Дисперсионный подход к описанию эффектов сильного взаимодействия в слабых распадах тяжелых мезонов

Содержание
1 Введение 4
2 Спектральные представления для форм
факторов релятивистской составной системы 13
2.1 Описание составных систем с помощью спектральных представлений......................................................... 14
2.2 Кварковая структура псевдоскалярного мезона.............................. 18
2.2.1 Константа лептонного распада псевдоскалярного мезона . . 20
2.2.2 Двухфотонный распад псевдоскалярного мезона.............22
2.2.3 Упругий электромагнитный форм фактор....................24
2.2.4 Дисперсионный подход в переменных светового конуса . . 26
2.3 Форм факторы для мезонных переходов.......................................29
2.3.1 Форм факторы переходов псевдоскалярных мезонов в области
-<72<0...............................................................29
2.3.2 Форм фактор перехода ори ц2 > 0.........................33
2.4 Модель для псевдоскалярных мезбнов .......................................38
2.5 Обсуждение результатов....................................................46
3 1/тд-разложение и универсальные форм
факторы в дисперсионном подходе 48
3.1 Амплитуды мезонных распадов и 1/тпд-разложение в КХД .... 50
3.2 Форм факторы перехода в дисперсионном подходе.............................55
3.3 1 /гад разложением в дисперсионном подходе для
переходов тяжелого мезона в тяжелый.......................................60
3.4 Слабые переходы тяжелого мезона в легкий..................................71
3.5 Численные оценки для универсальных форм факторов..........................74
3.6 Обсуждение................................................................78
4 Вычисление форм факторов слабых распадов 80
4.1 Параметры модели ........................................................81
4.1.1 Форм факторы Д., Дг, V, Уь и Л о........................84
4.1.2 Форм факторы Ль Тъ и Тз.................................86
4.2 Распады очарованных мезонов...............................................87
4.2.1 В-+К, К'................................................87
4.2.2 £) -»тг.................................................89
4.3 Распады В-мезонов ........................................................91
4.3.1 £?->£),£)* .........................................................91
4.3.2 В->К,К'.................................................92
4.3.3 В —> тг, р..............................................94
4.4 Распады странных мезонов 03 и В5 .........................................98
4.4.1 Ц, -+ /С, К* .......................................................98
4.4.2 -Э г/, г/, ф........................................................99
4.4.3 В8^>К,К'................................................102
4.4.4 В9 -э г},г/,ф...........................................105
2
4.5 Обсуждение результатов
106
5 Слабая аннигиляция в редком радиационном распаде В -¥ ру и
В —> у£у форм факторы 108
5.1 Эффективный гамильтониан, амплитуда
и ширина распада...............................................111
5.1.1 Пингвинная амплитуда.....................................111
5.1.2 Амплитуда слабой аннигиляции.............................112
5.2 Форм факторы В —» перехода...............................117
5.2.1 Форм фактор Ра...........................................117
5.2.2 Форм фактор Гу...........................................120
5.3 Форм фактор Су.................................................123
5.4 Численные оценки...............................................124
5.5 Обсуждение результатов.........................................127
6 Нефакторизуемые эффекты
в В" -В0 смешивании 128
6.1 Эффективный гамильтониан и структура амплитуды..................131
6.2 ДВ в терминах локального глюонного конденсата ..................133
6.3 Поправки к факторизации в дисперсионном подходе.................137
6.4 Численные результаты ..........................................141
6.5 Обсуждение результатов.........................................143
7 Эффекты связанности кварков в инклюзивных распадах тяжелых мезонов 144
7.1 Распад свободного кварка и операторное разложение..............153
7.2 Инклюзивный распад мезона в дисперсионном подходе..............156
7.2.1 Пространственноподобная область .........................159
7.2.2 Времениподобная область и аномальный вклад...............162
7.3 1/шд-разложение ширины инклюзивного
папулептонного распада и <ДУ</<?2..............................165
7.4 Дифференциальное распределение (1Т/йМх.........................173
7.5 Энергетический спектр электронов...............................175
7.6 Обсуждение результатов.........................................178
8 Заключение 180
3
1 Введение
Слабые распады адронов представляют собой важный источник информации о параметрах Стандартной модели, структуре слабых токов, и внутренней структуре адронов. Благодаря этому вот уже много лет слабые распады являются одним из основных объектов экспериментальных и теоретических исследований.
