ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение............................................................3
Глава 1. Восстановление функции по её тригонометрическому интегралу...................................................... 23
§1. Вспомогательные результаты из римановской теории тригонометрических рядов и теорема Прейсса-Томсона.................... 23
§2. Римановская теория тригонометрических интегралов и теоремы
равносходимости............................................ 28
§3. Восстановление фунции по её тригонометрическому интегралу . 41
Глава 2. Связь множеств единственности для рядов по мультипликативной системе и множеств единственности для мультипликативных преобразований............................... 59
§1. Определение мультипликативных систем и их континуальных
аналогов................................................... 59
§2. Теорема о связи множеств единственности для рядов и преобразований ..................................................... 66
Глава 3. Множества единственности для кратных ортогональных рядов...................................................... 73
§1. Вспомогательные леммы ..................................... 73
§2. Классы ^-мерных множеств единственности и [/'-множеств . . 80
Список литературы..................................................89
2
Введение
Одним из направлений теории ортогональных рядов является проблема единственности представления функции рядом по некоторой ортогональной системе функций или интегралом по континуальному аналогу соответствующей ортогональной системы функций. Диссертация продолжает исследования в данном направлении.
Изучение вопроса единственности представления функции в виде ряда по системе ортогональных функций впервые началось в теории тригонометрических рядов. В 1870 году Г. Кантор получил первую теорему единственности [10].
Теорема А (Кантора). Если тригонометрический ряд сходится к нулю всюду на [0, 2тг], кроме конечного множества точек, то этот ряд является тождественно нулевым, то есть все его коэффициенты равны пулю.
В 1909 году У. Юнг улучшил этот результат, показав, что теорема Кантора остаётся в силе, если требовать сходимость ряда только вне счётного множества [46].
Дальнейший поиск исключительных множеств, ненарушающих утверждение теоремы Кантора, породил в начале ХХ-го века обширные исследования, выделившиеся в итоге в отдельную ветвь теории тригонометрических рядов, а затем и общей теории ортогональных рядов, под названием "теория единственности". Основным предметом этой теории стали мпоэюества единственности. (11-множества) для различных ортогональных систем функций {<рп}п, то есть множества из области определения системы такие, что из сходимости произвольного ряда по системе {<рп}п к нулю вне этих множеств следует, что данный ряд является тождественно нулевым. Приняв это определение, теоремы Кантора и Юнга можно сформулировать так: любое не более чем счётное множество является множеством единственности для тригонометрической системы.
Полученные Г. Кантором и У. Юнгом множества единственности имеют меру нуль. И нетрудно показать, что любое измеримое множество Е положительной меры уже не является множеством единственности для тригонометрической системы. Действительно, возьмём совершенное множество Р С Е положительной меры и рассмотрим характеристическую функцию множества Р. Дополнение к множеству Р на отрезке [0, 2п] является открытым множеством, значит, оно представляется в виде дизъюнктивного объединения интервалов. В силу принципа локализации Римана ряд Фурье
3
Введение
рассматриваемой функции сходится к нулю на каждом смежном интервале, а поэтому и всюду вне множества Е. Таким образом, существует тригонометрический ряд, сходящийся к нулю вне множества Е) но с отличными от нуля коэффициентами (в силу положительности меры множества Р нулевой коэффициент ряда Фурье характеристической функции множества Р отличен от нуля). Отсюда следует, что любое измеримое [/-множество имеет меру нуль.
До 1916 года существовала гипотеза, что любое множество меры нуль является V-множеством. Эта гипотеза была опровергнута Д. Е. Меньшовым [23]. Он построил первый пример совершенного М-множества (множества, не являющегося [/-множеством) меры нуль. Примеры континуальных [/-множеств появились в 20-е годы ХХ-го века. Н. К. Бари [о] и А. Райх-ман [31,32] независимо получили классы континуальных множеств единственности. В частности, они показали, что троичное множество Кантора является множеством единственности. Фундаментальным структурным результатом для множеств единственности тригонометрических рядов является теорема Бари |50, стр. 795], утверждающая, что счётное объединение замкнутых [/-множеств вновь является [/-множеством.
