Содержание
Введение.......................................................3
Глава 1. Предварительные сведения к теоремам Неванлинны 17
Глава 2. Не положительные нераднальные вариации
теорем Р. Неванлинны..................................29
Глава 3. Исторический обзор результатов о сдвигах нулей
целых функций........................................44
Глава 4. Изменение поведния субгармонической функции при трансформации ее меры Рисса и
целой при сдвиге ее нулей.............................62
Глава 5. Аппроксимация целой функции другой
целой функцией с простыми нулями......................92
Список литературы.............................................99
2
Введение
В общей теории аналитических и субгармонических функций одно из центральных мест занимают вопросы распределения нулей голоморфных функций и их асимптотического поведения.
Особый интерес вызывает исследование распределения нулей голоморфных функций в единичном круге В комплексной плоскости С и их асимптотического поведения вблизи границ области определения. Полученные результаты представляют интерес не только как внутренние вопросы теории распределения значений голоморфных функций, но и как необходимый этап исследования таких вопросов теории функций комплексного переменного, как теории аппроксимации, интерполяции, аналитического продолжения, спектрального синтеза и т.д.
Работу условно можно разделить на две части, связанные между собой тем, что они опираются на вопросы распределения нулей функций.
Первая посвящена изучению распределения нулей голоморфных функций в единичном круге О комплексной плоскости С и представления меро-
морфных функции в виде отношения голоморфных.
В качестве основной отправной точки этого исследования можно рассматривать классический результат Р. Неванлинны, опубликованный в работах [26], [27] (1939, 1941гг.). Развитие этой тематики продолжено в работах: М.М. Джрбашяна [13], [14], [15] (1945, 1969, 1973гг.), А.Г. Нафталевича [23], [24] (1953, 1961 гг.), М. Цудзи [78] - [80] (1956, 1959, 1975гг.), Б. Коренб-люма [66], (1975г.), Т. Гамелина [57] (1978г.), Ф.А. Шамояна [44] (1983г.), Р. Коулвела [56] (1985г.), Д. Паскуаса [71] (1988г.), С. Горовица [60], [61] (1974, 1995гг.), Е. Беллера [48], [49] (1977, 1994гг.), П. Кусиса [19] (1984г.), Дж. Гариета [6] (1984г.), Г. Бомаша [50] (1992г.), Д. Бруна и К. Массанеда [52] (1995г.), К. Сейиа [75] - [77] (1994, 1995гг.), Д. Льюкинга [67] (1996г.), А. Боричева и Г. Хеденмальма [51] (1997г.). Актуальность данной тематики
3
видна в работах последних лет. Значительные результаты в этой области получены Г. Хеденмальмом, Б. Коренблюмом и К. Жу [59] (2000г.), A.A. Кондратюком и Я.В. Васильковым [65] (2001г.), В.Я. Эйдерманом и Маттс Эссеном [46] (2002г.), С. Сандбергом [74] (2002г.), О. Бласко, А. Кукуряка и М. Новаком [53] (2004г.), Б.Н. Хабибуллиным [29] - [32], [39] (2003, 2004, 2007,2009 гг.) и др.
Приведем объединенные формулировки теорем Р. Неванлинны о распределении нулей и о функциях ограниченной характеристики, следуя [30]. Обозначим через D(z,t) открытый круг на комплексной плоскости С с
центром в точке z є С радиуса t > 0, D := Z)(0,1) - единичный круг, 3D-
единичная окружность. Через Zero у последовательность нулей
А = {Як}, к є N функции f в единичном круге D, перенумерованную с
учетом кратности.
Теорема Неванлинны (о нулях). Попарно эквивалентны следующие утверждения:
1. Последовательность А = {Як }, к є hj — последовательность нулей
ограниченной голоморфной в D функции.
2. Для любой функции fA, голоморфной на единичном круге, с
морфной на единичном круге функции fA удовлетворяющей условию (0.1).
(0.1)
3. А = {Як } = Zero г последовательность нулей для некоторой голо-
4
< +00.
\як\
со
5. Выполнено соотношение Х(НЛ|)<+-.
А;—1
/ • »
■
1
6. Выполнено соотношение < +со,
о
где (г)- считающая функция последовательности Л — {Лк }.
7. Л = {Лк}, к е N - подпоследовательность нулей для некоторой
ограниченной голоморфной в П функции.
Приведем близкую по идее теорему того же автора о представлении мероморфной функции.
