Совместное использование лучевого и модового подходов при описании полей в неоднородных волноводах

Содержание
Введение 5
1. Лучевое и модовое представления поля точечного тонального источника в плоско слоистом многомодовом волноводе 24
1.1. Интегральное представление решения уравнения Гельмгольца . - 24
1.1.1. Преобразование Хапкеля...................................25
1.1.2. Приближение ВКБ..........................................26
1.2. Лучевое представление...........................................28
1.3. Модовое представление поля .....................................32
1.3.1. Общие соотношения........................................32
1.3.2. Собственные числа в волноводах с параболическим и билинейным профилями показателя преломления ...................34
1.4. Поле бесконечно тонкой нити.....................................35
1.4.1. Интегральное представление поля..........................35
1.4.2. Лучевое представление поля...............................36
1.4.3. Модовое представление поля...............................36
1.5. Волповод Пекериса...............................................37
1.5.1. Точечный источник........................................37
1.5.2. Источник в виде бесконечно тонкой нити...................40
2. Связь между лучами и модами дискретного спектра в плоскослоистом волноводе 41
2.1. Формирование луча группой конструктивно интерферирующих мод .................................................................41
2.2. Параметр с и его физическая интерпретация.......................43
2.3. Разрешение лучей и мод в волноводе с помощью линейной синфазной антенны.......................................................50
2
з
2.4. Разрешение мод и лучей в спектре сигнала, регистрируемого рав номерно движущимся приемником......................................54
2.5. Структура поля, формируемого небольшой группой мод ............64
2.6. Статистический аналог гибридного представления поля............75
2.6.1. Статистическое описание интенсивности поля в детерминированном волноводе ..........................................75
2.6.2. Индекс мерцаний в приближении ”статистически независимых” мод или лучей...........................................76
2.6.3. Расчет индекса мерцаний в рамках гибридного описания поля...........................................................78
2.6.4. Индекс мерцаний модовой компоненты......................80
2.6.5. Индекс мерцаний лучевой компоненты......................83
2.6.6. Выводы..................................................84
3. Лучи и моды дискретного спектра в волноводах с объемными
и поверхностными неоднородностями 87
3.1. Дифракция на непрозрачном экране ..............................87
3.1.1. Зоны Френеля на цилиндрически-симметричной поверхности ...........................................................87
3.1.2. Зоны Фрепеля па плоскости...............................92
3.1.3. Лабораторный эксперимент но дифракции на непрозрачном экране.....................................................93
3.2. Аналоги метода плавных возмущений и метода геометрической оптики для мод....................................................103
3.3. Флуктуации амплитуд мод в океаническом волноводе..............112
3.4. О возможности использования детерминированной модели среды
для расчета интенсивности поля в реальном флуктуирующем океане 120
3.5. Структура
ноля в окрестностях каустики в случайно-неоднородном волноводе .........................................................126
3.6. Зоны Френеля для мод при анализе дифракции на поверхностных неоднородностях...................................................133
3.7. Модовал структура поля в волноводе с квазисинусоидальной границей ............................................................139
4. Лучи и моды непрерывного спектра 148
4.1. Связь между лучами и модами непрерывного спектра..............148
4
4.2. Аналог метода геометрической оптики для мод непрерывного
спектра в неоднородном волноводе.............................155
5. Лучевой подход для описания модовой структуры поля в неоднородном по трассе волноводе 160
5.1. Формулировка геометрической оптики в терминах гамильтонова формализма........................................................161
5.1.1. Переменные “координата - импульс".....................161
5.1.2. Переменные “действие - угол”..........................162
5.1.3. Эйконал и амплитуда луча..............................164
5.2. Лучевые формулы для амплитуд мод в переменном по трассе волноводе ...........................................................166
5.3. Лучи и моды в переменном по трассе волноводе Пексриса........170
6. Лучевой подход для описания волнового поля, сглаженного по угловым и пространственным масштабам 179
6.1. Сглаженная функция Вигнера...................................180
6.2. Расчет сглаженной функции Вигнера в приближении геометрической оптики.....................................................181
6.3. Сглаженная функция Вигнера в приближении ВКБ................183
6.4. Сглаженная функция Вигнера в каноническом гидроакустическом волноводе....................................................187
7. Импульсные сигналы 193
7.1. О влиянии случайных неоднородностей показателя преломления
на “модовые” и “лучевые” импульсы............................193
7.2. Общие свойства последовательностей времен приходов лучей . . .197
Заключение 207
Литература
210
Введение
Метод нормальных волн (модовый подход) и метод геометрической оптики (лучевой подход) играют очень важную роль при анализе полей в волноводах различной физической природы. Среди многочисленных приложений этих методов отметим исследования распространения коротких радиоволн в ионосфере (1), звуковых волн в океане [2]-(5]? световых волн в волоконных световодах [6, 7], сейсмических волп [8, 9] и т.д. Математическому формализму для описания лучевых и модовых структур поля в однородных и неоднородных средах посвящено множество статей и книг. В качестве примеров укажем известные монографии [10]-[19].
