Введение..........................................................................4
Глава 1. Методика управления хаосом и ее применение для подавления автомодуляции в автогенераторе с кубичной нелинейностью и запаздыванием.........................12
1.1. Модель автогенератора е кубичной нелинейностью и запаздыванием............12
1.2. Метод управления хаосом...................................................18
1.3. Анализ упрощенной модели в виде точечного отображения.....................20
1.4. Результаты численного моделирования.......................................24
1.5. Подавление режимов развитого хаоса и управляемая мультистабильность 34
1.6. Сопоставление с известными методами управления хаосом в системах с запаздыванием...............................................................37
1.7. Выводы....................................................................43
Глава 2. Подавление автомодуляции в двухрезонаторном клистроне-генераторе с запаздыванием.....................................................................46
2.1. Модель генератора и основные уравнения....................................46
2.2. Упрощенная модель в виде точечного отображения............................51
2.3. Результаты численного моделирования.......................................60
2.3.1. Динамика системы в центре зоны генерации..............................60
2.3.2. Динамика системы при отстройке от центра зоны генерации...............64
2.4. Выводы....................................................................69
і
Глава 3. Применение методики управления хаосом для улучшения характеристик усилителей и генераторов на основе лампы бегущей волны............................71
3.1. Основные уравнения нестационарной нелинейной теории ЛБВ...................71
3.2. Численное моделирование подавления автомодуляции в ЛБВ-генераторе 78
3.3. Применение дополнительной обратной связи для подавления пульсаций коэффициента усиления ЛБВ, вызванных отражениями от границ.............1....85
3.4. Выводы....................................................................88
Глава 4. Подавление неустойчивостей в кольцевом резонаторе, содержащем среду с кубичной фазовой нелинейностью (система Икеды)....................................90
4.1. Модель и основные уравнения...............................................90
4.2. Упрощенная модель в виде точечного отображения...........................і..........................93
4.2.1. Вывод модифицированного отображения Икеды.............................93
4.2.2. Анализ характеристического уравнения..................................94
4.2.3. Приближение низкодобротного резонатора................................99
4.2.4. Результаты численного моделирования..................................102
4.3. Распределенная пространственно-временная модель кольцевого резонатора... 108
2
4.3.1. Динамика пространственно-временной модели системы Икеды.............108
4.3.2. Подавление автомодуляции в случае слабой дисперсии..................114
4.3.3. Подавление автомодуляции в случае сильной дисперсии.................118
4.4. Выводы..................................................................121
Заключение.....................................................................123
Приложение 1. Конечно-разностная схема численного моделирования ЛГ>В-1чгнератора
с запаздыванием................................................................126
Приложение 2. Конечно-разностные схемы численного моделирования кольцевого
нелинейного резонатора.........................................................130
Список литературы..............................................................133
ВВЕДЕНИЕ
Введение
Актуальность темы диссертации. В последние годы большое внимание исследователей привлекает проблема управления хаосом. Впервые этот термин был введен в работе [1], где был предложен метод стабилизации неустойчивых периодических орбит системы с хаотической динамикой путем малых контролирующих воздействий, что позволяет реализовать устойчивое периодическое поведение в той области параметров, где в отсутствие управления динамика является хаотической. В настоящее время управление хаосом превратилось в активно развивающееся направление нелинейной динамики, и этой проблеме посвящено множество работ, включая монографии и обзоры (см., например, [2-5]). Среди многочисленных методов управления хаосом наибольшую популярность приобрел метод Пирагаса или так называемая автосинхронизация запаздывающей обратной связью [6]. Суть этого метода состоит во введении дополнительной обратной связи (ОС) с временем задержки, примерно равным периоду движения, которое желательно стабилизировать. Основным достоинством метода Пирагаса является его конструктивная простота. Работоспособность этого метода была подтверждена многочисленными экспериментами. В частности, в литературе описывается его применение в лазерах, газоразрядных трубках, при стабилизации турбулентности в течении Тейлора-Куэтта, в электрохимических реакциях, для управления ферромагнитным резонансом, а также в биологических системах, например, для подавления сердечной аритмии (см. обзор [7] и цитированную там литературу). Однако метод Пирагаса не лишен ряда недостатков, основным из которых является низкая эффективность в случае стабилизации движения с достаточно малым периодом. В дальнейшем этот метод изучался и совершенствовался во многих работах (см. обзор [7]).
