1
Оглавление
Введение 3
1 Уравнения состояния, вириальное разложение и параметры
акустического возмущения 12
1.1 Уравнения состояния, связь микроскопических и макроскопических параметров среды......................................12
1.2 Уравнение адиабаты и адиабатической скорости звука для произвольных уравнений состояния ...............................21
2 Уравнение Хохлова - Заболотской с квадратично-кубической
нелинейностью и вычисление третьего вириального коэффициента 31
2.1 Вывод уравнения Хохлова - Заболотской - Кузнецова с комбинированной квадратично - кубической нелинейностью............33
2.2 Амплитуды гармоник решения уравнения ХЗК с комбинированной нелинейностью.........................................38
2.3 Вычисление значения нелинейного параметра и третьего вири-ального коэффициента для воды................................66
3 Исследование влияния взаимодействия пространственных мод
2
на нелинейную динамику звуковых пучков 76
3.1 Взаимодействие мод в одномерной задаче с вязкостью и теплопроводностью .................................................79
3.2 Нелинейная динамика звуковых пучков, взаимодействующих с тепловой модой ...............................................86
3.3 Модифицированное уравнение Хохлова - Заболотской: аналитическое решение..............................................91
Заключение 103
Библиографический список использованной литературы
105
3
Введение
Характер распространения звуковых пучков определяется балансом между механизмами нелинейности, дифракции и поглощения. При рассмотрении задач нелинейной акустики обычно используют хорошо известные модельные уравнения второго порядка, описывающие медленные изменения профиля волны вследствие квадратичной нелинейности. Это уравнение Бюргерса. обобщенное уравнение Бюргерса, уравнение Хохлова - Заболотской (ХЗ), уравнение Хохлова - Заболотской - Кузнецова (ХЗК) (см. например, [1, 2, 3)). В 90-х годах стали появляться работы, учитывающие кубическую нелинейность для стандартных модальных уравнений. В [-1] отмечено, что в модельных уравнениях, содержащих члены второго порядка относительно малого амплитудного параметра ц, погрешность правой нелинейной части уравнения 0{рР). Решение модельных уравнений имеет равномерную погрешность порядка 0(ц2) на масштабах времени //• 1. Поэтому использовать подобные решения при изучении средних величин звукового поля следует осторожно. В 14] уравнения третьего порядка применяются для прямого вычисления средних но времени величин звукового поля, в основном внимание уделяется радиационному давлению. Рассмотрение проводится для идеального газа. Для плоских волн анализ основан на модифицированном уравнении Бюргерса. В работе не ставится задача учета эффектов дифракции и нелинейной рефракции, приводящих к самофокусировке и самодефокуеировке. В (5] проведены расчеты плотности акустической энергии, плотности потока акустической энергии (интенсивность звука) и тензора напряжений акустического излуче-
•1
ния с учетом слагаемых третьего и четвертого порядка малости. Показано, что в диапазоне амплитуд, соответствующих используемому ультразвуковому медицинскому оборудованию, отношение вкладов третьего и четвертого порядка по отношению ко второму около 1%.
Экспериментальное изучение распространения звуковых пучков высокой интенсивности от плоского излучателя рассмотрено в [6. 7, 8), в том числе с учетом размеров приемника [9]. В работе (6) представлены экспериментальные результаты для пяти гармоник и проводится сравнение с результатами численного анализа, рассматривающего в качестве модельного уравнения уравнение ХЗК. Теория иредсказываег более низкий уровень для компонент высших гармоник, чем наблюдается в эксперименте. Авторы работы [6J полагают, что отличие возникает из-за того, что в теоретической модели эффекты вязкости и теплопроводности учитываются только п линейном приближении. Возникновение акустических течений (acoustic streaming) наблюдаемых в эксперименте, в работе не рассматривалось. Кубические слагаемые и слагаемые более высокого порядка в уравнениях не учитывались, но авторы отмечают, что учет их может быть сделан. В работе приводится коэффициент перед слагаемым, соответствующим кубической нелинейности. К сожалению, в указанной работе не сообщается, как проводился вывод уравнения, учитывающего слагаемые старших порядков. Следующая работа этих авторов [10J посвящена высшим порядкам нелинейности при распространении ультразвукового пучка. Рассматривается диссипативная среда с кубической нелинейностью. Авторы используют потенциал скорости, то есть изначала считают движение потенциальным. Это противоречит тому факту, что непосредственное вычисление ротора скорости с учетом слагаемых порядка у/2 показывает, что он отличен от нуля. К такому результату приводит, например, прямой расчет-ротора, проведенный в (И]. Численный анализ, проведенный в (10), показал,
5
что с увеличением уровня значений давления на источнике и увеличением шага, влияние кубического слагаемого становится заметным, особенно в фокальной плоскости. Эти слагаемые ведут к увеличению амплитуды, причем, чем больше номер гармоники, тем больше относительное увеличение.
Успехи ультразвуковой диагностики в медицине и создание ультразвуковых аппаратов, разрушающих камни в почках и желчном пузыре, возобновили интерес к задачам, описывающим эффекты в сфокусированных звуковых пучках 112]. Впервые теоретический анализ нелинейных эффектов в сфокусированных звуковых пучках был сделан в (13]. В 80 - 90-х годах появилось большое количество работ, посвященных этому вопросу. Можно отметить также работу ]14], рассматривающую линейное распространение пульсирующего звукового пучка от плоского и сфокусированною источника. Работа [15] рассматривает модельное уравнение и граничные условия для высокочастотных. сильно искривленных излучателей с вышкой интенсивностью. Приведено численное решение для сильно искривленною сфокусированного источника [16], основанное на методике, рассмотренной в предыдущей работе этих авторов [17]. Построено описание распространения звуковых пучков в жидкости с использованием сплющенной у полюсов сферической системы координат. Все эти работы рассматривают уравнения, учитывающие квадратичную нелинейность. Фокусировка в этом случае происходит из-за кривизны излучателя. Экспериментальное и численное исследование образования ударных волн в пост фокальной области от сфокусированного источника представлено » [18].
