Самоподобные функции, меры и их применение к спектральной теории операторов.

V
Оглавление
1 Общая конструкция самоподобных функций в
различных функциональных пространствах 35
1.1 Самоподобные функции в пространстве Ьр[0,1] 35
1.1.1 Операторы подобия в пространстве Ьр[0,1] 35
1.1.2 Неравенства, оценивающие нормы самоподобных функций / Є Ьр[0,1] через параметры самоподобия ..................... 40
1.1.3 Непрерывная зависимость неподвижной точки сжимающего отображения от параметров самоподобия................. 47
1.2 Непрерывные самоподобные функции........ 48
1.3 Связь самоподобных функций из Ьр[0,1] и самоподобных мер 53
1.3.1 Непрерывные самоподобные функции с неограниченной вариацией............. 56
1.4 Типы самоподобия........................ 61
1.4.1 Самоподобные функции положительного спектрального порядка............. 61
1.4.2 Самоподобные функции нулевого спектрального порядка.................... 63
Оглавление З
1.4.3 Спектральный порядок.................... 63
1.5 Самоподобные функции нулевого спектрального порядка, задаваемые оператором подобия, меняющего ориентацию отрезка...................... 76
1.5.1 Формулы для приближений самоподобной функции .................................. 77
1.5.2 Координаты особой точки................. 78
1.5.3 Условия неубывания функции в случае
ек = 1.................................. 80
1.6 Примеры........................................ 81
1.6.1 Некоторые конкретные самоподобные
функции................................. 81
1.6.2 Неаффинно самоподобные функции . . 82
1.7 Типы самоподобия самоподобных функций положительного спектрального параметра .... 84
2 Колебания струны с самоподобным сингулярным весом 88
2.1 Операторная модель задачи. Случай произ-
о
вольного веса р Є ІТ^О, 1].................... 89
2.2 Случай арифметического невырожденного самоподобия веса.................................... 95
2.3 Случай неарифметического самоподобия веса . 104
2.4 Случай вырожденного арифметического самоподобия веса............................. 106
2.4.1 Примеры................................ 108
2.5 Случай дискретного самоподобного веса 109
Оглавление
4
2.5.1 Самоподобные функции в 1/2[0,1] и их спектральные порядки....................... 116
2.5.2 Основные результаты.................. 122
2.5.3 Примеры.............................. 127
3 Спектральные свойства дифференциальных операторов высокого порядка с сингулярным дискретным весом 130
3.1 Самоподобная мера с вырожденным самоподобием .......................................... 134
3.2 Спектральная задача для дифференциального
оператора высшего порядка с дискретной самоподобной мерой............................. 138
4 Применение задачи Штурма-Лиувилля с дискретным самоподобным весом к якобиевым матрицам 146
4.1 Введение.................................. 146
4.2 Самоподобные функции нулевого спектрального порядка..................................... 148
4.3 Задача Штурма-Лиувилля с сингулярным самоподобным весом...........................'. . 149
4.3.1 Собственные функции задачи Штурма-Лиувилля с весом, являющимся обобщённой производной функции нулевого спектрального порядка...................... 151
4.3.2 Индефинитный случай.................. 159
5 Приложение А
161
Оглавление 5
5.1 Теоремы восстановления в невырожденном арифметическом случае............................161
5.2 Теоремы восстановления в неарифметическом случае.......................................... 169
5.3 Теорема восстановления в вырожденном арифметическом случае............................... 179
6 Приложение В 184
Цитированная литература 188
с
Введение
Самоподобные объекты (множества, меры, функции, кривые) являются частным примером фрактальных, но том не менее, они также имеют достаточно важное значение для различных областей математики. Практическое применение фракталы нашли сравнительно недавно. История их возникновения и изучения начиналась как описание или построение всевозможных экзотических примеров (контрпримеров) в анализе, теории множеств, топологии и других математических дисциплинах. Упомянем наиболее известные из них. Множество Кантора (1883 г., [62)) служит классическим примером нигде не плотного совершенного множества, квадрат и треугольник (салфетка) Серпинского (1915 г, [105), [106], более полная версия опубликована в [107]) являют собой простейшие двумерные аналоги множества Кантора. Функция Кантора (лестница Кантора) является классическим примером неубывающей непрерывной сингулярной функции. С её помощью легко построить пример меры сингулярной относительно меры Лебега.