В последнее десятилетие основной акцент был сделан на слабых распадах тяжелых В мезонов. Эти распады открывают доступ к неизвестным параметрам матрицы Кабиббо-Кобаяши-Маскава (СКМ), которые описывают смешивание тяжелых с, 6, £ кварков, и СР-нарушение.
Полулептонные и нелептонные распады В мезонов, индуцированные слабыми заряженными токами 6 —» с и Ь -> и, позволяют измерить матричные элементы УиЬ и Усь и слабую СР-нарушающую фазу.
Редкие полулептонные распады В мезонов, индуцированные слабыми токами с изменением аромата 6 -э $ и Ь —» ф определяют Уи и представляют собой важный тест Стандартной модели и ее расширений. Спецификой редких распадов является то, что они запрещены в Стандартной модели на уровне древесных диаграмм и происходят только за счет петлевых графиков, в которые вносят вклад виртуальные частицы, в том числе и с массами много большими характерного масштаба 6-распада. Благодаря этому редкие распады открывают возможность проверки структуры электрослабого сектора на масштабе больших масс при относительно низких энергиях распадов В мезонов. Интересная информация содержится в вильсоновских коэффициентах, которые определяют вклад различных операторов в эффективный Гамильтониан, описывающий 6 -> я, (I переход при низких энергиях. Важным является то, что вильсоновские коэффициенты принимают разные значения в разных теориях. Вследствие этого, измерение на эксперименте вильсоновских коэффициентов представляет собой непосредственную проверку Стандартной модели.
Однако, измеряемые на эксперименте характеристики распадов, такие как ширины и дифференциальные распределения, содержат наряду с фундаментальными параметрами теории также форм факторы, связанные с присутствием адронов в раснадном процессе. Вследствие этого, извлечение информации о параметрах Стандартной модели из экспериментов по мезонным распадам требует надежной информации о структуре адронов и об адронных амплитудах слабых кварковых токов.
Теоретическое описание адронных амплитуд кварковых токов является одной из ключевых проблем физики частиц, поскольку такие амплитуды представляют собой мост между КХД. формулируемой на языке кварков и глюонов, и наблюдаемыми явлениями, имеющими дело с адронами. Основная сложность вычисления таких амплитуд заключается в том, что формирование адронов происходит на достаточно ’больших’ расстояниях - порядка радиуса конфайн-мента, где пертурбативные методы КХД неприменимы и где необходимо непер-турбативное рассмотрение.
Присутствие тяжелых кварков, т. е. кварков с массами много большими чем обратный радиус конфайнмеита. дает важные ограничения на структуру непер-
4
турбативных эффектов КХД благодаря новой - спин-флейворной - симметрии, возникающей в КХД в пределе больших масс кварков [1, 2\. Эта симметрия приводит к эффективной теории для КХД с тяжелыми кварками, известной иод названием эффективной теории тяжелых кварков (НС^ЕТ) (3|. Эффективная теория тяжелых кварков позволяет построить разложение амплитуды перехода между тяжелыми адронами (т. е. адронами содержащими тяжелый кварк) по обратным степеням массы тяжелого кварка тд.
При рассмотрении инклюзивных распадов тяжелых мезонов эффективным методом является комбинация операторного разложения (ОРЕ) и разложения но 1/тгсд. Важным следствием операторного разложения является отсутствие поправки первого порядка по 1/тпд в отношении ширин распада тяжелого кварка, связанного в адроне, и свободного тяжелого кварка. Эффекты связанности кварка в адроне проявляются только начиная со второго порядка по 1/тд [4, 5]. Для инклюзивных распадов В мезонов эти непертурбативные 1 /тпд поправки оказываются численно малыми. Благодаря этому подход, основанный на операторном разложении, дает надежные предсказания для интегральных ширин. К сожалению, такой подход оказывается менее эффективным при рассмотрении дифференциальных распределении. Для описания последних необходима более детальная информация о динамике Ь кварка внутри В мезона.
При теоретическом анализе эксклюзивных В -> Д О* распадов, индуцированных слабым заряженным Ь с током, оба кварка, Ь и с, могут считаться тяжелыми. Для этого случая эффективная теория тяжелых кварков определяет разложение распадных форм факторов в ряд но обратным степеням масс Ь и с кварков и ведет к появлению универсальных, не зависящих от процесса, форм факторов в каждом порядке 1/тд разложения |б, 7). Более того, симметрия тяжелых кварков определяет абсолютное значение функции Изгура-Вайза {универсального форм фактора, возникающего в главном порядке по I/гад) при максимально возможной передаче импульса, или, другими словами, при нулевой отдаче. Эффективная теории тяжелых кварков, однако, не позволяет вычислить универсальные форм факторы для всех кинематически доступных передач импульса.
