Оглавление
1. Глобальная, частичная и противофазная синхронизация диффузионно связанных динамических систем: общий случай 11
1.1. Инвариантные многообразия и частичная синхронизация . . 13
1.1.1. Существование инвариантных многообразий............ 14
1.1.2. Вложенные инвариант^е^м ногообразия и иерархия размерности частичной сипх^низации......................... и
1.2. Трансвереальные многообразия и противофазные колебания 22
1.3. Глобальная устойчивость вдоль инвариантных многообразий 23
1.4. Невозможность глобальной синхронизации.................... 29
1.5. Пример А: связанные системы типа Лоренца.................. 34
1.6. Пример Б: связанные системы Ресслера...................... 43
1.7. Заключения и выводы главы................................. 49
1.7.1. Выводы............................................. 49
2. Глобальная синхронизация в конкретных системах с хаотическими аттракторами 51
2.1. Динамика цепочки диффузионно связанных неавтономных систем маятникого типа........................................ 51
2.2. Регулярные и хаотические пространственно однородные процессы в цепочке взаимосвязанных сверхпроводящих переходов 60
2.2.1. Бифуркация удвоения инвариантной кривой............ 70
2.3. Выводы.................................................... 73
Бифуркации колебаний мембранного потенциала в моделях нейронов 74
3.1. Обобщенная модель....................................... 74
3.2. Бифуркационный анализ системы Хиндмарш-Розе............. 79
3.2.1. Состояния равновесия и изоклины.................. 80
3.2.2. Гомоклпнические траектории....................... 83
3.2.3. Бифуркации и фазовые портреты редуцированной системы ................................................... 84
3.3. Многообразия и циклы для полной системы................. 88
3.4. Бифуркационные сценарии, ведущие к генерации беретов . . 93
3.5. Модельное отображение для гомоклинических бифуркаций . 102
3.5.1. Симметричное модельное отображение...............106
3.5.2. Асимметричное модельное отображение..............111
3.6. Моделирование электрически связан ных нейронов с помощью отображений.............................................114
3.7. Выводы..................................................117
Введение
Одной из актуальных задач радиофизики является исследование явления синхронизации взаимодействующих осцилляторов. Исследование этой проблемы восходит к классической работе A.A. Ашіронова и A.A. Витта о захватывании частоты генератора Ван дер Поля внешней силой 1]. Математическим образом такой синхронизации является устойчивое периодическое движение в фазовом пространстве взаимодействующих систем.
В последние годы сложилось новое актуальное направление исследования явления синхронизации по взаимодействующих системах п виде большого числа упорядоченных в пространстве связанных идентичных активных элементов с простой и сложной динамикой. Это, например, связанные электронные элементы типа подсистем с джозефсоновскими контактами [35]-[42], ансамбли нейронов [GG, 82] и связанных лазеров [13]. сети синхронизованных генераторов и систем автоматического управления [13, 22] и т.д. Кроме того, такие связанные системы можно рассматривать как дискретные модели непрерывных неравновесных сред [38] (гидродинамические среды, неравновесные химические реакции, нервные волокна и др.).
В отличие от систем с внешней силой, взаимодействующих осцилляторов, систем с управлением фазой колебаний и др. [1]-[4], явление синхронизации в связанных идентичных системах возникает в результате образования пространственно - временных когерентных структур (кластеров), математическим образом которых являются некоторые поверхности в фазовом пространстве связанных систем, целиком заполненные фазовыми тра-
4
екториями. называемые инвариантными пли интегральными многообразиями. Этим пространственно-временным структурам соответствует синхронное поведение ансамблей элементов с простой или сложной идентичной временной динамикой.
Особую актуальность в последние 25 лет приобрело явление динамического хаоса, положившее начало многим новым научным направлениям, одним из которых является хаотическая синхронизация связанных идентичных гнетем, имеющих различные бифуркационные механизмы перехода от регулярных колебаний к хаотическим.
Характерная особенность динамического поведения связанных систем в этом случае состоит в том, что элементы синхронизованных структур (кластеров) имеют одну и ту же хаотическую динамику, переход к которой может происходить как за счет изменения параметров индивндуаіьной системы, так и за счет изменения связи между элементами.
