СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.........................................................7
ГЛАВА 1. Скольжение дислокации в полях внутренних напряжений
кристалла под действием внешней нагрузки........................17
Введение...................................................17
1.1. Модель дислокации, скользящей под действием случайного внешнего напряжения...................................17
1.2. Модели внешней случайной силы.........................20
1.2.1. Случайная сила - “телеграфный” процесс............21
1.2.2. Случайная сила - обобщенный “телеграфный” процесс..22
1.2.3. Случайная сила - “прямоугольный” импульсный процесс фиксированной длительности и случайной амплитуды 23
1.2.4. Случайная сила - “экспоненциальная пила”..........24
1.3. Безинерционное пространственно - однородное движение дислокационного сегмента под действием случайной внешней силы..................................................25
1.3.1. Уравнение движения................................25
1.3.2. Вероятностные характеристики установившегося движения дислокации в параболическом внутреннем рельефе кристаллической решетки...........................31
1.3.3. Зависимость динамики дислокации от степени коррелироваииости случайного внешнего воздействия 33
1.3.4. Зависимость между внешним напряжением и дислокационной деформацией...............................35
1.3.5. Внутреннее трение.................................37
1.4. Безинерционное пространственно - неоднородное движение дислокационного сегмента под действием случайной внешней силы..................................................44
2
1.4.1. Уравнение движения.................................44
1.4.2. Внутреннее трение..................................47
1.4.3. Зависимость декремента затухания от вида распределения дислокационных сегментов по длинам........................49
1.5.Выводы............ :.....................................53
Приложение 1. Вид и корреляционные характеристики
используемых случайных процессов.............................57
Приложение 2. Безразмерная форма исходного уравнения
движения дислокации ........................................59
Приложение 3. Ограничения на функцию Ч*......................61
Приложение 4. Вычисление средних значений величин и и и2 ...64
Приложение 5. Суммирование ряда Р............................67
Рисунки к главе 1............................................69
ГЛАВА 2. Дислокационное внутреннее трение при случайных
внешних воздействиях разного типа................................73
Введение.....................................................73
2.1. Уравнение движения дислокационного сегмента с закрепленными концами........................................74
2.1.1. Зависимость декремента затухания от корреляционных характеристик внешней силы................................76
2.1.2. Декремент затухания для случайных сил разного типа...78
2.1.2.1. Декремент для случайной силы типа “телеграфного’*
процесса.................................................78
2.1.2.2 Декремент для случайной силы типа обобщенного “телеграфного” процесса..................................79
2.1.2.3. Декремент для случайной силы типа “прямоугольного” импульсного процесса фиксированной длительности и случайной амплитуды......................................80
3
2.1.2.4. Декремент для внешней силы типа “экспоненциальной пилы” 80
2.1.3. Анализ результатов................................81
2.1.3.1. Сучайная сила - “телеграфный” процесс..........81
2.1.3.2. Сучайная сила-“экспоненциальная пила“...........87
2.1.3.3. Сучайная сила -“прямоугольный“ импульс..........90
2.1.4. Влияние инерции на движение дислокационного сегмента.........................................96
2.1.4.1. “Телеграфный” процесс..........................97
2.1.4.2. “Экспоненциальная” пила.........................97
2.1.4.3. “Прямоугольный” импульс........................98
2.2. Уравнение движения дислокационного сегмента со свободными концами. Условия пренебрежения закреплением концов сегмента........................................99
2.2.1. “Телеграфный” процесс............................100
2.2.2. Обобщенный “телеграфный” процесс.................101
2.2.3. “Экспоненциальная пила”..........................101
2.2.4. “Прямоугольный импульс”..........................102
2.3.Вывод ы.............................................. 102
Рисунки к главе 2..........................................105
ГЛАВА 3. Дислокационное внутреннее трение при одновременном действии на дислокацию периодической, постоянной и случайной
внешних СИЛ....................................................1 16
Введение...................................................116
3.1. Уравнение движения дислокационного сегмента с закрепленными концами мри одновременном действии на дислокацию периодической, постоянной и случайной внешних сил.:......................................................117
4
3.2 Движение дислокации в линейном поле внутренних напряжений кристалла под действием периодической внешней силы.......................................................118
