Метрические характеристики исключительных множеств и теоремы единственности в теории функций

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ.................................................... 4
§0.1. Цель работы и ее актуальность....................... 4
§0.2. Краткое содержание работы и научная новизна 7
ГЛАВА I. Емкостные и метрические характеристики
ограниченных множеств. Оценки потенциалов. 18
§1.1. Некоторые функции множеств......................... 18
§1.2. Мера Хаусдорфа и обхват симметричных обобщенных
канторовых множеств................................. 20
§1.3. Емкость Ск{Е) симметричных обобщенных канторовых множеств............................................. 24
§1.4. Емкости 7+и 7 плоских канторовых множеств ......... 29
§1.5. Построение т-мерных канторозых множеств по заданной измеряющей функции................................... 38
§1.6. Оценки потенциалов с положительными ядрами 39
§1.7. Соотношения между внешней емкостью и /г-обхватом
по Хаусдорфу ....................................... 49
§1.8. О то’шости теоремы Фростмана....................... 52
§1.9. О различии между мерой Хаусдорфа и емкостью 59
§1.10. Емкости 7, 7+ и мера Хаусдорфа .................... 61
ГЛАВА II. Оценки (^-субгармонических функций вне
исключительных множеств............................. 64
§2.1. Оценки типа Картана 6-субгармонических функций
ограниченного вида в шаре........................... 64
§2.2. Оценки ^-субгармонических в шаре функций с произвольно растущей характеристикой..................... 81
§2.3. (^-субгармонические функции в шаре: случай
Р(г)(1-г)ш-1 > с > 0 .............................. 91
§2.4. Случаи /01[(1 — *)т“2Р(*)Тм(*)]~1(Й12(*) < эо- Функции
ограниченного вида................................. 103
§2.5. Контрпримеры...................................... 109
ТурезеЬ Ьу
ГЛАВА III. Некоторые классы ^-субгармонических функций с “правильным” асимптотическим поведением................................................. 119
§3.1. Понятие функций вполне регулярного роста и его обобщение................................................... 119
§3.2. Два класса исключительных множеств ............... 121
§3.3. О существовании исключительных ^-множеств ........ 126
§3.4. О существовании исключительных С£-множеств ....... 134
ГЛАВА IV. Теоремы единственности......................... 141
§4.1. Обзор теорем единственности для аналитических
функции в круге.................................... 141
§4.2. Теоремы единственности для «^-субгармонических
функций в шаре..................................... 144
§4.3. Функции ограниченного вида........................ 149
§4.4. О сумме значений функций из некоторых классов на
последовательности точек........................... 156
§4.5. Об убывании аналитической в полуплоскости функции
на последовательности точек........................ 167
§4.6. Применение к задаче аппроксимации с учетом величин
коэффициентов аппроксимирующих полиномов 181
ЛИТЕРАТУРА............................................... 185
3
ВВЕДЕНИЕ
§0.1. Цель работы и ее актуальность.
1. Цель работы. Основной целью диссертации является развитие метода, позволяющего получать точные метрические характеристики “исключительных” множеств, возникающих в различных вопросах теории потенциала и теории функций: аналитических, субгармонических и некоторых других. (О каких именно исключительных множествах идет речь, сказано ниже в п.п. 2 -
5.) Составная (и наиболее трудная) часть этой проблемы - развитие техники построения контрпримеров, иллюстрирующих точность получаемых результатов. Мы ставим своей целью также развитие метода получения новых теорем единственности для аналитических и субгармонических функций, основанного на опенках их поведения вне исключительных множеств. Применение развитого аппарата позволяет не только рассматривать более общие постановки конкретных актуарных задач, но и в случаях, уже изучавшихся ранее различными авторами, получать более точные результаты.
Приступая к описанию направлений и задач данного исследования отметим, что во введении мы приводим лишь очень краткий обзор работ предшествующих авторов, никак не претендующий на полноту. Более подробное изложение известных результатов с полными библиографическими ссылками дается в основной части работы при рассмотрении соответствующего вопроса.
2. Исключительные множества. Как уже было сказано, множества, являющиеся в некотором смысле “исключительными”, возникают во многих вопросах теории функций. Сюда относятся, например, множества, вне которых функция того или иного класса имеет правильное асимптотическое поведение (целые функции впаяне регулярного роста, введенные Б. Я. Левиным и А. Пфлюгером - см. монографию Б. Я. Левина [ 1}, или субгармонические функции различных классов - Ж. Лелон-Ферран [1], М. Эссен и Г. Джексон [1], В. С. Азарин [1]—[4], С. Ю. Фаворов [1]—[2] и др.); а также множества устранимых (соответственно, неустранимых) особенностей аналитических или гармонических функций (из очень обширной литературы отметим здесь книги Л. Карлесона [1], Дж. Гарнетта [2], С. Я. Хавинсона (5), У. Хеймана и П. Кеннеди [1], П. Маттилы [2]); возникают исключительные множества и в ряде других вопросов.