Столь широкая популярность рассматриваемых подходов в значительной мере обусловлена тем, что в рамках каждого из них сигнал представлен в виде суммы относительно простых слагаемых. Более того, для ряда практически важных задач удается получить приближенные аналитические соотношения, связывающие вариации комплексных амплитуд лучей и/или мод, вызванные неоднородностями волновода, с параметрами данных неоднородностей (см., например, [20)-(23]). По этой причине анализ модовой и лучевой структур поля представляет большой интерес с точки зрения решения не только прямых, но и обратных задач распространения волн. В частности, в подводной акустике, начиная с пионерской работы Манка и Вунша [24], активно разрабатываются различные схемы акустической томографии для мониторинга температурных полей океана [22]-[27]. Во многих из этих схем восстановление температурных неоднородностей предлагается проводить либо по измеренным параметрам лучей, например, времен пробегов звуковых импульсов вдоль лучевых траекторий [22, 23. 24, 26], либо по измеренным параметрам мод [22, 23, 27].
Каждый из двух подходов, о которых идет речь в данной работе, имеет свои сильные и слабые стороны. Основным преимуществом лучевого подхода является относительная простота как соответствующего математического формализма, так и физической интерпретации полученных результатов. Паи*
5
6
более эффективен он на коротких трассах, где поле в каждой точке формируется лишь несколькими наиболее ”энергонесущими” лучами. К сожалению, применимость геометрооптических формул нарушается на каустиках. Это существенно затрудняет использование лучевого подхода в волноводных задачах, где роль каустик, как правило, велика. Более того, лучевое представление поля в принципе является высокочастотным приближением и результаты расчетов, выполненных в его рамках, даже вдали от каустик содержат ошибки, величины которых к тому же трудно оценивать.
Модовый подход, имея гораздо более широкую область применимости, требует использования громоздкого математического формализма и уступает лучевому в простоте и физической наглядности. Последний недостаток особенно сильно проявляется при анализе распространения волн в переменных по трассе волноводах. Тем не менее на очень длинных трассах, где растущее с дистанцией число лучей, попадающих в точку наблюдения, чрезвычайно велико, модовос представление имеет преимущество. Ведь количестве» распространяющихся мод всегда конечно и с увеличением длины трассы, как правило, не растет, а даже, наоборот, уменьшается из-за сравнительно быстрого затухания мод высоких номеров.
Несмотря на то, что модовое и лучевое представления формально вводятся независимо друг от друга [3, 16}, между ними существуют тесные связи. Изучение этих связей и разработка на их основе простых и эффективных методов анализа модовой и лучевой структур поля является главной задачей диссертации.
Все изложение в данной работе ведется применительно к проблемам подводной акустики. Прежде всего имеются ввиду задачи дальнего распространения звука в океане на частотах от нескольких десятков до нескольких сотен герц [20, 24]. Однако большинство из полученных здесь результатов носят общий характер и могут быть использованы при исследовании волновых явлении в других средах.
Вопрос о связи между модами и лучами первоначально рассматривался для наиболее простого случая плоскослоистого волновода. Среди довольно большого числа работ поданной тематике отметим монографии и статьи [2, 4],[28)-[36]. Итоги многолетних исследований суммированы в замечательных работах Фел-сена [35] и Гао и Шенга [36], где сформулирована картина взаимосвязи лучевого и модового представлений поля точечного тонального источника в плоскослоистом волноводе, которая на наш взгляд и на сегодняшний день остается наиболее полной и физически ясной. В работах по этой тематике также рассматри-
7
вались конкретные примеры, разрабатывались более строгие математические формулировки, обсуждались вопросы использования полученных результатов для создания эффективных численных методов расчетов поля [37]-[42]. Остановимся подробнее на основных результатах, полученных для плоскослоистого волновода.
Заранее ясно, что суммарный вклад в волновое поле всех лучей, приходящих в точку наблюдения, равен суммарному вкладу всех мод, поскольку обе суммы1 выражают одну и ту же величину — комплексную амплитуду поля. Однако между рассматриваемыми представлениями этой величины существует и гораздо более тонкая связь. Ее суть поясним, приняв во внимание, что приходы и отдельных лучей, и отдельных мод означают приходы квазиплос-ких волн (для мод - это так называемые волны Бриллюэна [43]). Суммарный вклад волн, приходящих в точку наблюдения с направлений, принадлежащих заданному угловому интервалу, разумеется, не должен зависеть от способа описания. Поэтому наряду с "интегральным” соответствием между лучами и модами (сумма по всем лучам равна сумме по всем модам), между ними существует еще и "дифференциальное" соответствие (фрагменты суммы по модам равны фрагментам суммы по лучам). Типичной является ситуация, когда справедливо еще более сильное утверждение: для волн, приходящих в точку наблюдения с одних направлений, вклады отдельных лучей формируются группами конструктивно интерферирующих (то есть складывающихся в фазе) мод, а для волн, приходящих с дру!их направлений, группы конструктивно интерферирующих лучей формируют вклады отдельных мод. Интересная и важная особенность интерференции мод заключается в том, что моды с соседними номерами складываются в фазе вдоль траекторий геомстрооптических лучей и поэтому на не слишком длинных трассах лучи "образованы” кластерами конструктивно интерферирующих мод. Комбинированное представление поля основано на описании сигналов, приходящих из разных угловых интервалов, в рамках разных подходов. При этом, по выражению авторов [36], каждый раз выбирается более "экономный” подход: волны, принимаемые с тех направлений, откуда приходят группы конструктивно интерферирующих мод (лучей), описываются на лучевом (модовом) языке. Тем самым число слагаемых, которые надо суммировать для расчета полного ноля, заметно уменьшается.