3.3. Внутреннее трение при одновременном действии на дислокацию периодической, постоянной и случайной внешних сил...................................................122
3.3.1. “Телеграфный” процесс............................124
3.3.2.Обобщенный “телеграфный” процесс..................125
3.3.3. “Экспоненциальная пила”..........................126
3.3.4. “Прямоугольный” импульсный процесс фиксированной длительности и случайной.амплитуды......................126
3.4. Обсуждение результатов................................127
3.4.1. Случайная компонента внешней силы - “телеграфный”
процесс.................................................127
3.4.2 Случайная компонента внешней силы -
“экспоненциальная пила”................................132
3.4.3. Случайная компонента внешней силы-“прямоугольный “импульсный процесс фиксированной длительности и случайной амплитуды.....................................133
3.5. Выводы................................................134
Рисунки к главе 3..........................................136
ГЛАВА 4. Параметрическое возбуждение дислокации, находящейся в
упругом поле атмосферы точечных дефектов.......................156
Введение...................................................156
.* 4.1. Уравнение движения дислокации.......................157
4.2. Анализ решений уравнения движения дислокации..........160
4.3. Анализ условия потери устойчивости дислокации, возбуждаемой атмосферой точечных дефектов.............167
4.4. Выводы................................................173
5
ГЛАВА 5. Нелинейные колебания дислокации в полях
внутренних напряжений...................................175
Введение................................................175
5.1. Стохастические колебания в детерминированной системе "дислокация - точечные дефекты."....................177
5.1.1. Уравнение движения.............................177
5.1.2. Стохастические автоколебания...................183
5.2. Возбуждение периодической внешней силой нелинейных колебаний дислокации в поле внутренних напряжений кристалла......................................... 187
5.2.1. Уравнение движения дислокации..................187
5.2.2. Нелинейные колебательные режимы................190
5.2.3. Дислокационная петля в кубической потенциальной яме...................................................197
5.3. Выводы.............................................201
ЗАКЛЮЧЕНИЕ..................................................204
ЛИТЕРАТУРА..................................................208
6
ВВЕДЕНИЕ.
По мере развития техники расширяется диапазон условий эксплуатации механических свойств кристаллических материалов. Все большую актуальность приобретают исследования поведения материалов в условиях облучения и вибраций. Поэтому проблема диагностики и управления механическими свойствами материалов при комплексных нагрузках остается существенной при решении практических задач разработки и создания энергетических установок (в том числе ядерных).
Многие физико-механические свойства реальных кристаллов невозможно объяснить без учета роли дефектов кристаллической решетки, особенно дислокаций. Подвижность дислокаций определяет такие важные механические свойства кристалла, как пластичность и прочность, исследование которых особенно актуально в настоящее время в связи с необходимостью разработки новых видов конструкционных материалов. Взаимодействие дислокаций с системой точечных дефектов приводит к ряду практически важных явлений (упрочнение и разупрочнение, охрупчивание, распухание), сильно изменяющих эксплуатационные свойства конструкционных материалов. Сложность взаимного поведения дислокаций и точечных дефектов при их взаимодействии друг с другом определяет многообразие физико-механических явлений, наблюдаемых в реальных кристаллах. Выяснение деталей и особенностей взаимодействия “дислокация - точечный дефект” может служить основой создания моделей процессов, происходящих при участии указанных структурных дефектов.
Движение дислокаций под действием внешних напряжений происходит в нелинейных потенциальных полях внутренних
7
напряжений, которые могут быть обусловлены различными причинами: периодическим рельефом самой кристаллической решетки (рельеф Пайерлса-Набарро) и/или другими дефектами кристаллической решетки разных типов (точечными, линейными и т.д.). Внешние напряжения могут быть постоянными или переменными во времени. По своей природе переменные внешние напряжения весьма разнообразны как по происхождению, так и по своему характеру (гармонические, импульсные, случайные и т. д.), форме и частоте изменения. Переменные внешние напряжения возбуждают вынужденные колебания дислокации различной амплитуды. В случае малой, амплитуда колебаний хорошим приближением оказывается линейный силовой закон взаимодействия «дислокация-барьер». Если амплитуда вынужденных колебаний достаточно велика, силовой закон взаимодействия в системе «дислокация-барьер» может быть уже нелинейной функцией положения дислокации.