3. Емкостные и метрические характеристики. Широкое проникновение в теорию функций методов теории потенциала началось с фундаментальных работ Ф. Рисса [1], установившего в 1926-1930 г.г. представление субгармонической в области I) С Кт. гтг > 2, функшш гг в виде разно-
Турезег Ьу Дд^-Т^Х
сти гармонической функции и потенциала с положительной мерой и ядром K(t) = — log*, m = 2; K[t) = m > 2. Дальнейшее развитие теории име-
ется в монографиях И. И. Привалова [1], М. Цудзи [1], У. Хсймана и П. Кеннеди [1], У. Хеймана [3], Л. Карлесона (1], Н. С. Ландкофа [2], П. Маттилы [2], Дж. Л. Дуба [1], Д. Адамса и Л. Хедберга [1]. Выяснилось, что именно емкостные характеристики, изучаемые в теории потенциала, позволяют описывать исключительные множества, возникавшие во многих вопросах. Однако емкостные характеристики, часто давая полное описание возникавших исключительных множеств, имеют и существенные недостатки: они менее наглядны и менее удобны для применений, чем метрические. Поэтому возникает и становится классической задача о сравнении емкостных и метрических характеристик множеств, рассматривающаяся во всех монографиях по теории потенциала и ее приложениям к теории функций. Здесь, прежде всего, следует упомянуть результаты О. Фростмана, С. Камстани, М. Оиуки, Л. Карлесона - см. Л. Карлесон (1], Н. С. Ландкоф [2]. В этих работах емкость множества Е сравнивается с мерой Хаусдорфа Аь(Е) или с обхватом по Хаусдорфу Mh(E), порождаемыми некоторой измеряющей функцией h (непрерывной неубывающей на [0, ос) функцией, для которой h(0) = 0). Основной полученный
О. Фростманом результат утверждает, в частности, что если \н(Е) > 0 и
/ K(t)dh(t) <оо, (0.1.1)
Jo
то Ск(Е) > 0; здесь К - положительное ядро потенциала, Ск(Е) - соответствующая емкость множества Е (О. Фростман рассматривал ядра К специального вида; мы цитируем результат по Л. Карлесону [1, IV, теорема 1]). Однако, необходимость условия (0.1.1) для справедливости результата не была исследована в полной мере: не было замечено, что это условие не является необходимым без дополнительных условий “регулярности" поведения функции k, и тем более не изучался вопрос о том, какими должны быть минимальные дополнительные условия регулярности функции h, чтобы (0.1.1) стало необходимым для справедливости результата.
Актуальным является и вопрос о сравнении аналитической емкости 'у(Е) и мер Хаусдорфа (эту задачу ставили и рассматривали JI. Д. Иванов [1] и Дж. Гарнетт [2)), а также тесно связанная с ней задача о сравнении меры Хаусдорфа и емкости ^(Е), порождаемой потенциалами Коши с положительными мерами. Эта тематика продолжает активно развиваться. В самое последнее время здесь появились, например, важные работы М. С. Мельникова [1], П. Маттилы [2]—[3] и X. Толсы [1].
4. Оценки аналитических и субгармонических функций вне малых множеств. Наряду с задачами о емкостных характеристиках множеств и их сравнении с метрическими развивалось и примыкающее к ним направление, связанное с оценками аналитических и субгармонических функций различных классов вне малых множеств, размеры которых непосредственно оценивались в метрических терминах. Большую роль здесь сыграла полученная А. Картаном [lj оценка модуля многочлена, легшая в основу многих исследований (Б. Я. Левин [1], Н. Г. Чеботарев и Н. Н. Мейман [1], Н. В. Говоров [Г и др.). Позднее
5
У. Хейманом [1] и Н. С. Ландкофом [1]—[2] был разработан другой метод для оценок потенциалов. При изучении поведения субгармонических функций исключительное множество традиционно оценивалось через сумму радиусов покрывающих кружков (или степеней радиусов шаров в случае тп > 2). М. Эссен и X. Джексон [1] впервые использовачи для этих целей более тонкую характеристику, введя в рассмотрение произвольную измеряющую функцию 1г и оценив величину /г(г,//?г), где п - радиус шара, а Яу - расстояние от его центра до начала координат. Но их метод работа! лишь для субгармонических функций с достаточно “редкой” мерой р в представлении Рисса. Другой подход применил В. С. Азарин [2]-[3], исследуя класс субгармонических функций в Ет, являющийся распространением класса целых функций вполне регулярного роста Левина-Пфлюгера. Однако в качестве измеряющих им были рассмотрены лишь степенные функции, что не позволило исследовать границы “малости” изучаемых множеств.
5. Теоремы единственности. С проблематикой, описанной в п. 4, тесно связано исследование теорем единственности следующего типа. Пусть задан некоторый класс Т субгармонических функций (или функций, представимых в виде разности двух субгармонических) в области £). Требуется найти условия на последовательность {яп} точек в стремящихся к дП при п -> ос, и условия на допустимую скорость убывания функций из Т на этой последовательности, гарантирующие, чтобы из достаточно быстрого убывания функции и(х) € Т на {хп} следовало, что и(х) = —оо. Применительно к целым функциям теоремы такого типа рассматривались, например, в хорошо известных монографиях Н. Левинсона [1] и Р. Ф. Боаса [2]. Литература по данному вопросу также очень обширна (краткий обзор приводится в §4.1). Помимо самостоятельного значения, такие теоремы единственности имеют многочисленные применения, например: в проблеме моментов, в теории аппроксимации (подробнее см. §4.6).
6. Основные направления исследования. В соответствии с намеченными в п. 1 основными целями и описанными в п.п. 3-5 некоторыми актуальными для теории исключительных множеств вопросами, наши исследования ведутся в следующих направлениях:
1. Сравнение емкостных и метрических характеристик ограниченных множеств. Развитие техники построения контрпримеров множеств, выясняющих точность получаемых результатов. В частности, изучение вопроса о минимальных условиях на измеряющую функцию /г, при которых условие (0.1.1) необходимо для справедливости результата типа теоремы Фростмана.
2. Метрические исследования, связанные с аналитической емкостью 7 и емкостью 7+.
3. Точные метрические характеристики “малости” исключительных множеств, вне которых функции изучаемых классов имеют ту или иную оценку. Построение контрпримеров, показывающих точность полученных оценок.
4. Развитие метода получения новых точных теорем единственности на основании оценок аналитических или субгармонических функций различных классов вне исключительных множеств, включая и построение контрпримеров, иллюстрирующих точность результатов.
6
§0.2. Краткое содержание работы и научная новизна.
В дальнейшем мы иногда используем одинаковые обозначения для различных констант.