Дальнейшее изучение II- и М-множеств позволило для множеств определённой структуры получить критерии принадлежности множества классу [/-множеств и М-множеств; при этом обнаружилось, что в общем, даже в самом простом случае геометрической структуры множества, вопрос о том будет ли оно II- или М-множеством решается только с привлечением алгебраической теории чисел. В целом, проблема единственности чрезвычайно трудна, и она не решена не только для произвольных множеств, но и даже для класса замкнутых множеств.
Последовательное изложение основных результатов по теории единственности для тригонометрических рядов проведено в монографиях [50], [59].
Согласно теореме Кантора не существует двух различных тригонометрических рядов, сходящихся всюду на отрезке [0,27т], кроме, быть может, конечного числа точек, к одной и той же конечной функции. В связи с этим возникает вопрос, если тригонометрический ряд сходится всюду к функции /, обязан ли он быть её рядом Фурье, то есть можно ли восстановить коэффициенты ряда по его сумме? Естественно, для корректности поставленного вопроса необходимо на функцию / наложить требования конечности и интегрируемости в некотором смысле. В классической теории тригонометрических рядов этот вопрос был поставлен для функций, интегрируемых по Лебегу. Положительный ответ на вопрос даёт теорема Дю Буа Реймона,
4
Введение
доказанная в 1876 году [15], и обобщенная А. Лебегом в 1905 году [21], со случая ограниченных, интегрируемых по Риману функций на случай ограниченных функций.
Теорема В (Дю Буа Реймона-Лебега). Если f ограничена па отрезке [0,2тг] и существует тригонометрический ряд, сходящийся к ней всюду на .этом отрезке, то эт.от. ряд есть её ряд Фурье.
При этом, как показал А. Данжуа (см. [59]), не каждый сходящийся всюду тригонометрический ряд является рядом Фурье- Лебега некоторой функции. Например, ряд ^
\ —v sill TLX
In п
п=2
сходится всюду как ряд по синусам с монотонно убывающими коэффициентами, но он не является рядом Фурье-Лсбега.
В 1912 году Валле-Пуссеном был получен [381 более общий результат.
Теорема С (Валле-Пуссена). Если f конечна, интегрируема по Лебегу на отрезке [0, 2п\ и существует тригонометрический ряд, сходящийся, к ней всюду на этом отрезке, кроме, быть может, счётного числа точек, то этот ряд есть её ряд Фурье.
В 1923 году И. И. Привалов доказал, что в этой теореме вместо счётного множества можно взять произвольное замкнутое множество единственности |63|. Наиболее общий результат, обобщающий теорему Валле-Пуссена для интегрируемых но Лебегу функций был установлен Н. Н. Холщевниковой в 1996 году [70, теорема 7].
Вернёмся к общей постановке вопроса. Теорема Валле-Пуссена позволяет восстанавливать коэффициенты тригонометрических рядов, сходящихся всюду вне некоторого не более чем счётного множества к конечной интегрируемой по Лебегу функции / по формулам Фурье. Однако, как было отмечено, сумма всюду сходящегося тригонометрического ряда может не быть интегрируемой по Лебегу, поэтому для восстановления коэффициентов произвольного сходящегося тригонометрического ряда с помощью формул Фурье необходим более общий процесс интегрирования. Первое такое обобщение было сделано А. Данжуа. В заметке [13] он описал интеграл второго порядка, названный тотализацией 7г5, который восстанавливает функцию по её второй симметрической производной Римана. Совместное применение этого свойства интеграла Данжуа и результатов римановской теории тригонометрических рядов решает задачу восстановления коэффициентов.
