Оглавление
1 Асимптотическая гамильтонова редукция для геодезических на деформированных сферах 15
1.1 Уравнения Лагранжа первого рода для геодезических . ... 15
1.2 Асимптотическое описание геодезических на деформированных сферах.................................................. 16
1.3 Угловой момент и связь с плюккеровыми координатами ... 17
1.4 Уравнения для углового момента............................. 18
1.5 Усреднение уравнений для момента........................... 20
1.6 Формулировка редукции в терминах интегральной геометрии 21
1.7 Гамильтонова структура редуцированной системы для углового момента................................................ 23
1.8 Ограничение системы на многообразие Грассмана <3(2, п) как
на пуассоново подмногообразие 5о(п) ........................ 26
1.9 Связь траекторий момента в точной и редуцированной системах 28
2 Топология решений редуцированной системы для некоторых классов алгебраических поверхностей 30
2.1 Двумерные деформированные сферы ........................... 30
2.2 Полиномиальность редуцированного гамильтониана для полиномиальных деформаций двумерной сферы..................... 33
2
2.3 Топологическая классификация редуцированных систем для двумерной сферы с деформацией четвертыми степенями координат ...................................................... 34
2.4 Трехмерные деформированные сферы........................ 55
2.5 Ультрагиперболичсское уравнение Йона на гамильтониан редуцированной системы.................................. 61
2.6 Деформации трехмерной сферы с осевой симметрией (поверхности вращения).............................................. 67
2.7 Многомерные эллипсоиды, близкие к сфере, и случай Шоттки-Манакова в уравнениях Эйлера на алгебре Ли яо(п) 69
3 Редукция уравнений динамики двухспиновой системы в магнитном поле 71
3.1 Гамильтониан и уравнения динамики двухспиновой системы 71
3.2 Редукция системы по циклической переменной............... 73
з
Введение
Основная часть настоящей-диссертации посвящена исследованию геодезических на деформированных сферах с помощью теории возмущений. В основе лежит идея о связи этой задачи с преобразованиями интегральной геометрии, в терминах которых производится асимптотическая гамильтонова редукция к системе меньшей размерности. Факты интегральной геометрии определяют свойства этой системы. Для содержательного класса полиномиальных деформаций двумерной- сферы производится анализ топологии фазовых портретов редуцированной-системы. В третьей главе рассматривается гамильтонова система, используемая для описания спиновых систем. С использованием симметрии системы производится ее редукция к системе меньшей размерности, допускающей более простое исследование.
Изучение геодезических линий на поверхностях восходит к исследованиям И. Бернулли и Л. Эйлера, посвященных нахождению кратчайших линий, [11]. В дальнейшем эта проблема изучалась в многочисленных работах геометров и механиков по нескольким направлениям исследования.
Обширный ряд работ посвящен нахождению решений уравнений геодезических для конкретных видов поверхностей. Один из первых нетривиальных результатов был получен в классической работе Якоби, который нашел точное решение для геодезических на эллипсоиде методами аналитической механики, |17]. Другими важными примерами являются поверхности вращения и метрики Лиувилля с интегралами первой и второй степени по импульсам, |8]. В работе В.Н. Колокольцова [26] были описаны все метрики на сфере и торе, геодезический поток которых имеет дополнительный квадратичный по скоростям интеграл, не зависимый от интеграла энергии. В ра-
4
‘
*
боте A.B. Болсинова, В.В. Козлова, А.Т. Фоменко [27] с помощью принципа Мопертюи были найдены метрики на сфере, геодезические потоки которых возникают из интегрируемых случаев динамики твердого тела, среди которых имеются системы с интегралами степеней 3 и 4 по импульсам. Кроме того, в рамках этого, аналитического, направления были установлены изоморфизмы некоторых из известных интегрируемых гамильтоновых систем с точностью до замены переменных. В частности, было установлено, что задача о геодезических на (гг — 1)-мерном эллипсоиде эквивалентна случаю Клебша-Переломова для обобщения уравнений Кирхгофа на алгебре Ли е(п), [28], [29], [31].
Другое направление исследований посвящено замкнутым геодезическим, [22]. Одной из первых работ в этом направлении была статья Пуанкаре [25]. посвященная нахождению замкнутых геодезических на выпуклых поверхностях, гомеоморфных сфере. Развитие вариационного подхода к этим вопросам привело к оценкам числа замкнутых геодезических. Одним из важных результатов стала теорема Люстерника-Шнирельмана о существовании на поверхности, гомеоморфной сфере, трех замкнутых геодезических без самопересечений. Кроме того, были обнаружены классы римано-вых многообразиий, на которых все геодезические являются замкнутыми без самопересечений. Их свойства исследуются в многочисленных работах, [23].
Большой интерес также привлекают вопросы о проявлениях хаотической динамики в системах, описывающих геодезические. В ряде исследований рассматриваются различные свойства нерегулярной динамики, такие как эргодичность, лиувиллева энтропия, топологическая энтропия и другие. Например, в работе G. Knieper, Н. Weiss [32] доказано, что существует отрытое и плотное в С^-топологии множество метрик положительной кривизны на двумерной сфере, геодезический поток которых имеет положительную топологическую энтропию. V. Donnay в работе [33] построил пример метрики на сфере, имеющей эргодический геодезический поток. Монография Д.В. Аносова [24] посвящена свойствам геодезических потоков на замкну-
5
тых римановых многообразиях отрицательной кривизны, в том числе эргодичности.
Еще одно направление исследований возникло из применения к системам, задающим геодезические, топологических методов исследования гамильтоновых систем.. Систематическая теория.классификации гамильтоновых систем с точностью до естественных топологических изоморфизмов была развита А.Т. Фоменко. В работах [1]-[7] были построены инварианты интегрируемых систем, с двумя степенями свободы с точностью до лиувиллевой эквивалентности,, т.е. до гомеоморфизма фазовых пространств, переводящего слои лиувиллева слоения одной системы в слои другой. В результате применения этой теории была осуществлена топологическая классификация многочисленных интегрируемых гамильтоновых систем, в том числе геодезических потоков, [8]', [9]:, [10]. Были обнаружены новые изоморфизмы гамильтоновых систем - в смысле топологической классификации-. Например, было показано, что задача о геодезических на двумерном эллипсоиде топологически траєкторно эквивалентна случаю Эйлера в динамике твердого тела, [9], [27]..
Помимо интегрируемых случаев, представляет интерес также изучение систем; являющихся слабыми возмущениями известных точно решаемых задач. Это объясняется, с одной стороны, распространенностью таких ситуаций в приложениях, когда одни эффекты оказывают малое влияние на ‘ систему по сравнению с другими, и с другой стороны, дополнительными
^ возможностями для. исследования, имеющимися применительно к. возму-
»- , "
щениям решенных задач. Этот подход, основанный на теории возмущений,.
является классическим в. аналитической механике, и применялся* со времен
Лагранжа, и Лапласа, [20]. • \ /
^ . • л На современном этапе возникает возможность совместить стандартные
методы теории возмущений с топологическим анализом гамильтоновых систем: Одним из первых шагов в этом направлении стала та самая работа Пуанкаре [25]= о замкнутых геодезических на выпуклых поверхностях, го-
б
- Київ+380960830922