I
Оглавление
Введение 6
Глава 1 Вырожденные примеси 19
1.1 Введение.........................................................19
1.2 Модель и техника.................................................26
1.2.1 Модель.....................................................26
1.2.2 Псевдоферм ионная техника Абрикосова.......................29
1.2.3 Диаграммная техника........................................30
1.3 Примесный спин, связанный только с поперечными компонентами двух
спинов 20 антиферромагнетика.....................................34
1.3.1 Динамическая восприимчивость примеси.......................34
1.3.2 Влияние дефектов на свойства матрицы.......................44
1.4 Примесный спин, связанный с двумя спинами 20 антиферромагнетика
изотропно........................................................49
1.4.1 Псевдоферм ион пая функция Грина и вершина.................49
1.4.2 Восприимчивость примеси....................................53
1.4.3 Влияние дефектов на свойства матрицы.......................59
1.5 Заключение.......................................................61
1.6 Выводы...........................................................64
Глава 2 Влияние дальнодействующего дипольного взаимодействия на свойства ферромагнетиков 65
2.1 Трехмерный ферромагнетик с дииольными силами.....................65
2
Оглавление 3
2.1.1 Введение.........................................................65
2.1.2 Преобразование гамильтониана.....................................70
2.1.3 Перенормировка энергии основного состояния.......................73
2.1.4 Перенормировка вещественной части спектра магнонов..........74
2.1.5 Затухание магнонов...............................................81
2.1.6 Обсуждение ......................................................86
2.1.7 Заключение.......................................................90
2.2 Двумерный ферромагнетик с дииольиыми силами..............................92
2.2.1 Введение.........................................................92
2.2.2 Преобразование гамильтониана.....................................94
2.2.3 Перенормировка энергии основного состояния и вещественной части спектра магнонов...................................................96
2.2.4 Затухание магнонов..............................................100
2.2.5 Большие спины ..................................................107
2.2.6 Обсуждение .....................................................111
2.2.7 Заключение......................................................114
2.3 Выводы..................................................................117
Глава 3 Магнетики вблизи квантовых критических точек по магнитному полю 118
3.1 Бозе-конденсация магнонов в магнетиках с основным ферромагнитным взаимодействием.............................................................118
3.1.1 Введение........................................................118
3.1.2 Преобразование гамильтониана и техника..........................121
3.1.3 Эффективное взаимодействие между магнонами вблизи ККТ . . 123
3.1.4 Квази-низкоразмерные магнетики..................................127
3.1.5 Заключение......................................................131
3.2 Неустойчивость коллинеарной фазы в двумерном ферромагнетике с дииольиыми силами и анизотропией в сильном магнитном поле.....................132
3.2.1 Введение........................................................132
Оглавление
4
3.2.2 Техника и преобразование гамильтониана........................136
3.2.3 Классические спектры магионов.................................136
3.2.4 Перенормировка спектра при Н > Нс............................138
3.2.5 Неколлииеарная фаза...........................................142
3.2.6 Заключение....................................................149
3.3 Двумерный антиферромагнетик в сильном магнитном поле................152
3.3.1 Введение......................................................152
3.3.2 Моделі» и техника.............................................154
3.3.3 Спектр магнонов...............................................159
3.3.4 Заключение.................................................. 164
3.4 Выводы..............................................................165
Глава 4 Двумерный антиферромагнетик в нулевом и слабом магнитном поле 166
4.1 Введение............................................................166
4.2 2D антиферромагнетик в нулевом маг нитном поле.....................170
4.2.1 Преобразование гамильтониана..................................170
4.2.2 Перенормировка спектра........................................171
4.3 2D антиферромагнетик в слабом магнитном поле.......................176
4.3.1 Общие соотношения.............................................177
4.3.2 Поправки к спектру спиновых волн..............................178
4.3.3 Спиновые функции Грина........................................180
4.4 Выводы..............................................................181
Приложение А Вычисление спектральной функции в 2D антиферромагнетике 183
Приложение В Матричная структура псевдофермионной функции Грина и вершины 186
Приложение С Вычисление восприимчивости вырожденной примеси 187
Оглавление
5
Приложение Б Функции Грина 2Б антиферромагнетика с вырожден-
ными примесями 192
Приложение Е Вычисление 0^(о>,к) в ЗБ ферромагнетике 193
Приложение Р Вычисление затухания магнонов в ЗБ ферромагнетике 197
Приложение С Вычисление Б^(а/,к) в 2Б ферромагнетике 201
Приложение II Вычисление намагниченности 2Б ферромагнетика 204
Приложение I Влияние анизотропии в 2Б ферромагнетике 205
Приложение Л Пределы применимости лестничного приближения 207
Приложение К Вычисление вершины в магнетиках в сильном магнитном поле 209
Приложение Ь Энергия доменной фазы в 2Б ферромагнетике с ди-польными силами и анизотропией в сильном магнитном поле 210
Приложение М Оценка диаграмм в 2Б антиферромагнетике в сильном магнитном поле 212
Приложение N Поправки третьего порядка по 1/5 к собственно энергетическим частям в 2Б антиферромагнетике 214
Список литературы 220
Введение
В последнее время сильно возрос интерес к низкораэмериому магнетизму и квантовой критичности. Причин этому несколько, по самыми главными являются ряд открытий качественно новых явлений и возможность практического использования некоторых материалов с новыми свойствами.