При описании эксклюзивных В -э 7г, р, А", К* распадов, происходящих за счет слабых заряженных Ь —> п,5 токов, начальный Ь кварк является тяжелым, а конечный и или 5 кварк - легким. Для такой ситуации в кинематической области вблизи максимальной передачи импульса (т. е. области малых отдач) возникают интересные соотношения между форм факторами переходов, индуцированных различными токами |8|. В противоположной кинематической области больших отдач, когда конечный кварк имеет большую энергию Е, возможно построение еще одной эффективной теории, т. н. эффективной теории для больших энергии (ЬЕЕТ) (9|. Эта эффективная теория позволяет получить для форм факторов мезонных распадов, индуцированных различными кварковыми токами, двойное разложение по степеням 1/Е и 1 /ть. Эффективная теория для больших энергии предсказывает появление нескольких универсальных форм факторов в главном порядке по 1/Е и 1/ть, однако не позволяет вычислить эти форм факторы, а также не определяет структуру поправок
5
высшего порядка.
Суммируя сказанное выше, симметрия тяжелых кварков дает важные ограничения на структуру непертурбативных поправок в распадах тяжелых адронов, в частности на форм факторы перехода, но не позволяет вычислить эти поправки. Такая задача требует детального рассмотрения непертурбативных эффектов сильных взаимодействий.
Теоретические подходы для вычисления форм факторов перехода - это кварковые модели (10-27), правила сумм КХД (28-39), решеточные КХД вычисления (40-48). Комбинации разных методов также довольно популярны (49-56).
Несмотря fia достигнутый в последние годы значительный прогресс, ошибки теоретических предсказании для форм факторов составляют 10-15%. Наибольшей проблемой, препятствующей получению полной картины форм факторов для различных распадов и для всех кинематически доступных q2, является то, что методы, непосредственно свызанные с лагранжианом КХД, такие как решеточные методы и правила сумм, имеют ограниченную область применимости, в то время как результаты феноменологических кварковых моделей сильно зависят от' деталей формулировки конкретной модели и от численных значений используемых параметров.
Правила сумм КХД хорошо работают для описания форм факторов в области малых q2. В зависимости от вида правил сумм, они содержат различные фундаментальные параметры КХД, такие как значения конденсатов или функций распределения легких мезонов, рожденных в слабом распаде. Для описания форм факторов в области больших q2 необходимо включение в рассмотрение высших поправок, что ведет к появлению большого числа новых параметров. Поэтому область больших q2 оказывается практически недоступной для рассмотрения в рамках правил сумм. Следует также учитывать, что точность метода ограничена необходимостью выделения вклада определенного состояния па фоне других изолированных состоянии и континуума. Эта процедура ведет к появлению таких специфических параметров правил сумм, как порог континуума и области борелевских масс, при которых правила сумм стабильны.
Решеточные вычисления дают надежные результаты при больших q2. Однако, из-за большого количества экстраполяционных процедур, метод не дает полной картины форм факторов и соотношений между форм факторами различных распадов.
Кварковые модели дают такие соотношения, устанавливают связь между различными распадами посредством волновых функции мезонов, участвующих в слабом распаде, и определяют форм факторы во всем кинематически доступном интервале q2. Однако, кварковые модели не имеют непосредственной связи с Лагранжианом КХД (по крайней мере эта связь до сих пор строго не установлена) и поэтому содержат параметры, которые непосредственно не измеримы и могут не иметь фундаментального значения.
Поскольку кварковые модели не выводятся непосредственно из Лагранжианом КХД. при построении конкретной модели, основанной на физической картине конституентных кварков, представляется важным удовлетворить известным строгим предсказаниям КХД для раснадных форм факторов в пределе больших
6
кварковых масс.
Приложение различных версий кварковой модели к слабым распадам имеет длинную историю. Первые модели были основани на частично-релятивистском [10) или нерелятивистском [11, 12] рассмотрении. Они не учитывали должным образом динамику кварков и кварковую спиновую структуру, и поэтому не могли полностью удовлетворить соотношениям между форм факторами, основанным на спин-флейворной симметрии КХД в пределе тяжелых кварков.