В качестве основного приложения комбинированного подхода в [35], как и в других работах на эту тему, рассматривалось сокращение объема вычисле-
1 Их можно преобразовать друг в друга с помощью формулы суммирования Пуассона [2, 3, 16, 31, 35]
8
ний путем уменьшения числа слагаемых. Прогресс в развитии вычислительной техники неуклонно обесценивает это достоинство комбинированного описания поля. С другой стороны, не теряет своего значения возможность использования данного описания при анализе физических эффектов в ситуациях, когда сигнал на выходе приемного устройства формируется зкладами волн, пришедших из сравнительно узкого углового интервала, то есть вкладами всего лишь нескольких мод или лучей. Это имеет место при использовании распределенных приемных или излучающих систем, а также при работе с импульсными сигналами. В последнем случае волны, принимаемые с разных направлений, разрешаются во времени.
В таких ситуациях - ряд соответствующих примеров рассмотрен в диссертации - возможность замены группы мод (лучей) одним лучом (одной модой) не только упрощает численные расчеты, но, что особенно важно, позволяет получать простые аналитические оценки. В данной работе показано, что с помощью таких оценок можно легко прогнозировать условия разрешения мод и лучей в экспериментах с линейной синфазной антенной в многомодовом волноводе, а также при регистрации поля с помощью равномерно движущегося приемника. В качестве еще одного приложения комбинированного описания рассмотрен статистический подход для анализа сложного пространственного распределения интенсивности поля в многомодовом плоскослоистом детерминированном волноводе.
Другой группой задач, при решении которых использование аналогий между лучами и модами оказывается полезным, являются задачи управления полями в волноводах [44]-[47]. На основе исследования особенностей интерференции небольшой группы мод в диссертации получены оценки, позволяющие судить о возможности создания узкого волнового пучка и управления его структурой с помощью вертикальной антенны, возбуждающей небольшую группу мод с близкими номерами. Эти результаты могут быть использованы при анализе поля так называемого параметрического излучателя в многомодовом волноводе (такой излучатель обычно возбуждает лишь небольшую группу мод) [48].
Большинство работ по исследованию связи между лучами и модами относятся к плоскослоистым волноводам. Ряд авторов занимались обобщением этих результатов на случай волноводов, плавно меняющихся по трассе (адиабатически или почти адиабатически) [49]-[51]. Можно, однако, показать, что аналогии между лучами и модами простираются далеко за пределы данных моделей. Установлению таких аналогий и их использованию при решении конкретных задач посвящена большая часть диссертации. Основные усилия здесь сосредо-
9
точены на создании приближенных аналитических методов, позволяющих описывать эволюцию модовой структуры поля в переменном по трассе волноводе с помощью простых лучевых формул.
В подводной акустике анализ флуктуаций амплитуд мод вследствие рассеяния на случайных неоднородностях океанического волновода обычно проводится следующим образом: уравнения для статистических моментов амплитуд мод (чаще всего для первых двух, реже - для четвертого) приближенно решаются после упрощения либо с использованием приближения стохастических фаз, либо путем введения процедуры сглаживания по пространственным масштабам, превышающим максимальный масштаб интерференционной картины [52]-[62]. Несмотря на то, что, действуя таким образом, удается получить интересную и важную информацию о перераспределении энергии между модами вследствие рассеяния на неоднородностях и о некоторых других характеристиках модовой структуры, данный подход имеет свои ограничения. Приближения, используемые при выводе и решении уравнений для моментов, приводят к полной или частичной потере информация о тонкой интерференционной структуре. Уравнения же, которые описывают и тонкую интерференционную структуру поля, решаются только численно. Получение аналитических результатов в этом случае практически невозможно. Кроме того, данный подход, будучи статистическим, не позволяет получать необходимые для решения обратных задач аналитические соотношения, связывающие вариации поля с влиянием отдельных реализаций неоднородностей.