Первое, что здесь нужно упомянуть, это открытие высокотемпературной сверхпроводимости (ВГГСП) в купратах и слоистых соединениях на основе железа. Осознание большой роли, которую играют в этих веществах плоскости магнитных атомов, привело к всплеску интереса к модели двумерного (2Э) антиферромагпетика (АФ) на квадратной решетке [1, 2] и к задачам о примесях в нем. Дело в том, что в таких соединениях как Ьа2_х8гхСи04 и УВа2СизО(5 4.х "Р11 низком уровне допирования (т.е., до перехода в сверхпроводящее состояние) подвижность дырок очень мала. При этом дырка, находящаяся на атоме кислорода между двумя соседними атомами меди, может быть смоделирована примесным сиином 1/2. Это обстоятельство вызвало большой интерес к задачам о примесном спине, взаимодействующем с одним [3, 4, о, б, 7, 8, 9, 10, 11, 12] и двумя соседними [12,13,14] спинами в 213 АФ. С попытками описать ВТСІ1 в терминах квантовой критичности [15| связан интерес к примесим в 213 АФ, находящемся около квантовой критической точки (ККТ). |7, 8] Поскольку обменное взаимодействие между дыркой и спинами атомов меди в ВТСП купратах очень велико, рассматриваются дефекты типа „разорванная связь между двумя соседними спинами“ и „ферромагнитное взаимодействие между двумя соседними спинами“. |4, 16, 17) Внедрение в решогку немагнитных атомов (например, Zn) путем замещения некоторых атомов меди является стандартным способом изучения свойств медь-кислородных плоскостей, поэтому активно обсуждаются свойства 2В АФ с вакансиями. [4, 7, 8, 18, 19, 20, 21] При этом,
6
Введение
7
однако, до сих пор не была решена задача о вычислении динамической восприимчивости примеси, взаимодействующей с двумя соседними спинами 2D АФ в упорядоченной фазе при Т > 0 и связанная с ней задача о влиянии конечной концентрации таких примесей на свойства АФ. Поскольку слабо связанные примеси в данном случае слабо расщеплены, а двухуровневые примеси и вовсе вырождены, [22, 23] следует ожидать, что даже небольшая их концентрация может сильно повлиять на низкотемпературные свойства АФ.
Несмотря на свою простоту и обилие работ ей посвященных, модель 2D АФ Гейзенберга со спином S ~ 1 на квадратной решетке без примесей продолжает преподносить сюрпризы. Для описания спектра длинноволновых элементарных возбуждений (магнонов) в 2D АФ было предложено несколько теоретических подходов, результаты которых хорошо согласуются друг с другом и количественно описывают имеющиеся экспериментальные данные [1, 2, 21). Однако в последнее время появился ряд численных и экспериментальных результатов, показывающих, что стандартные теоретические подходы не работают в случае коротковолновых магнонов при S = 1/2.
Так, в ряде недавних экспериментов на веществах, хорошо описываемых этой моделью, был обнаружен локальный минимум в спектре спиновых волн в точке к = (7г,0). [2, 25, 26, 27] В частности, в Си(БСОО)г • 4D20 энергия магнонов в к = (тг,0) оказалась на 7(1)% меньше энергии в к = (л-/2,тг/2). [2] Этот локальный минимум является квантовым эффектом, потому что классический спектр в 2D АФ является бездиснерсионным вдоль границы зоны Бриллюэна (ЗБ), которая проходит по точкам (7г,0) и (0,7г). Спектр в окрестности к = (тг,0) не описывается количественно ни во втором порядке по 1/5’ [28, 29|, ни в рамках других аналитических подходов [2, 30]. В тоже время численные расчеты, выполненные несколькими методами, [31, 32) прекрасно воспроизводят эту аномалию в спектре, природа которой остается неясной.