Следует отметить, что сравнительно мало изучено управление хаосом,в распределенных автоколебательных системах (обзор некоторых исследований можно найти в [8]). В частности, практически не охваченными являются системы с запаздывающей обратной связью (ОС), которые играют важную роль в самых разных областях физики, таких как радиофизика и электроника [9,10], нелинейная оптика [11,12], физика и техника ускорителей [13], физика атмосферы [14,15], а также в моделях биологии [16], медицины [17], экономики, экологии и социальных наук [18]. Хорошо известно, что подобные системы способны демонстрировать сложное, в том числе, хаотическое поведение [9,19,20]. Хотя задача управления хаосом в системах с запаздыванием рассматривалась ранее в нескольких работах [21-23], следует отмстить, что эти работы носят в основном математический характер. Они игнорируют специфические особенности слож-
Введение
ной динамики систем с запаздыванием, а возможность практического применения предложенных в них методов для управления хаосом в реальных радиофизических системах вызывает вопросы. Кроме того, отметим, что основное внимание в работах [21-23] уделялось вопросам стабилизации неустойчивых неподвижных точек. Эта задача важна для ряда приложений, в частности, для обработки информации с помощью нейронных сетей, однако для радиофизики представляет существенно меньший интерес, чем задача о стабилизации высокочастотных периодических колебаний.
В работе [24] была предложена модификация метода Пирагаса для систем с запаздыванием. В этом случае необходимо правильно подбирать точки ввода и вывода сигнала из цепи ОС, поскольку на достаточно высоких частотах запаздывание сигнала при прохождении между этими точками может быть достаточно существенным. Метод был реализован экспериментально для электрооптичсской системы с полупроводнико-
9
вым лазерным диодом в качестве активного элемента и позволил стабилизировать периодические колебания тока в цепи ОС с частотой порядка 100 МГц.
Среди автоколебательных систем с запаздыванием особую роль играют приборы вакуумной сверхвысокочастотной (СВЧ) электроники, в частности, генераторы на основе таких широко распространенных приборов, как пролетные клистроны и лампы бегущей волны (ЛБВ). Хотя режимы сложной динамики в подобных системах изучаются уже много лет, вопросы управления хаосом в них практически не рассматривались. Можно упомянуть лишь работу [25] (см. также обзор [26]), где был предложен метод подавления автомодуляции в лампе обратной волны. Метод основан на модуляции тока электронного пучка иродетектированным выходным сигналом, поступающим на модулирующий электрод по цени внешней обратной связи со специально подЬбранным временем запаздывания. В отличие от метода Пирагаса, время задержки в данном случае определяется не периодом неустойчивого движения, а периодом автомодуляции, который существенно больше. Эго облегчает стабилизацию СВЧ колебаний.
В целом вопросы управления хаосом в радиофизических системах с запаздыванием, в особенности — в приборах микроволновой электроники, изучены сравнительно мало. Представляется весьма актуальным предложить методы управления хаосом в подобных системах, что позволило бы решить практически важную задачу подавления различных паразитных неустойчивостей, приводящих к возникновению автомодуляции, т.е. многочастотных или хаотических режимов генерации. За счет этого можно было бы расширить диапазон параметров, в котором генерируются устойчивые режимы одночастотных колебаний, а также повысить выходную мощность и КПД генерации в одночастотном режиме.
5
Введение
Целью диссертационной работы является разработка эффективного способа подавления автомодуляции в радиофизических распределенных автоколебательных системах с запаздывающей ОС на основе методики управления хаосом, позволяющего расширить диапазон устойчивости одночастотных режимов и повысить выходную мощность генерации.