Между тем аналитические соотношения такого типа очень важны для разработки методов акустического мониторинга неоднородностей среды по измеренным параметрам модовой структуры поля. В большинстве работ по данной тематике для описания амплитуд мод (см., например, [63]-[65)) их получают в рамках адиабатического приближения [3, 66, 67]. Однако в последнее время методами численного моделирования с использованием программ для решения параболического уравнения показано, что адиабатическое приближение плохо пригодно для описания распространения волн в реальном флуктуирующем океане [68, 69).
В отличие от работ по вычислению статистических момептов нашей целью является получение приближенных решений исходных динамических уравнений для амплитуд мод, то есть, в конечном итоге, приближенного решения уравнения Гельмгольца. Эта задача решается здесь без использования адиабатического приближения. Развиваемые методы основаны на соотношениях, выражающих взаимосвязь между модовым и лучевым представлениями поля.
10
Получены аналоги метода геометрической оптики и обобщающего его метода плавных возмущений Рытова [15, 20] для мод. В рамках развиваемого здесь нового подхода амплитуды мод выражаются с помощью геомстрооптических формул, аналогичных тем, которые используются при расчете амплитуд лучей. Показано, что при описании дифракционных эффектов могут быть введены понятия зон Френеля для мод, аналогичные обычным зонам Френеля лучей.
Решения, полученные с помощью разработанного формализма, удобны для выполнения статистического усреднения. Полученные при этом статистические характеристики амплитуд мод часто выражаются через те же самые величины и функции, которые фигурируют в известных формулах для статистических характеристик амплитуд лучей [20]. Таким образом, для анализа модовой структуры поля можно воспользоваться готовыми результатами.
Хотя описание амплитуд мод в нашем подходе ведется с помощью лучевых формул, полученные выражения применимы не только в регулярных точках волновода, но и на каустиках. Для подводной акустики это важно, так как каустики играют принципиальную роль в формировании зон конвергенции [3].
Для многих приложений знания мелких деталей волновых полей в многомодовых волноводах не требуется. К тому же расчет их (особенно, если речь идет о волноводах естественного происхождения) далеко не всегда возможен из-за недостаточно подробного знания профиля показателя преломления, параметров границ и т.п. По этой причине в теории распространения волн довольно большое внимание уделяется разработке методов вычисления характеристик полей, усредненных по большим пространственным масштабам [3],[821-[85]. Такие величины менее чувствительны к неточностям модели среды, а, кроме того, для их расчета могут быть использованы простые приближенные методы. Во многих случаях удается ввести даже аналитическое описание усредненных характеристик.
В диссертации исследованию этого вопросу посвящена отдельная глава. Здесь обсуждается приближенный метод расчет так называемого локального спектра поля (выраженного функцией Вигнера), сглаженного по угловым и пространственным масштабам. В отличие от большинства других методов, где усреднение обычно ведется по пространственным масштабам, превышающим длину цикла луча, то есть максимальный масштаб интерференционной структуры, наш подход позволяет анализировать более детальную структуру поля. Здесь показано, что величина сглаженного спектра может быть выражена как сумма вкладов лучей, причем полученные формулы применимы и в окрестностях каустик. Хотя указанный результат выражен в терминах чисто лучевого
11
подхода, при выводе основных формул использован формализм, который обычно применяется при анализе взаимосвязи модового и лучевого представлений поля.
Несмотря на то, что высокий уровень развития вычислительной техники и численных методов делает возможным расчеты полей в разнообразных переменных по трассе волноводах [14, 70, 71], включая даже моделирование распространения звука во флуктуирующем океане с неоднородностями показателя преломления, обусловленными случайными внутренними волнами [68, 69, 72], развиваемые в диссертации подходы для приближенного аналитического описания модовой и лучевой структур поля представляются весьма актуальными.
Возможность аналитического (хотя подчас и грубого) описания имеет большое значение при планировании натурных экспериментов и интерпретации полученных в их ходе данных. Дело в том, что в волноводах естественного происхождения - ионосферных волноводах, океанических подводных звуковых каналах и т.д. - профиль показателя преломления зачастую точно неизвестен. Кроме того, он существенно зависит от места и времени проведения измерений. Например, профили скорости звука в океане испытывают сезонные изменения и к тому же качественно различаются на разных акваториях [3]. Использование простых оценок позволяет прогнозировать изменение структуры принимаемого сигнала при вариациях параметров волноводов и предвидеть последствия изменений условий проведения экспериментов. Наличие таких оценок представляет интерес также и с точки зрения развития методов обработки сигналов
[731.
Кроме того, как уже говорилось выше, наличие простых аналитических формул, связывающих неоднородности среды и вызванные ими вариации параметров поля, имеет большое значение при решении большинства обратных задач. Определенный интерес они представляют и с точки зрения решения задач управления полями в многомодовых волноводах.