Самосогласованное релятивистское рассмотрение кварковых спинов может быть выполнено в кварковой модели на световом конусе [57, 58). Модель позволяет вычислить в терминах кварковых волновых функций партонный вклад в форм фактор, однако не позволяет вычислить так называемый непартонный вклад. Партонный и непартонный вклады в отдельности зависят от конкретного выбора системы отсчета, и только их сумма определяет релятивистски-инвари-антный форм фактор. При пространственно-подобных передачах импульса, непартонный вклад может быть обращен в нуль надлежащим выбором системы отсчета. Следовательно, партонный вклад, вычисленный в этой системе отсчета, определяет форм фактор вцелом. Однако, при времени-подобных передачах импульса непартонный вклад не может быть обращен в нуль выбором системы отсчета, а знание одного только партонного вклада недостаточно для определения форм фактора.
В настоящей диссертации представлен релятивистский дисперсионный подход к распадам адронов, основанный на картине конституеитных кварков, который позволяет преодолеть эти трудности. Подход был сформулирован в работах |24, 25, 26, 27], и использован для описания непертурбативных эффектов сильного взаимодействия в различных процессах с участием В мезонов: в эксклюзивных полулептонных [24, 25, 26, 27, 59, 60, 61] и редких [62, 63] распадах, для описания В —> ч1и форм факторов и слабой аннигиляции в редких радиационных распадах В -» /ту [64, 65], для анализа нефакторизационных поправок к
- £° смешиванию ]66), для вычисления дифференциальных распределении в инклюзивных В -э Хс1и распадах [67].
Подход основан на последовательном учете двухчастичных сингулярностей Фейнмановских диаграмм, описывающих связанное состояние и его взаимодействия. Ампитуды таких процессов даются релятивистскими дисперсионными представлениями по массовым переменным в терминах волновых функций участвующих в процессе адронов и спектральных плотностей соответствующих Фейнмановских диаграмм. В частности, дисперсионный подход позволяет получить представления для форм факторов слабых распадов мезонов через их волновые функции как для пространствен но-подобных передач импульса, так и для распадных времениподобных передач.
Мы представляем формулировку дисперсионного подхода и его приложение, к различным процессам с участием тяжелых мезонов, уделяя основное внимание вычислению форм факторов для слабых распадов тяжелых мезонов.
Рассмотрим основные положения дисперсионной формулировки конститу-эитной кварковой модели:
7
1. Физическая картина
Картина конституэнтных кварков основана на следующих физических феноменах КХД:
• Нарушение киральной симметрии в низкоэнергетической области, ведущей к появлению масс у легких кварков и возникновению конетитуентных кварков с массами масштаба сотен ГэВ.
• сильная локализация мезонных координатных волновых функций в области размера порядка радиуса конфайнмента.
• Кварк-антикварковая структура мезонов в терминах конституэнтных кварков.
Как хорошо известно из пертурбативной КХД, кварк-антикварковая компонента мезонной волновой функции в терминах токовых кварков определяет главный вклад в эксклюзивный форм фактор мезона в глубоко-неупругой области, т. е. в области больших пространственно-подобных передач импульса. Удивительно успешное описание спектра масс мезонов как кварк-антикварковых (дд) связанных состояний, выполненное в работе [68], указывает на то. что дд картина хорошо работает также и в мягкой области, если правильно учитывать переход токовых кварков в конституэнтные. Например, кварк-антикварковая состав мезонов в терминах конституэнтных кварков ведет к хорошему описанию упругого форм фактора мезона при малых и промежуточных передачах импульса [69. 70]. Поэтому разумно ожидать, что двухчастичное приближение даст надежное описание области передач импульса, характерной для слабых распадов тяжелых мезонов.
Важным недостатком предшествующих вычислений в рамках модели консти-туентных кварков являлась сильная зависимость результатов от деталей формулировки модели и численных значении параметров. Мы покажем, что если
(a) последовательный релятивистский формализм используется для описания форм факторов и
(b) численные значения параметров модели выбираются надлежащим образом (мы обсудим критерии такого выбора ниже), то
модель конетитуентных кварков дает результаты в полном согласии со всеми имеющимися экспериментальными данными и предсказаниями более фундаментальных теоретических подходов. Кроме того, наш подход дает предсказания для форм факторов процессов, которые еще не были измерены.
2. Формализм
Для описания форм факторов слабых мезонных переходов во всей области дг и для различных начальных и конечных мезонов, необходимо последовательное релятивистское рассмотрение. Дисперсионная формулировка кварковой модели
8
позволяет провести такое рассмотрение и гарантирует правильные спектральные и аналитические свойства полученных форм факторов.