5
Введение
I [озднее рядом авторов были построены другие интегралы второго порядка, решающие поставленную задачу: 5СР-интеграл Вёркилля [7,8], Т{Р)-иптеграл Марцинкевича-Зигмунда [22], Р2-интеграл Джеймса [20]. См. также [14,39,44].
Последним шагом в данном направлении стало введение в 1989 году в работе [29] интеграла уже первого порядка, относительно которого любой сходящийся всюду тригонометрический ряд является рядом Фурье своей суммы. Данный интеграл, названный аппроксимативным симметрическим интегралом Хенстока-Курцвейля, восстанавливает измеримую функцию но её аппроксимативной симметрической производной. Идея его применения для решения задачи восстановления опиралась на факт из лебеговской теории тригонометрических рядов, доказанный А. Зигмундом [59, т. 1, стр. 509, теорема (2.22)]: если тригонометрический ряд сходится всюду к конечной функции f, то ряд, полученный из исходного формальным интегрированием, сходится почти всюду к некоторой функции F, и f является аппроксимативной симметрической производной функции F.
Определение и основные свойства этого интеграла будут даны во втором параграфе первой главы диссертации. Сформулируем лишь теорему, показывающую, что аппроксимативный симметрический интеграл Хенстока-Курцвейля полностью решает задачу о восстановлении коэффициентов сходящегося тригонометрического ряда.
Теорема 1.G (ГТрейсса-Томсона, [37, теорема 9.64]). Всякий тригонометрический ряд, сходящийся всюду, кроме, быть моо/сет, некоторого не более чем счётного множества, является рядом Фурье своей суммы относительно аппроксимативного симметрического интеграла Хенстока-Курцвейля.
Дальнейшее развитие теория единственности тригонометрических рядов получила в нескольких направлениях. Мы коснёмся только тех из них, которые будут затронуты в диссертации.
Первым из этих направлений является переход от тригонометрических рядов к тригонометрическим интегралам, интегралам вида
ОО LÜ
[ eiX*dx(А) = lim (L) f eiX*dx(А), (1)
-00 -oj
где x имеет ограниченную вариацию на каждом конечном отрезке и удовлетворяет условию Л/о*, lim { sup |х(А -f h) — х(А)|} = 0.
А->±оо os^l
6
Введение
Переход к континуальным аналогам рядов Фурье, интегралам Фурье, являющихся частным случаем тригонометрических интегралов, был связан с необходимостью построения математической модели для непериодических процессов таких, как непрерывный фон шумов, лучи света.
Теория тригонометрических интегралов развивается параллельно теории тригонометрических рядов (9,19,24,25,45,47,59). В ней полностью сохраняются результаты римановской теории в применении к аналогу функции Римана для тригонометрического интеграла [59, т. 2, глава XVI, §8]. Перенос результатов становится возможным благодаря следующей теореме.
Теорема 1.Р (первая теорема равносходимости). Если функция X удовлетворяет условию Л/о, то для любого интервала J длины, меньшей 27г, существует тригонометрический ряд ^ с71егпх, с коэ(}')фициеита-
Аиалогом теоремы Валле-Пуссена выступает теорема Оффорда, доказанная им в 1937 году [25).
Теорема О (Оффорда). Пусть функция с интегрируема по Лебегу па тэюдом конечном отрезке и её тригонометрический интеграл
сходится всюду к конечной интегрируемой по Лебегу каоюдом конечном отрезке (функции /. Тогда
п
ми стремящимися к 0, такой, что
I е’^Х(А) - ]Г
Н<<4>
спегпх =3 0, ж е .7, ^ ос.
оо
(2)
—ОО
оо
сМ = (Си)^ |
о;->оо 2ТГСЦ
ф(х)е г,1Х дх ) с11
—оо
для почти всех /х.
А. Оффорд также показал, что если функция с интегрируема по Лебегу на каждом конечном отрезке и её тригонометрический интеграл всюду
- Киев+380960830922