1. В главе I развивается аппарат для построения контрпримеров, который затем используется во всех последующих главах работы. Известно, что при сравнении емкости С/с, порожденной потенциалами с положительным ядром K(t), и меры Хаусдорфа Л/4 с измеряющей функцией h(t) (определения приводятся в §1.1) именно канторовы множества доставляют примеры множеств с нулевой емкостью и положительной мерой Хаусдорфа. Для наших целей необходимо не только знать, будет ли изучаемая величина положительной, но и уметь оценивать ее значение. Поэтому в §§1.2, 1.3 мы получаем точные двусторонние оценки величин Ск и Лд (ранее такие оценки не были известны). Изучение канторовых множеств необходимо не только для построения контрпримеров; оно представляет и самостоятельный интерес. Мы рассматриваем более общую ситуацию, чем требуется для последующих глав, а именно симметричные обобщенные канторовы множества в m > 1, при построении которых каждый куб со стороной /у-i, образующийся на (j — 1)-м шаге, содержит kj1 равноотстоящих друг от друга кубов j-й генерации. Изучение этой задачи стимулировано также статьей М. Оцуки [1] (явившейся, в свою очередь, итогом серии работ ряда авторов), установившего для ядер K{t) = t~Q, 0 < q < m, и K(t) = log(l/t) следующий критерий:
со
СК(Е) = 0 <=> ]Г(*0 •... • kj)-mK(lj) = ос. (0.2.1)
>=о
С другой стороны, при kj = 2 критерий (0.2.1) справедлив для любых положительных невозрастающих ядер А', для которых fQ K(t) dtm < оо (Карле-сон [1]). Естественно было попытаться распространить результат Оцуки на этот класс ядер. Весьма неожиданным явился установленный нами факт, что для произвольных ядер из указанного класса критерий (0.2.1) не имеет места (предложение 1.3.9). Тем не менее, результат Оиуки обобщить можно соответствующие результаты изложены в §1.3. Предлагаемое доказательство этого обобщения (теорема 1.3.7) является новым даже в случае kj = 2; оно позволяет не только получить условия обращения емкости в нуль, но и оценить емкость Ск{Е),
В §1.4 рассматривается, в основном, емкость 7+ плоских канторовых множеств (всюду в дальнейшем kj = 2), порожденная потенциалами Коши fE(( — z)~1dfj,(Q с неотрицательными мерами Эта задача возникает, в частности, при изучении метрических свойств аналитической емкости. Основным результатом §1.4 является теорема 1.4.7: при h+ilh — ^ < 1/3
(2\ -1/2
> «=1,2,..., (0.2.2)
где постоянная с зависит только от А и Еп - множество, получаемое на п-м шаге построения канторова множества. Отмечается (предложение 1.4.10
7
и замечание 1.4.13), что справедливо и противоположное неравенство (с другой константой). Из теоремы 1.4.7 и результатов П. Маттилы [3] выводится критерий обращения в нуль емкости 7+ плоских канторовых множеств: при
/,-+1/0<А<1/3
Этот критерий существенно отличается от критерия обращения в нуль Ньютоновой емкости Ск(Е), К = 1/1 (вопреки утверждению в книге Дж. Гарнетта [2, с. 88, теорема 2.2); ошибка в доказательстве этой теоремы была обнаружена нами ранее в [11, с. 153]). Отметим, что техника, используемая в §1.4, существенно иная, чем в §1.3; она опирается на работы М. С. Мельникова [1] и П. Маттилы [3].
В §1.5 решается следующая задача, необходимая для построения контрпримеров. Пусть задана измеряющая функция /*(<). Требуется построить т-мерное канторово множество Е = Е({13}) = 2) со следующим свойством:
/г(/;) х 2-т-?. Здесь впервые появляется условие регулярности функции /г, играющее важную роль во всей дальнейшей работе:
ММ*1"т - ЬЧ*2)*2 т> 0 < *1 ^ *2 < г0. (0.2.3)
Показано, в частности (следствие 1.5.2), что при этом условии канторово множество с нужным свойством существует, и условие (0.2.3) здесь отбросить нельзя. Точность условия (0.2.3) исследуется в дальнейших разделах диссертации.
В §1.6 дается первое применение полученных результатов.
Н. С. Ландкоф [1],[2] оценил массивность множества, на котором потенциал и,1(х) := К(\х — у\) (Ць/ху) принимает “большие” значения. Мы показываем (теорема 1.6.3), что этот результат Н. С. Ландкофа и его естественное обобщение - теорема 1.6.1 - при условии (0.2.3) являются в определенном смысле точными. Далее мы исследуем возможность ослабить условие (0.2.3) в этом утверждении. Доказана теорема 1.6.4, показывающая, в частности, что если ядро К{Ь) стремится К +СО при < 0+ “не слишком быстро”, то условие
(0.2.3) можно ослабить, заменив константу Ь величиной 6(<2)^ где положительная функция &(£) —> 0 при I —> 0+. Заметим, что непосредственное построение множества, иллюстрирующего точность теоремы 1.6.1, без условия (0.2.3) уже не проходит. Конструкция такого множества здесь основана на вспомогательной лемме сравнения (лемма 1.6.6), доказательство которой весьма трудоемко.
В качестве применения полученных теорем мы получаем оценку Н-обхвата по Хаусдорфу Мь (определение см. в §1.1) множества Е = {л € Кт : (7/г(х) > Р}, где Р - достаточно большое положительное число, и обсуждаем ее точность. Для иллюстрации соответствующего общего утверждения (следствия 1.6.7) мы рассматриваем далее Риссовы и логарифмические потенциалы. Оценки множества Е в этих случаях ранее были, по существу, получены
Н. С. Ландкофом (с некоторой технической ошибкой - см. замечание 1.6.10). Наши результаты позволяют продемонстрировать их точность, которая другими авторами не исследовалась.
