Оглавление
1 Релаксационные колебания в системе взаимосвязанных элементов ФитцХью Нагумо 12
1.1 Модель.......................................... 12
1.2 Фазовое пространство и аттракторы системы (1.1) ... 14
1.2.1 Быстрые движения системы....................... 17
1.2.2 Медленные движения системы..................... 18
1.3 Отображение Пуанкаре............................ 21
1.3.1 Отображение Sj................................. 25
1.3.2 Отображение S2................................. 32
1.3.3 Отображение S.................................. 39
1.4 Динамика разрывного отображения S и аттракторы системы (1.5) 41
1.5 Выводы.......................................... 47
2 Импульсы п взаимосвязанных цепочках элементов Фитц-Хыо Нагу мо 52
2.1 Модель.......................................... 55
2.2 Импульсы в отдельном волокне.................... 55
2
2.3 Синхронизация волокон................................. 56
2.3.1 Идентичные волокна............................. 56
2.3.2 Неидентичные волокна........................... 57
2.4 Однородное взаимодействие............................. 58
2.5 “Локальные” контакты между волокнами.................. 60
2.5.1 Точечный контакт............................... 61
2.5.2 Двухточечный контакт........................... 64
2.6 Выводы................................................ 65
3 Структуры и волны в взаимосвязанных цепочках элементов Чуа 66
3.1 Элемент Чуа и система взаимосвязанных цепочек из элементов Чуа................................................. 66
3.2 Взаимная синхронизация цепочек-волокон................ 70
3.2.1 Синхронизация идентичных цепочек............... 71
3.2.2 Синхронизация неидентичных цепочек............. 72
3.3 Режимы отдельной цепочки.............................. 73
3.4 Эффекты межволоконного взаимодействия цепочек, составленных из элементов Чуа................................ 74
3.4.1 Синхронизация структур различного профиля . 75
3.4.2 Синхронизация волновых фронтов................. 76
3.4.3 Преодоление “провала” распространения.......... 81
3.4.4 Эффекты взаимодействия волновых фронтов и структур ................................................... 83
3
3.5 Синхронизация в связанных цепочках, обладающих возбудимыми свойствами........................................ 83
3.5.1 Динамика одиночного импульса.................... 85
3.5.2 Возникновение пакета импульсов.................. 87
3.6 Неоднородное взаимодействие волокон.................... 89
3.7 Выводы................................................. 96
4 Динамика спиральных волн в двумерных решетках 98
4.1 Модель................................................. 98
4.2 “Локальная модель” передачи возбуждения внутри слоя 102
4.3 Спиральные волны в двухслойной решётке................ 106
4.3.1 Глобальная синхронизация....................... 106
4.3.2 Взаимодействие между слоями и синхронизация 108
4.3.3 “Локальная модель” проникновения возбуждения
между слоями................................... 115
4.4 Разреженные связи..................................... 122
4.5 Выводы................................................ 123
Заключение 126
4
Введение
Системы, демонстрирующие релаксационные колебания и волны широко распространены в самых различных областях науки и техники. Например, в радиофизике такие движения типичны для широкого класса автогенераторов [1], для многих неравновесных сред [2-5], для некоторых нелинейных линий передачи [б] и др. Пионерские результаты по исследованию систем с релаксационными колебаниями были получены в работах Б. Вап-дер-Г1оля, A.A. Андронова, Дж. Стокера, H.A. Железцова и др. Последние годы характеризуются увеличивающимся интересом к релаксационным системам, состоящим из большого числа идентичных или почти идентичных элементов. Особенно интенсивно релаксационные системы изучаются в связи с разработкой информационных систем нейродннамического типа - нового поколения систем хранения и обработки информации. Такие системы строятся в виде активных распределенных сетей из элементов, обладающих в той или иной степени свойствами “живых” нейронов. Важнейшей характеристикой нейронов, присущей самым разнообразным типам, является изменение их состояния во времени. Типично чередование режимов относительного покоя и кратковременной активности, т.е. релаксаци-
5
онное поведение. Пространственная организация нейронных сетей, т.е. организация связей между элементами, может быть достаточно разнообразной. Здесь можно упомянуть глобальный тип связи [7-9], при котором каждый элемент системы взаимодействует со всеми остальными, нелинейный тип связи [10], системы в виде активных решеточных систем с локальным типом связи ]11 18’ (взаимодействие осуществляется только с соседними элементами) и др. Решеточные системы могут иметь как двумерную пространственную архитектуру (одиночные решетки) гак н трехмерную (взаимосвязанные решетки-“слон”). С одной стороны, решеточные системы это пространственно-распределенные системы, а с другой - многомерные динамические системы. Поэтому для них важны проблемы как теории нелинейных волн и структур, так и классические проблемы теории колебаний [1-6].