Воздействие гармонических внешних нагрузок на дислокацию и связанные с таким типом воздействия возможности исследования динамических свойств и внутренней микроструктуры кристаллов изучены довольно подробно [1-14]. Для таких нагрузок детально разработан метод получения информации о характере дислокационного поглощения энергии кристаллом и его дислокационной структуре (метод внутреннего трения) [10-12]. Метод внутреннего трения заключается в исследовании поглощения энергии акустических волн, обусловленного движением дислокаций. Разработан ряд моделей, объясняющих эксперименты по внутреннему трению [1,5, 6].
Однако, гармонические нагрузки не исчерпывают всего возможного спектра внешних воздействий на материал. В ряде
8
практически важных случаев дислокационная структура кристалла подвергается воздействию именно случайных сил (радиационное облучение, вибрации различной термомеханической природы). Например, в процессе радиационных воздействий на кристалл в нем может образовываться случайный поток упругих импульсов на дислокацию. Случайные потоки формируют переменную во времени силу, действующую на дислокацию. Отклик системы «дислокация-барьер» на воздействие случайных сил будет зависеть как от свойств системы, так и от статистических характеристик результирующей силы, в том числе от ее корреляционной функции. Если случайная сила представляет собой дельта-коррелированный случайный процесс гауссовского типа, то ее воздействие на механическую систему (в том числе на систему «дислокация-барьер») может быть описано в рамках приближения уравнения Эйнштейна - Фоккера [15-17]. Ситуация меняется, если свойство дельта-коррелированности нарушается. В этом случае приближение Эйнштейна - Фоккера некорректно, поведение системы существенным образом зависит от корреляционных свойств случайного внешнего воздействия. Это обстоятельство позволяет использовать дислокационное поглощение энергии случайных акустических волн как дополнительный источник информации о дислокационной структуре кристалла. По сути дела, случайное внешнее воздействие с заранее заданными корреляционными свойствами может быть использовано в экспериментах по внутреннему трению. Необходимо также отметить, что небольшая случайная составляющая внешнего периодического напряжения (вибрационная подгрузка) может неявно реализовываться в эксперименте и даже существенно влиять на его результаты [18].
Воздействие постоянных во времени внешних нагрузок на дислокационную систему кристалла также может приводить к
9
нетривиальному динамическому поведению [19,20]. Характерным примером может служить движение дислокационного сегмента в рельефе Пайерлса-Набарро. Движения подобного типа являются существенно нелинейными, что чрезвычайно затрудняет его анализ. Экспериментальное изучение - нелинейных динамических эффектов при движении дислокаций в настоящее время осложнено недостаточной теоретической проработкой этой темы. Поэтому важной задачей является разработка методов теоретического описания нелинейных колебаний в задачах динамики дислокаций. Эго обуславливает актуальность теоретического исследования динамического поведения системы «дислокация - барьер» иод действием случайных внешних напряжений различного типа и разработки теоретических подходов к исследованию существенно нелинейного динамического поведения системы «дислокация -барьер».
При исследовании дислокационного поглощения акустических упругих волн широко используется модель дислокации как упругой струны, колеблющейся в потенциальном поле внутренних напряжений под действием распределенной внешней силы. Если силовое взаимодействие в системе “дислокация-барьер“ линейно, то процесс колебаний струны описывается известным линейным уравнением гиперболического типа [10]. Б случае нелинейного силового поля приходится иметь дело с нелинейным гиперболическим уравнением.
Если внешнее напряжение является случайным процессом, то и смещение дислокации, определяемое решением уравнения колебаний, также является случайным процессом.
В линейном случае за счет представления решения в виде ряда Фурье удается показать, что декремент затухания определяется корреляционной функцией внешнего напряжения [21,22].
