Оглавление
Введение 3
1 Формула Мартинелли—Бохнера—Коппельмана в
пространствах распределений 14
1.1 Комплекс Дольбо над стандартными функциональными пространствами............................................ 14
1.2 Пространства Соболева с отрицательными показателями гладкости................................................. 19
1.3 Следы на границе нормальной и касательной составляющих комплексных дифференциальных форм..................... 24
1.4 Формула Мартинелли-Вохиера-Коппельмана в пространствах распределений....................................... 37
2 Задача Коши для системы Коши—Римана 41
2.1 Задача аналитического продолжения .................... 41
2.2 Обобщенная постановка задачи Коши для системы Коши-Римана в пространстве Лебега Ь2 в области.... 45
2.3 Критерий разрешимости задачи Коши................. 51
2.4 Формулы Карлемана для областей специального вида ... 61
2.5 Формулы типа Карлемана в цилиндрических областях . . 65
3 Задача Коши для комплекса Дольбо в положительных
степенях 76
3.1 Задача Коши для комплекса Дольбо в стандартных пространствах Соболева....................................... 76
3.2 Задача Коши для комплекса Дольбо в пространствах распределений ............................................... 87
3.3 Задача Коши для комплекса Дольбо в пространстве Лебега
Ь2 в области.......................................... 92
Заключение 99
О/
Введение
Интегральные представления в комплексном анализе решают классическую задачу восстановления голоморфной функции в некоторой области из п-мерного комплексного пространства по со значениям на границе или на части границы этой области. Например, интегральное представление Мартинелли-Бохнера задействует значения функции на всей границе, а интегральное представление Коши для поликруговых областей -только значения па остове. Еще со времен Адамара [33] известно, что эта задача, вообще говоря, является некорректно поставленной, а именно, в случае задания значений на произвольном подмножестве границы, может не быть непрерывной зависимости решения задачи от ее начальных данных. С другой стороны, если множество, па котором заданы данные Коши, достаточно массивно, то теорема единственности для голоморфных функций гарантирует, что задача Конт имеет не более одного решения, что, в свою очередь, позволяет надеяться на возможность построения подходящего интегрального представления для решения задачи. В этом случае некорректность задачи означает, что в данном интегральном представлении будет содержаться предельный переход или интегрирование будет вестись по некомпактному множеству. Одна из первых формул, восстанавливающих голоморфную функцию в области одного специального вида по ее значениям на части границы, была предложена Кар-леманом [30|, а формулы подобного рода стали называться формулами Карлемана. После этой пионерской работы появилось множество других, связанных как с одномерными, так и с многомерными формулами Карлемана (Голузин-Крылов (5), Лаврентьев [10], Фок-Куни [17], Ярму-хамедов [24]). Все эти и многие другие формулы, а также их приложения представлены в монографии Айзенберга [1]. Многомерные формулы Карлемана стали появляться в 90-х годах ХХ-го столетия (Айзенбер!4-Кытмаиов [3]). Уместно отметить, что данные исследования были глу-
3
боко мотивированы с точки зрения приложений (гидродинамика, теория передачи сигнала, геологоразведка и т.д.), по этой причине данная тематика остается актуальной (см. [26], [281, (46], [41]).
Однако, в ходе изучения задачи аналитического продолжения для голоморфных функций многих переменных, стало ясно, что правильнее рассматривать более общую задачу: задачу Коши для многомерной неоднородной системы Коши-Римана (см. |47|, |46|). В случае одного комплексного переменного эти задачи эквивалентны во многих естественных функциональных пространстствах (например, в пространствах Гсльдера или Соболева), но для многих переменных, чтобы доказать эквивалентность, требуется информация о разрешимости системы Коши-Римана или, другими словами, о когомологиях комплекса Дольбо на первом шаге [18| над различными функциональными пространствами, а значит, такая эквивалентность не имеет места для областей, не обладающих некоторыми свойствами выпуклости относительно оператора Коши-Римана.