Еще более неожиданный результат, касающийся коротковолновых магнонов в 2D АФ со спином 1/2, был получен в работе [33]. Авторы, используя 1/5-разложение, исследовали перенормировку спектра в сильном магнитном поле //, меньшем поля насыщения Пс. Из-за неколлинеарности подрешеток и ноля в гамильтониане возникают трехчастичные члены, которые делают возможными процессы спонтанного рас-
Введение
8
пада одного магнона на два. Было обнаружено, что мнимая часть спиновой функции Грина при фиксированном к, не имеет ников, характеризующих одночастичные возбуждения, почти во всей ЗБ при 0.76//с < II < Лс. На основании этих результатов авторы сделали вывод, что в сильном поле магноны неустойчивы почти во всей ЗБ jjo отношению к спонтанному распаду на два магнона. Следует, однако, отметить, что в результате самосогласованной процедуры вычислений, использованной в [33]. учитываются лишь некоторые члены l/S-рида. Роль же остальных поправок остается совершенно неясной, поскольку в теории при S = 1/2 нет малого параметра. Кроме того, неудачные попытки описать локальный минимум в спектре в рамках второго порядка по 1/6’ при II = 0, а также сами результаты работы [33], указывают на то, что старшие члены по 1/S могут играть большую роль в случае S ~ 1. В свете этих результатов вопрос о разработке аналитического метода вычисления спектра коротковолновых магнонов в квантовых 2D ЛФ стоит очень остро.
Отметим, что короткое время жизни (и тем более неустойчивость) коротковолновых магнонов — явление; экзотическое. И все же совсем недавно оно было достоверно обнаружено экспериментально (и частично описано теоретически) в ряде магнитных систем: Koa3n-2D спиновой жидкости [34, 35, 36], квази-ID магнитной системе [35, 3G, 37] и в квази-2Б ЛФ со спином 5/2 в сильном магнитном ноле [38]. В этих веществах сильным затуханием обладают только коротковолновые магноны с импульсами, большими порогового кс, в котором происходит пересечение одномагнонной ветки с двухмагноннным континуумом, и процессы спонтанного распада квазичастицы на две оказываются разрешены законами сохранения энергии и импульса. При этом в квази-1D системе наблюдалось полное исчезновение одномагнонной ветки при к > кс, тогда как в квазидвумерпых наблюдалось лишь увеличение отношения Гк/^к до 0.1.1 Эта картина напоминает ситуацию в жидком 4Нс, в котором тоже происходит пересечение одночастичной ветки с двухчастичным континуумом при некотором импульсе кс. Од-
1Лнтору этих строк представляется несколько неудачным выбор терминологии и работах |34, 38|. Поскольку обнаруженное отношение Г^/с^ не превышает 0.1, оно много меньше единицы, и, строго говори, не является проявлением неустойчивости магнонон („instability of inagnona“ или даже „quasi par tide breakdown“). Формулировка „аномальное затухание“ в данном случае была бы гораздо точнее.
Введение
9
нано процессы спонтанного распада в этом случае настолько интенсивны, что к = кс является точкой окончания спектра. [39, 40]
Подчеркнем, что согласно концепции элементарных возбуждений (или квазичастиц) коротковолновые квазичастицы не обязаны быть хорошо определенными. [39, 40| Согласно этой концепции, которая является одним из самых мощных инструментов изучения низкоэнергетических свойств систем многих тел, любое слабо возбужденное состояние системы может быть представлено как набор слабо взаимодействующих квазичастиц, несущих кванты энергии бк и импульса к. Поскольку элементарное возбуждение представляет собой волновой пакет стационарных состояний системы, оно имеет конечное время жизни (или затухание Гк), которое описывается на языке спонтанного распада квазичасгиц и взаимодействия между ними (при Т ф 0). Наименьшей энергией обладают длинноволновые элементарные возбуждения, поэтому именно они описывают слабовозбужденные состояния системы. Следовательно, согласно концепции квазичастиц, они должны быть хорошо определенными, т.е., при малых к должно выполняться неравенство бк Гк. Это положение концепции подтверждалось многочисленными экспериментами в разных системах и микроскопическими теоретическими расчетами в множестве моделей. В абсолютном большинстве случаев коротковолновые квазичастицы наряду с длинноволновыми оказываются тоже хорошо определенными. Поэтому упомянутые выше магнетики и жидкий Ule считаются уникальными систе-, мамп, и соответствующие результаты имеют большую научную ценность.
В этой связи представляются очень интересными задачи о перенормировке спектра спиновых волн (магнонов) в 2D и 3D ферромагнетиках (ФМ) с дипольньтми силами. Дело в том, что дипольные силы приводят к появлению трехчастичных членов в гамильтониане, открывая возможность для спонтанного распада одного магнона на два и слияния двух магнонов при Т ф 0. Важность этих процессов для релаксации спиновых воли в 3D ФМ была отмечена довольно давно. (41, 42, 43] Однако соответствующие выражения для затухания магнонов были получены только для случая довольно сильного внешнего магнитного поля Н. Их анализ показывает, что Гк/бк “> 00 ПРИ к, Н —+ 0 и соответствующий вывод нужно пересматривать. Эта старая задача не была решена до сих пор; хотя, на первый взгляд, здесь есть все шансы получить аномальное
Введение
10
затухание длинноволновых магнонов и установить, по-видимому, первое; интересное ограничение концепции элементарных возбуждений в магнитных системах.