Другие самоподобные множества, связанные с голоморфной динамике, возникали в работах Г. Жюлиа ( [80]), П. Ж. Л. Фату ( [68], [68]- [70]).
Введение
7
В дальнейшем, с связи с уточнением понятия фракталов и самоподобных множеств, эти понятия начали находить применение в теории функций, теории вероятностей, случайных процессах, анализе, качественной теории дифференциальных уравнений. Одной из работ, обратившей внимание на фрактальные объекты, является статья Б. Мандельброта [89], за которой последовали другие статьи автора и, носящая обзорный характер монография [90]. В последней работе уже были обозначены два сильно различающихся между собой класса фракталов. Первый класс связан с голоморфной динамикой (множество Мандельброта, множества Жюлиа и Фату). Фракталы, относящиеся к этому классу, являются инвариантными множествами по отношению к некоторым итерационным операциям на комплексной плоскости. Множества второго класса возникают как предельные множества, полученные в результате применения одной и той же операции (оправило преобразования») к какому-то начальному множеству (в терминологии, предложенной Мандельбротом, называемого «затравкой»). В дальнейшем оказалось, что практически все фракталы второго класса можно определить как неподвижную точку сжимающего отображения и соответствующем полном метрическом пространстве.
За последние два десятилетия литература но самоподобным множествам и фракталам стала весьма обширна, поэтому мы упомянем вкратце лишь ту часть, которая представляет интерес с точки зрения данного исследования. Кроме уже упомянутых работ [89] и [90] упомянем книгу Е. Федера
[44], содержащую большое количество примеров построения
Введение
8
фракталов. В книге С. В. Божокина и Д. А. Паршина описаны основные известные классы фракталов и также приведено множество примеров. В [71] даны определения основных классов фрактвчлов и изучены различные их геометрические характеристики (размерность Хаусдорфа, боксовая размерность, свойства проекций фракталов и т.д.). Также приведены различные приложения фракталов в теории вероятностей, теории чисел, динамических системах, физике. Накопление результатов и классификация фракталов по их общим свойствам привело к тому, что эти объекты стали широко применяться в различных областях математики, экономики, социологии.
Для нас наибольший интерес представляют фрактальные объекты, являющиеся самоподобными, т.е удовлетворяющие соотношению
п
А = 1)МА).
1=1
Здесь Д, { — 1,2,..., п — семейство сжимающих отображений в некотором полном метрическом пространстве X. Множество Л является неподвижной точкой другого сжимающего отображения в метрическом пространстве ех (непустых компактов пространства X), снабжённым метрикой Хаусдорфа. В том случае, когда каждый элемент семейства /г является аффинным сжимающим отображением, их неподвижные точки получили название аффинно-самоподобных фракталов или аффинпо-самоподобных множеств. Дальнейшее развитие идеи построения самоподобных множеств как неподвижных точек сжимающих отображений получило в работе Дж. Хат-
Введение
9
чинсона [79], в которой предложена достаточно общая конструкция самоподобных множеств и мер, на основе которой можно строить и аф и н но- само п од об н ые объекты. Сразу отметим, что меры, описанные в [79] можно получить как меры Лебега-Стилтьеса, порождённые непрерывными сингулярными функциями. Условия непрерывности самоподобной функции описано в разделе 1.2. Но наша конструкция, описанная в первой главе, позволяет строить более широкий класс мер, нежели в [79|.