Как оказалось, результаты, полученные для системы Коши-Римана, естественным образом могут быть обобщены на случай общих эллиптических переопределенных систем [51]. С другой стороны, многомерный оператор Коши-Римана, продолженный на комплексные дифференциальные формы, порождает соответствующий комплекс совместности, называемый комплексом Дольбо, который играет важную роль во многих вопросах комплексного анализа. Итак, задача Коши для комплекса Дольбо представляв!’ другое важное обобщение классической задачи Коши для голоморфных функций, активно изучаемое в последние годы (Андреотти-Хилл [27], Бринкшульте-Хилл [29], Кытманов-Мысливец |9|). Особую ценность эта задача приобрела после представления Хансом Леви [40] примера дифференциального уравнения без решений, построенного с помощью касательного оператора Коши-Римана, тесно связанного с задачей Коши для комплекса Дольбо. Ясно также, что эта задача Коши может стать хорошим модельным примером для изучения задачи Коши для более общих эллиптических комплексов.
Кроме того, несмотря на обилие работ по тематике, вопрос о том как
4
находить простые формулы для решения задачи Коши (даже дли случая системы Коши -Римана) в каждой конкретной ситуации, остается открытым. Поэтому каждая новая конструктивная формула Карлемана п рсдстав л я ет отдел ь н ы й интерес.
Глава 1 посвящена адаптации формулы Мартинелли-Бохнера-Коп-пельмана для сечений (которые являются распределениями) расслоения внешних комплексных дифференциальных форм. В частности, для этого потребовалось описать следы на границе касательной и нормальной составляющих дифференциальных форм, коэффициенты которых принадлежат специальным пространствам Соболева с отрицательными показателями гладкости. Выбор этих пространств не является случайным. Ранее они были успешно использованы для решения задачи Коши для системы Коши-Римана [46]. В третьей главе диссертации показано, что именно в одном из этих пространств постановка задачи Коши для комплекса Дольбо является наиболее удачной и именно в нем условия разрешимости имеют наиболее просл ой вид.
Пусть Г) - ограниченная область в Сп с бесконечно гладкой границей сШ. Следуя Шехтеру [44] (ср. [43], [51]), в дополнение к стандартной шкале пространств Соболева #*(£>), 5 е Е, (см., например. [25]), определим несколько иные пространства Соболева с отрицательными показателями гладкости ЖЯ(Г))У Ъ Э 5 ^ 0, как пополнения пространства относительно норм
ЫЬг*Ф) = ЙЦР “О----------—•
Обозначим через Ар'я расслоение внешних дифференциальных форм бистепени (р, <?) над Сп, а множество (р. д) форм с коэффициентами из функционального пространства в(£>) обозначим через (5(£),Л/;,,/). Пусть *</? = ~*Тр для формы уз, где * - оператор Ходжа. Положим для
и Е С°°( Д ДМ);
= 5^ X)и
1Л=Р 7=1
ПН?
|/|=р 7=1 1.71=5
где р - определяющая функция области О, а г^/.у - коэффициенты дифференциальной формы 1х. Тогда т(ц) = рог)(и).
Пусть д - оператор Коши-Римаиа для дифференциальных форм.
Обозначим пополнение пространства С°°{Д Л/,,<г) относительно норм графиков
1МЦэ = (И^ИЗ^цдль?) + \\^и\\%,в-1(оМ'ч+л)) »
1М|я,т — (|М13**(ДЛ*>*) Иг('и)Ня*“1/2(дР>Л»»'«+1))
1М1*,т = (|М1^»(ДЛр*) + Нт(г*)11я*“,/а(адлл«))
через #|(ДЛР’Д #|(ДЛ™) и Щ(П,АР'Я) соответственно. Основной результат данной главы состоит в следующем.
Теорема 1.3. Линейные пространства #|(А Лр,<г), Щ(Оу Ар»9) и #£(ДЛР,Д в ^ 0, совпадают, а из: нормы эквивалентны.
Следствие 1.2. Длл любой формы и е Щ(П, ЛРЛ) корректно определена форма т(и) Е Я^^дД ЛРЛ).
В целом, данные утверждения выражают тот факт, что касательная часть т представляет собой так называемые данные Коши относительно оператора Коши-Римана для дифференциальных форм соответствующей бистепени, см. [15, §12].