Объект, методы и предмет исследования. Объектом исследования являются радиофизические распределенные системы с запаздывающей обратной связью. Конкретно рассматриваются кольцевая автоколебательная система типа «усилитель-фильтр-линия задержки» с кубичной нелинейностью, модели автогенераторов СВЧ диапазона на основе двухрезонаторного клистрона и ЛБВ, а также кольцевой оптический резонатор, содержащий среду с кубичной фазовой нелинейностью (система Ике-ды). Данные системы исследуются аналитическими и численными методами. Разработаны упрощенные модели в виде точечных отображений, для которых получены аналитические формулы, определяющие границы устойчивости стационарных режимов колебаний. Болес сложные модели, описывающиеся дифференциальными уравнениями с запаздыванием или уравнениями в частных производных с граничными условиями, содержащими запаздывание, исследуются путем компьютерного моделирования.
Основные положения, выносимые на защиту
1. Включение в автоколебательную систему с запаздыванием дополнительной цепи
обратной связи (ОС), параметры которой подбираются таким образом, что после
»
прохождения двух ветвей цепи ОС компоненты сигналов на основной частоте имеют одинаковую фазу, а компоненты сигналов на паразитных частотах — противоположную, позволяет подавить режимы автомодуляции, включая хаотические со сплошным спектром, и стабилизировать одночастотные колебания в широком диапазоне управляющих параметров.
2. Применение разработанной методики управления хаосом посредством дополнительной обратной связи является наиболее эффективным в случае, когда параметр у, имеющий смысл произведения времени запаздывания на ширину полосы пропускания системы, достаточно велик (у>3). При этом наибольшее повышение порога автомодуляции наблЕОдается, когда параметр к, определяющий отношение ам-
р
плитуд сигналов в управляющей и основной цепях ОС принимает значения к ~ 0.3-г 0.4.
3. В клистроис-гснераторе введение дополнительной цени запаздывающей ОС позволяет в 1.8-2 раза повысить ток пучка, при котором возникает авгомодуляция, при неизменной глубине ОС. При этом в центре зоны генерации максимально достижи-
I
6
Введение
мая выходная мощность увеличивается болсс чем в 1.5 раза, а КПД снижается в 1.25 раза по сравнению с генератором с одной цепью ОС. При отстройке фазы управляющей ОС примерно на тг от значения, соответствующего центру зоны генерации, мощность увеличивается болсс чем в 3 раза.
4. В генераторе на основе лампы бегущей волны введспие дополнительной цени запаздывающей ОС позволяет повысить ток пучка, при котором возникает автомодуляция, примерно в два раза при неизменной глубине ОС. При стабилизации режима генерации основной собственной моды максимально достижимая выходная мощность увеличивается в 1.88 раза, а КПД снижается в 1.25 раза по сравнению с генератором с одной цепью ОС. При стабилизации режимов генерации собственных мод с более высокими частотами выходная мощность может быть увеличена в 3.8 раза, а КПД — в 1.64 раза.
I
Научная новизна. В диссертации предложен новый метод подавления неустойчивостей в распределенных автоколебательных системах с запаздыванием, основанный 11а введении дополнительной цепи запаздывающей обратной связи. Метод существенно отличается от известных конструктивной простотой и применимостью для широкого класса сисгем различных диапазонов длин волн, включая микроволновый и оптиче-
I
ский. Впервые изучено применение разработанного метода для подавления автомодуляции, включая хаотические режимы со сплошным систром, в различных радиофизических системах с запаздыванием: генератор с кубичной нелинейностью, генераторы на основе двухрезонаторного пролетного клистрона и лампы бегущей волны, кольцевой оптический резонатор, содержащий среду с кубичной фазовой нелинейностью. Выяв-лены оптимальные параметры, при которых применение метода обеспечивает наибольшее увеличение выходной мощности и, в ряде случаев, КПД в режиме одночастотной генерации по сравнению с традиционными конструкциями, содержащими единственную цепь обратной связи.