В последнее время наметилось еще одно интересное направление в теории распространения волн, для которого анализ взаимосвязи между модами и лучами также актуален. Это так называемая проблема волнового хаоса - се квантовомеханический прообраз называется проблемой квантового хаоса [74]. Суть этой проблемы заключается в следующем. Известно [75], что в переменных по трассе детерминированных волноводах траектории лучей часто ведут себя столь сложным образом, что их практически можно считать случайными функциями. В последние годы в ряде работ продемонстрировано, что та-
12
кая ситуация (ее обычно называют лучевым хаосом - аналогом динамического хаоса в классической механике) является типичной для подводной акустики [77]-[81]. Проблема волнового хаоса состоит в исследовании проявления такого поведения лучевых траекторий в структуре волнового поля. Выражающий связь между лучами и модами формализм, в котором вариации амплитуд мод представлены через параметры лучевых траекторий, очевидно, может быть полезен при исследовании данного вопроса.
Цель работы.
1) Провести анализ модовой и лучевой структур поля точечного тонального источника в плоскослоистом многомодовом волноводе на основе использования комбинированного описания поля для
а) установления критериев разрешения мод и лучей при некоторых типичных способах регистрации сигналов,
б) разработки статистического описания сложного пространственного распределения интенсивности в детерминированном волноводе,
в) изучения возможности управлением полем антенны, возбуждающей заданную небольшую группу мод.
2) Обобщить результаты исследований связи между лучами и модами, полученные для плоско слои стог о волновода, на случай переменного по трассе волновода. На этой основе создать аналитические методы списания вариаций модовой структуры поля иод влиянием неоднородностей показателя преломления и неровностей границы, которые по своей простоте и физической прозрачности были бы сопоставимы с методами геометрической оптики и плавных возмущепий. Рассмотреть конкретные приложения новых методов для задач акустики океана.
3) Разработать приближенный способ расчета лучевой интенсивности поля, сглаженной по пространственным и угловым масштабам.
Методы исследований. При решении поставленных задач использованы методы теории распространения и дифракции волн в неоднородных средах, статистической радиофизики, некоторые разделы теории дифференциальных уравнений и математического анализа.
13
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) С точки зрения взаимосвязи лучевого и модового представлений поля дана интерпретация разрешения мод и лучей при регистрации сигнала точечного тонального источника: а) с помощью линейной синфазной антенны; б) путем спектрального анализа выходного сигнала равномерно движущегося приемника. Показано, что часть лучей такими способами разрешить в принципе нельзя. Получены соответствующие оценки.
2) Разработан метод статистического описания сложного пространственного распределения интенсивности поля в многомодовом волноводе, в рамках которого вклады отдельных мод и лучей рассматриваются как случайные величины. Выяснено при каких условиях эти величины можно считать некоррелированными.
3) Исследованы возможности управления полем антенны, возбуждающей заданную небольшую группу мод с близкими номерами.
4) Введены понятия зон Френеля для мод. Показано, что, подобно обычным зонам Френеля для лучей, они могут быть использованы для анализа искажения амплитуд мод вследствие дифракции на объемных и поверхностных неоднородностях.
5) Получены аналоги метода геометрической оптики и методы плавных возмущений Рытова для описания вариаций амплитуд мод в неоднородном по трассе волноводе.
6) Разработанный подход использован для анализа дифракции на непрозрачном экране в волноводе, для расчета статистических характеристик амплитуд мод во флуктуирующем океане, для описания поля в окрестности каустики в многомодовом волноводе.
7) Развит простой лучевой подход для расчета характеристик поля, сглаженных по угловым и пространственным масштабам.
8) Установлены общие свойства последовательностей времен приходов лучей в подводных акустических волноводах.
Таким образом, в диссертации разработаны теоретические положения, совокупность которых можно рассматривать как новое крупное достижение в развитии перспективного направления теории распространения волн в многомодовых волноводах - разработке методов анализа
и
структуры волнового поля на основе использования взаимосвязи мо-дового и лучевого представлений.
Практическая ценность. Полученные в диссертации результаты могут найти приложения для создания оптимальных методов регистрации и обработки сигналов в многомодовых волноводах, разработки теории управления полями в волноводах, планирования экспериментов по дальнему распространению звука в океане и интерпретации полученных данных. Приведенные в дисссертании простые аналитические соотношения, связывающие неоднородности среды и вызванные ими вариации амплитуд мод, могут быть использованы при создании методов акустического мониторинга океана, разработке которых в настоящее время уделяется большое внимание. Предложенный метод расчета сглаженного локального спектра может послужить основой для создания алгоритмов быстрого численного расчета характеристик поля, сглаженных по угловым и пространственным масштабам. Развитый в диссертации математический формализм, выражающий связь модовой и лучевой структур поля в переменном по трассе волноводе, представляют собой удобный аппарат для исследовании ряда аспектов проблемы волнового хаоса. Результаты работы могут быть использованы в научно-исследовательских организациях, занимающихся изучением распространения волн в многомодовых волноводах, в частности, в Акустическом Институте РАН, Институте океанологии РАН, Институте прикладной физики РАН, Институте обшей физики РАН, Нижегородском г осударственном университете и других.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, семи глав и заключения. Общий объем работы - 224 страницы, включал 172 страницы основного текста, 38 рисунков и список литературы из 163 наименований на 15 страницах.