Вопросы, изучаемые в §§1.7,1.8, группируются вокруг уже упоминавшегося классического утверждения Фростмана (см. теорему 1.7.1): если Е - аналитическое множество и A-h(E) > 0 для измеряющей функции h(t), удовлетворяющей (0.1.1), то Ск(Е) > 0.
В §1.7 мы дополняем это утверждение неравенствами, позволяющими получить оценку снизу для внешней емкости С*К(Е) через /г-обхват по Хаусдорфу Mk(Е) и, используя результаты из предыдущих параграфов, показываем, что эти оценки являются точными.
В §1.8 рассматривается одна из центральных задач главы 1 - вопрос о необходимости условия (0.1.1) в теореме Фростмана. А именно: если
jj<(t)dh(t) = оо, (0.2.4)
существует ли множество Е такое, что
Ah(E)> 0, но Ск(Е) = 0 ? (0.2.5)
Эта задача для различных видов емкости рассматривалась многими авторами (обзор приводится в §1.8). Но при построении множества Е, помимо (0/2Л), на функцию h накладывались те или иные дополнительные условия регулярности. Необходимость этих условий не исследовалась и не обсуждалась. Более того, иногда утверждалось существование множества Е со свойствами (0.2.5) для всякой измеряющей функции /г, удовлетворяющей (0.2.4). Мы показываем, что такие утверждения неверны: без каких-либо дополнительных предположений относительно /г условия (0.2.4) недостаточно для существования множества Е, удовлетворяющего (0.2.5). Далее доказывается (теорема 1.8.4), что если выполнены условия (0.2.4) и (0.2.3), то множество Е со свойствами (0.2.5) существует. Хотя условие (0.2.3) и является менее ограничительным, чем условия регулярности в аналогичных теоремах предшествующих авторов, мы исследуем возможность еще более ослабить это условие, заменив его соотношением
Mri)rrm > Ь(т2)Н(т2)т~т, 0 < Т! < т2 < Го, (0.2.6)
где b(t) - функция, вообще говоря, стремящаяся к нулю при f -4 0+. Мы показываем (теорема 1.8.5), что такая замена возможна, если рост ядра K(t) и убывание функции b(t) при t —> 0-f связаны соотношением
К>aK(t), 0 < t < r0, а €(0,1). (0.2.7)
Весьма трудным в §1.8 является доказательство окончательности условия (0.2.7) - теоремы 1.8.6. Из этой теоремы вытекает, в частности, что для широкого класса ядер и функций 6(2), стремящихся к нулю при t —> 0-Ь, справедливо следующее утверждение (следствие 1.8.8): Рассмотрим класс “регулярных” измеряющих функций, удовлетворяющих условию (0.2.6). Для каждой функции h из этого класса, для которой выполнено (0.2.4), существует множество Е со свойствами (0.2.5) тогда и только тогда, когда имеет место (0.2.7).
9
В §1.9 на основании результатов §1.8 и теоремы 1.8.1 Л. Карлесона устанавливаются два утверждения, показывающие в окончательном виде невозможность полного описания емкости Ск{Е) в терминах мер Хаусдорфа. Теорема 1.9.2 утверждает, что для любой измеряющей функции h(r) и любого ядра К(г) найдется такой компакт Е, для которого либо Ск(Е) > О, Ah(E) = 0; либо Ск{Е) = 0, Аи(Е) > 0. Следующее предложение 1.9.3 даст отрицательный ответ на вопрос профессора М. И. Дьяченко: всегда ли имеет место одна из импликаций: (Ск(Е) > 0 => Аь(Е) > 0), либо обратная ей? Пусть измеряющая функция h(t) и ядро K(t) удовлетворяют условиям (0.2.4), (0.2.3) и liminfr—>о h(r)I\ (г) = 0, где К (г) = r~m /Qr I\(t) dtm. Тогда найдутся такие компакты Е\, Еъ, что
СК(Е,) > 0, Ah(E,) = 0; СК(Е2) = 0, Аh(E2) > 0.
Заметим, что ни одно из условий предложения 1.9.3 отбросить нельзя; эти условия выполнены, например, при K(t) = t~Q, h(i) = taj log j, 0 < a < m.
Ранее, говоря о невозможности полного описания емкости Ск{Е) через Аи(Е), можно было опираться только на результат Л. Карлесона (теорема
1.9.1), в котором рассматриваются лишь измеряющие функции /i(t) со свойством (0.1.1.) (K(t) = log |); Л. Карлесон построил пример компакта Е, у которого логарифмическая емкость положительна, но А/,(£) = 0 для любой h(t)y удовлетворяющей условию (0.1.1.).
В §1.10 изучаются вопросы, аналогичные проблематике §1.8, но относящиеся к аналитической емкости 7 и ее модификации 7+. Рассматривается класс компактов Е С С, для которых Ak{E П В{х,г)) ж h(r) Vt 6 Е, 0 < г < го (мы называем такие компакты /i-регулярными). Из результатов II. Маттилы и М. С. Мельникова выводится, что для A-регулярных компактов (и даже более широкого класса множеств) из условий Аь(Е) > 0 и
Г h2(t)
Jo С
следует, что 7+(£) > 0, а значит, и 7(Е) > 0 (вопреки гипотезе 1.10.1 Л. Д. Иванова [1] и теореме 2.7 Дж. Гарнетта [2]). Основной наш результат здесь - теорема 1.10.4: если интеграл в (0.2.8) расходится и, кроме того, h удовлетворяет некоторому условию регулярности, то существует такой h-регулярный компакт £, что 7+(£) = 0. Таким образом, при сравнении емкости 7+ и меры Хаусдорфа критическую роль играет сходимость интеграла в (0.2.8), а не f0t~2h(t)dt .
2. В главе 2 рассматриваются классы ^-субгармонических функций (функций, представимых в виде разности двух субгармонических) в единичном шаре В\ пространства т > 2. Для описания исключительных множеств изучаемых классов функций мы, в отличие от всех предыдущих работ, впервые систематически используем произвольную измеряющую функцию /г, что позволяет получать более точные результаты, ставить и решать вопрос об их окончательности.
