Введение.
В настоящей работе исследуется влияние на электромагнитное поле цилиндрической неоднородности сложного сечения. Такого рода задачи относятся к двумерным граничным задачам теории дифракции, описывающим процессы распространения гармонических электромагнитных колебаний в присутствии локальных рассеивателей, обладающих различными электрическими и магнитными свойствам и.Они формулируются в виде системы уравнений Максвелла с принципом предельной амплитуды на бесконечности и граничными условиями на поверхностях, где диэлектрическая и магнитная проницаемость среды испытывают скачки. Особенность нашей задачи заключается в том, что поверхность неоднородности не совпадает с координатными поверхностями системы координат, в которой имело бы место разделение переменных. Кроме того, предложенные ниже методы решения не накладывают ограничений не гладкость контура рассеивателя и позволяют рассматривать неоднородности, границы которых содержат угловые точки.
Подходы к решению такого класса задач в высокочастотном случае, т.е. когда характерные размеры тела много больше длины волны в вакууме, сравнительно хорошо изучены, составляют самостоятельную область исследований и основаны на гаких ассимптотических методах, как методы геометрической или физической оптики [1-3], или комбинации методов, например, физической оптики и интегральных уравнений [4, 5], которые позволяют рассматривать тела, имеющие угловые точки. В частности, в [6 - 8] для решения задач дифракции на многоугольниках произвольной конфигурации используются представления краевых волн в сочетании с методом интегральных уравнений. Значительный интерес представляет исследование геометрической неоднородности в низкочастотной области,
1
когда характерные размеры задачи меньше длины волны в вакууме. Именно в этой области наблюдаются наиболее интересные эффекты, находящие применение в теории антенн. Так, при размещении низкочастотной антенны на рельефных возвышенностях может иметь место значительное усиление полей; например, для холма в виде иолуэллипсоида, расположенною на бесконечно проводящей плоскости, это усиление может быть весьма заметным в зависимости от соотношения полуосей [9, 10]. Именно низкочастотному случаю и посвящена данная работа.
Исследование граничных задач электродинамики при наличии угловых, или сингулярных точек, начиналось с рассмотрения дифракции на идеально проводящем клине. Эта проблема имеет особую важность, поскольку позволяет выделить эффекты, непосредственно обусловленные наличием угловых точек на границе неоднородности. В настоящее время она строго решена [11], в том числе и для клина с конечной диэлектрической проницаемостью. Среди обширного списка работ, посвященных данной теме, выделим [12], где рассматривается случай двух состыкованных клиньев и для решения применяется аппарат задачи Римана - Гильберта; в [13] рассмотрен вопрос о пополнении рядов Мейкснера, введенных в [14], логарифмическими членами; [15, 16], где использован аппарат интеграла Зоммерфельда - Малюжинца для построения решения задачи дифракции на импедансном клине. В числе последних исследований отметим работу [17], в которой развиты математические аспекты, расширяющие область применения аппарата интеграла Зоммерфельда - Малюжинца, а также разработана схема регуляризации сишулярных интегральных уравнений, возникающих при решении задач о клиньях.