Содержание работы
Во введении освещается современное состояние проблемы, дается краткий обзор работ по изучению взаимосвязи модовых и лучевых представлений поля в волноводе, обосновывается актуальность темы диссертации, определяется цель работы и кратко излагается ее содержание.
В первой главе приведены известные соотношения, выражающие модовое и лучевое представления поля точечного источника в илоскослоистом многомодовом волноводе. В этой главе нет новых результатов. Ее целью является введение тех понятия и обозначений, которые затем будут использованы
15
в основной части работы. В п. 1.1 приведено известное интегральное представление решения уравнения Гельмгольца, из которого в п. 1.2 получено лучевое представление поля, а в и.1.3 - модовое. В п.1.4 те же соотношения приведены для двумерной задачи (в предыдущих разделах речь шла о трехмерной задаче), а в п. 1.5 - для широко используемой в подводной акустике модели Пекериса. В ее рамках акустический волновод представлен в виде жидкого слоя, лежащего на жидком полупространстве.
Вторая глава целиком посвящена анализу распространения волн в плоскослоистых волноводах. Рассматриваются общие закономерности, выражающие связь между лучами и модами дискретного спектра, которые затем применяются при решении конкретных задач.
В п.2.1 кратко обсуждается вопрос о возможности отождествления вкладов отдельных лучей в суммарное волновое поле со вкладами групп конструктивно интерферирующих мод. Приведена простая оценка количества мод, участвующих в формировании одного луча. Здесь же вводятся понятия модовых лучей: для каждой моды имеется два таких луча, которые выходят из источника под углами скольжения, равными углам скольжения в этой точке двух волн Бриллю-эна, формирующих моду. Последняя складывается в фазе с соседними модами вдоль траекторий своих модовых лучей.
В следующем параграфе 2.2 кратко изложены общие закономерности интерференции мод и лучей. Здесь введена классификация направлений, с которых волны приходят в точку наблюдения. Согласно этой классификации углы приходов разбиваются па интервалы трех типов:
- интервалы '’М-типа” - с этих направлений приходят группы конструктивно интерферирующих мод (точнее говоря, волн Бриллюэна), формирующие вклады отдельных лучей;
- интервалы "М-типа.” - с этих направлений приходят группы конструктивно интерферирующих лучей, формирующие вклады отдельных мод;
- переходные” интервалы - там ни лучи, ни моды конструктивно не интерферируют.
Приведены простые оценки количественных составов групп конструктивно интерферирующих мод (лучей) для интервалов М-типа (М-типа).
II.2.3 посвящен изучению работы линейной синфазной антенны в плоскослоистом волноводе. Исследован вопрос о возможности разрешения лучей с помощью таких антенн и точности измерения углов их приходов. Показано, что лучи, приходящие с направлений М-типа, в приппипе, не могут быть разрешены таким способом.
16
Обсуждение принципиальных различий сигналов, принимаемых с направлений разного типа, с точки зрения разрешения отдельных мод и лучей продолжено в п.2.4. Здесь исследована форма спектра сигнала, регистрируемого равномерно движущимся точечным приемником. Найдены условия, при выполнении которых в спектре разрешаются максимумы, отвечающие приходам отдельных лучей (аналогичное условие для мод хорошо известно). Выяснено, что в спектре могут проявляться" вклады лишь тех лучей, которые приходят с направлений Ы-типа. В качестве иллюстрации полученных результатов приведены данные эксперимента по разрешению лучей, выполненного в лабораторном гидроаку стическом волноводе.
В п.2.5 речь идет о расположенной в волноводе вертикальной антенне, которая возбуждает небольшую группу мод с близкими номерами. Учет связи модового и лучевого представлений позволяет достаточно просто описать суммарное поле и исследовать возможности управления его структурой. Разбор этого примера может послужить основой для анализа более сложных явлений и помочь выработке интуиции, необходимой для решения задач об управлении нолями в многомодовых волноводах.
Возможность получения аналитического описания в данном случае обусловлена тем фактом, что моды с близкими номерами конструктивно интерферируют вдоль траектории некоторого опорного луча. Поэтому результирующее поле представляет собой пучок, локализованный вблизи этого луча. В п.2.5 предложены дополняющие друг друга разные способы аналитического описания формы волнового пучка. Наряду с изучением структуры последнего обсуждается также и вопрос о размерах антенны, необходимой для его формирования. Показано, что путем изменения фаз коэффициентов возбуждения можно перемещать пучок вдоль волновода как целое, а также в некоторых пределах менять его ширину в нужных местах. Получена оценка предельной длины трассы, на которой пучок может распространяться без существенного расплывания. При этом, как и следовало ожидать, чем шире пучок, тем дольше он не расплывается.