Имеется ряд практических задач: задача распространения импульсов звукового удара от сверхзвуковых самолетов, взрывных волн в атмосфере и океане, непрерывного акустического излучения мощного источника звука, которые вызывают интерес к исследованиям по интенсивным волнам в неоднород-
а
ных средах (19], в том числе в стратифицированных средах [20, 21, 22, 23]. Большой интерес вызывают и работы, посвященные распространению волн, имеющих особенность типа "разрыв"(слабая ударная волна) |24, 25, 26). В частности, в (26) найдено автомодельное решение уравнения Хохлова - Заболотской в виде ударной волны. В работе представлены аналитические аргументы существования стационарных по форме, но с изменяющимся пиковым значением, решений уравнения ХЗ. Автор утверждает, что именно нелинейность (без влияния дифракции) определяет существование автомодельных решений. Наряду с гладким участком профиля нелинейность формирует ударные фронты, которые "запираютпи "держат"гладкий кусок квазистаци-онарного профиля. Роль дифракции проявляется в совместном с нелинейностью формировании характерного вида гладкой части квазнстационарного профиля. Квазистационарныс решения нелинейных бездисиереионных уравнений играют такую же существенную роль, как солитонные решения нелинейных уравнений с дисперсией, но механизм их образования и существования различный.
Начиная с 70-х годов для поиска аналитических решений уравнений ХЗ и ХЗК применялись методы нелинейной геометрической акустики для высокочастотных источников [2]. Применяемый подход к решениям позволял описывать эволюцию акустического возмущения вплоть до фокальной области. Однако, в околофокальной области решения теряло смысл из-за возникновения в формулах сингулярности.
Наряду с методами нелинейной геометрической акустики, в оптике развито и успешно применяется параксиальное приближение, которое дает хорошие результаты в нелинейной оптике и лазерной физике при описании явления самофокусировки светового пучка. Успешное применение параксиального подхода связано с рассмотрением узкополосных квазигармонических сиг-
7
налов и, следовательно, с возможностью независимого выделения амплитуды и эйконала [2]. Однако особенности поведения акустических пучков приводят к тому, что при использовании параксиального приближения в задачах нелинейной акустики накладываются серьезные ограничения на область применимости полученных результатов. Получаемые решения достаточно хороню описывают поведение сигнала вблизи оси пучка, но только на малых расстояниях от излучателя. Это, прежде всего, связано с тем, что акустический сигнал нельзя рассматривать как квазигармонический и при нахождении полного поля акустического давления его приходится раскладывать в ряд по малому параметру. Учет поправок старшего порядка приводит к заведомо некорректным результатам, что в итоге не позволяет в рамках указанного подхода описать наиболее интересную область, в которой происходит фокусировка звукового пучка конечной амплитуды. Впервые параксиальный подход в акустике с учетом всех оговоренных выше ограничений был применен в [27].
Недавно [28, 29, 30] был предложен аналитический метод для описания пучка в параксиальной области, который позволяет корректно описать особенности поведения акустического сигнала в фокальной плоскости, основанный на введении фазовой функции и независимом разложении в ряды, как палевой переменной, так и эйконала. Кроме того, в работе [31] построены численные решения уравнения ХЗ, которые демонстрируют особенности поведения решений в том числе и в околофокальной области. Дополнение метода нелинейной геометрической акустики параксиальным приближением, которое позволяет учесть дифракционные эффекты, создает хорошую основу для изучения фокусировки интенсивных акустических пучков. Интерес к таким решениям определяется большим числом технологических и медицинских приложений.
8
В 1966 году был предсказан эффект самофокусировки для интенсивных акустических пучков [32]. В работе проведены оценки возможности самофокусировки звукового пучка вследствие нагрева среды. Тепловая самофокусировка квазигармонических звуковых волн проанализирована с использованием аналогии с оптической тепловой самофокусировкой [33]. Мощная звуковая волна при распространении из синусоидальной превращается в пилообразную. при этом поглощение волны становится чисто нелинейным и не зависит от вязкости и теплопроводности. В |34] детально исследован процесс самофокусировки с учетом нелинейного поглощения, отмечается необходимость учета самовоздействия. Как отмечают авторы, аналогия с оптической самофокусировкой не всегда верна. Так при оптической самофокусировке при уменьшении коэффициента линейного поглощения эффект тепловой самофокусировки ослабляется и, когда коэффициент линейного поглощения стремится к нулю, исчезает вовсе. Интенсивные акустические ванны при распространении испытывают сильное нелинейное искажение, образуются разрывы. При этом происходит эффективная нелинейная диссипация энергии волны (даже при малом коэффициенте поглощения), среда нагревается, нагрев начинает влиять на распространяющуюся волну (проявляется тепловое самовоздействие). Эффект самофокусировки - наглядный пример самовоздействия волновых пучков. Для учета этого эффекта необходимо рассматривать волновые пучки в средах с кубической нелинейностью (35). В средах с сильной дисперсией применяют кубическое уравнение Шредингера [2, 36). В средах без дисперсии обычно используется уравнение ХЗК. В [35] рассматривается уравнение с отличающимся от традиционного типом нелинейности - присутствует кубическая, но отсутствует квадратичная нелинейность. Показано, что в таких средах формируются, трапецевидные пилообразные волны, самовоздействие которых сопровождается нелинейной диссипацией энергии на ударных фрон-
- Київ+380960830922