Опишем вкратце конструкцию самоподобных мер по Хатчинсону. Пусть к = 1,2,. ..,п — семейство сжимающих отображений единичного отрезка /о = [0,1] в себя, удовлетворяющие условию 5л:([0,1]) = [аь^-ц]. Пусть также дан набор положительных чисел {г£}£=1> подчиняющихся условию гк = 1- Построим отображение мер 5 : д —> £(д) по правилу
п
5(м)(А) = ^г^-1(А))
к=1
для произвольного ^-измеримого множества А. Это отображение является сжимающим в пространстве мер
М1 :={/х: //((0, !]) = !},
снабжённое метрикой
(1(11, и) = вир
— J кр&и : <£ : [0,1] —* К, 1лр<р ^ 1^
Построение сначала самоподобных функций в различных функциональных пространствах, а уже потом самоподобной
1
о
Введение
10
меры по самоподобной функции, оказалось более универсальным подходом, нежели построение самоподобной меры по Хатчинсону, потому что этот подход позволяет строить как самоподобные меры, описанные в [79] и [109], так и объекты более широкого класса. Конструкция самоподобных функций, предложенная в главе 1, позволяет строить не только заряды (меры со знаком), но и элементы пространства
о
И^оМО»!]» т-е- самоподобные обобщённые функции первого порядка сингулярности. Обобщённые первообразные таких функций, вообще говоря, имеют неограниченную вариацию (см. раздел 1.3.1). Кроме того, конструкция самоподобных мер, предложенная в |79|, [109], не позволяет строить меры, имеющие дискретную компоненту.
Развитие компьютерной техники вызвало громаднейший всплеск интереса к фрактальным и самоподобным объектам и породило новое направление их применения: компьютерные и информационные технологии. Среди одного их таких направлений упомянем развитые в работах М. Барнсли [57] методы сжатия (компрессии) компьютерных изображений с помощью фракталов и самоподобных множеств. При этом сжимаемый объект (картинка) реализуется как неподвижная точка сжимающего отображения в специально подобранном метрическом пространстве. Кроме этого в этой же работе решается вопросы интерполяции изображаемых объектов или их границ непрерывными самоподобными функциями, значения которых заданы в конечном наборе точек. В конструкции этих функций параметры отображений, задающих самоподо-
Введение
11
бие, задаются через узлы интерполяции.
Кроме того, самоподобные меры находят применение и в спектральной теории операторов (см. [109]) и в гармоническом анализе (см. [19], [110]). Заметим, что в работе [19] терминология «самоподобные меры» не употреблялась, но конструкция мер. коэффициенты Фурье-Стильтьеса которых не стремятся к нулю, тем не менее использует идею самоподобия.
Различные задачи, связанные с изучением свойств вероятностных самоподобных мер, естественным образом возникают в теории фрактальных кривых, изучение которых началось с уже ставших классическими работы [100|- [102]. Впоследствии непрерывные фрактальные кривые нашли применение в теории функций, теории вероятностей, эргодической теории и т.д. (см., например, [35], [36], [63]).
Большое развитие теория фрактальных кривых получила после того, как обнаружилась её связь с теорией всплесков (вейвлетов) и масштабирующих функций (см., например, [65]). В частности, определённый интерес представляет исследование гладкости решений масштабирующих уравнений в различных функциональных пространствах. Например, в работе [66] были получены оценки сверху на показатель Гёльдераэтих решений в пространстве С[0,1]. В [99] были получены критерии таких свойств решений масштабирующих уравнений, как абсолютная непрерывность, сингулярная непрерывность, ограниченность вариации.
Расширением понятий самоподобных мер и непрерывных функций являются функции из пространств Ьр. В связи с
Введение
12
этим необходимо упомянуть о введённых в работе [36) суммируемых фрактальных кривых. В этой работе были получены критерии существования фрактальной кривой и принадлежности её классам Ьр в терминах спектральных р-радиусов рр [84]. Кроме того, там же были выведены формулы для показателей гладкости в различных функциональных пространствах.
Некоторые частные случаи квадратично-суммируемых самоподобных функций были рассмотрены в |11). Свойства самих функций не изучались. Основное отличие конструкции самоподобных функций из Ьр[0,1] от самоподобных непрерывных функций заключается в том, что параметры самоподобия нельзя определить через значения функции в некотором наборе точек. Упомянутые работы ( [109], [11]), а также некоторые результаты работ |23], [24], [25]. [26], [21], указывают на тесную связь спектра некоторых граничных задач с такими свойствами самоподобных функций как монотонность, непрерывность, абсолютная непрерывность, ограниченность вариации. В связи с этим изучение указанных и других свойств самоподобных функций различных классов представляет интерес для многих математических направлений.