Форм факторы даются двойными спектральными представлениями по переменным 51 и 52, которые являются квадратами инвариантных масс соответственно начальной и конечной пары. Интегрирование по 51 и 52 происходит вдоль двухчастичных разрезов в комплексных 51 и 52 плоскостях. Спектральные плотности этих дисперсионных представлений содержат волновые функции участвующих мезонов и двойные спектральные плотности соответствующих треугольных Фейнмановских диаграмм.
Мы начинаем рассмотрение с области д2 < 0, где двойные спектральные плотности Фейнмановских диаграмм могут быть вычислены по известным правилами Ландау-Куткоского.
Форм фактор в распадной области ц1 > 0 получается путем аналитического продолжения по переменной <72. Специфической чертой форм фактора в распадной области <?2 > 0 является появление аномального разреза в области комплексных 51 и 52 и, соответственно, аномального вклада в форм фактор. Заметим, что как нормальный, так и аномальный вклады в форм фактор полностью определяются волновыми функциями мезонов в физической надлорогежой области переменных 5! и 52. Аномальный вклад отсутствует при д2 < 0, мал при малых положительных д2, но становится доминирующим но мере роста д2.
Форм факторы, полученные в соответствии с таким подходом удовлетворяют всем строгим ограничениям на форм факторы, известным из КХД в пределе тяжелых кварков:
Именно, форм факторы дают правильное разложение в главном и следующим за главным порядком по \jrriQ в случае когда оба кварка, участвующие в слабом переходе, считаются тяжелыми, т. е имеют массы много большие обратного радиуса конфайнмента КХД.
Дтя слабых мезонных распадов, индуцированных переходом тяжелого кварка в легкий, т. е. в случае, когда только начальный кварк считается тяжелым, форм факторы дисперсионного подхода удовлетворяют известным из КХД соотношениям между форм факторами векторного, аксиального и тензорного токов в области малых отдач. В области малых д2 распада тяжелого мезона в легкий, форм факторы удовлетворяют соотношениям, известным из эффективной теории при высоких энергиях в низшем порядке ПО 1 /шд и 1 /Е.
Отметим еще раз, что форм факторы в физической распадной области <Г > 0 целиком определяются мезонными волновыми функциями.
3. Параметры модели
В предыдущих анализах, проводимых в рамках кварковых моделей, было обнаружено, что форм факторы чувствительны к численным параметрам модели, таким как массы конституэнтных кварков и форма волновых функций мезонов.
Один из возможных и эффективных путей надлежащего выбора масс кварков и волновых функций мезонов может быть использование результатов вычислений В -> р форм факторов на решетке в качестве ’экспериментальных’
9
данных. Массы конституэнтных Ь и и кварков и параметры наклона гауссовых волновых функциий В. тг, и р мезонов определены таким образом [59|. Параметры гауссовых волновых функциий Г), Г)* мезонов и странных мезонов и массы конституэнтных с и 5 кварков фиксированы путем описания измеренных ширин полулептонных распадов Г) —> (К, К*)Ь [61].
Используя эти немногочисленные ’входные данные', получены многочисленные предсказания дня форм факторов слабых распадов £>(.,) и В(х) мезонов, которые хорошо согласуются со всеми известными результатами экспериментов. Полученные форм факторы так же находятся в хорошем согласии с результатами вычислений на решетках и правилами сумм КХД в тех областях передач импульса, где эти подходы применимы.
Таким образом, несмотря на широкий интервал масс и свойств мезонов, участвующих в слабых распадах, все имеющиеся данные по форм факторам могут быть описаны в рамках достаточно простой кварковой картины, т. е. поведение форм факторов полностью определяется небольшим числом степеней свободы конституентных кварков. Детали поведения волновых функций мезонов не существенны, важна только локализация кварков в области конфайнмен-та. Другими словами, только радиусы мезонов существенны для описания процесса распада.
Диссертация устроена следующим образом:
В Главе II представлены детали подхода к релятивистским составным системам, основанного на спектральных представлениях по массовым переменным. Мы рассматриваем амплитуду рассеяния конститентов в области низких энергий и ее аналитические свойства. Мы затем обсуждаем взаимодействие таких конституэнтов с внешним электромагнитным нолем и строим релятивистски-й калибровочно-инвариантную амплитуду взаимодействия для их связанного состояния. Рассматривается упругий электромагнитный форм фактор и вводится релятивистская волновая функция. Условие нормировки этой волновой функции соответствует условию сохранения заряда.