Задача о перенормировке спектра в 20 ФМ с дипольными силами сейчас весьма актуальна п ввиду огромного интереса к многочисленным удивительным свойствам ультра-тонких магнитных пленок и (квази-)2Б магнитных материалов, которое обусловлено также их практической значимостью. [44, 45] Несмотря на свою малость и благодаря дальнодействию, дипольные силы играют очень большую роль в низкоразмерных магнитных системах. В частности, они нарушают теорему Мермина-Вагнера [46] и стабилизируют дальний магнитный порядок при конечных температурах в случае изотропного короткодействующего взаимодействия. В тоже время их влияние на перенормировку спектра магнонов остается недостаточно хорошо изученными. На сегодняшний день установлено, что конкуренция короткодействующего обменного взаимодействия, анизотропии и далыюдсйствующего дипольного взаимодействия между спинами является причиной возникновения очень красивых явлений в магнитных пленках.
Одним из наиболее интересных экспериментальных наблюдений в этой области было открытие спиновых переориентационных переходов (СИИ). Экспериментальные и теоретические исследования показали, что СГ1П могут быть вызваны изменением температуры, толщины пленки или приложенным магнитным нолем. В большинстве случаев в процессе СПП намагниченность меняет свое направление (поворачивается) с перпендикулярного пленке на параллельное. Очень часто такие СПП сопровождаются возникновением доменных фаз с узкими длинными доменами, в которых компонента намагниченности, перпендикулярная пленке, меняет знак при переходе от домена к домену. Результаты многочисленных работ но этой теме обсуждаются в недавних обширных обзорных статьях [44, 45]. СПП, вызванные магнитным полем, в настоящий момент остаются недостаточно хорошо изученными ни экспериментально, ни теоретически.
Отметим, что задачи о 20 АФ в сильном магнитном ноле и переход в доменную фазу в 20 ФМ с анизотропией и дипольными силами в сильном магнитном иоле относятся к области квантовых критических явлений, которая сейчас интенсивно развивается.
Введение
11
В частности, предпринимаются попытки описать ВТСП в терминах квантовой критичности. [15] При этом большое внимание уделяется системам, в которых квантовый критический переход происходит при изменении сравнительно легко контролируемого параметра (величина внешнего магнитного и/или электрического ноля, давления, уровня допирования и т.д.). Особый интерес вызывают магнетики, которые вблизи ККТ по магнитному полю эквивалентны разреженному бозе-газу, из-за возможности изучить явление бозе-эйшитейновской конденсации (БЭК). [47|. В связи с осознанием возможности изучения явления БЭК в кван товых магнитных системах, были приложены значительные усилия по поиску подходящих соединений, которые концентрировались в основном на АФ материалах. Поскольку величина ноля насыщения Нс в ЛФ пропорциональна величине обменного взаимодействия, в большинстве ЛФ материалов ККТ оказываются трудно достижимыми на современных установках. В тоже время среди магнетиков, которые в окрестности ККТ эквивалентны разреженному бозе-газу, есть и вещества с основным ФМ взаимодействием. Поскольку Нс не зависит от величины ФМ взаимодействия, магнитные материалы этого типа имеют малые Нс, что делает их весьма привлекательными для изучения БЭК. Свойства таких магнетиков вблизи ККТ до сих нор не рассматривались.
Цель и задачи работы
Целью диссертационной работы являлось теоретическое исследование ряда магнитных систем с необычными динамическими свойствами при низких 'температурах. В том числе предполагалось
1. построение теории вырожденной примеси в 2Б ЛФ и изучение влияния конечной концентрации таких примесей на низкоэнергетические свойства ЛФ;
2. разработка метода вычисления спектра коротковолновых элементарных возбуждений в 2Б ЛФ при Т = 0 вблизи ККТ по магнитному полю;
3. исследование явления БЭК магнонов в магнетиках с основным ФМ взаимодействием, которые эквивалентны разреженному бозе-газу в окрестности ККТ,
Введение
12
4. исследование доменной фазы в сильном магнитном поле в 2Г) ФМ с анизотропией и дипольными силами в сильном магнитном поле;
5. вычисление спектра спиновых волн в 21) и 30 ФМ Гейзенберга с дипольными силами при температурах много меныпих температуры Кюри Тс',
6. вычисление спектра спиновых волн в 20 АФ на квадратной решетке при Т = О в третьем порядке по 1/5;
7. исследование 1/5-ноправок, содержащих инфракрасные особенности, к спектру магнонов и спиновым функциям Грина в 20 и 30 АФ в слабом магнитном поле.
Основные результаты, выносимые на защиту
1. Построена теория примесного спина в квази-20 упорядоченном АФ при Т <§С Т^, симметрично связанного с двумя соседними спинами АФ. Найдены выражения для динамической восприимчивости примеси в первых порядках по константе связи. Исследовано влияние конечной концентрации вырожденных примесей на низкоэнергетические свойства АФ. Обнаружено сильное затухание длинноволновых магнонов, пропорциональное их энергии и вызванное взаимодействием спиновых волн с примесями. Полученные результаты могут быть применены к другим системам с вырожденными или слабо расщепленными примесями и соответствующими спектральными функциями.
