Оглавление
§ 1. Введение 2
§ 2. Асимптотика с точностью до константы для взвешенных
процессов 11
§ 3. Процессы, связанные с тригонометрическими функциями 16
§ 4. Процессы второго порядка, связанные с функциями Бесселя 25
§ 5. Интегрированные процессы, связанные с функциями Бесселя 34
§ 6. Процессы Боголюбова 58
§ 7. Процессы Матерна 70
§ 8. Малые уклонения ряда броуновских функционалов 81
1
г
§ 1. Введение
Краткая история вопроса
Теория малых уклонений гауссовских процессов в различных нормах интенсивно развивается в последние годы (см., например, обзоры [69] и [71], практически полная библиография по малым уклонениям представлена в [72]). Этому развитию способствовало обнаружение связей малых уклонений с другими важными математическими задачами, такими как оценка точности дискретной аппроксимации случайных процессов, вычисление метрической энтропии функциональных множеств, закон повторного логарифма в форме Чжуна и в форме Вичуры, нахождение скорости ухода (rate of escape) бесконечномерного вине-ровского процесса. Недавно была также установлена связь малых уклонений с задачами математической статистики: функциональным анализом данных [52] и непараметрическим байесовским оцениванием [1], [89], [90].
Задача о малых уклонениях случайного процесса X в норме || • || представляет собой описание поведения при е —* 0 вероятности Р{||Х|| ^ е}. Результат, подобный
Р{||*|| ^ е) - Се-3expi-de"01), е —» О,
с некоторыми вещественными константами С, /3, d и а называется точной асимптотикой. Если же доказано меньше, а именно
lnP{||X||<e}--cfe-Q, «г-* 0,
то такой результат называется логарифмической асимптотикой.
В известной монографии Лифшица [14, §18] отмечается: “Поведение малых уклонений, в отличие от больших, нельзя описать единообразно для всего класса гауссовских мер даже на логарифмическом уровне. Формализм оценивания значений малых уклонений, сравнимый по простоте с применением функционала действия для больших уклонений, еще не найден. Известны лишь частные
2
3
результаты для нескольких важных специальных ситуаций...”
Как правило, в работах по малым уклонениям речь шла о нижних и верхних оценках вероятностей Р{1|Х!| < г}, а точную и даже логарифмическую асимптотику с явно выписываемыми константами удавалось найти лишь для небольшого числа случайных процессов [69), |32).
Настоящая диссертация посвяи1,спа изучению асимптотики малых уклонений гауссовских случайных функций в Ь^-порме. Наша основная цель — получение точной асимптотики вероятностей малых укло71спий вплоть до констант для ряда конкретных гауссовских процессов. Особое внимание мы уде-ля&и весовой норме в Ь‘2, где точная асимптотика была ранее известна лишь для немногих простейших весов.
Пусть дан гауссовский процесс ^(£), а ^ ^ Ь, с нулевым математическим
ожиданием и ковариационной функцией С{Ь, я), а < £, 5 ^ 6, и неотрицательная, функция ф(Ь) на [а, 6]. Положим
где к Е М, независимые стандартные гауссовские случайные величины, а > 0 и /*(<), к Е М, являются собственными значениями и ортонормирован-ными собственными функциями интегрального уравнения
Из разложения Карунена-Лоэва получаем следующее равенство по распределению
Если конечен интеграл С(Ь,{)ф(Ь)сИ, процесс X(/.)у/ф(1) допускает разложение Карунена-Лоэва (см., например, [38]):
оо
х(0л/Щ = 2>>Д*Л(0
(1.1)
к= 1
Ь
£ Е [а, 6].
(1.2)
(1.3)
4
Таким образом, исходная задача сводится к описанию поведения при е —> О вероятности Р \k€l ^ £2}. Первые решения этой задачи были основаны
на вычислении преобразования Лапласа, использовании формулы обращения для преобразования Лапласа с выходом в комплексную область и применении асимптотического метода перевала.
Легко видеть, что производящая функция кумулянтов случайной величины Efcli Равна
( 00 .\ 1 00 L(u) = In Е exp = --^ln(l + 2A*u). (1.4)
В работе Сытой [30] было получено следующее решение задачи о малых уклонениях:
Теорема 1.1. Пусть А* > 0 и XX=i А* < °о, тогда при е —> 0 справедливо соотношение
00 )
Р < АдЛк ^ ~ (27гL"(u))~l^2u~l exp(L(u) - uL\u))t
. к=1 )
где и = и(е) является решением уравнения
Ь'(ч)+е2 = 0.
Замечание 1. Согласно формуле (1-4),
°° А,
ОД--Ег^
АІ
А:=1 оо \2
L“(U) 2 (1 + 2А*«)2'
Этот результат трудно использовать для конкретных вычислений и приложений, поскольку асимптотика задается неявным выражением. Кроме того, явные формулы для собственных значений известны лишь для немногих процессов (см. [51, 67, 81]).
Поэтому многие авторы, начиная с работ [11, 50, 93], занимались упрощением выражения для вероятности малых уклонений при различных предположениях.
В результате был получен ряд точных и логарифмических асимптотик малых уклонений для гауссовских процессов и полей в гильбертовой норме.
Примерами результатов о логарифмической асимптотике в могут служить
работы [47], [45], [19], [61] и другие.
Вопрос о точной асимптотике малых уклонений оказывается существенно более сложным. В работе [9] была впервые получена точная асимптотика малых уклонений в случае А* = к~Л, А > 1. В статье [70] результаты [30] были обобщены на случай рядов в которых случайные величины Z^i име-
ют распределение из довольно широкого класса (на еще более широкий класс распределений эти результаты обобщены в недавних работах [44], [40]. [23] и [85]).