В основе методов решения граничных задач дифракции при наличии угловых точек лежит идея обращения сингулярной части оператора задачи и сведения уравнения к виду, допускающему приближенные способы
2
решения. В результате приходят либо к интегральному уравнению с вполне непрерывным в 12 либо в Ц оператором и к корректным бесконечным системам линейных алгебраических уравнений второго рода БСЛАУ-Н. Имеется несколько различных вариантов, основанных на обращении сингулярной части матричного оператора, предусматривающих привлечение подходящего для данного случая математического аппарата. Среди них одним из первых, примененных к дифракционным задачам, является метод Винера
- Хопфа [18], который первоначально был разработан для решения интегральных уравнений специального вида. Сущность его состоит в том, что решение системы функциональных уравнений, получаемой после преобразования Фурье исходной задачи, можно свести к построению некоторой аналитической функции во всей плоскости комплексного переменного пугем факторизации и методом аналитического продолжения. Метод Винера - Хопфа был использован для исследования дифракции волн на пластинах конечной ширины и толщины, а также в различных волноводах и на периодических структурах; возможности его применения наиболее полно изложены в 119]. Модификацией метода Винера - Хопфа является метод задачи Римана - Гильберта, названный так потому, что основывается на аппарате задачи Римана - Гильберта теории аналитических функций. Если в задаче Винера - Хопфа факторизация проводится на верхней и нижней полуплоскостях, то в задаче Римана - Гильберта - для внутренности и внешности, вообще говоря, произвольной) замкнутого контура, в частности
- дня единичной окружности. Одним из первых примеров его реализации является |20]; дальнейшее развитие он получил в ряде работ при изучении дифракции на многоэлементных и многослойных решетках, на различных ленточных препятствиях, в волноводах; основные результаты этих работ собраны в [21]. Аппарат задачи Римана - Гильберта со сдвигом использован в [12] для решения задачи дифракции на комбинации двух прямоугольных
3
клиньев, один из которых обладает конечной, а другой бесконечной диэлектрической проницаемостью. При решении задач дифракции в волноводах с угловыми точками в ряде случаев оказывается эффективным решение нерегулярной БСЛАУ модифицированным методом вычетов (ММВ), предложенным в [22] и обобщенным на случай произвольной криволинейной системы координат в [23]. В ММВ регуляризация исходной БСЛАУ - I достигается благодаря учету условия на ребре, в результате задача сводится к определению коэффициентов полинома по известным значениям в дискретных точках. Общей чертой метода Винера - Хопфа и ММВ является их применение только в координатных задачах (т.е. в таких, где поверхность неоднородности совпадает с координатными поверхностями системы координат, в которой имеет место разделение переменных), сложность решений либо процедуры их построения растут с усложнением геометрии, решение каждой новой задачи требует индивидуального подхода и построения специального алтритма. Вследствие этого практически отсутствуют примеры их реализации для задач со сложными границами.
В случае исследования областей со сложной структурой, в которой не удается выбрать единое представление для искомого поля, производится разбиение всей области на регулярные смежные подобласти, для каждой из которых можно получить решение в виде разложений в бесконечные ряды по полным системам собственных функций соответствующих краевых задач. Поскольку вид базисных функций известен, задача сводится к определению системы коэффициентов (амплитуд) при этих функциях в разложениях поля в каждой из частичных областей (метод частичных областей - МЧО). Для полного решения задачи необходимо выполнение условий непрерывности полей и их нормальных производных на общих границах частичных областей. Это требование и использование свойств полноты и ортогональности собственных функций обычно приводят к БСЛАУ
4
относительно неизвестных амплитуд собственных волн. В общем случае, поскольку выбор “естественных” (т.е. определяемых соответствующей системой координат) наборов базисных функций, как правило, не обеспечивает правильного поведения искомого решения в окрестности угловых точек, это приводит к получению матричного либо интеїрального уравнения первого или второго рода с оператором, не обладающим конечной нормой в классах 12 либо Ц соответственно. Редукция БСЛАУ - I или II в этом случае некорректна и может привести к явлению относительной сходимости или отсутствию сходимости приближенных решений к точному |22, 24], и даже к заведомо неправильным физическим результатам [25]. Рядом авторов была выработана целая система необходимых (но отнюдь недостаточных) способов проверки решений, построенных в результате формального усечения БСЛАУ: закон сохранения энергии, условия сопряжения решений на границах частичных областей, правильность поведения вблизи угловых точек, приемлемое совпадение полученных различными методами решений и пр. [24, 25, 26]. Однако в большинстве случаев такие методы лишены строгого математического обоснования; так, в [27) показано, что, например, в некоординатных задачах последовательность решений может быть и сходящейся и удовлетворяющей закону сохранения, и в то же время не являться решением БСЛАУ.
В ряде работ предложен такой вариант реализации МЧО, при котором оператор бесконечной системы оказывается нормируемым [28 - 31]. В этом случае в качестве базисных функций выбирается полная система полиномов Чебышева [32], или полиномов Гегенбауера [30, 31,33 - 40] или функций Матье (при этом каждое звено считается вырожденным эллипсом) [41, 42] с весовым множителем, учитывающим характер поведения функций в угловых точках. В результате такой процедуры получается бесконечная регулярная система, приближенное решение которой может быть найдено
5
методом редукции. Таким способом решается задача дифракции плоской волны на многоугольном цилиндре [291, на пересекающихся круговых цилиндрических телах [30, 371, а также на равностороннем уголковом рефлекторе, в волноводном трансформаторе [41].