2. Предложен метод вычисления спектра коротковолновых элементарных возбуждений в 21) АФ при Т — 0 вблизи ККТ по магнитному полю II. Метод позволяет находить спектр в главном порядке но малому параметру (Пс — II)/Нс, где Не ~ иоле насыщения. Этим методом вычислен спектр коротковолновых магнонов в 2Б АФ со спином 1/2 в магнитном ноле II > 0.9Нс в главном порядке по (//с - И)/Нс- Результаты не подтвердили существования неустойчивости магнонов почти во всей зоне Бриллюэна, обнаруженную ранее с помощью 1/5-разложения. Метод может быть использован при рассмотрении 20 бозе-газов и других 20 магнитных систем.
Введение
13
3. Исследовано явление БЭК магнонов в магнетиках с: основным ферромагнитным взаимодействием, которые эквивалентны разреженному бозе-газу в окрестности ККТ по магнитному полю. Показано, что эффективное взаимодействие между магнонами в этих системах маю. Это позволяет, в частности, аналитически найти кроссовер в зависимости критической 'температуры от поля в квази-иизкоразмерных системах такого типа.
4. Изучена доменная фаза в 2Б ФМ с сильной анизотропией и дипольными силами, возникающая в сильном магнитном поле. Получена зависимость периода доменной структуры и ее профиля от величины магнитного поля.
о. Вычислен спектр спиновых воли в 20 и ЗІ) ФМ Гейзенберга с дипольными силами при Т <§: Тс- Показано, что квантовые и температурные флуктуации приводят к щели в спектре магнонов. Эю обстоятельство снимает обнаруженную ранее проблему инфракрасных расходимостей в выражениях для наблюдаемых в 30 ФМ и приводит к конечному времени жизни магнонов в 20 ФМ. Обнаружено аномально сильное затухание длинноволновых магнонов в 30 ФМ, которое не согласуется с концепцией элементарных возбуждений. Показано, что причиной столь сильного подавления длинноволновых магнонов является дальнодейству-ющий характер дипольных сил. Показано, что магноны являются хорошо определенными квазичастицами в квантовом 2Т) ФМ. а в классическом 20 ФМ часть длинноволновых магнонов имеют аномально сильное затухание.
6. Вычислен спектр спиновых волн в 20 АФ на квадратной решетке при Т = О в третьем порядке по 1/5. Показано, что в противоположность многим другим величинам, характеризующим систему, квантовая перенормировка спектра в окрестности точки к = (тг, 0) для 5 ~ 1 описывается медленно сходящимся 1/5-рядом. В случае 5=1/2 поправки третьего порядка улучшают согласие с недавними экспериментальными и численными работами.
7. Рассмотрены 20 и ЗО АФ в слабом магнитном поле Н. Показано, что в выражениях дли собственно энергетических частей в первом порядке по 1/5 возникают инфракрасно расходящиеся члены, которые сокращаются в выражениях для
Введение
14
спектра, спиновых волн и всех спиновых функций Грина (СФГ) кроме кираль-ных. В киральных СФГ, возникающих в магнитном поле, сокращение оказывается неполным, и первая поправка но 1/5 к ним расходится при Н —> 0. Таким образом, установлено, что происходит сильная перенормировка киральных СФГ, и для ее изучения необходим анализ всего 1/5-ряда.
Апробация работы
Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на между народных конференциях:
русско-японский семинар "Theoretical and experimental studies of the spin chirality3’, Гатчина, 2005; Workshop on Quantum Magnetism and Polarised Neutrons. Институт Пола Шерера (PSI), Цюрих, Швейцария, 2006; XXIII международная конференция по статистической физике ’’Statphys - 2007”, Генуя, Италия, 2007; XII Training Course in the Physics of Strongly Correlated Systems, Салерно, Италия, 2007; Miniworkshop on Strong Correlations in Materials and Atom Traps, Триест, Италия, 2008; московский международный симпозиум по магнетизму "MISM-2008”, Москва, 2008; международная конференция "Spin Waves”, Санкт-Петербург, 2000; 0th International Conference on Research in High Magnetic Fields, Дрезден, Германия, 2009; международная конференция IV Euro-Asian Symposium ’’Trends in Magnetism”: Nanospintronics, Екатеринбург, 2010; и на российских конференциях, школах и семинарах:
семинар "Сильные электронные корреляции и квантовые фазовые переходы”, Институт физики высоких давлений, Троицк. 2005, 2006; заседание секции ’’Магнетизм” Научного Совета РАН но физике конденсированных сред, Москва, 2008; конференция (школа-семинар) по физике и астрономии, Санкт-Петербург, 2009; зимние школы ПИ-ЯФ 2006, 2007, 2000.
