Содержание
1 Введение. 3
2 Неплотность орбитального свойства отслеживания относительно С1-топологии. 15
2.1 Схема доказательства, оелтовттого результата........ 15
2/2 Динамические свойства косых производопий............ 18
2.3 Основная лемма...................................... 34
2.4 Сведение доказательства теоремы 1' к двум случаям,
разбор случая (А1).................................. 39
2.5 Начало разбора случая (А2) вспомогательные леммы 48
2.6 Сведение случая (А2) к лемме 6...................... 53
2.7 Доказательство леммы С.............................. 56
2.7.1 Пункт (6.с) основные обозначения............ 56
2.7.2 Пункт (6.с) основные леммы.................. 62
2.7.3 Пункт (6.с) завершение доказательства . . . 71
2.7.4 Доказательство остальных пунктов леммы 6 . 72
3 Периодические свойства отслеживания и П-устойчивость. 80
3.1 09 С ЫрРгайЗЬ....................................... 81
3.2 Гиг.1 (Рой Ь) С 09.................................. 85
3.3 ЕлрРог8Г1С09........................................ 90
4 Слабые предельные свойства отслеживания диф-
г
феоморфизмов двумерных многообразий 106
4.1 Некоторые свойства диффеоморфизмов, обладающих слабыми предельными свойствами отслеживания ЮС 4/2 Структура неблуждатощего множества в случае выполнения \VLmSP ....................................113
4.3 Формулировка и доказательство теоремы 3.........116
24
1 Введение.
Диссертация посвящена изучению структуры некоторых множеств диффеоморфизмов гладких многообразий, связанных с так ттазт.тпасмы ми свойствами отслеживания псевдотраекторий. Наибольший интерес представляют вопросы о плотности (типичности) таких множеств и о характеризации этих множеств и их внутренностей в терминах теории структурной устойчивости.
В настоящее время теория свойств отслеживания является достаточно хорошо разработанным разделом теории динамических систем. Ее современное состояние достаточно полно отражено в монографиях |21, 18|. Данная теория изучает условия, при которых вблизи любой приближенной траектории некоторой динамической системы находится некоторая истинная. Первые результаты в этом направлении были получены Д.В. Аносовым , 11 и Р. Боуэном |10|. В работе рассматриваются в основном дискретные динамические системы, т.е. каскады, порожденные диффеоморфизмами гладких замкнутых многообразий. Грубо говоря, наличие некоторого свойства отслеживания означает, что вблизи любой достаточно точной приближенной траектории находится некоторая истинная. Так как термины ’’вблизи” и "приближенная траектория” можно понимать по-разному, можно определить несколько свойств отслеживания. Целью данной работы является изучение множеств диффеоморфизмов, обладающих некоторыми свойствами отслеживания.
3
Основным объектом данной работы являются диффеоморфизмы гладких замкнутых многообразий. Однако для определения свойств отслеживания гладкость не нужна, поэтому различные свойства отслеживания будут определяться для гомеоморфизмов М етричс !< Ж ИХ 111 юетр ап С .ТВ.
Пусть / гомеоморфизм метрического пространства М с метрикой dis!.. Траекторией точки р гомеоморфизма } называется множество
0(p,f)={fk(p)\kez}.
Аналогично вводятся понятия положительной и отрицательной полу траекторий гомеоморфизма /:
O+(p,f)={fh(p)\keZ,k>0},
0-(p,f) = {fk(p) \k€Z,к <0}.
Далее часто, не; оговаривая этого дополнительно, будет использоваться обозначение
Рк = /*(р) при к € Ъ.
Как обычно, будем обозначать черс;з id^ тождественней; отображение пространства М. В некоторых случаях ттижпий индекс будет опускаться.
Определение 1. Будем называть последовательность £ = = {х*} d псевдотраекторией гомеоморфизма /, сели
dist(gfc+i, f(xk)) < d при h GZ.
4
Таким образом, d пеовдотраектория является одной из возможных формализации^ понятия приближенной траектории.