Харьковской школой радиофизиков разработан метод выделения и точною обращения сингулярной части матричною оператора системы, полученной в результате сшивания в МЧО - метод полуобращения (МПО), который подробно описан в монографии [431. Ключевой момент ею - представление оператора исходной БСЛАУ - I в виде суммы двух слагаемых, одно из которых содержит в себе всю сингулярность задачи и допускает обращение. То есть, должен быть известен оператор, обратный к выделенной сингулярной части, применение которою к исходной системе приводит к БСЛАУ-ІГ с оператором фредгольмового типа. В МГІО выделяемая и обращаемая часть оператора представляет собой матрицу с разностным ядром. Элементы обратной матрицы выражаются через бесконечные произведения. Эго требует обязательного использования ЭВМ и не позволяет получить достаточно точную аналитическую оценку погрешности численных результатов. К достоинствам метода следует отнести прежде всего возможность его применения к некоординатным задачам. В [43, 44] приведены результаты исследования дифракции поля на изломах волновода, в структурах с диэлектрическими вставками различной формы, на периодических структурах типа эшелетт, решетках жатюзи и др.
Метод квазистатической функции Грина (МКФГ) зародился как вариант обобщенного проекционного метода, предложенного Вербицким в [451 и впоследствие развитым в [46]. МКФГ в качестве исходного объекта регуляризации использует не БСЛАУ-І, а систему функциональных уравнении, описывающих непрерывность тангенциальных компонент на границах частичных областей. Ее преобразование осуществляется с помощью
6
квазисгатической функции Грина - решения уравнения Лапласа в рассматриваемой структуре с соответствующими граничными условиями. При нахождении явного вида КФГ может использоваться как аппарат конформных отображений [47 - 49], так и некоторые специальные методы [50 - 511. В результате такой математической переформулировки задачи приходят к БСЛАУ-И, матричные элементы которой есть произведения некоторых величин, пропорциональных квадрату частоты и коэффициентов Фурье функции Грина задачи статики. В терминах МПО, данная операция означает выделение и обращение статической части оператора Гельмгольца - лапласиана, однако здесь иной способ обращения - все операторы (в том числе и обратный) берутся в интегральной, а не в матричной форме. Последующее проектирование по системам гармонических функций в каждой из частичных областей приводит к регулярной БСЛАУ второго рода. Корректность ее следует из того, что функция Грина задачи статики в данной области удовлетворяет условиям Мейкснера в угловых точках, то есть обращенная статическая часть оператора содержит в себе сингулярность задачи, связанную с наличием угловых точек. Следует заметить, что обращение статической части оператора Гельмгольца (лапласиана) не является регуляризирующей процедурой в строгом смысле, так как имеется особенность в бесконечно удаленной точке, где требуется накладывать ограничение на поведение функции. Поэтому выбор базисных функций, удовлетворяющих заданным условиям, жестко определен. МКФГ был применен для решения задачи дифракции плоской волны на разветвлении в волноводе [52], в дальнейшем распространен на случай наличия в одной из подобластей диэлектрического заполнения [53, 54]. В работах [55 - 571 МКФГ впервые был использован для решения некоординатных волноводных задач. Преобразование исходной краевой задачи путем введения новой системы координат (конформного преобразования) означает, что анализ
7
дифракции ноля в слруктуре сложной формы без заполнения сводится к исследованию процесса распространения волн в плоском волноводе постоянного поперечного сечения, но с неоднородным заполнением. Дальнейшая переформулировка проблемы в интегральное уравнение Фредгольма II - рода [57] дает принципиальную возможность получения простых приближенных аналитических формул для поля.
Метод конформного отображения широко используется в работах [58 -65], где с его помощью решаются задачи для случая статики или в квазистатическом приближении для неоднородностей произвольной формы: для выпуклых и вогнутых цилиндрических луночек 158], для плавных горок [59 - 62], для двух холмов, расположенных вблизи [63 - 64]. При этом в низкочастотном случае, т.е. когда характерные размеры тела меньше длины волны в вакууме, для нахождения волновых нолей используется их представление в виде ряда по положительным степеням 1к [66, 67] и оказывается, что нулевое и первое приближения выражаются через решение уравнения Лапласа.