Пионерскими работами по исследованию хаотической синхронизации считаются работы [8]-(10].
Большой вклад в исследование пространственно-временной динамики различных связанных систем сделал научными группами как в России (Анюценко B.C., Дмитриев A.C., Некоркин В.И., Рабинович М.II.. Шалфеев В.Д.), так и за рубежом (T.L. Carol I, L.O. Chua. H. Fujisaka, M. Hasler, K. Kaneko, J. Kurths, E. Mosckilde, Yu.I,. Maistrenko, L.M. Pecora, M.J. Velarde и др).
Широкий класс индивидуальных существенно нелинейных индивидуальных систем с простой и сложной динамикой, различные типы связи, большое число связанных элементов привело к целому ряду постановок задач и интересных теоретических и численных результатов исследования конкретных систем [5]-[30].
С другой стороны исследование таких систем сопряжено со значитель-
5
ными трудностями аналитического исследования. По этой причине представляет большой интерес теоретическое исследование общих свойств различных типов синхронизаций многомерных динамических систем с простои и сложной динамикой, образование пространственных неоднородных структур (кластеров) при изменении связи между парциальными элементами ансамбля, зависимость числа кластеров синхронизованных колебаний от числа элементов ансамбля и др.
В настоящей работе рассматривается явление полной, частичной и противофазной синхронизации в цепочке диффузионно с вязанных парциальных систем общего вида. В качестве конкретных базовых элементов выбраны системы, демонстрирующие различные сценарии перехода от регу лярных колебаний к хаотическим. К ним относятся системы с аттрактором Лоренца, со спиральным аттрактором Шнльнпкова (система Ресслера), со сложными аттракторами системы неавтономного нелинейного маятника, системы взаимодействующих ротатора и осциллятора. Наряду с известными механизмами перехода от регулярных колебаний к хаотическим, в работе рассматриваются малоизученные сценарии возникновения хаотических движений в системе с быстрыми н медленными переменными (модель колебаний мембранного потенциала нейрона) и др.
Целью диссертационной работы является изучение явлений полной, частичной и противофазной синхронизации в цепочке диффузионно связанных систем общего вида и конкретных систем, имеющих различные бифуркационные механизмы перехода от регулярных колебании к хаотическим (от простых предельных множеств к странным аттракторам); исследование бифуркационных сценариев возникновения хаотических аттракторов в модели колебаний мембранного потенциала нейрона; вывод модели мембранного потенциала в виде отображения и моделирование колебаний потенциалов связанных нейронов с помощью нелинейно связанных
б
отображений.
Работа организована следующим образом.
Первая глава посвящена исследованию явления глобальной, частичной и противофазной синхронизации колебаний диффузионно связанных динамических систем для общих случаев одномерной решетки (цепочки) связанных дифференциальных уравнений и цепочки связанных отображений.
В первой части главы доказывается существование и получены достаточные условия устойчивости инвариантных многообразий, соответствующих режимам полной синфазной, противофазной и частичной синхронизации. Будучи существенно зависимыми от числа элементов цепочки N. эти многообразия обладают особой иерархией и симметриями, что означает иерархию синфазных и противофазных колебаний - кластеров системы.
Во второй части главы получены условия для общего случая диффузионно связанных динамических систем, при которых глобальная синхронизация элементов невозможна ни при какой сколь угодно большой связи. Основные теоретические утверждения главы дополнены результатами численного моделирования для случаев цепочки диффузионно связанных систем Ресслера и цепочки связанных систем типа Лоренца.
Вторая глава носвяшена динамике цепочки диффузионно связанных неавтономных маятников и цепочки связанных сверхпроводящих переходов.
В первой части главы изучается динамика цепочки связанных неавтономных маятников, индивидуальный элемент которой, неавтономный маятник, может совершать хаотические колебания.
Доказана устойчивость режима глобальной взаимном синхронизации неавтономных маятников.
Во второй части главы изучаются регулярные и хаотические пространственно однородные процессы в цепочке взаимосвязанных сверхпроводя-
1Ш1Х переходов.