Для описания сложного пространственного распределения интенсивности поля в детерминированном многомодовом волноводе, которое обычно выражается сильно осциллирующей функцией с множеством локальных экстремумов, иногда используется статистический подход, обсуждаемый в п.2.6. При этом роль статистического ансамбля играет множество значений интенсивности в точках выбранной области волновода, а статистическое усреднение заменяется пространственным усреднением по данной области. С точки зрения этого
17
подхода вклады отдельных мод и лучей можно рассматривать как случайные величины, причем конструктивная интерференция мод или лучей является аналогом их корреляции. В п.2.6 показано, что в рамках комбинированного представления поля, когда сигналы, принимаемые с направлении Н-типа (М-тииа), описываются на лучевом (модовом) языке, полное поле представлено в виде суммы статистически независимых слагаемых, что существенно упрощает анализ его статистических характеристик. В данном параграфе обсуждается расчет так называемого индекса мерцаний, являющегося основной характеристикой относительной (по отношению к среднему значению) величины флуктуаций интенсивности.
В третьей главе показано, что тесные связи между лучами и модами существуют и в переменных по трассе волноводах. Здесь рассматриваются волноводы с неоднородностями показателя преломления, а также волноводы с неровной границей. Предполагается, что размеры и объемных и поверхностных неоднородностей велики по сравнению с длиной волны (в противном случае геометрическая оптика заведомо неприменима). Однако адиабатическое приближение здесь не используется, то есть размеры неоднородностей могут быть гораздо меньше длины цикла осцилляций лучевой траектории. Отметим, что длины волн, использующихся в экспериментах по дальнему распространению звука в океане, обычно составляют 5-10 м, в то время как длина цикла типичного луча равна 50 км.
В п.3.1 показано, что для анализа дифракционных эффектов з волноводе могут быть введены понятия зон Френеля для мод. Подобно обычным зонам Френеля лучей они вводятся на основе подхода Гюйгенса-Френеля-Кирхгофа. Детально обсуждается использование этих понятий при исследовании перераспределения энергии между модами вследствие дифракции на непрозрачном экране. Показано, что величина амплитуда моды за экраном зависит от того, какие зоны Френеля и насколько оказываются перекрытыми. Разработан-пый формализм использован для интерпретации лабораторного эксперимента по дифракции звука на непрозрачном экране в гидроакустическом волноводе. Обнаружено хорошее соответствие между теорией и экспериментом.
В ни.3.2-3.5 развит новый метод аналитического описания вариаций амплитуд мод в волноводе с флуктуациями показателя преломления, который затем применен для решения конкретных задач. П.3.2 посвящен математической формулировки предлагаемого подхода и обсуждению физического смысла полученных соотношений. Здесь приведены приближенные решения динамических уравнений для амплитуд мод, которые выражены в квадратурах через характе-
18
ристики неоднородностей и модовых лучей. Соответствующие формулы имеют вид дифракпионных иптегралов, типа тех, которые фигурируют в формулах метода плавных возмущений Рытова, позволяющих учесть влияние дифракции на неоднородностях на амплитуды лучей. Вместо радиусов первых зон Френеля лучей в формулах из п.3.2 фигурируют радиусы первых зон Френеля мод. Когда величины последних много меньше характерных масштабов неоднородностей, обсуждаемый подход сводится к аналогу метода геометрической оптики, в рамках которого амплитуды мод выражаются через вызванные неоднородностями дополнительные набеги фаз вдоль траекторий модовых лучей. Полученные формулы удобны для статистического усреднения и с их помощью могут быть рассчитаны различные статистические характеристики амплитуд мод, например, межмодовые корреляции. Область применимости данного подхода примерно совпадает с областью применимости обычных метода плавных возмущений и метода геометрической оптики с часто используемым в подводной акустике дополнительным предположением о малости смещения лучевой траектории под влиянием случайных неоднородностей. Это ограничение будет снято в главе 5.
В п.3.3 общие соотношения из предыдущего раздела использованы для получения конкретных оценок, характеризующих флуктуации амплитуд мод в реальном океане со случайными неоднородностями, вызванными случайным полем внутренних волн. Статистика последних определяется спектром Гарретта-Манка. Рассчитаны средние значения амплитуд мод и величины меж модовых корреляций.
В п.3.4 показано, что величину интенсивности поля в реальном флуктуирующем океане, усредненную но большим пространственным масштабам, можно достаточно точно рассчитать в рамках детерминированной модели среды. Обсуждается выбор минимальных масштабов сглаживания, достаточно больших для 11 нейтрализации“ влияния случайных неоднорродностей. В рамках той же модели океана, которая была использована в п.3.3, получены конкретные оценки таких масштабов.