Изучаются свойства псевдоскалярных мезонов. Выводятся дисперсионные представления для константы слабого распада, упругого электромагнитного форм фактора, и форм фактора слабого перехода при д2 < 0 в терминах кварковых волновых функций мезонов. Проводится сравнение и показывается эквивалентность дисперсионного подхода с результатами кварковой модели на световом конусе.
Форм фактора слабого перехода в области с/2 > 0 получается путем аналитического продолжения по д2. Подробно обсуждаются детали этой процедуры.
Затем рассматривается случай, когда один из кварков в псевдоскалярном мезоне является тяжелым. Анализируя переход к пределу т<2 -> оо, мы исследуем величины 1 /т<2 эффектов в форм факторах в области масс 6 и с кварков.
Глава III содержит подробный анализ слабых распадов псевдоскалярных мезонов в псевдоскалярные и векторные мезоны. Построены двойные спектра.'!ь-
10
ные представления для обоих этих случаев. Мы начинем с области г/2 < 0 и продвигаемся в область q2 > 0 путем аналитического продолжения. Обсуждается процедура фиксации вычитательных членов в спектральных представлениях.
Проводится 1 /rriQ разложение дисперсионных форм факторов для случая перехода тяжелого мезона в тяжелый в главном и следующем за главным порядках по 1 /гад. Для перехода тяжелого мезона в легкий проводится анализ главных по 1 /m.Q членов. Показано полное согласие с 1 JrriQ разложением в КХД в обоих случаях.
Получены спектральные представления для функции Изгура-Вайза и универсальных форм факторов, возникающих в следующих за главным порядках по 1 /шд, через волновую функцию бесконечно тяжелого мезона. Даны численные оценки для этих величин.
В главе IV обсуждаются численные параметры модели и проводится вычисления форм факторов для слабых распадов D(Dg) и B(BS) в легкие мезоны. Приводятся удобные параметризации вычисленных форм факторов. Из анализа форм факторов вблизи полюсов, расположенных вне физической распадной области, получены численные оценки для констант сильных пионных распадов тяжелых мезонов. Константы сильных пионных распадов, полученные таким образом, хорошо согласуются с результатами прямых расчетов в рамках дисперсионного подхода.
Проведено детальное сравнение с экспериментальными данными и результатами других подходов. Во всех случаях продемонстрировано хорошее согласие с экспериментальными данными по форм факторам и константам сильных распадов.
В главе V анализируются В —> у lu форм факторы и слабая аннигиляция в редких распадах В -» ру в рамках факторизационного приближения. Дано подробное рассмотрение контактных членов в амплитуде процесса слабой аннигиляции. Обсуждается новый, неизвестный ранее, вклад в амплитуду, связанный с излучением фотона из кварковой петли, содержащей легкие кварки. Получены численные оценки для форм факторов.
Глава VII содержит анализ нефакторизуемых эффектов в В0 - ÉG смешивании, происходящих за счет обменов мягкими глюонами. В предположении о доминантности локального глюонного конденсата, поправка к факторизации может быть представлена в виде специфических форм факторов перехода В мезона при нулевой передаче импульса. Показана отрицательность такой поправки независимо от конкретных значений форм факторов. Проводится вычисление форм факторов в рамках дисперсионного подхода и даются численные оценки.
В главе VII рассматривается приложение дисперсионного подхода к описанию инклюзивных распадов В -> Хс1и. Получены спектральные представления для интегральной ширины полулеитонного распада и дифференциальных рас-
11
пределений в терминах кварковой волновой функции В мезона. Вы питательная процедура для спектральных представлений определена таким образом, чтобы обеспечить отсутствие 1/т<2 поправок в отношении ширин полулептонного инклюзивного распада связанного в В мезоне и свободного Ь кварков. Используя определенную ранее волновую функцию В мезона, мы рассчитываем различные дифференциальн ые расп ределе н и я.
В Заключении перечислены основные результаты диссертации.
12
2 Спектральные представления для форм факторов релятивистской составной системы
В этой главе представлен формализм для релятивистского описания форм факторов адронов в рамках картины конституентных кварков. Глава основана на работах [24, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78].