Как уже было сказано выше, обращение статической части оператора Гельмгольца (лапласиана) не является регуляризируюгцей процедурой в строгом смысле, гак как имеется особенность на бесконечности. В настоящей работе в основе используемого метода лежит обращение сингулярной части оператора Гельмгольца, связанной как с угловыми, так и с бесконечно удаленной точкой, т.е. после применения конформного отображения и сведения задачи к анашзу дифракции поля в структуре с неоднородным заполнением обращается оператор Гельмгольца в однородной среде (вакууме). Подобный подход был использован в [68 - 70] при исследовании неоднородностей типа выпуклости или ямы, однако при решении полученного интегрального уравнения МПП автор ограничился нулевым приближением, что значительно уменьшило область применимости данного
8
решения.
В настоящей работе рассматриваются задачи о нахождении электромагнитных полей над цилиндрическими неоднородностями сложной формы. Используемый метод решения позволяет рассматривать широкий класс неоднородностей, включающий в себя также неоднородности, имеющие на границе угловые точки. Такие задачи представляют интерес в плане исследования влияния рельефа местности на характер поведения полей. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и приложений.
Первая глава посвящена задаче дифракции электромагнитных волн на идеально проводящей цилиндрической неоднородности полуэллиптическош сечения, расположенной на плоскости с бесконечной проводимостью. В качестве источника берется бесконечная нить диполей, параллельная оси цилиндра. Решение такой задачи, вообще говоря, известно и носит методический характер, поскольку позволяет использовать ее в качестве “ключевой” для неоднородности более сложного сечения. Приводятся три различных метода исследования данной проблемы: первый - строгий, при котором вводятся эллиптические координаты и решение выражается через собственные функции - функции Матье; в основе второю и третьего лежит полуобращение оператора Гельмгольца, при котором выделяются и строго обращаются сингулярные части оператора, связанные с наличием на границе угловых точек и с особенностью в бесконечно удаленной точке. Различие метода зацеплящихся дифференциальных уравнений (МЗДУ) и метода полуобращения оператора Гельмгольца (МПО), основанного на получении интегрального уравнения, заключается в различном подходе к решению дифференциального уравнения с неделящимися переменными, получаемого после использования конформного преобразования и формулировки задачи в конформных переменных. Проведен сравнительный анализ и оценка
9
эффективности каждого из трех методов. Для метода МП О найдена норма интегрального оператора* и обоснованы применение МПП и возможность ограничения при установленной погрешности первым приближением. Получены аналитические выражения для статической и динамической части поля в низкочастотном приближении, построены диаграммы направленности для амплитуд и фазы в зависимости от параметров задачи.
Вторая глава посвящена обобщению метода МПО на случай неоднородности, поперечное сечение которой описывается нормальной кривой. При этом проводится исследование возможных форм неоднородностей, находятся ограничения на параметры задачи, рассматриваются также предельные случаи, когда на границе имеются сингулярные точки. В данной главе строится решение для неоднородности с бесконечной проводимостью, находятся аналитические выражения для статической и динамической части поля. Кроме того, исследуются неоднородности, состоящие из идеально проводящего ядра и прилегающего к нему диэлектрического слоя подобной формы. Находятся строгие выражения для статического поля, и построена фаза в квазистатическом приближении.
В третьей главе рассматривается задача дифракции электромагнитных волн на неоднородности типа холма или ямы, расположенной на идеально проводящей плоскости. Для ее решения также используется метод МПО, но при этом неоднородность конформно преобразовывается в плоскость. Проводится исследование двух близких по форме неоднородностей: первая представляет собой пересечение кругового цилиндра под произвольным углом (3 плоской границы раздела; вторая - близкий по форме гладкий холм. Вычисляются параметры Ламэ, и проводится их сравнительный анализ. Оценивается, при каких условиях поля для близких форм неоднородностей будут также близки. Находится норма интегрального оператора, и с помощью
10
- Київ+380960830922