Практическая значимость. В диссертации рассматриваются автоколебательные системы с запаздыванием, которые находят широкое практическое применение, в частности, для генерации электромагнитных колебаний различных диапазонов длин волн. Развитие разного рода неустойчивостей в таких системах приводит к возникновению автомодуляции, что ограничивает мощность генерации. Предложенный в диссертации метод подавления автомодуляции позволяет улучшить ряд важных для практики характеристик: значительно (в 2-3 раза) увеличить диапазон управляющих параметров, в котором реализуются устойчивые режимы одночастотной генерации, существенно
7
Введение
повысить выходную мощность и, в ряде случаев, КПД генерации. Интерес для ряда приложений представляет обнаруженная возможность переключения между режимами генерации различных собственных мод при варьировании фазы управляющей ОС. Также показана возможность использования дополнительной внешней ОС для подавления пульсаций частотной зависимости коэффициента усиления ЛБВ-усилителя, возникающих за счет отражений.
Результаты диссертации использовались в Саратовском госуниверситете при выполнении НИР, поддержанных грантами РФФИ (№№ 05-02-16931, 06-02-16773, 09-02-00707) и аналитической ведомственной целевой программы «Развитие научного потенциала высшей школы» (№ 2.1.1/1738).
Результаты диссертации также используются в учебном процессе на Факультете нелинейных процессов СГУ при чтении лекционного курса «Современные проблемы физики открытых нелинейных систем».
Личный вклад соискатели. Все основные результаты, включенные в диссертацию, получены лично соискателем. Соискателем написаны все программы компьютерного моделирования, проведены численные эксперименты, выполнен теоретический анализ упрощенных моделей. Обсуждение и интерпретация результатов осуществлялись совместно с научным руководителем.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием широко апробированных и хорошо зарекомендовавших себя методов численного моделирования, соответствием результатов теоретического анализа и численного моделирования, совпадением результатов, полученных с помощью различных численных методов, воспроизведением в качест ве тестовых расчетов достоверных общепризнанных результатов, известных из литературы.
Апробации и публикации. Результаты диссертации неоднократно докладывались на ежегодных школах-конференциях «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (2006-2008), I-IV конференциях молодых ученых «Наноэлектроника, нанофотоника и нелинейная физика» (Саратов, 2006-2009), 13-й Международной школе-конференции «Foundations & Advances in Nonlinear Science» (Минск, Ьеларусь, 2006), Международных школах для студентов и молодых ученых по оптике, лазерной физике и биофизике Saratov Fall Meeting (Саратов, 2006-2008), XIII и XIV Зимних школах-ссминарах по электронике СВЧ и радиофизике (Саратов, 2006, 2009), VII Международной школе «Хаотические автоколебания и образование структур» (Саратов, 2007), Международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения» (Саратов, 2008), Международной школе-семинаре «Статистическая физика и
8
J
Введение
информационные технологии» 8(ас1пГо-2009 (Саратов, 2009). Результаты также обсуждались на объединенных научных семинарах кафедры нелинейной физики и кафедры электроники, колебаний и волн СГУ и на научном семинаре Саратовского филиала ИРЭ РАН. По материалам диссертации опубликовано 18 работ [105-122], включая 5 статей в журналах, входящих в Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание учёной степени доктора и кандидата наук, 4 статьи в других изданиях, 9 тезисов докладов.
Структура к объем работы. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения, двух приложений и списка литературы. Работа содержит 141 страницу текста, включая 48 рисунков и графиков, 2 таблицы и список литературы из 122 наименований.
Краткое содержание работы. Во Введении обоснована актуальность темы диссертации, указаны ее цели, научная новизна, практическая значимость и сформулированы положения, выносимые на защиту.
