1
Оглавление
Введение 4
I. Мультипликаторы в пространствах матриц 7
1.1. Вспомогательные определения....................... 7
1.2. Преобразование ..................................... 12
II. Вещественный метод интерполяции для пар алгебр Неймана 24
2.1. Вспомогательные определения....................... 24
2.2. Определение пар алгебр фон Неймана................ 26
2.3. Примеры нар алгебр фон Неймана.................... 27
2.4. Структурная теорема для пар алгебр Неймана .... 33
2.5. /^-функционал..................................... 37
2.6. Вычисление /^-функционала в паре {м!2(я0)’^!2(Яі)} * ^9
2.7. Вычисление /^-функционала в паре {М'ь^Ноу ^ь2(Ях)У ^1
2.8. Вычисление /^-функционала в паре модульных гомоморфизмов (£е(#о), Ьв(Ні)}.................... 41
2.9. Описание пространств (Ао,Аі)д)Р................... 49
2
- 3 -
III. Вполне непрерывные продолжения неполных треугольных матриц 52
3.1. Расширение блок-матрицы 2 х 2 до вполне непрерывного оператора................................ 52
3.2. Случай конечных верхнетреугольных блок-матриц . 55
3.3. Случай бесконечных блок-матриц................. 58
3.4. Вычисление /С-функционала для пар пространств вполне непрерывных операторов {^(Яо), Б^Щ)} . 63
IV. Общая задача продолжения неполных матриц до вполне непрерывных операторов 67
4.1. Вспомогательные определения.................... 67
4.2. Теорема о вполне непрерывном продолжении....... 68
Введение
Изучение пространств операторов и изучение свойств треугольных матриц взаимодействуют, по-видимому, с самого начала возникновения этих понятий в теории операторов. Один из важнейших результатов, касающийся этих объектов, - это знаменитая теорема В.И. Мацаева, доказавшего, что преобразование треугольного усечения действует во всех идеалах Неймана-Шаттена Зр при 1 < р < оо. Этот результат был дополнен исследованием треугольных усечений в пространствах вблизи краев шкалы 5Р, что привело к введению и изучению идеалов операторов, отличных от идеалов Неймана-Шаттена, аналогов функциональных пространств Лоренца и Мар-циикевича. Преобразование треугольного усечения является частным случаем мультипликаторов Шура, которые подробно изучались в виде трансформаторов, задаваемых двойными операторными интегралами в работах М.Ш. Бирмана и М.З. Соломяка (см., например обзор [14]). Содержательные результаты о подпространствах треугольных матриц в симметрично - нормированных идеалах были получены в работах Ж.Пизье (см., в частности [46]). В работах В.И. Овчинникова [31],[32],[33] было замечено, что при изучении интерполяции между пространствами операторов, действую-
4
щих в разных гильбертовых пространствах естественно возникают подпространства треугольных матриц. С их помощью описываются пересечения пространств операторов, сумма и тому подобные преобразования пространств. Данная работа примыкает к указанному кругу задач.
Часть результатов относится к свойствам мультипликаторов Шура, близких к преобразованиям треугольного усечения. Как известно, для некоторых подмножеств индексов бесконечной матрицы, преобразование, определяемое умножением на характеристическую функцию этого подмножества, задает оператор неограниченный в классах Неймана-Шаттена. (Это означает, что такие пространства не являются функциональными решетками матриц см. [41].) Теорема Мацаева говорит о том, что умножение на характеристическую функцию множества индексов, определяющих верхнетреугольную часть матрицы, все же является ограниченным оператором во всех идеалах Неймана-Шаттена 5Р при 1 < р < оо. В первой главе данной диссертации найден довольно широкий класс подмножеств индексов таких, что умножение на характеристическую функцию этих подмножеств, определяет преобразование, действующее в идеалах при 1 < р < оо, подобно теореме Мацаева. Это позволило, найти новые ограниченные мультипликаторы Шура в классах £р.
Вторая глава посвящена развитию идеи В.И. Овчинникова о связи треугольных матриц и интерполяции в пространствах операторов, действующих в разных пространствах. Здесь найдена новая формула для /Г-функционала в парах алгебр Неймана, действующих в различных гильбертовых пространствах. В результа-
тс удалось доказать, что пары "одинаковых" алгебр Неймана, действующие в разных гильбертовых пространствах оказываются К-подпарами пары, образованной всеми операторами, действующими в соответствующих пространствах. Это, в свою очередь, позволяет описать пространства Лионса-Петре, построенные на паре алгебр Неймана.
В третьей главе результаты о расширении треугольных матриц применяются для изучения пары пространств вполне непрерывных операторов, действующих в разных гильбертовых пространствах. Здесь так же, как и в случае пары алгебр Неймана, оказалось, что пара вполне непрерывных операторов является АГ-иодиарой пары ограниченных операторов. Для доказательства этого факта пришлось обобщить результаты С. Пэрротта (см.[45]) и В. Арвесоиа (см.[36]) о вполне непрерывном расширении треугольных матриц.
В четвертой главе найдено как необходимое так, и достаточное условие существования ограниченного и вполне непрерывного продолжения для специального класса неполных матриц, значительно расширяющих класс треугольных неполных матриц.
- Киев+380960830922