Настоящий подход основан на представлении амплитуды взаимодействия адрона с внешним нолем в виде дисперсионного интеграла по массовой переменной в терминах кварковой волновой функции адрона. Этот метод соответствует самосогласованному описанию лидирующих двухчастичных сингулярностей амплитуды рассеяния кварков и форм фактора адрона как составной системы в области пространственно-подобных передач импульса q. Форм фактор при времени-подобных передачах импульса, соответствующих физической области распада Mini -» Мjinal, получается путем аналитического продолжения по переменной q2 из области q2 < 0 в область г/2 > 0. В результате такой процедуры форм фактор слабого распада в физической области г/2 < (Mmt — Мможет быть выражен через волновые функции начального и конечного адронов.
Приложение спектральных представлений к описанию составных систем и их взаимодействии имеет длинную историю [79, 80, 81, 82, 83]. Наиболее распространены спектральные представления по квадрату переданного импульса с/2. В этом случае аномальные сингулярности по q2 появляются в явном виде как отдельные вклады в спектральные представления.
В настоящей работе представлен подход к описанию релятивистских связанных состояний, основанный на спектральных представлениях по массовым переменным. При таком подходе аномальные сингулярности оказываются учтенными в обычных дисперсионных интегралах для форм факторов в области пространственно-подобных передач импульса, отвечающих задаче рассеяния. Форм факторы в области времени-подобных передач импульса, отвечающих распаду, получаются путем аналитического продолжения. В этом случае аномальные сингулярности дают отдельные дополнительные вклады в спектральные представления для форм факторов.
Важным преимуществом спектральных представлений по массовым переменным является возможность введения самосогласованным образом реляти-вистски-инвариантной функции, описывающей распределение конституентов внутри связанного состояния, которая может быть интерпретирована как волновая функция связанного состояния. Мы рассмотрим, как именно такая волновая функция возникает при учете только двухчастичных сингулярностей Фейн-мановских диаграмм.
В разделе 2.1 представлены некоторые необходимые технические подробности описания релятивистских связанных состоянии с помощью спектральных представлений.
В разделе 2.2 дано детальное рассмотрение псевдоскалярных мезонов в рамках дисперсионного подхода (константа слабого лептонного распада, упругий электромагнитный форм фактор) и продемонстрирована эквивалентность дис-
13
перс ионного подхода и кварковой модели на световом конусе [57].
В разделе 2.3 изучаются форм факторы, описывающие слабые переходы между псевдоскалярными мезонами. Сначала рассматривается область д2 < 0. Затем производится аналитическое продолжение по переменной д2 в область д2 > 0 и демонстрируется появление аномального вклада в форм фактор в этой кинематической области. Появление аномального вклада тесно связано с сингулярностями Фейнмановских диаграмм, которые не описываются правилами Л андау- Куткоского.
В разделе 2.4 исследуются электрослабые свойства псевдоскалярных мезонов в рамках модели для волновых функций псевдоскалярных мезонов, основанной на КХД в пределе тяжелых кварков. Эта модель позволяет изучить зависимость постоянной слабого лептонного распада /*» и упругого форм фактора тяжелого мезона от массы тяжелою кварка шд. В частности, изучается перехода к пределу тд -> со и обсуждается величина нелидирующих 1/тд-поправок к пределу тяжелых кварков для кварковых масс в области Ь и с кварков.
Мы вычисляем форм факторы слабых распадов во времени-подобной области и производим сравнение наших результатов с результатами других теоретических подходов и экспериментальными данными.
2.1 Описание составных систем с помощью спектральных представлений
В этом разделе мы приводим некоторые детали дисперсионного подхода к описанию релятивистских связанных состояний. Для простоты изложения рассмотрим случаи двух бесспиновых конституентов с массами тл и тг, взаимодействующих посредством обменов мезонами с массой д.
Начнем с рассмотрения ампитуды рассеяния двух реальных конституентов
Амплитуда как функция переменной з имеет разрезы в комплексной .9- плоскости, связанные с упругими перерассеяниями и рождением новых мезонов. Пороги, соответствующие этим разрезам находятся при
Предположим, что конституэнты образуют 5-волновое связанное состояние с массой М < т.] ч- Ш-2-Тогда парциальная амплитуда Ао($) имеет полюс при 9 = М2.
Наряды с вышеупомянутыми правыми 9-канальными разрезами, амплитуда А(з, £) также имеет ^-канальные разрезы с порогами при t = (п/л)2; п =
/1(9, Ь) = {к[,к!2\3\кик2)>
з = {к} 4- кг)2, I = (к} -к[)2,
(1)
5 = {гП} + т2)2, (т! 4- тг 4- /г)2, (тп^ 4- гпг 4- 2/х)2 ...