Основное содержание диссертации изложено в работах [48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58].
Введение
15
Структура диссертации
Последующая часть диссертация организована следующим образом.
В главе 1 рассматривается примесный спин, симметрично связанный с нодрешет-ками упорядоченного квази-2Б АФ Гейзенберга при Т ^ 0. В разделе 1.1 дан более подробный обзор исследований 20 АФ с примесями. В разделе 1.2 обсуждается нсевдо-фермионная техника Абрикосова, сформулирована диаграммная техника для вычисления динамической восприимчивости примеси, и приведено общее выражение для нее.
В разделе 1.3 рассмотрен случай, когда примесь связана только с поперечными компонентами спинов матрицы. При этом рассмотрен случай только двухуровневой примеси. В разделе 1.3.1 вычислена псевдофермиониая функция Грина, найдено и решено уравнение для вершины, учитывающее все самые сингулярные диаграммы в каждом порядке по константе связи примеси с .матрицей и получено выражение для восприимчивости примеси в первых двух порядках по д2. Обсуждаются свойства однородной восприимчивости примеси. Рассмотрен частный случай, когда примесь связана только с одной поперечной компонентой спинов матрицы. Показано, что гамильтониан эффективной модели, описывающей низкоэнергетическую динамику системы, можно диагонализовать точно. Найдено точное выражение для динамической восприимчивости примеси в этой эффективной модели, которое совпадает в первых двух порядках по д2 с выражением, полученным при помощи диаграммной техники, и имеет нетривиальные частотные и температурные степенные зависимости. В разделе 1.3.2 рассматривается влияние конечной концентрации п вырожденных двухуровневых примесей на низкотемпературные свойства матрицы. Получено выражение для скорости спиновых волн в 213 АФ и найдено аномальное затухание магнонов пропорциональное пек. Указаны пределы применимости развитой теории, наличие которых связано с тем, что взаимодействие магнонов с примесями меняет вид спектральной функции при п ф 0.
В разделе 1.4 рассмотрен случай, когда примесь связана со спинами матрицы изотропно. При этом изучен общий случай спина примеси £ > 1/2. В разделе 1.4.1 получено выражение для псевдофермиониой функции Грина и показано, что в результате взаимодействия с магнонами уровни примеси с £ > 1/2 расщепляются. Выведено и
Введение
16
решено уравнение для вершины. В разделе 1.4.2 получено выражение для восприимчивости примеси. Показано, что в случае двухуровневой примеси восприимчивость содержит лоренцсвский пик и нерезонансный член. При 5 > 1/2 в восприимчивости помимо нерезонансного члена появляется набор лоренцевских пиков, соответствующих переходам между' расщепленными уровнями примеси. В разделе 1.4.3 рассматривается влияние конечной концентрации п таких примесей на низкотемпературные свойства матрицы. Получено выражение для скорости спиновых волн в 20 АФ, найдено аномальное затухание магнонов пропорциональное пс^ и установлены пределы применимости развитой теории.
В разделе 1.5 содержится обзор результатов Главы 1, а в разделе 1.6 — выводы по главе.
В главе 2 изучается влияние далыюдействующего дииольного взаимодействия на низкоэнергетические свойства 20 и 31) ФМ Гейзенберга.
Раздел 2.1, в котором рассмотрен 30 ФМ на простой кубической решетке при Т Тс, начинается с введения (2.1.1), где подробно обсуждаются имеющиеся в этой области проблемы инфракрасных расходимостей и дан план раздела 2.1. В 2.1.2 получены выражения для гамильтониана после перехода к бозе-операторам при помощи преобразования Дайсона-Малеева и для функций Грина. В разделе 2.1.3 изучена перенормировка энергии основного состояния и показано, что первые поправки но 1/5 к ней являются анизотропными. Они делают направления вдоль ребер куба направлениями легкою намагничивания. В 2.1.4 обсуждается перенормировка вещественной части спектра магнонов ск и показывается, что в спектре появляется щель. Продемонстрирована связь щели и анизотропных поправок к энергии основного состояния при Т ~ 0. В разделе 2.1.5 вычисляется затухание спиновых волн и демонстрируется, что даже при произвольно малых дипольных силах часть длинноволновых спиновых волн с ск < Т плохо определена. В разделе 2.1.6 показывается, что причиной столь сильного затухания является дальнодействующий характер дипольных сил. Обсуждаются диаграммы старших порядков но 1/5 и устанавливается, что вклад от них мал при малых дипольных силах. Демонстрируется, что полученное аномальное затухание можно наблюдать как в квантовых, так и в классических ФМ, и обсуждается предел
Введение
17
классических спинов. Указываются наиболее подходящие вещества для экспериментальной проверки полученных результатов. В 2.1.7 содержатся обзор результатов и выводы по разделу 2.1.