10
Следоватнльно, именно корреляционные свойства случайного внешнего напряжения определяют поведение дислокационной системы.
Нелинейный случай существенно сложнее. Аналитически здесь можно разобраться, лишь пренебрегая инерциальными эффектами и рассматривая пространственно-однородные движения дислокации. Но и в этом случае можно обнаружить зависимость поведения дислокации от корреляционных свойств внешнего напряжения [23]. Попытки учесть инерционные свойства дислокации, колеблющейся в нелинейном потенциальном рельефе, оказались безуспешными в силу-невозможности применения аналитических методов. Более того, задача описания нелинейного движения дислокации далека от своего решения даже в случае периодического внешнего воздействия. Некоторый прогресс в этой проблеме может быть достигнут' за счет перехода от описания движения дислокации на языке дифференциальных уравнений к методам теории дифференцируемых динамических систем [24 - 25] Когда говорят, что математической моделью дислокационного вижения служит динамическая система, то предполагается, что движение дислокации рассматривается как движение точки в фазовом пространстве динамической системы, порождаемой уравнением движения дислокации. Точка в фазовом пространстве полностью задает мгновенное состояние дислокации, т.е. ее профиль (форму) и распределение скоростей ее точек. Описание движения с позиций динамических систем является геометрическим в том смысле, что рассматривается семейство (поток) траекторий в фазовом пространстве - геометрическое представление эволюции дислокации во времени.
Внешние неслучайные переменные нагрузки могут возбуждать движения дислокации, обладающие признаками стохастичности.
11
Возможность возбуждения таких движений основана на нелинейном характере полей внутренних напряжений. Термин «стохастические движения» в отношении детерминированной системы означает следующее. В фазовом пространстве такой системы имеется семейство траекторий, заполняющих ограниченный объем и обладающих сильной неустойчивостью по начальным данным. В результате траектории из этого семейства вынуждены перепутываться. Поведение во времени, соответствующих таким движениям величин (например, значение координаты какой-либо точки дислокации) будет обладать многими признаками реализации случайного процесса [25-26]. Остановимся кратко на структуре.исследования.
В первой главе диссертации дана математическая постановка задачи о движении дислокационного сегмента в упругом поле внутренних напряжений иод действием случайной переменной внешней нагрузки. Рассматриваются внешние нагрузки следующих типов: случайные, постоянные и периодические. В качестве процессов, моделирующих внешнее случайное напряжение, используются телеграфный процесс, обобщенный телеграфный процесс, прямоугольный импульсный процесс фиксированной длительности и случайной амплитуды, импульсный случайный процесс с экспоненциальной формой импульса («экспоненциальная пила»). Для случайной внешней нагрузки рассматривается задача получения уравнений для вероятностных характеристик движения дислокации в поле внутренних напряжений. Такие уравнения получены в приближении отсутствия инерциальных эффектов для дислокационного сегмента со свободными концами, возбуждаемого случайной телеграфной силой. Полученные уравнения аналитически решены в предположении стационарности движения дислокации. Проведен анализ вероятностных характеристик установившегося
12
движения дислокации в параболическом внутреннем рельефе кристалла. Показана существенная зависимость динамики дислокации от степени коррелированности случайного внешнего воздействия. Рассмотрены особенности внутреннего трения, обусловленные случайным характером внешней силы для случая свободных и закрепленных концов. Проанализировано влияние вида распределения дислокационных сегментов по длинам на декремент затухания. Проведено сравнение поведения декремента затухания для гармонической и случайной внешних нагрузок.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию амплитудно -независимого дислокационного поглощения (внутреннего трения) при совместном действии на дислокацию случайной и постоянной внешних сил. Рассмотрены случайные воздействия разного типа, учтены инерционные свойства дислокации и влияние внутреннего (параболического) потенциального рельефа кристалла. Для дислокационного сегмента со свободными и закрепленными концами получены формулы для декремента затухания при случайных внешних напряжениях разных типов. Полученные выражения являются точными во всем частотном диапазоне в рамках выбранной модели движения. Проанализированы зависимости внутреннего трения от степени коррелированности случайного воздействия, параметров дислокации и среды, соотношения амплитуд случайной и статической на1рузок. Получены условия пренебрежения инерционными свойствами дислокации при расчете декремента. Показано, что эти условия связаны с радиусом корреляции случайной силы. Получены условия влияния на декремент закрепления концов дислокационного сегмента.