В качестве примеров решеточных систем можно привести системы, состоящие из джозефсоновских контактов и связанных лазеров f 19— 25], взаимодействующих химических реакторов, нейронных ансамблей '8, 10, 13, 14, 26], синхронизованных генераторов, систем автоматического управления [15. 27-30 и т.д. Прикладной интерес к решеточным системам также вызван тем, что в последнее время появилась возможность реализовать системы, состоящие из большого числа активных взаимосвязанных ячеек-элементов, на базе современной микроэлектроники. В связи с этим широкое развитие получило направление, связанное с построением так называемых CNN (Cellular Neural Networks
6
- клеточных нейронных сетей) - электронных схем решеточного типа. Такие системы могут быть использованы для решения задач распознавания образов, кодировании и обработки информации [31, 32].
Таким образом, исследование релаксационных колебаний и волн в активных решеточных системах является актуальной и важной задачей радиофизики и имеет как фундаментальный, так и прикладной интерес.
Решеточные системы обладают разнообразной пространственно-вре-менной динамикой. При этом в них могут реализовываться режимы и эффекты как подобные существующим в непрерывных неравновесных средах [2 5, 33- 39], так и принципиально новые, вызванные дискретностью пространственных координат. Наиболее хорошо пространственно-временная динамика решеточных систем исследована в случае одиночных сетей-решеток из элементов с относительно простой собственной динамикой. Для систем такого типа получен ряд важных результатов. Например, достаточно подробно исследованы процессы структурообра-зования и возникновения пространственного хаоса [12, 40 47], явления синхронизации колебаний в цепочечных системах различной природы [28, 48-51]. Изучены вопросы существования и устойчивости волновых движении [ 15, 29, 30, 41, 52-55], показана возможность формирования фазовых и частотных кластеров [50, 56], спиральных воли [57], динамического копирования [58-60].
11 го же время, динамика многослойных решеточных систем, состо-
7
Я1ДИХ из элементов с релаксационным поведением, изучена мало.
В данной работе проводится исследование пространственно-временной динамики двухслойных решеточных систем из релаксационных элементов. Исследование включает в себя разработку “элементной” базы решеточных нейро-динамических систем; изучение релаксационных колебаний и волн; исследование эффектов межслойной синхронизации движений, циркуляции и взаимопроникновения возбуждений между слоями; исследование динамики спиральных волн и влияния на неё межслойной анизотропии связи.
Отметим, что некоторые из эффектов взаимопроникновения и циркуляции возбуждения, наблюдаются также в континуальном приближении, когда взаимодействующие системы описываются одномерными уравнениями в частных производных [61-65].
Работа состоит из четырех глав.
В главе 1 рассмотрена система, состоящая из двух релаксационных элементов, обладающих различными динамическими свойствами. Такую систему можно представить как простейшую “ячейку” нейро-иодобной среды. Модель представляет собой систему двух взаимосвязанных различных элементов ФитХью-Нагумо (ФХН). В отсутствии связи между подсистемами один из элементов находится в возбудимом режиме (при превышении некоторого порога в системе наблюдается переходный процесс в виде импульса возбуждения}, а второй - в режиме периодических релаксационных колебаний. Такую систему можно
8
рассматривать как модель нейрона нижних олив {inferior olive neuron). Установлено, что в зависимости от управляющего параметра динамика системы может быть как регулярной, так и хаотической. В результате проведенного исследования, было показано, что ряд режимов, реализующихся в исходной модели, имеют хорошее качественное совпадение с данными исследований “живых" нейронов нижних олив полученных С помощью реальных нейрофизиологических экспериментов.