Раздел 2.2 содержит рассмотрение 20 ФМ на простой квадратной решетке при Т «С Тс аналогичное проведенному в разделе 2.1 для 30 ФМ. Раздел 2.2.1 — введение с обзором имеющихся результатов в этой области. Раздел 2 2 2 — обсуждение свойств гамильтониана после преобразования Дайсона-Малеева. Раздел 2.2.3 — обсуждение перенормировки энергии основного состояния и вещественной части спектра при 5 ~ 1; демонстрация того, что квантовые и температурные флуктуации приводят к щели в спектре спиновых волн. В разделе 2.2.4 вычислено затухание магнонов при 5 ~ 1. Показано, что отношение ГкДк не превышает Т/Тс ^ 1* В разделе 2.2.5 рассмотрен случай больших спинов, в котором температура может превышать ширину спин-вол новой зоны, оставаясь много меньше Тс. Получены выражения для щели и затухания магнонов. Показано, что отношение ГкДк не превышает численно малой величины 0.16. Рассмотрен предел классических спинов. В разделе 2.2.6 продемонстрирована связь щели и анизотропных поправок к энергии ОСНОВНОГО состояния при Т = 0. Оценен вклад от диаграмм старших порядков по 1/5. Вычислена намагниченность и спиновые функции Грина. Обсуждается влияние анизотропии типа „легкая плоскость“. В 2.2.7 содержится резюме раздела 2.2.
В разделе 2.3 содержатся выводы по главе 2.
В главе 3 рассмотрены свойства ряда магнетиков близких к ККТ но магнитному нолю.
В разделе 3.1 изучена бозе-копденсация магнонов в магнетиках с основным ферромагнитным взаимодействием. Показано, что ФМ с анизотропией типа „легкая плоскость“ в поперечном иоле и квази-низкоразмерные антиферромагнетики, содержащие ФМ плоскости или цепочки, эквивалентны вблизи ККТ разреженному бозе-газу. Установлено, что взаимодействие между магнонами в таких системах невелико. Это позволяет аналитически найти кроссовер в зависимости критической температуры от поля.
В разделе 3.2 изучена доменная фаза в 20 ФМ с дипольными силами и анизотропией типа „легкая ось“ в сильном магнитном ноле, меньшем поля насыщения Н(:.
Введение
18
Показано, что классический спектр магнонов при Я = IIс обращается в нуль при конечном малом значении импульса кс0, что приводит при Ы < Яс к „конденсации“ магнонов в состояния, характеризуемые этим импульсом и его гармониками. Показано, что первые поправки по 1/5 к спектру фиксируют направление ксо при Н > Нс. Найдено изменение профиля и периода доменной структуры при уменьшении поля. Обсуждается спектр спиновых волн в доменной фазе.
В разделе 3.3 рассматривается 20 АФ Гейзенберга со спином 1/2 на квадратной решетке при Т = 0 в сильном магнитном ноле. Предложен новый метод вычисления спектра в первом порядке по малому параметру (Яс — Я)/Яс, основанный на эквивалентности 2Б АФ при Я ~ Яс разреженному 21) бозе-газу. Результаты не подтвердили обнаруженную ранее при помощи 1/5-разложения неустойчивость магнонов но отношению к спонтанному распаду при II > 0.9 Яс.
В разделе 3.4 содержатся выводы по главе 3.
В главе 4 изучен 2Б АФ Гейзенберга на квадратной решетке при Т = 0 в нулевом и слабом магнитном поле. В нулевом ноле вычислен спектр спиновых волн в третьем порядке по 1/5. Показано, что в противоположность многим другим величинам, характеризующим систему, квантовая перенормировка спектра в окрестности точки к = (тг,0) для 5 ~ 1 описывается медленно сходящимся 1/5-рядом. В случае 5 = 1/2 поправки третьего порядка улучшают согласие с недавними экспериментальными и численными работами. Показано, что в слабом магнитном ноле первые поправки по 1/5 в выражении для киральных компонент спиновой функции Грина велики. Таким образом, возникает сильная перенормировка киральных флуктуаций, для изучения которой необходим анализ всего 1/5-ряда. Обсуждается возможность изучения этой перенормировки в экспериментах по рассеянию поляризованных нейтронов. Результаты обобщены также на случай 30 АФ в слабом ноле.
В Приложения А N вынесены подробности вычислений.
Глава 1. Вырожденные примеси
1.1 Введение
Во многих твердотельных системах существуют дефекты или примеси с внутренними степенями свободы. По-видимому самым известным примером является примесный спин в металле (примесь Кондо). В число других примеров входят двухуровневые системы в стеклах, вырожденные или частично расщепленные дефекты Я на-Тел л ера, квантовые точки и т.д. Взаимодействие этих дефектов с матрицей, т.е., с системой, в которой они находятся (например, с электронами в металлах, фононами, магнонами и т.д.), определяют динамические свойства примеси и низкотемпературные термодинамические и транспортные свойства матрицы.