Определение 2. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется свойство РОТР (свойство отслеживания пссвдо-траекторий, pseudo orbit tracing property), если для любого положительного є существует такое; положительное d. что для любой d-псовдотраоктории £ = {гг*} найдется такая точка q Є М, что
dist>(xfafh(q)) < є при к Є Z. (1.1)
Иными словами, свойство РОТР состоит в том, что всякая "достаточно точная” псевдотраектория "поточечно близка” к некоторой истинной траектории. В работе мы будем обозначать одним и том же; символом как некоторое свойство динамических систем, так и множество всех систем, обладающих этим свойством. Мы будем говорить, что точка q e-отслеживает пеовдотраокторию £, если выполняются неравенства (1.1).
Будем обозначать череп N(e,A) є-окрестность множества А С М. В работе |24| вводятся определения орбитальтюго свойства отслеживания (OSP, orbital shadowing property) и слабого свойства отслеживания (WSP, weak shadowing property).
Определение 3. Будем говорить, что для гомеоморфизма f выполняется орбитальное свойство отслеживания. если для любого положительного є существует такое положительное d, что для
любой (I псовдотрасктории £ найдется такая точка д 6 М, что
£сЛГ(е,0(9>/)) и С%/) С N(6,0. (1-2)
Определение 4. Будем говорить, что для гомеоморфизма / выполняется слабое, свойство отслеживания, если для любого положительного е существует такое положительное б, что для любой е£-пс:овяотраектории £ найдется такая точка д € М. что
?СЛГ(е,0(д>/)).
Свойство СЭР является ослабленным аналогом свойства РОТР вм('сто того чтобы требовать близость ”в каждый момент времени” точки псевдотраектории хк и точки истинной траектории 1к(ч)г требуется, чтобы были близки множества точек псовдотраок-тории £ = {я*} и траектории /). Слабое свойство отслеживания \УБР является ослабленным вариантом «свойства СЭР требуется литпь, чтобы множество точек "достаточно точной" пеовдотра-ектории ? содержалось в малой окрестности некоторой истинной траектории 0(<7, /). Мы будем говорить, что траектория точки д орбитальтю е-отоложиваегг псевдотраекторию £, если выполняются неравенства (1.2).
При изучении пространств отображений (пространства гомеоморфизмов компактного метрического пространства, с С°-топологиой и пространства диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия с С1-топологией) одним из самых важных вопросов является вопрос: типичности. В данной работе под типич-
0
\
IIЫМ понимаемся СВОЙСТВО, ПМПОЛПЯЮЩСССЯ ДЛЯ В<Х5Х отображений ия некоторого множества II категории по Бэру, а под плотным выполняющееся для всех отображений из некоторого плотного множества. В работе рассматривается пространство гомеоморфизмов Н(М) компактного метрического пространства М с С°-топологией. и иду] цфуомой метрикой
dc°{f,g) = >™«тах (disK/(p),0(p))>dist(/_1(p),0-1(p))).
Пусть М это гладкое' замкнутое многообразие е риматтовой метрикой disfc. Будем обозначать через Df(x) дифференциал диффеоморфизма / мтюгообразия М в точке х. Как обычно, будем обозначат!, череп ТХМ касательное пространство в точке х мпогое)бразия М. Будем обозиачатт, чере.з | * | норму в пространстве' ТХМ. по-рождеппую метрикой disfc. Для сокращения изложения. будем счи-татт,, что многообразие М вложено в евклидово пространство К достаточно большой размерности. В этом случае касательное про-стратгство естественным образом отождествляется с: линейным подпространством простряттстпа ШР. Будем обозначать тгере'з Diff1 (М) пространстве) диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия М с С1-топологией, индуцируемой метрикой
d-C'if, д) = max ((р), д(р)), max | Df(p)v - Dg(p)v\) .
ptzM \ v€TpM,\v\=l J
Отметим, что пространства Н(М) и DifF 1(М) являются простап-отвами Бэра, поэтому если некоторое свойство отображений явля-
7
стоя типичным относительно одной из этих топологий, то оно является и плотным относительно этой топологии.