В §2.1 изучаются 6-субгармонические функции и(х) с ограниченной Неван-линновской характеристикой Ти(г), Тм(1) := Итг-и Ти(г). Рассматривается
dt < 00
(0.2.S)
Ю
следующая задача: описать в терминах радиусов покрывающих шаров такое множество, вне которого и(х) < АРТЦ(1), где .-4 = А(т) и Р - достаточно большое положительное число. Эта задача в менее общей постановке восходит к А. Картону [1]. Важные результаты для т = 2 принадлежат Н. В. Говорову [1]. Л. С. Кудина [1] частично перенесла эти результаты на случай т > 2. Мы распространяем теоремы Н. В. Говорова на пространственный случай в полном объеме, причем использование произвольной измеряющей функции h позволяет даже при т = 2 получать новые, более точные оценки.
Вначале мы рассматриваем произвольные измеряющие функции /г, для которых
Jo£¥:(0.2.9)
и доказываем основную в §2.1 теорему 2.1.5. Однако эта теорема содержит объекты - множество Gp и числа <(хл-,Р) - которые не определяются в явном виде. Далее мы рассматриваем функции h с некоторыми дополнительными условиями (теорема 2.1.8, следствия 2.1 Л0 и 2.1 Л1), и формулировки приобретают существенно более простой вид. В частности, мы показываем, что следствие 2.1.11 не только содержит теоремы Н. В. Говорова и Л. С. Кудиной, но и несет дополнительную информацию о размерах исключительного множества. Важно, что аппарат, развитый в главе 1, дает возможность практически для каждой оценки построить контрпример: функцию и, на которой реализуется противоположное неравенство (с другой константой) - см. теорему 2.1.12 и следствие 2.1.13. Таким образом, ни на одном из этапов наших оценок не происходит потери точности (кроме, возможно, значений постоянных, входящих в неравенства).
В §§2.2, 2.3 рассматривается следующая задача. Пусть и(х) - (^-субгармоническая функция в шаре В\ С Rm, т > 2, с произвольно растущей Неван-линновской характеристикой. Пусть, далее, заданы функции Р(г) и #(г), г Є (0,1), причем Р(г) не убывает, а значения в(г) € [0,1]. Требуется оценить такое исключительное множество С, что
u(ar) < Л2Р(г + 0(r)(l -r))Xu(r-{-0(r)(l -г)), г = \х\, х G В\\С, (0.2.10)
где Аг - некоторая положительная постоянная.
В такую постановку укладывается целый ряд результатов различных авторов, краткий обзор которых приводится в §2.2. Но при этом ни в одной из работ не охватывалась вся шкала роста функций Р(г). Рассмотрение общего случая позволило выявить новый эффект: зависимость массивности множества С от Р(г) имеет существенно различный характер при Р(г)(1 — r)m_1 > с > 0 и Р(г)(1 — г)*""1 —> 0. В конце п. 2 §2.2 поясняются причины этого различия. Далее в §2.2 доказываются теорема 2.2.5 и предложение 2.2.6, верные для функций Р(г) с произвольной скоростью роста. В частности, предложение 2.2.6 утверждает, что (0.2.10) с $(г) = 0 и Аг = 1 справедливо вне множества Е С В\ такого, что
mesm-{(EnSr) < А'/Р{г), 0 < г < 1, (0.2.11)
где mes* означает А:-мерную Лебегову меру, 5Г = {х Є Rm : |s| = г}, а постоянная А' зависит только от т. В заключение §2.2 доказывается предложение 2.2.7, показывающее, что если величина P(r)(l — r)m_1 не возрастает при
II
О < г < 1, то теорема 2.2.5 и предложение 2.2.G являются в некотором смысле точными.
В §2.3 предполагается, что Р(г)(1 — r)m_1 > с > 0. Вначале доказывается основной результат этого раздела - теорема 2.3.1 - в которой оцениваются
величины h ( i —1^;|)) и их СУММЫ> здесь h - измеряющая функция, удо-
влетворяющая (0.2.9), Xj, rj - центры и радиусы шаров, покрывающих множество С из (0.2.10), 0(г) - функция, которая может стремиться к 0 при г 1—, если Р(г)(1 — г)'"'“1 —¥ оо; допустимая скорость стремления к 0 функции 0(г) увязана с ростом Р(г)(1 - г)”1“1. Далее с помощью теоремы 2.3.1 доказывается ряд утверждений при различных дополнительных предположениях от-носительно /?., Р или и. Приведем один частный случай теоремы 2.3.4 при 0(г) = 0 = const < 1/3. Пусть величина P(r)(l - r)m-1 не убывает. Тогда найдется такая совокупность С шаров Р*(ж*,г*) в В\9 что вне С выполнено (0.2.10) с Д2 = А2(т,с), и
Y, г* < ррг{^(г)(1 -r)exp(-dP(r)(l - г}]}, d>0, т = 2;
\ ’ (0.2.12)
ЕЧ”*“1 £щ{[С(г)(1-г)—Ч"1«—*>}, то > 2,
где постоянные A. d зависят от т, с и 0, а означает суммирование по тем к, для которых Вк(хь,Гк) \ Вг ф 0. Если Р(г)(1 — r)m_1 -> оо при г -j- 1—, то выражения в фигурных скобках в (0.2.12) стремятся к нулю при г —» 1—. Поэтому оценки (0/2.12) в этом случае будут существенно точнее, чем (0.2.11). (очевидно, что mesm-i(E П 5Г) < Ат £гг™-1). В конце §2.3 устанавливается один аналог теоремы 2.3.1 (теорема 2.3.7), удобный для применений в главе 4.
