сопряженной задачи:
- = -/+*, 0 <*<*., Ф(*)«-#,. (1.37)
Перейдем к выводу выражений для вторых производных целевой функции. Рассмотрим два слоя многослойной системы с порядковыми номерами j н 1,1 > j. Зададим функции p(l) и r)(t) равенствами
Pit)
-{і
t € [0,*d Uto + 1 .* + 1] № + 2, z„ + 2],
*6(zj,*j + l)U(* + b4+2), o, t € [0, Zj) U fo + 1, z, + 1] U l*J + 2, + 2],
V(t) = fjj t € (zj.Zj + 1),
Hi t € (zj + l,zj Ч- 2)
и в (1.16) положим n(t) = n, при t € (Zj, Zj + 1) и n[t) = n< при t € (zj + l,Zj + 2).
В результате приращение функционала Ф(р(<) ■+■ «5*7(4)} — Ф(/>(<)] будет совпадать с
приращением целевой функции при изменении толщин j-го и I-го слоев на «5*7^ и Sift соответственно. Выражение для второй вариации целевой функции получается из (1.34). После обратной замени переменной оно принимает вид:
#ф = - 5М R£(g(Zi)tf(Zi)) - €£ Ке(з(*),/Ы>- {ш)
-*VftRe(Y(zj)Y-i(zl)g(zl),f(zJ)),
где Y(s) матрица фундаментальной системы решений уравнения (1.37), a g(z) определяется выражением
fl(z) = /;* + e//2 + E/72, (1.39)
в котором матрицы 6 и Е есть решения матричных сопряжённых задач:
~ = -(в/. + /+в), 0 < z < z0 , e(za) = -Ф5,, (1.40)
^ = -(Н/; + /г-Е + 2Я„), 0 <z<ze, Е(г0) = -Ф^. (1.41)