Оглавление
Введение 3
1 Фреймы в конечномерных пространствах 16
1.1 Определения и основное свойство фреймов.....................16
1.2 Критерий фрсймовости самосопряженного оператора.............21
1.3 Оператор Грама..............................................33
1.4 Фреймы и операция свертки ..................................37
2 Конструкция фреймов Парсеваля — Стеклова в конечномерных пространствах 47
2.1 Конструкция равномерных фреймов Парсеваля — Стеклова . . 47
2.2 Конструкция фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами ............................................................57
2.3 е-почти фреймы Парсеваля — Стеклова.........................66
3 Фреймы Грассмана и фреймы Габора 72
3.1 Фреймы Грассмана............................................72
3.2 Фреймы Габора...............................................75
4 Фреймы Парсеваля — Стеклова в 80
4.1 Связь между базисом Рисса и фреймом.........................80
4.2 Блочные фреймы..............................................82
4.3 Нормы фреймов и в-почти фреймов Парсеваля — Стеклова ... 86
Литература 90
2
Введение
Актуальность работы. Впервые понятие фрейма было введено в работе R.J. Duffin и Л.С. Schaeffer [52]. Бурное развитие теории фреймов началось в конце 80-х годов прошлого века в связи с возникновением и развитием теории вейвлетов.
Интерес к фреймам связан с тем, что в отличие от классического базиса в определении фрейма отсутствует требование линейной независимости,’ что позволяет строить фреймы сколь угодно большого объема. Тем не менее, оказалось верным то, что любой элемент гильбертова пространства можно разложить по фрейму, причем не единственным образом. Такие представления имеют определенную ценность для многих прикладных вопросов, так как свойство избыточности фрейма позволяет восстановить исходный сигнал, даже если при передаче по сети некоторые из его коэффициентов разложения но фрейму были потеряны. В монографии С. Малла [24] подробно описано применение фреймов для уменьшения шума при обработке сигнала, а также для анализа изображений. Кроме того, фреймы находят широкое применение в цифровой обработке сигналов, сжатии информации, удалении помех, сжатом зондировании, дискретизации непрерывного сигнала и др. В каждой из перечисленных областей уделяется особое внимание фреймам специального вида, в том числе и равномерным фреймам, т.е фреймам с одинаковыми нормами. Использование таких фреймов упрощает многие вычислительные процедуры.
В книгах О. Christensen [50], И. Добеши [4], К. Чуй [37], К. Блаттера [1] описана общая теория фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах. В диссертации основное внимание уделяется равномерным фрей-
3
мам и более общей задаче построения фреймов с заданными нормами.
Теория фреймов далека от завершения. Большие группы исследователей разных стран активно работают в этой области [38|—[51]. На сайте Исследовательского фрейм-центра (США, www.frc.org) постоянно обновляется список нерешенных проблем теории фреймов.
Цель работы. Исследовать устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах; построить равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных пространствах над полем вещественных чисел; найти алгоритмы для конструкции фреймов 11ар-севаля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах; доказать возможность построения и построить фреймы Парсеваля — Стеклова с одинаковыми нормами в бесконечномерных пространствах, отличных от ортонормированных базисов; описать наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов в бесконечномерных пространствах.
Методика исследований. Использовались методы теории функций и функционального анализа, теории матриц, абстрактной теории операторов, анализа Фурье и геометрии гильбертовых пространств.
Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми. Среди них можно выделить следующие наиболее важные.
1. Доказана устойчивость фреймов по отношению к действию операции свертки в конечномерных пространствах.
2. Построены равномерные фреймы Парсеваля — Стеклова в конечномерных евклидовых пространствах.
3. Описан алгоритм построения фреймов Парсеваля — Стеклова с заданными нормами в конечномерных пространствах.
4. Введено понятие блочного фрейма и описано постропие равномерных фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.
5. Найдены условия на наборы положительных чисел, которые являются нормами фреймов Парсеваля — Стеклова и є-почти фреймов Парсеваля — Стеклова в бесконечномерных пространствах.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретиче-
ский характер. Полученные и диссертационной работе результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения теории фреймов в конечномерных и бесконечномерных пространствах, для построения фреймов с заданными свойствами. Возможны примененения в цифровой обработке сигналов.
Апробация работы. Основные результаты по теме диссертационного исследования докладывались на семинарах Самарского государственного университета; на Всероссийской молодежной школе-конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Лобачевские чтения" в г. Казань, 2006, 2009 гг.; на международной Казанской летней научной школе-конференции в г. Казань, 2009, 2011 гг.; на Саратовской зимней математической школе, посвященной 125-летию со дня рождения В.В. Голубева и 100-летию СГУ в г. Саратов, 2010 г.; на зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" в г. Воронеж, 2009, 2011 гг.; на международной научной студенческой конференции в г. Новосибирск, 2011 г.
Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в рабо-таз автора [10)—[22]. Статьи [11], [13] и [22] опубликованы в изданиях, соот-ветсвующих списку ВАК РФ.
Структура и объем дисертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Объем диссертации 96 страниц. Библиографический список содержит 57 наименований.
Содержание диссертации. Во введении описана краткая история возникновения проблемы данного исследования, обосновывается актуальность выбранной темы исследования, его связь с прикладными задачами. Далее во введении формулируется ряд качественных вопросов, которые изучаются в данной работе, и ответы на которые приводятся в исследовании.
В первой, главе изучаются фреймы в А-мерных линейных евклидовых (унитарных) пространствах над полями вещественных и комплексных чисел. Пространства обозначаются ^ДМ) или ^лг(^) соответственно. Если выбор числового ноля не влияет на формулировки результатов и определений, то будем использовать обозначение В данном пространстве введено стандартное скалярное произведение и евклидова (унитарная) норма.
Пусть М и N — натуральные числа, причем М > 7У, и пусть «7 — конечное или бесконечное множество индексов. Введем понятие фрейма. Определение 1.1. Набор элементов {фк}кє.і из называется фреймом Оля пространства если существуют положительные числа Л и В такие, что
А\\х\\2 < ^21 < х, (рк > |2 < 77||а;||2 (1)
кеЭ
для всех х из
Числа А и В называются соответственно нижней и верхней границами фрейма. Они определяются неоднозначно, так как верхнюю границу В можно увеличивать, а нижнюю границу А — уменьшать. Поэтому инфинум по множеству всех верхних границ — это оптимальная верхняя граница фрейма, а супремум по множеству всех нижних границ — оптимальная нижняя граница фрейма. Если оптимальная верхняя и нижняя границы совпадают, т.е. А — В, то фрейм называется эюестким. При А = 1 равенство (1) принимает форму равенства Парсеваля — Стеклова
]Г| < х,<рк > I2 = ||ж||2, (2)
ке.1
поэтому фреймы, для которых выполнено (2), называют фреймами Парсеваля — Стеклова.
Определение 1.2. Фрейм называется равномерным, если суще-
ствует число (1 такое, что ||у?л-|| = (3 для любого к Є J.
Известно, что система является фреймом для і\г тогда и только
тогда, когда = зрап({(р^}^=1). Тем самым фрейм в конечномерном пространстве — это синоним полной системы.
С каждым фреймом связаны четыре оператора:
1) Р : х *-» {< х, ірк >}£іі, Р •* > £2М — оператор анализа (этот
оператор является инъекцией);
м
2) Р* : {ак)к=\ “> £ а№к, Р* ■ ?м Чя ~ оператор синтеза (этот
*=1
оператор является сюръекцией);
б
V
3) 5 : Бх = 5і : ^ ^ — фреймовый
оператор (этот оператор самосопряженный и обратимый).
Для любого х из £% справедливо фреймовое разложение
м м
х = 53 < х} фк > <Рк = 51 < V* > *Рь
к= 1 А.-1
где щ = 5,_1(р/о “ канонический дуальный фрейм.
( М 'І м
4) (? = РР^аА;}^! = < £ рЛ , <3 : ^ —► £д7 — оператор Грама.
J І=1
Известно, что набор векторов {рк}ь=\ является фреймом Парсеваля Стеклова в пространстве £% тогда и только тогда, когда фреймовый оператор является единичным: = Гх для х Є £%.
Введем обозначения. Собственные значения оператора 5 расположим в порядке убывания: Ад > \2 > ... > А#; нормы элементов фрейма обозначим через а* и также расположим в порядке убывания, т.е. ||<зд|| = <ік и
^ ^ ^ О'М'
Доказано, что оператор 5 : £% —> является фреймовым оператором
для фрейма такого, что ||<р*|| = а^ для всех к = 1 тогда и
только тогда, когда выполнены следующие условия:
1) оператор 5 — положительный;
2) все собственные значения оператора £ строго положительны;
N М
3) £ = ё ак\
к—\ к=1
4) для любого р : 1 < р < N — 1 выполняется неравенство
р р
52 а* < ^А*.
/с— 1 к-1
Третье условие показывает связь между собственными значениями фреймового оператора и нормами фрейма.
Известно, что набор элементов {у>А;}££і образует фрейм (Парсеваля — Стеклова) в пространстве £% тогда и только тогда, когда оператор Грама' (2 является самосопряженным (проектором) ранга N.
В первой главе исследуется устойчивость фреймов но отношению к операции свертки, которая является интересной для практических приложений.
- Киев+380960830922