В §2.4 рассматриваются дальнейшие применения теоремы 2.3.1 в случае, когда на функции и наложено условие [(1 — t)m~2P(t)Tu(t)] 1 dn2(t) < ос, где n2{t) = fi2(Bt), ц2 - мера Рисса в представлении и (см. (2.1.3)). Этот случай включает и класс функций ограниченного вида при Р{г) = (l-r)l_m. В частности, мы существенно развиваем и улучшаем результаты И. В. Ушаковой и H. II. Меймана. Для функций ограниченного вида получено точное значение постоянной А2 в (0.2.10).
Цель §2.5 - показать, что результаты §§2.3, 2.4 являются точными. Основной результат в этом разделе - теорема 2.5.1. Из нее вытекает, в частности, что для любого достаточно малого числа О > 0 найдутся множество Е С В\ и супергармоническая функция и такие, что на Е реализуется неравенство, обратное (0.2.10) с другой константой вместо А2, ив то же время для любого покрытия множества Е шарами имеют место неравенства, “почти” обратные (0.2.12) с другими константами. Для доказательства теоремы 2.5.1 понадобилось, помимо техники главы 1, ввести для субгармонических функций в шаре аналог канонического произведения Пикара для единичного круга (см. (2.5.8)) и получить для него ряд оценок. Иной (но близкий) аналог был рассмотрен М. А. Гириыком [2]. Далее доказывается, что условие (0.2.9) при дополнительных условиях регулярности является необходимым для справедливости результатов §2.4, а значит, и теорем §2.J. В заключение §2.5 мы показываем, что в (0.2.10), вообще говоря, нельзя положить 0(г) = 0.
12
3. В главе 3 изучаются классы функций {7reg, возникающие при распространении классического понятия целых функций вполне регулярного роста, введенного Б. Я. Левиным и А. Пфлюгером, на субгармонические функции и(х) конечного уточненного порядка р(г) в IRm, m > 2. Такое распространение было предложено В. С. Азариным [2]—[3j, установившем тесную связь между асимптотическим поведением субгармонических функций и сходимостью в топологии пространства ТУ обобщенных функций. Функции класса £7reg можно охарактеризовать тем, что они имеют “правильное” асимптотическое поведение вне “малого” исключительного множества:
ti(a:)|x|“p^x^ — /i(:r0(:r),и) —» 0, |л| —> эо, х ^ С, (0.2.13)
где h(x°(x),u) - аналог для и обычного индикатора целой функции, а множество С может быть покрыто шарами BJ(xjtrj) такими, что £|г; Кк(п/Я)т 1 = о(1), R —^ ос (в качестве исходного в §3.1 приводится другое определение класса £7гей, принадлежащее В. С. Азарину). В. С. Азарин показал, что можно еще точнее оценить массивность множества С, рнс которого справедливо (0.2.13), но его результат не носил окончательного характера. Для более полного описания массивности бесконечных множеств мы вводим в §3.2 две характеристики, обобщающие понятия, принадлежащие Б. Я. Левину и В. С. Азарину.
Пусть h(t) - измеряющая функция. Относительной h-мсрой множества С С Rm назовем величину h-mesC = limsupR_>00 [inf /г(г,/Я)], где inf берется по покрытиям множества С П В к шарами с радиусами г,. В случае h(t) = t0+m~2? а > 0, относительная /г-мера была введена. В. С. Азариным [2]—[3]. Класс множеств С, для которых /г-mesC = 0, обозначим через Пд. Множества из класса будем называть п°и -множествами.
Датее, назовем множество С С Rnl, гп > 2, С%-множеством, если существует система шаров В*(xj, г;-) такая, что С С Цj В* и J2\X}i<R Мг»/^) = о(1), R —> оо. Класс Сд-множеств также будем обозначать через Сд. В §3.2 мы поясняем различие между понятиями Ü д- и Сд-множеств. Легко показать, что C°h С Ü°h (лемма 3.2.1). В лемме 3.2.2 даются достаточные условия совпадения этих классов. Простейший случай здесь - степенные измеряющие функции, рассматривавшиеся предыдущими авторами. Лемма 3.2.3 дает достаточные условия несовпадения; например, при h(t) = log~p у, р > 0 совпадения классов Пд и Сд нет.
Один из основных результатов §3.3 - теорема 3.3.5: для функции и(х) класса £/rcg и для любой измеряющей функции h(t), удовлетворяющей условию (0.2.9), найдется яг -множество С со свойством (0.2.13). Тот же, по существу, результат был независимо получен С. Ю. Фаворовым [2J; его статья вышла из печати после отправки в редакцию нашей статьи [7]. Заметим, что необходимость условия (0.2.9) С. Ю. Фаворов не исследовал. Опираясь на результаты главы 1, мы показываем (теорема 3.3.9), что если интеграл в (0.2.9) расходится и h удовлетворяет некоторым условиям регулярности, то найдутся функция и € Creg и множество Е С такие, что u(ar) = —оо Ух € Е, но h-m€sE > 0. Показано, что условия регулярности неулучшаемы (теорема 3.3.10).
13
В теореме 3.3.5 для каждой функции h строится свое множество С. Представляет интерес следующий вопрос: нельзя ли построить такое исключительное множество С, вне которого выполнено условие (0.2.13), и й-mes С — 0 сразу для всех функций /г, удовлетворяющих (0.2.9)? Показано, что ответ положителен, если Риссовы меры в представлении 8-субгармонической функции имеют в некотором смысле нулевую плотность, и отрицателен в общем случае.
Мы рассмотрели лишь те результаты §3.3. которые относятся к функциям из 6rreg. Параллельно в §3.3 рассматриваются вопросы о связи между сходимостью в топологии пространства Т>' и асимптотическим поведением субгармонических функций вне исключительных множеств.