В первой главе предлагается метод управления хаосом при помощи дополнительной ОС и демонстрируется его применение для подавления автомодуляции на примере обобщенной модели кольцевого автогенератора «усилитсль-фильгр-линия задержки» с кубичной нелинейностью. В п. 1.1 рассматривается модель автогенератора, приводятся известные из литературы основные результаты анализа условий самовозбуждения и возникновения автомодуляции. В п. 1.2 описываеггся метод управления хаосом, основанный на введении дополнительной цепи ОС. 11оказано, каким образом следует выбирать параметры управляющей ОС, чтобы добиться подавления авгомоду-ляцин. В п. 1.3 развита упрошенная модель генератора в виде четырехмерного точечного отображения. Получены аналитические выражения для г раниц области о^ночастот-ной генерации, которые позволяют оценить работоспособность метода. Показано, что мощность генерации может быть повышена в 1.33 раза но сравнению с системой с одной цепью ОС. В п. 1.4 анализируется болсс строгая модель генератора, описывающаяся дифференциальным уравнением с запаздыванием. Представлены результаты численного моделирования, которые показывают, что имеется возможность подавления автомодуляционных режимов, включая хаотические, в широком диапазоне параметров. Обнаружено, что применение метода наиболее эффективно, когда в полосу пропускания системы попадает большое число собственных мод генератора. В этом пределе численные результаты хорошо согласуются с аналитическими результатами, полученными в п. 1.3 для модели в виде точечного отображения. Также показано, что метод устойчив к небольшой расстройке параметров управляющей ОС. В п. 1.5 рассматривается
9
Введение
возможность подавления режимов гиперхаоса, возникающих в окрестности границ зон генерации, где происходит слияние аттракторов, сформировавшихся на базе двух различных собственных мод. Показано, что подбором параметров управляющей цепи ОС можно стабилизировать периодические колебания на базе как одной, так и другой моды, т.с. осуществить управляемую мультистабильность. В п. 1.6. проводится сравнение предлагаемого метода с другими методами управления хаосом в системах с запаздыванием, подтверждающее оригинальность метода и наличие ряда преимуществ перед известными ранее.
Во второй главе рассматривается подавление автомодуляции в автогенераторе СВЧ диапазона на основе двухрезонаторного пролетного клистрона с помощью метода, предложенного в гл. 1. В п. 2.1 приводятся основные уравнения, описывающие динамику генератора. По аналогии с гл. 1, в п. 2.2 анализируется упрощенная модель на основе точечного отображения, проводится оценка возможностей увеличения мощности. В п. 2.3 приводятся результаты численного моделирования для системы дифференциальных уравнений с запаздыванием. Показано, что в центре зоны генерации значение тока пучка, при котором возникает автомодуляция, может быть повышено примерно в 2 раза, при этом мощность генерации увеличивается в 1.5 раза, а КПД несколько уменьшается. Численные результаты хорошо согласуются с полученными в рамках модели в виде точечного отображения. Далее анализируется поведение системы при отстройке от центра зоны генерации. Обнаружено, что при этом можно еще больше повысить ток пучка, при котором устойчив одночастотный режим, и увеличить мощность примерно в три раза.
В третьей главе применение метода демонстрируется для генератора на основе лампы бегущей волны. В п. 3.1 приводятся известные из литературы уравнения нестационарной нелинейной теории ЛБВ, которые адаптируются на случай генератора с двумя цепями ОС. В п. 3.2 приводятся результаты численного моделирования. Показана возможность повышения тока пучка, при котором возникает автомодуляция, примерно в два раза по сравнению с системой с одной цепыо ОС. 11ри этом если нарамет-ры подобраны таким образом, что стабилизируется основная собственная мода, выходная мощность увеличивается в 1.88 раза, а КПД снижается и составляет примерно 0.81 от максимального значения, которое в отсутствие управления достигается вблизи порога авгомодуляции. Если же стабилизируются одночастотные колебания на одной из более высокочастотных мод, которые более эффективно взаимодействуют с электронным пучком, удастся повысить мощность в 3.8 раза, а КПД — в 1.64 раза. В п. 3.3 проде-монстрирована возможность использования дополнительной внешней ОС дл*1 подавле-
10
Введение
ния пульсаций частотной зависимости коэффициента усиления ЛБВ-усилителя, возникающих за счет отражений.