(2)
14
Рис. 1: Один из членов разложения ЛоМ
1,2,3.... Эти сингулярности связаны с обменами мезонными состояниями. Для построения амплитуды в низкоэнергетической области s > (тп\ + m2)2 удобным является дисперсионное N/D представление.
Рассмотрим 5-волновую парциальную амплитуду
1
Ло(«) = J dzA(syt(s,z)), (3)
-1
где
t(z) = -(1 - z)À(s,m?,m|)/2s, (4)
г = cos# в системе центра масс. Как функция комплексной переменной $, /4о(з) имеет правые сингулярности, связанные с 5-канальными сингулярностями A(s,t). Кроме того, она имеет левые разрезы с порогами, расположенными при
s = (wi + тъ)2 - (пр.)2; п = 1,2,3 —
Эти левые разрезы индуцируются i-канальными сингулярностями амплитуды A(s,t).
Условие унитарности в области s æ (rrii + т2)2 имеет вид
1тА(*)=р(*)ИоИ|2, p(s) = (5)
где p(s) - двухчастичный фазовый обьем. В рамках N/D метода парциальная амплитуда представляется в виде >1q(s) = /V(s)/D(s), где функция N имеет только левые сингулярности, a D - только правые. Условие унитарности дает
ОС
D(s) = 1- /
J 7Г
ds p(s)N(s)
в - $
(т 1 +тг)2
= 1 - В(в). (6)
Предполагая , что функция Дг неотрицательна, введем (?($) = Тогда
парциальная амплитуда принимает вид
Ло(5) = £($)[1 + В($)+В2($)+В3($)-К..]а($)
С(з)С(8)
1-ад* [)
15
Это представление может быть интерпретировано как ряд петлевых диаграмм Рис. 1 с базовой петлевой диаграммой
7 (8)
J 7Г 5 — 5 (гщ+тг)2
Связанному 5-волновому состоянию с массой М отвечает полюс как в полной, так и в 5-волновой парциальных амплитудах при 5 = М2, так что
В(Л/2)=1. (9)
Вблизи полюса имеем
.4 = {к[, к'2\р) М2 ^ ^ {р\к1,к2) +...
= х;«.^)д75~Х#ьЫ + -.. (Ю)
где величина Хр{кьЫ представляет собой ампутированную Вете-Салпитеров-скую амплитуду связанного состояния. Дисперсионная амплитуда вблизи полюса имеет вид
А = N/D + ...
G2(M2)
+ ... (11)
“ М2 - s
где Gv - вершина перехода связанного состояния в конституэнты,
°° ds p(.s) G2(l)
В
'<«•>- / "04#- ™
(mi+ma)1
Сингулярные члены в (10) и (II) соответствуют друг другу, так что
)^адг7М=. (13)
Отметим еще раз, что построенная дисперсионная амплитуда из всех правых особенностей содержит только двухчастичный разрез.
Рассмотрим взаимодействие такой двухчастичной системы с внешним электромагнитным исхаем. Амплитуда этого процесса
Г„ = М.ЦШкикг)
при наличии связанного состояния принимает вид
Г* = (к\Л\р'>^^(рУМ^~Г2Ы^^ + ---
~ хЦк\А) ре 1 М2 (Р + р')^(?2)р.г м2Хр(кик2) + ■ ■ ■ ■ (14)
16
Рис. 2: Один из членов ряда, определяющего Тм.
(15)
Дисперсионная амплитуда 7^ в двухчастичном приближении (то есть содержащая только двухчастичные разрезы в р2- и р'2-канал ах) дается |72] диаграммами типа изображенной на Рис. 2.
Эти диаграммы получаются из дисперсионных диаграмм для амплитуды рассеяния конституэнтов вставками фотона в линии, отвечающие распространению конституэнтов. Амплитуда имеет вид
Дисперсионный подход позволяет определить Т{$} д2), поперечную по вектору
д часть амплитуды. Суммиривание графиков Рис. 2 дает
и A(s',s,g2) - двойная спектральная плотность Фейимановской треххвостной диаграммы с точечными вершинами взаимодействия конституэнтов. Продольная часть С определяется тождеством Уорда
Wp.<7) = 2рМП*',*,я2) + ^с,
(16)
Ч = р' “Р,
рМ = (p-ptfV
(17)
Здесь
Г (s’,s,q2)= I
(18)
В области s — s1 — М2, Tß имеет полюса по $ и s1, так что имеем
(19)
17