В третьей главе диссертации рассматривается дислокационное внутренне трение, обусловленное совместным действием
13
гармонической, постоянной и случайной внешних сил, действующих на дислокационный сегмент с закрепленными концами. С учетом инерционных свойств дислокации для разного типа случайных сил получены формулы для декремента затухания колебаний дислокационного сегмента, -движущегося во внутреннем поле кристалла. Проанализирован вклад в декремент каждой из компонент внешней силы. Показано, что при определенных условиях наличие даже мало амплитудной (по сравнению с периодической) случайной силы принципиально изменяет поведение декремента. Вклад в декремент случайной силы становится доминирующим.
В четвертой главе диссертации рассматривается параметрическое возбуждение дислокационного сегмента атмосферой точечных дефектов, колеблющихся под действием случайной внешней силы телеграфного типа. Показано, что случайный поток импульсов, действующий на атмосферу точечных дефектов и распространяющийся перпендикулярно плоскости скольжения дислокации, может при определенных условиях возбуждать систему “дислокация - атмосфера точечных дефектов'’ и приводить к ее развалу. Получены условия параметрического возбуждения, которые соответствуют условиям потери устойчивости положения дислокационного сегмента в глубине потенциальной ямы, сформированной точечными дефектами.
Таким образом, потеря устойчивости происходит за счет подкачки энергии через атмосферу, а не за счет непосредственного воздействия внешнего напряжения на дислокацию.
Параметрическое возбуждение можно рассматривать как один из возможных механизмов преодоления дислокациями локальных препятствий (разупрочнения), не связанный с действием температурного фактора.
14
В пятой главе диссертации рассматриваются динамические эффекты, возникающие из-за нелинейного характера силового взаимодействия “дислокация - барьер” при действии постоянных и периодических внешних нагрузок. Исследованы следующие задачи.
1. Надбарьерное вязкое движение дислокации, взаимодействующей с подвижными точечными дефектами, находящимися в периодическом потенциальном внутреннем рельефе, при действии на систему “дислокация - точечные дефекты” постоянной внешней нагрузки. Скользящая дислокация увлекает за собой ансамбль точечных дефектов.
Показано, что при определенных условиях внешняя постоянная нагрузка может возбуждать устойчивые стохастические автоколебания в детерминированной системе «дислокация - точечные дефекты». В фазовом пространстве системы указанным сложным движениям соответствует аттрактор Лоренца.
2. Колебания под действием периодической внешней нагрузки дислокационного сегмента в нелинейном упругом поле, сформированном системой жестко закрепленных точечных дефектов.
Показано существование у дислокации множества устойчивых колебательных режимов (динамически равновесных состояний - ДРС), обусловленных непараболичностью полей внутренних напряжений. Число возникающих под действием периодической силы ДРС определяется нелинейным потенциалом взаимодействия “дислокация - барьер”, величиной вязкости и видом периодического внешнего напряжения. В каждом таком колебательном режиме из-за нелинейного характера потенциала устанавливается равновесие между подводом энергии за счет периодической силы и диссипации энергии за счет вязкого торможения. Энергия ДРС является промежуточной по
15
отношению к высоте активационного барьера между устойчивым и неустойчивым положением дислокации.
В заключении диссертации сформулированы основные результаты работы.
Все встречающиеся в тексте значения физических величин приведены в системе СГС.
16
ГЛАВА 1. СКОЛЬЖЕНИЕ ДИСЛОКАЦИИ В ПОЛЯХ ВНУТРЕННИХ НАПРЯЖЕНИЙ КРИСТАЛЛА ПОД ДЕЙСТВИЕМ ВНЕШНЕЙ НАГРУЗКИ.