Глава 2,3 посвящена исследованию динамики в системе из двух связанных одномерных решеточных систем - цепочек-“волокон”, состоящих из возбудимых элементов ФХН (глава 2) и осцилляторов Чуа (глава 3). Получены достаточные условия синхронизации движений в системе, рассмотрены различные эффекты взаимодействия бегущих импульсов, изучены случаи как однородного взаимодействия между' системами, так и локализованного в определенных точках пространства. В случае однородного взаимодействия показана возможность синхронизации импульсов в цепочках. Для локализованных взаимодействий изучена динамика точечного и двухточечного контактов, позволяющих эффективно управлять распространением возбуждения по связанным цепочкам-волокнам.
В главе 4 изучается динамика системы, состоящей из взаимодействующих квадратных решеток-слоев, доказана взаимная синхронизация движений между слоями. Рассмотрен процесс образования и синхронизации спиральных волн. В плоскости параметров системы вы-
9
дслсны области существования и различного поведения спиральных волн. Установлено, что в зависимости от значений параметров такая синхронизация может вести к эффектам проникновения и циркуляции возбуждения между слоями. Изучены процессы распространения возбуждения внутри слоя и между слоями. Исследовано влияние анизотропии связей на коллективную динамику системы.
Теоретическая и практическая значимость результатов
В работе исследованы процессы формирования структур активности в достаточно широком классе релаксационных систем нейро-динамического типа - от систем из двух взаимосвязанных элементов (модель нейрона нижних олив) до двухслойных решеток. Проведенные исследования позволяют дать конкретные практические рекомендации но выбору параметров сетей-решеток из релаксационных элементов, обеспечивающих желаемые режимы работы и эффективно управлять свойствами таких систем. Результаты диссертации могут быть полезны при формировании структур активности в системах хранения и обработки информации нейро-динамического типа, при построении искусственных активных линий передачи и спетом управления и координаций движений автономных машин и др.
Полученные результаты использованы в учебном процессе на радиофизическом факультете ННГУ.
Апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались на: семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, науч-
10
ных конференциях ИНГУ (1997-2001 гг.), научной конференции "Нелинейные дни в Саратове для молодых” (Саратов. 1999), сессиях молодых ученых (Нижний Новгород 1997-2001 гг.); международных симпозиумах: 1-st Int. Conference Control of Oscillations and Chaos (Санкт-Петербург, 1997); The 20th IUPAP Int. Conference on statistical physics (Paris, 1998); International Workshop on Synchronization, Pattern Formation, and Spatio-Temporal Chaos in Coupled Chaotic Oscillators (Santiago de Compostela, 1998); Int. Summer School-Workshop DYNAMICS DAYS in Nizhny Novgorod DDNN98 (Nizhny Novgorod, 1998); Conference on Chaos Oscillation and Pattern Formation CHAOS 98 (Saratov, 1998); International Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Delft, Netherlands, 2001); International Conference “Progress in nonlinear science” dedicated to the 100th Anniversary of A.A. Andronov (Nizhny Novgorod, Russia, 2001).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [8б]-[108].
11
Глава 1
Релаксационные колебания в системе взаимосвязанных элементов ФитцХью-Нагумо
В данной главе предложена модель элемента решеточной системы ней-родинамического типа. Элемент описывает динамику так называемого нейрона нижних олив, демонстрирующего периодическую релаксационную активность ниже порога возбуждения. Модель представляет собой систему двух взаимосвязанных различных элементов ФХН [86 92].
1.1 Модель
Рассмотрим модель, состоящую из двух “блоков”, связанных линейно. Каждый из блоков представляет собой систему ФХН. При отсутствии связи между блоками одна из систем ФХІІ находится в возбудимом состоянии (при превышении некоторого порога в системе наблюдается переходный процесс в виде импульса возбуждения), а вторая - в режиме периодических релаксационных колебаний. В результате получим
12
- Київ+380960830922