На основе результатов из [70] в работе [51] была найдена точная асимптотика в случае А* = /(к), где / — положительная, логарифмически выпуклая, дважды дифференцируемая и суммируемая функция. В работе [42] были конкретизированы результат)»] [51] и вычислена точная асимптотика малых уклонений в случае проинтегрированного и центрированного (по времени) броуновского движения и броуновского моста. Более общие результаты для проинтегрированных процессов были затем доказаны в [57] и особенно в [79].
В работе [21] были описаны малые уклонения процессов Слепяна, а в [22] была получена точная асимптотика малых уклонений в часто встречающемся случае, когда числа А* являются частными от степеней двух полиномов, то есть
(кг + Аг-укг~1 +... + АоУ А к — 7 т:--,—;----------------------— иг > 1.
' + Вц~\к^ + ... 4- Во)»’ *
Если числа А* устроены сложнее, то точную асимптотику, как правило, найти не удается. В работе [61] была получена логарифмическая асимптотика малых уклонений случае А* ~ где р > 1, а (р — медленно меняющаяся на бесконечности дважды дифференцируемая функция, удовлетворяющая некоторым дополнительным условиям (в статье [39] была вычислена логарифмическая асимптотика малых уклонений в случае А* ~ Лг—^(1 4- 1п А.*)-", где // > 1, и е М, для более широкого класса случайных величин £*). В статье [6] найдена логарифмическая асимптотика малых уклонений в случае, когда коэффициенты
с
близки к геометрической прогрессии, то есть А/,- = (<7 + о(1))Л, где 0 < <7 < 1.
При вычислении асимптотики малых уклонений в Ь2 очень полезна теорема сравнения, полученная в [67].
Теорема 1.2. Пусть А*, Л*, к ^ 1, — полооюителыте числа, такие, что ££=1 < 00,• ££*1 А*.- < 00 и Хль=111 “ А*/Л*| < оо. Тогда при е —> О
{оо ^ /ос \ */2 / оо
< е2 и П Ак/Хк А*Й < е:
к= 1 \Ат—1 / и=1
В статье [56] (см. также [58]) условие I* — А*/Л*| < оо было ослаблено И заменено условием СХОДИМОСТИ бесконечного произведения П£=1 А^/А*.
А. И. Назаровым и Я. Ю. Никитиным в работах [79], [78] был разработан новый подход, позволяющий получать асимптотику собственных чисел и асимптотику малых уклонений в Ь2-норме с точностью до константы для гауссовских процессов, ковариационная функция которых является функцией Грина самосопряженного дифференциального оператора из довольно широкого класса. В статье [17] был предложен способ вычисления константы расхождения, основанный на методах комплексного анализа (близкие результаты были получены в работах [55], [50]).
Кроме асимптотики вероятностей малых уклонений для случайных процессов в диссертации получено несколько результатов о малых уклонениях гауссовских случайных нолей. О малых уклонениях в многопараметрическом случае известно гораздо меньше, чем в однопарамстрическом. Первые результаты о малых уклонениях случайных полей — логарифмическая асимптотика для дву-параметрического ноля Винера-Ченцова — были получены в работах [15], [47]. В статье [19] была установлена логарифмическая асимптотика малых уклонений для обычного и дробного броуновского движения Леви, а также дробного поля Орнштейна-Уленбека. В работе [61] изучались малые уклонения для случайных полей, имеющих структуру тензорного произведения, то есть таких полей X(П, • • •, £<*), ковариационная функция которых распадается в произведение маргинальных ковариационных функций:
Сгх(^11 • • • > • • •»$<1) б»1(Н) ^1) • • • бщ(£*/, 6’,/).
7
Точная асимптотика малых уклонений в многопараметрическом случае известна лишь для проинтегрированного и обычного броуновского листа [53].
Упомянем и о малых уклонениях в более общих нормах Ьр. Один из первых результатов о точной асимптотике здесь был получен для малых уклонений винеровского процесса в 7/р-норме [5]. В статье [73] была получена логарифмическая асимптотика для симметричныха-устойчивых процессов Римана-Лиувилля в нормах из широкого класса, включающего £р-иормы. В последние годы асимптотика малых уклонений винеровского процесса и связанных с ним процессов в Ьр, р > 0, изучалась в серии работ Фаталова [33, 34, 36], в которых разработан новый оригинальный метод исследования, основанный на сведении малых уклонений гауссовских процессов к большим уклонениям времен пребывания.
Существует немало результатов о малых уклонениях гауссовских процессов в иных нормах, например, в гёльдеровских, соболевских нормах и супремум-норме, см. [72], но их рассмотрение находится за рамками настоящей работы.
Результаты диссертации
Переходим к описанию основных результатов работы. Она состоит, помимо Введения, из семи параграфов и списка литературы.
В параграфе 2 решается вопрос о нахождении асимптотики малых уклонений для взвешенных случайных процессов. Для процессов, ковариационная функция которых является функцией Грина дифференциального оператора из довольно широкого класса, и достаточно гладких невырожденных весовых функций явно выписывается асимптотика малых уклонений с точностью до константы. Условиям основной теоремы §2 удовлетворяют многие известные процессы, например, винеровский процесс, броуновский мост, процесс Орнштейна Улеибека, их многократно проинтегрированные аналоги. В последующих параграфах обсуждаются случаи, когда возможно провести до конца все вычисления и получить явное выражение для константы расхождения.
В параграфе 3 рассматриваются гауссовские случайные процессы, у кото-
- Киев+380960830922