Индивидуальны!! элемент цепочки может быть рассмотрен также как система типа ”взаимодействующие ротатор - осциллятор”, динамика которой может бить хаотической. Существование хаотического аттрактора в такой системы является свойством взаимодействия системы осциллятор - ротатор.
Доказана устойчивость режима глобальной взаимной синхронизации. В системе наблюдаются различны«* типы синхронизации: периодическая,
кваэипериодическая и хаотическая.
В третьей главе исследуются бифуркации перехода от непрерывных ’’быстрых” колебаний к хаотическим беретам, движениям с быстрыми и медленными составляющими, в моделях колебаний мембранного потенциала. Установлено, что переходам от непрерывных "быстрых” колебаний к беретам отвечают бифуркации гомоклинических траекторий (контуров) не редуцированной быстрой системы, а полной системы с быстрыми и медленными движениями. Предложено двумерное модельное отображение, которое является простейшей моделью нейрона. Предложен метод моделирования электрически (линейно) связанных нейронов с помощью нелинейно связанных отображений.
Теоретическая и практическая значимость результатов.
В работе исследованы свойства и устойчивость режимов полной и частичной (кластерной) синхронизации в цепочке диффузионно связанных динамических систем общего вида, а также конкретных систем, обладающих различными типами хаотических аттракторов. В работе даны ответы на ряд общих вопросов теории хаотической синхронизации. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при исследовании конкретных связанных динамических систем.
Дано точное бифуркационное описание сценариев перехода от регуляр-
8
ных колебаний к хаотическим движениям в моделях мембранного потенциала нейрона и предложен метод моделирования диффузионно связанных моделей нейронов с помощью отображений. Эти результаты могут использоваться как при теоретическом, так и при экспериментальном изучении ансамблей живых клеток.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: семинарах кафедры теории колебаний ИНГУ, отдела дифференциальных уравнений НИИ ПМК (рук. Л.П. Шильников), семинарах факультета радиотехники и электроники Швейцарского Технического Университета (EPFL). (рук. Prof. М. Hasler); семинаре физического факультета Датского Технического Университета (рук. Prof. Е. Mosekilde); научно-техническом семинаре '’Нелинейные свойства систем синхронизации” (С. -Петербург, 1995); Юбилейной научной конференции, посвященной 100- лс-тию радио и 50- летию раднофизичекого факультета ИНГУ (Н.Новгород, 1995); итоговой научной конференции ННГУ (1996-1997); 3-ей сессии молодых ученых (Нижний Новгород. 1998), международных конференциях: Int. Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA) (Crans-Montana, Switzerland 1998); Int. Specialist Workshop Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Москва 1997): 2-ой Международной школе-семинаре ’'Dynamic and Stochastic Wave Phenomena” (Нижний Новгород, 1994); ’’Нелинейные колебания механических систем” (Нижний Новгород, 199G. 1999): 4-th Experimental Chaos Conference (Florida, USA, 1997), International Conference on Contemporary Problems in Theory of Dynamical Systems (Нижний Новгород, 199G): International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine, ICND-96 (Саратов, 1996). Международная Школа-Семинар ”Днп Нелинейной Динамики в Нижнем Новгороде-98" (Нижний Новгород, 199S); 5th International School on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CHAOS-98) (Саратов
9
1998).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [83]-[99].
10
Глава 1
Глобальная, частичная и противофазная синхронизация диффузионно связанных динамических систем: общий
В этой главе исследуются явления глобальной, мастичной и противофазной синхронизации колебании диффузионно связанных динамических систем для общих случаев одномерной решетки (цепочки) связанных дифферен циальных уравнений и цепочки связанных отображений.
Явление глобальной взаимной синхронизации состоит в том. что при достаточно большой связи все индивидуальные элементы цепочки (парциальные подсистемы) приобретают идентичное динамическое поведение при любых различных начальных условий.
В больших ансамблях связанных систем часто встречается динамическое явление, когда лишь отдельные группы элементов решетки (цепочки) синхронизованы между собой. В этом случае говорят, что имеет место частичная синхронизация, также известная в литературе, как кластеризация [23]-[26].
Явления глобальной и частичной синхронизации между диффузионно
случай
11
- Київ+380960830922