В §3.4 изучается следующая задача: для каких измеряющих функций h можно взять в (0.2.13) в качестве исключительного множества С множество из eg? (Напомним, что CjJ С но обратное включение, вообще говоря, не имеет места.) Эта задача для нестепенных измеряющих функций рассматривалась нами впервые в (12), и ответ получился весьма неожиданным: условия на h оказались существенно различными при т > 2 и т = 2. (Если в качестве исключительных брать множества из более широкого класса то такое различие отсутствует: условие (0.2.9) записывается единообразно для т > 2). При т > 2 достаточным для существования исключительного С°-множества С является по-прежнему условие (0.2.9). Из результатов §3.3 следует, что оно является “почти" необходимым. Но при т — 2 этого условия недостаточно; достаточным будет условие JQ t~l \/h{t) dt < oo (теорема 3.4.5). Относительно точности этого условия удаюсь доказать лишь, что для “регулярных'" измеряющих функций необходимым является условие /0 \ log \h(t) dt < оо. Для функций h(t) = log-** j, p > 0, необходимые и достаточные условия совпадают, и в такой шкале измеряющих функций получается полное описание исключительных множеств (следствие 3.4.7), которое невозможно получить, используя функции h(t) = а > 0. Приведем этот результат применительно к функциям u(z) из класса Пусть т = 2, h(t) = log р Тогда справедливы
следующие утверждения.
1. При 0 < р < 1 не для всякой функции u(z) € Urc$ найдется исключительное множество С Е вне которого выполнено (0.2.13).
2. При 1 < р < 2 для всякой функции u(z) € Ureg найдется множество с е ftj, вне которого выполнено (0.2.13). В то же время имеется функция u(z) £ Ureб, для которой не существует исключительного С'£-множества.
3. При р > 2 для всякой функции u(z) € U существует CjJ-множество С, вне которого выполнено (0.2.13). **§
4. В главе 4 мы получаем теоремы единственности следующего типа. Пусть Т - некоторый класс ^-субгармонических функций и (я) в области D С Rm, m > 2 (в качестве D мы рассматриваем далее единичный шар, а при m = 2 либо круг, либо полуплоскость). Если функция и (я) в Т достаточно быстро стремится к —ос на последовательности точек хп £ D, хп —> 0D. то п(т) = —оо. В теоремах такого рода должны присутствовать два вида условий на {лп}. 1. Условие достаточно медленного стремления к границе. 2. Условие несгущаемости, запрещающее точкам (хп } образовывать большие скопления, либо условие, увязывающее значения и(хп) с расстояниями между точками
14
{і„}. Разумеется, условия на {хп} и на скорость убывания знамений и(яп) зависят от Р.
Теоремы такого типа для аналитических и мероморфных функций /(г) в круге (в этом случае и(г) — 1п |/(г)|) были получены И. В. Ушаковой, С. Я. Ха-винсоном, Н. Н. Мейманом, А. Ю. Шахвердяном, Ю. И. Любарским и К. Осипом, У. Хейманом и другими (краткий обзор дается в §4.1); для функций в плоскости или полуплоскости - Ф. Карлсоном, Н. Левинсоном, Р. Боасом и др. (подробнее см. §4.5) - литература здесь очень обширна. В §4.1 мы намечаем общую схему получения теорем единственности на основе оценок функций вне исключительных множеств, по которой выводятся все последующие результаты. Отметим, что, несмотря на естественность этой схемы, ее реализация в некоторых случаях требует непростых дополнительных конструкций.
В §4.2 мы замечаем, что нужные нам теоремы не могут иметь места для ^-субгармонических функций без дополнительных ограничений на распределение Риссовых мер. Мы вводим классы функций (определение 4.2.1), на которые будем распространять теоремы единственности. Далее из теоремы 2.3.7 достаточно просто выводится теорема. 4.2.2. Эта теорема, в частности, устанавливает связь между допустимой близостью точек {жп} и скоростью убывания на ней функции и(х). Условие несгущаемости в теореме 4.2.2 записывается в виде оценки сверху количества к в точек последовательности {яп}, которые могут попасть в тот или иной шар В(х,г) С В\\ при этом к в зависит от к, х, г. Найденная форма условия несгущаемости представляется весьма удобной. В §4.2 показано, что оно менее ограничительно, чем условия теоремы И. В. Ушаковой, и получено усиление этой теоремы.
В §4.3 рассматриваются функции ограниченного вида. В этом случае наша теорема позволяет, как следствия, получать известные теоремы И. В. Ушаковой, С. Я. Хавинсона, II. Н. Меймана. Показано, что из нее вытекают и другие, более общие утверждения. Одно из них, опубликованное нами еше в 1982 г. в [4], было недавно передокаэано У. Хейманом [4].
Условие несгущаемости в наших теоремах удобно также тем, что позво ляет исследовать его неулучшаемость (предшествующими авторами точность условий несгущаемости не исследовалась). Мы доказываем две теоремы, показывающие, что оценка величины к в является в определенном смысле окончательной.
В §4.4 рассматривается следующая задача. Пусть Ву С К™, т > 2, Т -некоторый класс субгармонических в В\ функций и(:г). Обозначим через Ф(£) возрастающую на интервале (—оо, +оо) положительную функцию такую, что Ф(£) —> 0, і —> —оо. Требуется найти условия на последовательность точек хп Е В і, |л:„ | —► 1, достаточные для того, чтобы Ф(и(лп)) = оо Уи(х) €
Т, и{х) ф —оо. Для функций вида и(г) = 1п|/(г)| это означает, в частности, получение теорем следующего типа: если \{(*п)\ < оо и и(я) Є Т, то
/(г) = 0. Приведенная постановка является существенным обобщением задачи, рассмотренной Й. С. Чоу, Т. Трентом и Ж. Вонгом (1) (заметим, что их метод отличатся от нашего, и полученный результат не был окончательным). Наш подход, как и прежде, основывается на использовании оценок функции ц(х) вне исключительных множеств, но требует дополнительных геометрических фактов. Посте доказательства общей теоремы 4.4.3 мы приводим пример
15
конструкции, дающей последовательность {япЬ удовлетворяющую условиям теоремы 4.4.3 - см. теорему 4.4.4. В случае т = 2 эта теорема немедленно дает следствия 4.4.5 и 4.4.6, отвечающие на вопрос И. С. Чоу, Т. Трента и Ж. Вонга [1] и, кроме того, существенно выходящие за рамки рассмотренного ими случая. Так, в следствии 4.4.6 рассматриваются классы IVи, состоящие из мероморфных функций, Неванлинновские характеристики которых растут не быстрее заданной мажоранты (своей для каждого класса). Показано, что полученные результаты точные.