Самоподобные функции, меры и множества нашли применение в спектральной теории операторов.
Рассмотрим граничную задачу
-у" - Ару = 0, у(0) = 2/(1) = 0.
(0.0.1)
(0.0.2)
Введение
13
Нас интересует асимптотическое поведение собственных значений {Ап}^! при п —► ос или считающей функции собственных значений
N{А) := #{0 < Ап < А}
при А —> +оо задачи (0.0.1), (0.0.2) в предположении, что вес
о
р £ 0,1]. Спектральные свойства задачи (0.0.1). (0.0.2)
удобнее будет описывать в терминах первообразной Р веса р (Рг = р). Функция Р принадлежит пространству £г[0,1], производная понимается в обобщённом смысле. Вес р в этом случае представляет собой обобщённую функцию класса р £ 1].
Вместо краевых условий Дирихле (0.0.2) можно рассматривать произвольные самосопряжённые краевые условия U(у) = 0. В этом случае задача определяется для функций пространства W^yl0,1], а вес р из двойственного пространства M/^jO, 1].
М. Г. Крейном в серии работ начала 50-х годов (см. [23], [24], [25], [26]) исследовались спектральные свойства задачи о колебании струны и, в частности, получена асимптотическая формула для собственных значений задачи (0.0.1), (0.0.2) в том случае, когда Р является неубывающей на [0,1] функцией: х
lim —= — [ yfP'dx. (0.0.3)
71 >оо у/\п 7Г J о
Следовательно, при наличии абсолютно-непрерывной части функции Р асимптотика собственных значений легко опре-
Введение
14
деляется:
Одной их первых попыток, в которых задача (0.0.1), (0.0.2) рассматривалась с чисто сингулярной непрерывной функцией Р, была работа 1959 г. [112|. В предположении, что р есть обобщённая производная лестницы Кантора, была получена оценка на считающую функцию собственных значений
В [17| И. Ц. Гохбергом и М. Г. Крейном рассматривалась за-
При дополнительном условии, что почти всюду на 0,1] выполнены неравенства р(х) > 0 и г(х) > 0, ими получена асимптотическая формула
Хорошо известно, что если вес р принадлежит пространству С[0,1] и положителен, то граничная задача (0.0.1), (0.0.2) эквивалентна спектральной задаче для некоторого неограниченного самосопряжённого оператора в гильбертовом пространстве L2([0,1]; р). Также известно, что если вес р Є С[0,1] не является знакоопределённым, то задача (0.0.1), (0.0.2) эквивалентна спектральной задаче для
N(X) = О (Alog(i2), А—>+ос.
дача вида
((]р(х)'у(х))' - q{x)y(x) = Хг(х)у(х) (0.0.4)
в предположении, что q. г Є Li[0, і].
V
Введение
15
неограниченного самосопряжённого оператора в пространстве Крейна (см. [64], [1]).
В 1987 г. Ф. В. Аткинсон и А. Б. Мингарелли [56] рассмотрели задачу (0.0.4), отказавшись от условия знакоопределённости веса г. В этом случае задача может иметь как положительные, так и отрицательные собственные значения. Следовательно, необходимо рассматривать две считающие функции
N±{А) := #{АП 0 < ±АП ^ Л}
В предположении интегрируемости функций -. q и г были
р
получены формулы
jV+(A) ~ ^ f\l(j^<dx при А -> +оо,
N-(А) ~ dx при Л —> —ос.
jKx) ) ~
Здесь /+ и /_ обозначают положительную и отрицательную
часть функции / соответственно. Таким образом, основной
вклад в асимптотику считающих функций вносит абсолютно-
т(х)
непрерывная компонента функции -т-г. Обобщённые функ-
р{х)
ции в качестве коэффициентов в данной работе не рассматривались.
Ситуация для задачи (0.0.1), (0.0.2) становится значительно интересней, если абсолютно-непрерывная компонента
неубывающей функции Р (в терминах работы [56] — функции г(х)
р{х)
) равна нулю. Формула (0.0.3) влечёт, что собственные
Введение
16
значения А,г растут быстрее чем п2. В терминах считающей функции N(А) этот факт выражается формулой N(А) = о(А). Следовательно, встаёт вопрос об уточнении спектральных асимптотик хотя бы для какого-нибудь класса функций Р с нулевой абсолютно-непрерывной компонентой. Один из первых результатов в этом направлении был получен в работе В. В. Борзова [7J.