Кроме того, в диссертации получены аналогичные результаты относительно нормальной составляющей форм. Для случая р = ? = 0 все они отмечались в [46) (ср. [51, СЬ. 9]).
(9
А с/2/ Л сА/,
О
с
Глава 2 посвящена задаче Коши для многомерной неоднородной системы Коши-Римана:
Г ди = / в Д 1 гг = г*о на Г, т.е. задаче Коши на нулевом шаге комплекса Дольбо. Здесь обсуждаются два различных подхода к решению задачи.
Во-первых, нами приведен критерий разрешимости этой задачи, 1} терминах гармонического продолжения интеграла Мартинелли -
Бохнера из меньшей области в большую, в случае, когда по заданным функции щ из класса Лебега Ь2(Г) и (0,1)-форме / с коэффициентами из класса Ь2{И) ищется функция и Є Ь\ос{0 и Г). Мы не приводим точные формулировки, так как для / = 0 аналогичные результаты для пространств Лебега отмечены в [23], а для произвольных правых частей похожий критерий разрешимости получен в [46] для более широкого класса пространств распределений (ср. с результатами главы 3 применительно к задаче Коши для комплекса Дольбо в положительных степенях). Несмотря на то, что сам по себе этот критерий (Теорема 2.3) не носит принципиального характера для диссертации, его достоинство состоит в простоте и использовании естественных функциональных пространств, не выходящих за рамки итегрируемых функций. Более того, на его основе в диссертации построены несколько простых и эффективных формул Карлемана в областях специального вида.
Во-вторых, уместно отметить, что задача Коши для многомерной системы Коши-Римана может быть легко сведена к задаче Коши для оператора Лапласа А (ср. |3] для случая / = 0), которая, в свою очередь, представляет отдельный интерес для исследования, в силу своей важности как внутри математики, так и во многих приложениях (см., например, 110], (24) и многие другие работы, а также [51] и ее обширную библиографию). По этой причине последний параграф главы 2 посвящен построению формул типа Карлемана для задачи Коши для уравнения Лапласа в областях цилиндрического вида. Сводя эту задачу к задаче Коши для волнового уравнения и используя гиперболическую
7
теорию (см. [38|), мы получаем точные формулы для решения (эллиптические аналоги классических формул Д’Аламбера, Пуассона, Кирхгофа, см. [12]), обобщающие классический подход Ханса Леви (см. [39]).
Более подробно, пусть теперь D - ограниченная область с кусочно гладкой границей в R". Потребуем, чтобы область D была цилиндрической формы, т.е. являлась частью цилиндра В х R, отсекаемой двумя поверхностями хп = Ь(х') и хп = t(x'), заданными на В, где В ограниченная область с гладкой границей в пространстве переменного Xі — (ті,..., хп-і) Є Rn_1. Данные Коши будем задавать на верхней части Г := {(s', t(x')) : х' Є /?}, которая предполагается вещественно аналитической.
Рассмотрим в области D линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка А и = /(ж), где функция f{x) вещественно аналитическая на D. Задача Коши для решения этого уравнения с данными на Г может быть сформулирована в следующем виде. По заданным на Г функциям щ и щ найти функцию и гладкую в D вплоть до Г такую, что
Г Aw = f{x) в D,
< и = щ на Г, (2.44)
у и‘Хп = щ па Г.
Продолжая функцию и(х\ хп) до голоморс|)ной функции
и(х\ хп, Уп) := и(ххп 4- гуп)
в некоторую комплексную окрестность интервала (b(x,)it(x,)]i сведем задачу Коши для уравнения Лапласа к задаче Коши для неоднородного волнового уравнения от переменных (х',уп)
[ иУпУп = &x'U - f(x\xn + iyn), где Xі € В, \уп\ < е(х'),
< U (х\ хп, 0) = и0(х',хп), где х' ев,
[u;jn(x\xn,0) = гщ(х\хп), где х' Є В,
куда переменная хп входит в качестве параметра, лежащего в интерва-
ле (Ь(х'), L{x')). Один из основных результатов данной главы состоит в следующем.
8
- Киев+380960830922