ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение ......................................................... 4
Глава I. Наилучшие по коэффициентам весовые квадратурные формулы на классах функций малой гладкости
§1.1. Определение и обозначения общего характера..............23
§1.2. Об оценке погрешности кнадра'гуриой формулы Эрмита на
классе функций Ни[— 1; 1].................................26
§1.3. О погрешности одной квадратурной формулы на классах
функций —1; 1].....................................32
§1.4. О наилучших квадратурных формулах для интегралов с весом
Якоби на классах функций малой гладкости И^1^—1,1] .... 39 §1.5. О наилучших весовых квадратурных формулах класса
функций \У^Ь[0, оо) ......................................46
§1.6. Об оптимизации приближенного вычисления двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в
круге. Приведение к одномерному случаю....................46
Глава П. О наилучших и наилучших по коэффициентам весовых кубатурных формулах на некоторых классах функций
§2.1. Постановка задач и классы функций.......................53
§2.2. О май лучших весовых кубатурных формулах на классах
функций \У^Ьр(0) (1 < р < оо).............................57
§2.3. О наилучших весовых кубатурных формулах для классов
функций И1 < р < оо.......................................62
2
§2.4. Оценки погрешности кубатурных формул, точных на билинейных сплайнах, для классов функций, задаваемых модулями
непрерывности.....................................65
Литература............................................77
3
Введение
В пятидесятых годах прошлого столетия С.М.Никольский [33] впервые поставил и решил экстремальные задачи построения наилучших квадратурных формул - задачи выбора узлов и коэффициентов квадратурной формулы из условия минимальности точной оценки ошибки формулы на заданном классе функций. Аналогичную задачу в случае фиксированных узлов впервые рассмотрел А.Сард [38]. В дальнейшем теория построения наилучших квадратурных формул стала важным разделом вычислительной математики. Существенные результаты в этом направлении были получены Н.П.Корнейчуком, Н.Е.Лушпаем, В.П.Моторным, А.А.Женсык-баевым, Б.Д.Бояновым, А.А.Лигуном, К.И.Осколковым, М.И.Левиным, Ю.Г.Гиршовичсм и многими другими. Основные результаты этой теории приведены Н.П.Корнейчуком в добавлении к книге С.М.Никольского [33]. Из этого добавления видно, что данная теория получила значительное развитие, хотя в ней остался ряд нерешенных вопросов. Значительно менее развита теория построения весовых наилучших квадратурных и кубатуриых формул, а также построения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов.
При оптимизации приближенного интегрирования сингулярных интегральных уравнений возникает необходимость в нахождении наилучших квадратурных и кубатуриых формул с положительным весом, причем допускается, что интегрируемая весовая функция в области интегрирования может иметь фиксированные слабые особенности. Для таких квадратур сформулируем следующую общую экстремальную задачу.
4
Рассматривается квадратурная формула
(0.0.1)
в которой весовая функция д(х) > 0 на отрезке [а, Ь] интегрируема (может быть в несобственном смысле) по Риману, Р = {ра'}?=1 - вектор коэффициентов, X = {ж* : а < хі < Х2 < ... < хп-\ < хп < Ь} - вектор узлов, а ^(ф) := := Яп(/'^]Р,Х) - погрешность квадратурной формулы (0.0.1) на функции
Если 91 некоторый класс функций {/(ж)}, заданных и определенных на конечном или бесконечном отрезке [а, Ь], то через
обозначим допустимую погрешность квадратурной формулы на классе 01. Требуется найти величину
где Л - множество векторов узлов и коэффициентов, для которых квадратурная формула имеет смысл. Если существует вектор (Р°, АГ°) узлов и коэффициентов, для которого достигается нижняя грань в (0.0.3), то есть
то квадратурная формула (0.0.1) называется наилучшей или оптимальной на классе 91, а вектор (Р°,Х°) называется наилучшим вектором коэффициентов и узлов квадратурной формулы (0.0.1). Аналогичным образом, если существует вектор коэффициентов Р* = (р£}£=1) который реализует нижнюю грань
/(*)•
ЯЛОТ; Я, Р, X) = зирІІ/Ш; Г,Р,Х)\: / Є 91} (0.0.2)
£„(01; д) = іЩДЛОТ; <?; Р, X) : (Р, X) С А}
(0.0.3)
£„(01; д) = А„(01; д, Р°,Х°),
£п(<П-Я,Х) = Ы{Нп(т,я;Р,Х) : РсА},
(0.0.4)
5
то квадратурная формула (0.0.1) называется наилучшей по коэффициентам квадратурной формулой при фиксированном векторе узлов X = {ж*}2=1.
В литературе задача (0.0.3) называется задачей Колмогорова-Никольского, а задача (0.0.4) - задачей Сарда.
Задача (0.0.3) для соболевских классов функций и регулярных интегралов решена многими авторами. Что же касается нахождения наилучших квадратурных формул для сингулярных интегралов или весовых квадратурных формул, когда #(т) на отрезке [а, Ь] имеет особенности, то здесь можно указать лишь на работы Л.А.Онегова, В.А.Бойкова, М.Ш.Шабозова и Р.С.Сабоиева.
Диссертационная работа посвящена дальнейшему развитию указанной тематики, целью которой является:
1. Найти наилучшие квадратурные формулы с весом для классов И^Ь[а,Ь] на конечном и бесконечном отрезке интегрирования.
2. Найти наилучшие по коэффициентам квадратурные формулы с весом для классов функций, задаваемых модулями непрерывности.
3. Найти ыаилучшие квадратурные формулы для двумерных сингулярных интегралов с фиксированной особенностью в круге.
4. Найти наилучшие кубатурные формулы для классов функций
когда область С} как ограничена, так и не ограничена.
5. Вычислить точные оценки погрешности кубатуриых формул на классах функций, определяемых модулями непрерывности.
В работе используются современные методы исследования экстремальных задач нахождения квадратурных и кубатуриых формул, метод Корнейчука оценки снизу погрешности квадратур на классах функций, обращающих в нуль квадратурную сумму.
- Киев+380960830922