Далее в §4.4 мы отмечаем, что оценки вне исключительных множеств позволяют получать и иные теоремы единственности, по-другому формулируя условие на хп и условие убывания. Применительно к мероморфным функциям ограниченного вида в круге получаются результаты, в чем-то лучшие, чем более общее следствие 4.4.6, записанное для этого случая. Для функций ограниченного вида мы исследуем возможность еще более редкого расположения точек {*„}.
В §4.5 рассматриваются классы аналитических функций в полуплоскости с ограничением на рост. Используя оценки вне исключительных множеств, мы улучшаем теоремы В. Фукса и Н. Левинсона. Улучшение связано с тем, что в нашей теореме 4.5.6 допускается большая близость точек последовательности, чем в этих теоремах; ранее возможность ослабить условие разделения в теореме Левинсона не исследовалась. Кроме того, доказана теорема 4.5.7, в которой устанавливается зависимость между условием разделения точек и условием убывания функции. Показано, что эта зависимость является точной. Отметим, что существенную трудность в доказательстве теоремы 4.5.6 представило получение точной константы —2с в формулировке этой теоремы.
Последний §4.6 содержит пример применения теорем единственности к задачам аппроксимации. В работах Фань-Цзи и Ф. Дейвиса [1] и С. Я. Хавин-сона [3] был развит общий метод, согласно которому теоремы единственности, описанные выше, находят следующее важное применение: они (в сочетании с теорией Фань-Цзи, Ф. Дейвиса и С. Я. Хавинсона) позволяют не только устанавливать полноту различных систем функций в нормированных пространствах X, но и оценивать величины коэффициентов приближающих полиномов. Этот метод успешно применялся рядом авторов. При этом чем точнее будет теорема единственности, тем лучше соответствующий аппроксимационный результат. Используя теоремы из §4.4, мы решаем задачу о нахождении “минимальной” системы простых дробей с полюсами вне круга обладающей следующим свойством: каждую аналитическую в В\ и непрерывную в В\ функцию можно сколь угодно точно приблизить полиномами по этой системе со сколь угодно малыми коэффициентами.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались:
а) на международных конференциях по теории потенциала 1СРТ-90 (Нагоя, Япония, 1990) и 1СРТ-94 (Коути, Чехия, 1994), по теории функций (Львов, Украина, 1992; Ионсу, Финляндия, 1993), по комплексному анализу и дифференциальным уравнениям (Упсала, Швеция, 1997), по математическому анализу (С.-Петербург, 1993; 1997; 1998), по функциональным пространствам, дифференциальным операторам и проблемам математического образования
16
(Москва, 1998);
б) на Всесоюзных и Всероссийских конференциях и школах по теории функций и ее приложениям в Черноголовке (1983, 1987, 1989), Харькове (1990), Крыму (1991), Саратове (1996, 1998);
в) на научных семинарах в МГУ под руководством членов-корреспондентов РАН профессоров П. Л. Ульянова и Б. С. Кашина, члена-корреспондснта РАН профессора П. Л. Ульянова и профессора М. PI. Дьяченко, академика РАН А. Г. Витушкина, профессора Е. П. Долженко, профессора А. А. Шпаликова, профессора П. В. Парамонова; в Петербургском отделении MPI РАН под руководством профессора В. П. Хавина; в Львовском университете (Украина) под руководством профессора А. А. Гольдберга; в МГСУ под руководством профессоров С. Я. Хавинсона и А. Л. Гаркави; в университете Упсалы (Швеция) под руководством профессора М. Эссена; в университете Линчепинга (Швеция) под руководством профессора Л. Хедберга; в Высшей технической школе Стокгольма (Швеция) под руководством профессора Г. Шапиро; в университете Ювяскулы (Финляндия) под руководством профессора П. Маттилы; в Автономном университете Барселоны (Испания) под руководством профессоров Дж. Вердеры и М. С. Мельникова.
Основные результаты диссертации изложены в работах автора [1]—[21]. Кроме того, по теме диссертации опубликованы еще две статьи в соавторстве с профессором М. Эссеном [1]-[2], результаты которых не вошли в данную работу вследствие се большого объема.
Благодарность. Я глубоко благодарен научному консультанту данного исследования профессору С. Я. Хавинсону за постоянное внимание к работе, ценные консультации и замечания. Приношу благодарность также профессорам А. Г. Витушкпну, А. А. Гольдбергу, М. И. Дьяченко, П. Маттиде, М. С. Мельникову, П. В. Парамонову, П. Л. Ульянову, В. П. Хавину, А. А. Шпаликову, М. Эссену за обсуждение результатов и ряд высказанных ими замечаний, вопросов и предложений. Бсхтьшая часть этих замечаний была учтена, что, несомненно, улучшило работу. Часть результатов была подучена в университете Упсалы (Швеция). Я искренне признателен факультету математики этого университета за прекрасные условия для работы, творческую и доброжелательную атмосферу, а профессору М. Эссену - за гостеприимство.
В разные периоды работы исследование поддерживаюсь грантами Шведского института, Королевской Академии наук Швеции, грантами МВ6000 и МВ6300 Международного научного фонда, грантами 94-1.2-13 и 95-0-1.7-52 Госкомвуза РФ и грантом 97-01-00420 РФФИ.
17