Введение.
Основной проблемой при описании движения дислокационного сегмента в упругих полях внутренних напряжений под действием случайной во времени внешней нагрузки является формулировка замкнутой системы уравнений относительно вероятностных характеристик движения. При этом, некоторые классические величины, используемые для описании протекающих процессов, например, дислокационная деформация, декремент затухания, должны быть заново определены с учетом случайного характера движения дислокации. Указанные проблемы несколько упрощаются при описании установившегося движения дислокации, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. Именно этот случаи рассматривается в настоящей главе.
1.1. Модель дислокации, скользящей под действием случайного внешнего напряжения.
Динамическое поведение дислокации в поле внешних нагрузок рассматривается в рамках модели упругой струны, впервые предложенной Келлером [27]. В этой модели дислокация является колеблющейся струной с некоторым постоянным линейным натяжением, определяемым линейной энергией дислокации. Подвижность струны ограничивается постоянно действующими силами торможения, возникающими из-за взаимодействия дислокации с фононной и электронной подсистемами кристалла [28 - 29].
17
Механизмы такого торможения разнообразны, однако в данном исследовании предполагается, что основным источником торможения дислокаций являются диссипативные процессы в фононной подсистеме, которые приводят к вязкому трению, пропорциональному скорости дислокации.
Движение дислокаций происходит в полях внутренних напряжений, которые обусловлены различными причинами:
периодическим рельефом самой кристаллической решетки (рельеф Пайерлса-Набарро), дефектами решетки различных типов (точечными, линейными и • пр.), примесями и т.д. Поэтому для корректного описания динамики дислокации в модели струны необходимо учесть силы, действующие на дислокацию со стороны поля внутренних напряжений. С учетом выше сказанного, смещение u(x,t) дислокации от положения равновесия в точке х в момент времени t описывается дифференциальным уравнением следующего вида:
m ТТ = То Й- ■xtr ï + bG(x- u)+ bf0F(t) + bÇ(t). (1.1 ) dt dx ot
Ось x параллельна равновесному положению дислокации мри отсутствии внешних напряжений; ось и перпендикулярна оси х и лежит в плоскости скольжения, foF(t) - внешнее детерминированное сдвиговое напряжение (f0 - его амплитуда); Ç(t) - внешнее случайное сдвиговое напряжение, G(x,u) - поле внутренних напряжений кристалла; Ь - длина вектора Бюргерса дислокации.
Левая часть уравнения (1.1) описывает инерциальные свойства дислокации, m - эффективная масса единицы длины дислокации.
18
Т0—--восстанавливающая упругая сила на единицу длины дх~
дислокации, Т0 - эффективное линейное натяжение дислокации. Слагаемое А,1г — характеризует затухание колебаний дислокации, Х,г
- коэффициент вязкости на единицу длины дислокации.
ЬС(х,и) - поле внутренних напряжений, действующее на единицу длины дислокации. Остальные слагаемые правой части уравнения (1.1) определяют, соответственно, внешнюю детерминированную и случайную силы, действующие на единицу длины дислокации. Постоянные Т0 и т определяются известными выражениями [10]
У 'У —1
т « яр • Ь ; Т0 «20Ь~ *[тг(1 - ур)] , где С - модуль сдвига, \-Р -
коэффициент Пуассона, р - плотность материала.
Решения уравнения (1.1) зависят от граничных условий. Везде ниже рассматриваются граничные условия 1-го и 2-го рода:
и(0) = 0; и(Ь) = 0 ; 0<х<Ь. (1.2)
—(0) = 0; ^‘(Ь) = 0; 0<х<Ь. (1.3)
ах ах
Условия (1.2) соответствуют дислокационному сегменту длины Ь с закрепленными концами, а условия (1.3) - дислокационному сегменту длины Л со свободными концами.
Традиционно рассматриваются следующие упрощения модели (1.1):
• Пренебрежение инерциальными эффектами. В этом случае пренебрегают слагаемым, содержащим вторую производную по времени (после перехода к соответствующей безразмерной записи уравнения(1.1)).
19
- Київ+380960830922