Четвертая глава посвящена анализу подавления автомодуляции в кольцевом нелинейном резонаторе, содержащем среду с кубичной фазовой нелинейностью (система Икеды). В п. 4.1 сформулирована модель системы, которая описывается известным нелинейным уравнением Шредингера (НУШ), с граничным условием, содержащим запаздывание. В п. 4.2 развита упрощенная модель в виде четырехмерного отображения, являющегося обобщением известного отображения Икеды. Модель справедлива в случае, когда дисперсия в среде пренебрежимо мала. Приведены результаты теоретического анализа устойчивости неподвижных точек этого отображения; найдены аналитические выражения, определяющие границы возникновения различных бифуркаций в пространстве управляющих параметров. Также анализируется двумерное отображение, которое получается в приближении малой добротности резонатора, что позволяет сократить число независимых управляющих параметров. Представлены детальные результаты численного моделирования, которые хорошо согласуются с аналитической теорией. Показано, что предлагаемый способ подавления авгомодуляции позволяет при соответствующем выборе параметров примерно в два раза увеличить максимальное значение амплитуды входного сигнала, при котором устойчивы одночастот-ные колебания. В п. 4.3 рассматривается более строгая пространственно-временная распределенная модель системы, описывающаяся НУШ с запаздывающим 1раничным условием. Приведены результаты численного моделирования, подтверждающие, что при достаточно слабой дисперсии хорошо работает приближенное описание на основе точечного отображения. В случае сильной дисперсии, когда нестационарное поведение в основном обусловлено не неустойчивостью Икеды, а модуляционной неустойчивостью, динамика системы является более сложной вследствие конкуренции различных собственных мод резонатора. Однако при соответствующем подборе времени,задержки и ({газы в управляющей цепи обратной связи удается стабилизировать одночастотные режимы в широкой области параметров.
В Заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертации.
В Приложениях 1,2 описываются конечно-разностные методы численного моделирования ЛБВ-генсратора с запаздыванием и кольцевого нелинейного резонатора,
I
соответственно.
11
Автогенератор с кубичной нелинейностью
ГЛАВА 1. МЕТОДИКА УПРАВЛЕНИЯ ХАОСОМ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ ДЛЯ ПОДАВЛЕНИЯ АВТОМОДУЛЯЦИИ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ С КУБИЧНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ И ЗАПАЗДЫВАНИЕМ
1.1. Модель автогенератора с кубичной нелинейностью и запаздыванием
Изучение управления хаосом в системах с запаздыванием целесообразно начать с достаточно простой модели, которая, тем не менее, демонстрировала бы основные особенности сложной динамики подобных систем. В качестве такой системы выберем модель автогенератора с кубичной нелинейностью, которая описывается уравнением
класса автогенераторов, которые можно представить в виде замкнутых в кольцо нелинейного усилителя, узкополосного фильтра и цени обратной связи, содержащей линию задержки, аттенюатор, позволяющий регулировать глубину ОС, и фазовращатель [10]. Схема генератора показана на рис. 1.1. В уравнении (1.1) А имеет смысл медленно меняющейся комплексной амплитуды колебаний, у — параметр диссипации’, обратно пропорциональный добротности фильтра, а — параметр возбуждения, имеющий смысл произведения коэффициента усиления на глубину ОС, ц/ — набег фазы за время прохождения сигнала по цепи ОС. Нелинейная характеристика усилителя аппроксимируется кубическим полиномом. Правая часть уравнения (1.1) зависит от значений амплитуды в запаздывающий момент времени Г-т. Далее без ограничения обн(ности положим т = 1, чего всегда можно добиться перенормировкой переменных. В таком случае можно показать, что у - Дсот, где Дсо — ширина полосы пропускания фильтра, и этот параметр определяет число собственных мод, попадающих в полосу пропускания.
Уравнение (1.1) приближенно описывает, например, динамику триодного генератора Ван дер Поля с линией задержки анодной цепи, в случае, когда анодно-сеточная характери етика лампы аппроксимируется кубическим полиномом [27]. В отсутствие запаздывания оно переходит в укороченное уравнение Ван дер Поля-Дуффинга, которое описывает установление режима периодических одночастотных автоколебаний в окрестности порога самовозбуждения в широком классе автоколебательных систем [20,28]. Поэтому естественно использовать уравнение (1.1) в качестве универсальной модели для описания динамики автоколебательных систем с запаздыванием.
(1.1)
Уравнение (1.1) можно рассматривать как математическую модель весьма широкого
12
- Київ+380960830922