С.Ю. Пилюгин и О.Б. Пламеневская (см. [23]) доканали типичность свойства отслеживания псевдотраекторий в пространстве Я(М). если пространство М является гладким замкнутым многообразием. Отметим что. из ^-типичности свойства отслеживания псевдотраекторий следует С°-тииичиость орбитального и слабого свойств отслеживал и я. Ч. Бопатти, Л.Дж. Диатт и Дж. Туркат |9| показали, что свойство отслеживания псевдотраекторий является неплотным относительно (^-топологии в пространстве DifffM), а С. Кровизъе 1111 установил, что слабое (двойство отслеживания С1-плотгто (см. также работу С.Ю. Пилюгина. К. Сакая и O.A. Тараканова |25|).
Во второй главе изучается орбитальпоо свойство отслеживания диффеоморфизмов гладких замкнутых многообразий и доказывается следующая теорема:
Теорема 1. Существует такал область W с DifF1 (»S2 xS1), что любой диффеоморфизм } Е W не. обладает свойством OSP.
В доказательстве теоремы 1 используется техника косых произведений. разработанная Ю.С. Ильяшеттко и A.C. Городецким. Подробнее идея доказательства поясняется в начале главы 2.
Пусть / произвольный гомеоморфизм метрического пространства М с метрикой dist:. Можно рассмотреть аналог свойства
8
отслеживания пеевдотраокторий для периодических траекторий и периодических пеевдотраокторий. В работе |1G| да<угея определение периодического свойства отслеживания.
Определение 4. Будем творить, что для гомеоморфизма / выполняется периодическое свойство отслеж.иваиия PerSh (periodic shadowing property)% ('.ели для любого положительного є существует такое положительное dy что для любой периодической d-пеовдотраектории f найдется такая периодическая точка, q, что выполняется соотношение (1.1).
В определении свойства РОТР можно накладывать условия на нависимоеть числа є от d. Это приводит к следующему определению.
Определение 5. Будем говорить, что для гомеоморфизма. / выполняется свойство LipSP (Lrpschitz shadowing property} липши и ев о свойство отслеживания), ('.ели существуют такие положительные числа L и d0. что для любой пеевдотраокторий £ = {ад} с. d < dQ найдется такая точка q Є М, что
}k{q)) < Ld при А; Є Z. (1.3)
Наряду с. периодическим свойством отслеживания можно рассматривать и его Липшицев аналог.
Определение 6. Будем говорить, что для гомеоморфизма. / выполняется липшицеоо периодическое свойство отслеживания LipPcrSh, если существуют такие положительные числа L и d^. что
для любой периодической d-псевдотраоктории с d < do найдется такая периодическая точка qs что выполняется соотношение (1.3).
В третьей главе поучаются периодическое и липпищево периодическое свойства отслеживания диффеоморфизмов гладкого замкнутого многообразия М и их связь со структурной устойчивостью. При изучении свойств отслеживания диффеоморфизмов гладких замкнутых многообразий одним из подходов является переход к С1-впутретптоетям. Будем обозначать через Int}(Р) внутренность некоторого подмножества Р множества диффеомор-физмов гладкого замкнутого многообразия М относительно С1-топологии. Как обычно, будем обозначать через SIS множество Q-устойчивых диффеоморфизмов. В работе |28| К. Сакаи доказал, что С1-внутренность множества диффеоморфизмов, обладающих свойством отслеживания пеевдотрлекторий, совпадает с множеством структурно устойчивых диффеоморфизмов. В третьей главе мы доказываем, что С^-впутротшоеть множества диффеоморфизмов, обладающих периодическим свойством отслеживания, совпадает с множеством ГТуетойчивых диффеоморфизмов. Существуют не структурно устойчивые диффеоморфизмы, обладающие свойством отслеживания псовдотраекторий (см., например, |22|). Точно так же существуют не ^-устойчивые, диффеоморфизмы. обладающие периодическим свойством отслеживания. С.К). Пилюгин и С.Б. Тихомиров в работе |26| доказали, что структурная устойчи-
10
- Киев+380960830922