В и.3.5 развитый выше квазилучевой метод описания флуктуаций амплитуд мод использован для анализа статистических характеристик поля в окрестностях каустики. Основное внимание уделено исследованию пространственного распределения средней интенсивности. С точки зрения модового представления поля каустика - это место, где много мод складывается в фазе. Исследован вопрос о том, каким образом разрушение межмодовых корреляций приводит к ослаблению интенсивности поля на каустиках и расплыванию последних.
19
Пп. 3.6 и 3.7 посвящены анализу взаимосвязи модового и лучевого представлений поля в волноводе с неровной границей.
В п.3.6 показано, что понятия зон Френеля для мод могут быть использованы для анализа дифракционных эффектов и в случае поверхностных неоднородностей. Здесь развит математический формализм, позволяющий аналитически описать вариации амплитуд мод с дистанцией. Основные формулы п.3.6 выведены в рамках метода малых возмущений. Они похожи на тс соотношения, которые были найдены в п.3.2 для описания влияния объемных неоднородностей. Выяснено, что рассеяние мод носит резонансный характер, типичный для эффектов однократного рассеяния. Это проявляется в том, что вариации амплитуды моды главным образом определяются теми неоднородностями, которые лежат в местах отражения модовых лучей от поверхности. В рамках данного подхода изменениями траекторий лучей по сравнению со случаем отражения от невозмущенной границы считаются пренебрежимо малыми. Как и в и.3.2 влияние неоднородностей учитывается введением дополнительных сдвигов фаз, которые, впрочем, могут превышать л.
В п.3.7 рассмотрена задача о рассеянии волн на неровной свободной границе, форма которой представляет собой синусоиду с плавно (по сравнению с периодом) меняющимися амплитудой к фазой. Показано, что в этом примере можно продвинуться в описании вариаций модовой структуры поля несколько дальше, чем в общем случае, описанном в предыдущем параграфе. Здесь удается модифицировать подход таким образом, чтобы учесть изменения траекторий лучей при отражении.
В четвертой главе показано, что многие из обсуждавшихся в предыдущих главах результатов, выражающих различные аспекты взаимосвязи между лучами и модами дискретного спектра, имеют аналоги для мод непрерывного спектра. В этой главе рассматриваются плоскослоистые волноводы, а также волноводы с крупномасштабными неоднородностями показателя преломления. Предложен математический формализм для перевода друг в друга модового и лучевого представлений поля в плоскослоистом волноводе (стандартное преобразование для мод дискретного спектра, базирующееся на использовании формулы суммирования Пуассона, для мод непрерывного спектра неприменимо). Путем обобщения этого формализма на случай волновода с неоднородностями показателя преломления получено представление поля, аналогичное тому, которое для мод дискретного спектара было названо геометрической оптикой для мод. При этом влияние неоднородностей среды учитывается с помощью простых лучевых формул. Данное представление поля, как и его ’прототип”
20
для мод дискретного спектра, удобно для статистического усреднения.
Целью пятой главы является обобщение полученного ранее (в третьей главе) аналога метода геометрической оптики для мод на случай волновода с сильными объемными и поверхностными неоднородностями. В рамках предложенного здесь подхода снято требование малости смещения лучевой траектории под влиянием неоднородностей. Это, разумеется, стало возможным ценой некоторого усложнения математического формализма. Идея подхода заключается в проектировании приближенного решения уравнения Гельмгольца, которое дает метод геометрической оптики, на так называемые локальные моды (или моды волновода сравнения), определяемые поперечным сечением волновода на данной дистанции.
В п.5.1 приводятся и обсуждаются основные соотношения гамильтонова формализма, использование которого упрощает и проясняет последующие результаты. Здесь вводятся канонические переменные “действие-угол”.
В п.5.2 поле, взятое в лучевом представлении, проектируется на локальные моды. Соответствующие интегралы вычисляются с помощью метода стационарной фазы. Здесь показано, что амплитуда моды на заданной дистанции формируется вкладами лучей, переменные действия которых на этой дистанции совпадают с переменной действия, отвечающей данной моде (согласно правилу пропорциональной номеру моды). Полученные формулы для расчета амплитуд моды аналогичны соотношениям геометрической оптики для расчета амплитуд лучей. Таким образом, разработан формализм, в рамках которого эволюция модовой структуры поля может быть описана в терминах обычных лучевых формул.
Его практическое применение продемонстрировано в п.5.3 на примере вол новода Пекериса с переменным по трассе дном. Предсказания, выполненные на основе предложенного квазилучевого подхода, неплохо согласуются с результатами разложения по модам численного решения уравнения Гельмгольца. Численные расчеты выполнены с помощью программы для решения параболического уравнения.
В шестой главе предложены простые соотношения для приближенног о вычисления сглаженного локального спектра (функции Вигнера) поля в многомодовом волноводе. Несмотря на то, что используемый подход является лучевым, он применим не только в регулярных точках волновода, но и на каустиках. Для случал плоскослоистого волновода показано, что точность полученной приближенной формулы повышается с увеличением масштабов сглаживания. Таким образом, точность расчета сглаженных характеристик поля на основе лучево-