Теорема Неванлинны (о функциях ограниченной характеристики). Если для мероморфной в единичном круге О функции f, представленной в виде отношения голоморфных функций / = £/ц, причем шах{| #(0) |,| #(0) |} =£ 0, выполнено условие
эир Г(г;/) < +оо,
Г<|
или голоморфные функции g и q ограничены в /), то найдутся ограниченные голоморфные функции g{) и q0 в единичном круге О без общих пулей такие, что справедливо представление j = £0/С[0 на П. Где Т(г; /")—характеристика Неванлинны мероморфной функции /.
4. Выполнено соотношение
к=I
5
В первой части данной работы, главах 1 и 2, получены результаты об описании последовательностей нулей определенных классов голоморфных функций в единичном круге />. Этот класс функций выделен ограничением на-, рост функций вблизи границы- круга посредством весовых функций-умеренного роста. Весовые функции;,, определяющие этот класс субгармонические, возможно нерадиальные и не обязательно всюду положительные. Приведены новые результаты и для- радиальных ограничений. Эти результаты являются обобщением классических теорем Р. Неванлинны.
Будем исследовать представленные теоремы Неванлинны в классах пространства Но1(£2;Л/) — пространства всех голоморфных в области П функций ^ таких, что
Но1(р;М):=
/:!!ир_иМ1_<+„
геп ехр М(г)
(0.2)
где М £2 —> (—оо,+оо) — функция-мажоранта, порождающая этот весовой класс, субгармоническая, возможно нерадиальная и не обязательно всюду положительная.
В главе 1 диссертационной работы прїгведен обзор результатов исследований Б.Н. Хабибуллина [30] о распределении нулей для этих весовых, классов голоморфных функций и о представлении мероморфных функций в терминах функции Грина и гармонических мер. Эти результаты являются основой для изучения новых версий теорем Р. Неванлинны для области £! = ]). \ - ' ‘
В главе 2 сформулирована и доказана не положительная нерадиальная вариация теорем Р. Неванлинны в единичном круге (Теорема 1).
6
Радиальной назовем такую функцию М :1> —> (~оо,+со), для которой < М(я)~ М{\ 21);- для каждой точки z е О. Не положительной — функцию, если существуют ТОЧКИ 2 е/>, в которых М(г) < 0. • . ' “:-
В Теореме 1 рассматриваются классы пространств (0.2) для области^ С1 = 1). Получены описания последовательностей нулей- голоморфных функций из этих классов, определенных субхдрмонической, нерадиальной ' и не обязательно всюду положительной функцией-мажорантой М. Более того • она может достаточно быстро стремиться к — со при приближении к точкам окружности 92) по некасательным направлениям. В этой главе приводятся примеры, подтверждающие нетривиальность подобных классов функций.
Также в этой теореме установлены новые представления мёроморфных функций в виде отношения голоморфных функций, с ограниченичением на рост вблизи границы единичного круга посредством весовых функций М.
Для борелевской меры V на С (или в /)) полагаем
“ К-О(2,0), уга,1^):=у(0,1).
Для субгармонической функции; М в области £2 мера Рисса определяется равенством
ум=~Ш„
. 2 п
где оператор Лапласа Д действует в смысле теории обобщенных функций, или теории распределений.' •' #
Для подмножества £0 € 2), обозначим, через: [/^совокупность
всевозможных связных объединений О и> £0 конечного числа кругов 0(гу,(у)<вП, / = 1,...,т, исключая те области О, в дополнении С\Г)
которых есть изолированные точки. Через а>0(г,-) обозначим гармоническую меру в точке z относительно области О Є С, через gp(•9z)— продолженную функцию Грина для Г) с полюсом в г є £).
Для 2 = гё°, 0 < г < 1, где в є и числа а > 0 введем в рассмотрение “полярный прямоугольник7' относительного размера а
Ц(г;а):= — гё4' :(г-ал1\-г2)+ </ < -в)\< а4\--г2 }
и функцию
1
q^(z)-.= —- J (\-\C\)dvM{0, 1— z
где функция М определена выше.
Приведем сокращенный вариант Теоремы 1.
Теорема Г. Пусть М — субгармоническая функция такая, что М{0) > -ос и
1 2п
sup— \М(гёв)с1в < +оо.
--•2 п J
Г<1
О
Пусть Л = {Л*} - последовательность точек и 0 £ Л, а /А - некоторая голоморфная в /) функция с последовательностью нулей 2его/А = Л = {Д*}.
Тогда если выполнено условие на единичном круге О
SUp
Dei/V
s0
D
<+°o, (0.3)
8
- Киев+380960830922