М. С. Бирман и М.З. Соломяк в [3] показали в случае мер (т.е. Р неубывающая непрерывная слева функция, а /ip([a, Ь)) := Р(Ь) - Р(а) ), что если Р содержит абсолютно непрерывную компоненту, то её сингулярная составляющая не влияет на главный член асимптотики.
Г. В. Розенблюм в [38], рассматривая задачу вида
(—Д)1и = \ди, х Є Rm
при условии 21 < га, получил точные условия «юл ас и ческой» спектральной асимптотики, т.е. когда главные член спектральной асимптотики «негладкой» задачи имеет такой же вид как и в «гладком» случае.
В. В. Борзов в [8] также получил критерии когда асимптотика спектра сингулярной струны (здесь рассматривалась задача (0.0.1) на полуоси) имеет «класическую» асимптотику (т.е. такую же, как и асимптотика спектра регулярной струны).
Отметим, что в терминологии М. Г. Крейна и В. В. Борзова «сингулярность» означает, что струна имеет либо бесконечную длину, либо бесконечную массу (либо бесконечны и масса, и длина).
Введение
17
Задача Штурма-Лиувилля с сингулярной мерой в качестве веса изучалась в [60), где были исследованы осцилляци-онные свойства решений задачи (0.0.1), (0.0.2).
В работе М. Соломяка и Е. Вербицкого [ 109) изучалась задача (0.0.1)—(0.0.2) и качестве веса р рассматривались самоподобные меры или, точнее, «плотности» мер, которые ввиду сингулярности меры представляют собой обобщённые функции. Оказалось, что меры могут иметь различные тины самоподобия, что влияет на асимптотические формулы распределения собственных значений. Для случая арифметического самоподобия была получена формула
добия меры, а 5 — некоторая периодическая функция. При этом вопрос о невырожденности функции (не является ли она постоянной) не рассматривался.
Для случая неарифметического самоподобия была получена формула
где з — некоторая постоянная.
Природа арифметического и неарифметического типа самоподобия тесно связана с уравнением восстановления (см.
[45]), решением которого является некоторая функция /(я), асимптотическое поведение которой при х —» -ёоо зависит от типа уравнения восстановления. Приложения теории восстановления к спектральным вопросам можно найти в [85],
ЛГ(А) := А°(з(1п(А) + о( 1))
(0.0.5)
определяется по параметрам самопо-
ЩХ) := Х°(в + о(1))
(0.0.6)
Введение
18
[109]. Само уравнение восстановления, в зависимости от параметров. может иметь арифметический и неарифметический тип. Мри арифметическом типе уравнения его решение / при х —> +оо асимптотически стремится к периодической функции s, при неарифметическом типе уравнения восстановления его решение / асимптотически стремится к постоянной. Но, вообще говоря, может так случится, что периодическая функция является постоянной. Теория восстановления не имеет никаких эффективных способов, которые позволяют гарантировать, что периодическая функция не вырождается в постоянную.
В связи с вышесказанным, представляет интерес вопрос о невырождаемости функции s в случае арифметического самоподобия в константу. Причём этот вопрос важен и с точки зрения уточнения асимптотик и с точки зрения ряда приложений (см., например, [29]). Ответ на этот вопрос был получен лишь недавно и только в случае особого класса весов р (так называемых самоподобных весов канторовского типа).
Различные свойства задачи (0.0.1)-(0.0.2) (называемой также оператором Крейна-Феллера) в предположении, что вес р является самоподобной мерой также изучались U. Freiberg |72|. Свойства нулей собственных функций указанной задачи рассматривались U. Freiberg и J.-U. Lobus в [73]. В работе [74] были получены результаты по асимптотике спектра для арифметически самоподобных мер, аналогичные полученным М. Соломяком и Е. Вербицким. Кроме того в [74] и в [75] был получен частный случай спектральной периодичности. касающийся только одной серии собственных значений