Оглавление
Введение 5
Благодарности................................................12
1 Закон больших чисел для классической
схемы суммирования 13
1.1 Случайные последовательности.................................13
Максимальные неравенства для частичных сумм . . ■............14
Усиленный закон больших чисел................................20
Оптимальность предложенных условий...........................29
1.2 Случайные ноля...............................................31
Максимальные неравенства................................... 32
Обобщение теоремы Меньшова-Радемахера........................34
2 Закон больших чисел для дискретных интегралов 38
2.1 Оценки норм дискретных интегралов и
их следствия.................................................38
Основное неравенство.........................................39
Существование стохастического интеграла......................41
Частные случаи...............................................48
2.2 Вариант закона больших чисел.................................57
Законы больших чисел для мартингал-разностей.................57
2
Закон больших чисел для дискретных интегралов..................69
2.3 Применение к задаче оценки качества прогнозов..................71
Постановка задачи..............................................72
Основные предположения.........................................73
Приближенное распределение основной статистики.................74
Компьютерное моделирование.....................................80
3 Закон больших чисел для общей модели эпидемий 83
3.1 Описание модели................................................83
3.2 Условия на параметры модели....................................84
3.3 Вспомогательные сведения и результаты .........................85
Пространство случайных мер.....................................85
Определение предела среднего поля..............................87
3.4 Точность приближения в рамках модели эпидемий пределом
среднего поля..................................................89
3
Список основных обозначений
R - множество действительных чисел;
С - множество комплексных чисел;
N - множество натуральных чисел;
N0 = N U {0}:
D - пространство Скорохода;
:= - «положим по определению»;
р
—> - сходимость по вероятности; d
• * - сходимость по распределению;
d
= - равенство по распределению;
cov(^,?7) = Е(£ - Е£)(г] - Ег/)т для случайных матриц 77; log а; = log2(.T V 2) для х > 0; х* == х V 0 для X € К;
||f||p = (Elfl77)1^ для случайной величины £ с Е|£|р < оо;
Lp, р ^ 1 - пространство случайных величин с нормой || • Ц^; 1(7?), 1ц - индикатор множества В;
6Х - мера Дирака, сосредоточенная в точке х; для положительных констант хп, уп, п ^ 1,
п
lim Хп < СЮ,
n-юО Уп
lim Хгг = 0,
п—>00 Уп
V о ІІШ № /Л lim — < оо,
71—>00 Уп п—Юо Уп
ІІІП хп = і
П-+СХЭ Уп
4
Введение
Закон больших чисел (ЗБЧ) является первой предельной теоремой теории вероятностей, доказанной Я. Бернулли в 1713 г. Классические условия справедливости ЗБЧ, полученные Радемахером, Меньшовым, Колмогоровым, Биркгоффом, Хипчипым, Гапошкииым [4] и Лионсом [57), имеют оптимальный характер для определенных типов случайных величин. В последние годы активно ведется работа но поиску аналогичных условий для новых классов случайных последовательностей и полей. Так например, в недавних статьях Володина, Розальски, Ху [53], Сунга [78], Вебера [54] были предприняты попытки перенести ряд известных результатов из теории квазистационар-ных временных рядов на тот случай, когда условие ограниченности вторых моментов заменено на условие их роста, фигурирующее в теореме Меньшова-Радемахера. Результаты, полученные в упомянутых недавних работах, все же далеки от оптимальных. Это явилось одной из мотивировок для проведенного нами исследования.
Другой важный класс случайных величин представляют дискретные стохастические интегралы, включающие, в частности, интегральные функционалы от случайных блужданий. Повышенный интерес к объектам такого рода связан с моделями рынка акций в финансовой математике, а также обусловлен некоторыми задачами, возникающими в современной теории временных рядов. При решении подобных задач полезны различные варианты предель-
5
ных теорем для упомянутых интегралов. В литературе, например, имеются общие условия сходимости данных интегралов к интегралам Ито, а также интегралам по фрактальному броуновскому движению [60]. Этих результатов оказывается недостаточно для некоторых новых задач, где. в частности, требуется ЗБЧ для дискретных интегралов. Поэтому в диссертации выполнен анализ поведения дискретных стохастических интегралов и установлен вариант указанного ЗБЧ.
При изучении сложных стохастических систем важную ролі, играют аппроксимации случайных полей, используемых для их описания. Широко применяются приближения пределом среднего поля, что представляет собой форму ЗБЧ. Обширный класс таких систем активно исследуется в математической биологии при моделировании процессов эпидемий [87], а также в статистической физике при анализе динамики большого числа взаимодействующих частиц [56]. Одна из наиболее общих постановок модели эпидемии без учета локального взаимодействий индивидов принадлежит Рейнерт [71]. Динамика этой модели описывается с помощью системы стохастических операторных уравнений. Рейнерт установлен вариант ЗБЧ, позволяющий приближать данную стохастическую модель некоторой детерминированной. При этом встает естественный вопрос о качестве такого приближения на заданных временных интервалах |73]. Эта задача также решается в диссертации.
Перейдем к описанию структуры диссертации. В главе 1 исследуются классические условия применимости ЗБЧ, связанные главным образом с теоремой Меньшова-Радемахсра.