Для изучения динамических свойств двухуровневых примесей наиболее часто используется сиин-бозонная модель, гамильтониан которой имеет вид [59, 60)
где Л^ “Но и Лгти описывают, соответственно, изолированный дефект, матрицу и взаимодействие примеси с матрицей, а — вектор Паули, описывающий дефект, и — константы. Важно, что динамика примеси определяется спектральной функцией, которая характеризует систему. Обычно предполагается степенная зависимость этой функции от частоты где у > 0. В наиболее изученном омическом случае V = 1. Несмотря на свою простоту, спин-бозониая модель нашла широкое применение в самых разных разделах физики твердого тела. [59. 60] Однако в некоторых случаях ее необходимо модифи циров ать.
ЛзЬтп — Лл Т Ло + Лхпи
(1.1а) (11Ь)
(1.1с)
19
Глава і. Вырожденные примеси
20
В работе [61) была изучена проблема взаимодействии примеси, имеющей внутрен-
ние степени свободы, с акустическими ([юионами в 3D диэлектриках. Для э х ого был предложен специальный метод, в котором степень вырождения примеси считалась произвольной. Этот метод основан на псевдофермионной технике Л.Л. Абрикосова [G2] и диаграммном разложении. В случае примесного спина S гамильтониан модели, рассмотренной в работе [61], отличается от (1.1) отсутствием Ла (примесь вырождена) и другим взаимодействием, имеющим более обший вид
где Ко определяет положение дефекта в кристалле, д — константа взаимодействия, индекс 11 нумерует Декартовы компоненты и см(Ко) — некоторые операторы матрицы. В работе [61] было показано, что также как и в снин-бозонной модели, действие матрицы на примесь полностью определяется видом спектральной функции, которая выражается через мнимую часть запаздывающей функции Грина (ФГ) от операторов
где (...) обозначает температурное усреднение. В случае трехмерных акустических фоионов 1шЛ^((1;) пропорциональна оА Метод, предложенный » [61], позволяет получить универсальные ответы для всех систем, характеризуемых одинаковыми спектральными функциями. Результаты для разных систем будут отличаться лишь несколькими константами, зависящими от вида £р(Ко). Отметим важную роль новых членов во взаимодействии (1.2) по сравнению со спин-бозонной моделью (1.1), установленную в работе [61]. В случае взаимодействия (1.2) все компоненты восприимчивости имеют не зависящие от Т нерезонансные члены и лоренцевский пик с шириной Г ос /4(Т/©)5, где / — безразмерная константа связи и 0 — характерная энергия. Вещественная часть нерезонансного члена является константой при |а;| 0, а мни-
мая пропорциональна си. В тоже время в случае взаимодействия (1.1<1) спин-бозошюй модели поперечная восприимчивость имеет только нерезопансный член. Было также показано [61, 63), что рассеяние на примесях приводит к довольно сильному затуханию фононов пропорциональному п/4и>2, где п — концентрация примесей (затухание,
(1.2)
«“(Hfl)
(1.3)
Глава 1. Вырожденные примеси
21
► * 4 у Ь) * ~ 4
ё ^ ё
Й1 о , _ £>2
► + V
Рис. 1.1. Элементарная ячейка 2Б АФ с примесным спином, связанным (а) симметрично и (Ь) несимметрично с подрешстками АФ. Показаны также константы связи с соответствующими спинами матрицы д и д\ ф дч- В данной главе рассмотрены только симметричный и слабо несимметричный (|</! — д2\ 'С \д\ + <721) случаи.
вызванное рассеянием на статических дефектах, пропорционально и/1). Впоследствии предложенный метод был использован при изучении примесей в стеклах [64] [I в металлах с кубической симметрией [65).
В этой главе мы применим метод, развитый в [61], к проблеме двухуровневой примеси для случая спектральной функции пропорциональной со2. Как было указано выше, природа примеси и матрицы будут не важны, и паши результаты будут применимы для всех систем с вырожденными примесями и спектральной функцией пропорциональной со2. Ниже мы покажем, что примером такой системы является двумерный антиферромагнетик (АФ) с примесным спином, симметрично связанным с поперечными компонентами двух соседних спинов матрицы Я1 и я2 (см. Рис. 1.1):
«2! = »РЧ4 + 4) + + 4)1. (Ы)
где ось 2 считается направленной вдоль намагниченности подрешеток. Знак д в дальнейшем рассмотрении будет не важен. При этом мы будем предполагать наличие слабого взаимодействия, стабилизирующего дальний магнитный порядок в 2Б АФ при Т Ф 0. Для определенности будем считать, что это обменное взаимодействие величины т) 3 между АФ плоскостями, где 3 — величина обменного взаимодействия между ближайшими спинами внутри плоскости. При этом спектральная функция будет пропорциональна со2 при со » г) и Т <С 7дг.
Будет подробно разобран случай примесного спина в 2Б АФ с изотропным взаимо-