ТЕОРЕМА (Меньшов, Радемахер, 1938). Пусть попарно ортогональные случайные величины Хп и постоянные Ъп, п ^ 1, таковы, что
п>Л п
(0.0.1)
6
Тогда ряд
v<.
v X
сходится п.н. (0.0.2)
n> 1
Если к тому лее bn f оо, то с вероятностью единица
1 .
п^оо. (0.0.3)
6n к=\
Соотношение (0.0.3) представляє'!’ собой вариант усиленного ЗВЧ (УЗВЧ) для ортогональных случайных величин. В литературе имеются различные обобщения УЗВЧ, не предполагающие условие ортогональности. Важную роль в них играет функция Ф такая, что sup |EXnXn+&| ^ Ф(&)> а также
п
два типа коэффициентов
Рк = sup(EXnXn+Jt)+ И Г к = 8UP ) 1 /2 ’ к ^ °-
Очевидно, что pk ^ Ф( А:), supr^ = 1 и sup /д. = ро- Если все значения функ-
к к
ции Ф конечны, то последовательность [Хп}Т1^\ называют квазистационарной относительно Ф.
Сходимость рядов типа (0.0.2) с квазистационарными Хп, а также доста-'гочные условия УЗВЧ, служили предметом многих исследований. Так в работе [1], обобщающей известный результат Гала и Коксмы [4б|, УЗБЧ доказан для Ьп = п при
Ф(0) + ^^<оо. (0.0.4)
k> 1
Более широкий класс нормировок Ьп и функций Ф рассмотрен Морицсм в [63]. В случае, когда Ф(к) ф 0 и Ьп — гг, неулучшаемость условия (0.0.4) показана Гапошкиным в [4], где к тому же получены критерии УЗБЧ для стационарных в широком смысле процессов и однородных случайных полей. В другой работе Гапошкина [3] приведено несколько интересных результатов о п.н. сходимости квазистационарных рядов и продемонстрирована невозможность их
7
усиления в стационарном случае при определенных скоростях убывания ко-вариацион ной фу н кци и.
Некоторые обобщения результатов [63) и |3) даны Серфлингом в [6]. Отметим, что во всех перечисленных работах предполагается, что
Конечность рц позволяет определить, например, понятие гв-ряда (см. [5]), частным случаем которого является ряд вида (0.0.2) с квазистационарны-ми Хп. Порядок роста частичных сумм w-рядов исследован в [о]. Ослабить условие (0.0.5) до (0.0.1) видимо впервые было предложено в [53], где для случая п = 0(Ьп) соотношение (0.0.2) получено при (0.0.1) и некоторых ограничениях на Ф. Улучшение результатов [53] дано в [78]. Также представляет интерес статья [81], согласно которой при Ьп = п для справедливости УЗВЧ
достаточно сходимости рядов (0.0.1) и ^ log к (вытекает из следствия 2.2
*
в |81]). Коэффициенты Vk рассматривались, например, в [Об], где равенство (0.0.3) установлено для Ьп — п при (0.0.1) и
Заметим, что если вместо (0.0.1) потребовать (0.0.5), то условия, фигурирующие в [53], |78], [00] и [54], не оптимальны. Это обстоятельство явилось главной мотивировкой дальнейшей работы. Наша цель, таким образом, состояла в том, чтобы перенести ряд неулучшаемых результатов из теории квазиста-ционарных последовательностей на тот случай, когда предположение (0.0.5) ослаблено до (0.0.1), и получить обобщения теоремы Меньшова-Радемахера для заданных классов нормировок Ьп.
Итак, в первой части главы 1 устанавливаются новые достаточные условия выполнения УЗВЧ и сходимости рядов п.и. Эти условия улучшают [53],
(0.0.5)
k> 1 п>к п
(0.0.6)
[78], [6G|, [54] и часть результатов [1], [63|, [3]. В ряде случаев показана оптимальность предложенных условий. Ограничении в наших теоремах описаны в терминах pk: ги Ъп. В качестве нормирующих коэффициентов {ön}n>i рассматриваются как произвольные последовательности положительных чисел, так и удовлетворяющие двойному неравенству
с < < С для всех достаточно больших п, (0.0.7)
где с и С - положительные константы, причем с ^ С. Отметим, что (0.0.7) заведомо выполнено, если bn/nlog2C и nlog2C/bn не убывают но п. При выводе основных теорем используются идеи доказательства теоремы Менынова.-Радемахера, аналогично тому, как это делалось в [3|. В нашем случае такой метод оказывается более эффективным по сравнению с различными общими подходами, предложенными в работах [43], [44].
Во второй части главы 1 рассматриваются аналогичные вопросы для сумм, образованных элементами случайного поля. Точнее говоря, исследуются условия применимости УЗБЧ и сходимости кратных рядов с вероятностью единица. Отметим, что исчерпывающие ответы по данным вопросам получены для следующих типов случайных полей: составленных из независимых одинаково распределенных величин (см. [1U] и [9]), ортогональных (см. [55] и [22]), однородных (см. [7]), квазистационариых (см. [62]). Ограничения общего вида, не преднолатающис какой-либо структуры зависимости, рассмотрены в [45].
Многие результаты о квазистационариых случайных последовательностях и полях получаются с помощью максимальных неравенств Морица [65]. В нашем случае эти неравенства оказываются неприменимыми. Поэтому мы устанавливаем их новые варианты.
Итак, во второй части главы 2 результаты [6] о и.н. сходимости случайных последовательностей распространяются на случайные поля, удовлетворяю-
9
- Киев+380960830922