2
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ............................................ 3
ГЛАВА I. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ
И ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ .......................... 15
1.1. Основные обозначения и понятия ................. 15
1.2. Основные сведения из теории краевых задач
со сдвигом для аналитических функций .................. 18
1.3. Краткий обзор литературы по краевым задачам со сдвигом для полианалитических и метааналитических функций ......27
ГЛАВА II. ОСНОВНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТИПА
ГАЗЕМАНА ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ....................................30
2.1. Точная постановка основной задачи типа Газемана .30
2.2. Краевая задача типа Газемана для метааналитических функций в случае круга .........;......................31
2.3. Исследование основной краевой задачи типа Газемана для метааналитических функций в случае произвольного гладкого контура .........................40
ГЛАВА III. ОСНОВНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ТИПА
КАРЛЕМАНА ДЛЯ МЕТААНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ....................................59
3.1. Точная постановка основной задачи типа
Кар лемана .............................................59
3.2. Обобщенная краевая задача типа Карлемана
для аналитических функций ..............................60
3.3. Исследование основной краевой задачи типа Карлемана для метааналитических функций в
случае произвольного гладкого контура ..................69
3.4. Краевая задача типа Карлемана для метааналитических функций в случае круга и дробно-линейного сдвига контура .... 90
ЗАКЛЮЧЕНИЕ ........................................ 100
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ...................101
3
ВВЕДЕНИЕ
Диссертация посвящена исследованию линейных краевых задач с сопряжением и со сдвигом (типа Газсмана и типа Карлемана) в классах метааналитических функций, т.е. регулярных решений дифференциального уравнения вида
~ + а\ — + ао^(г) = 0, (0.1)
д 1 ( д . д \
где ап, а 1 “ некоторые комплексные постоянные, а — = - I ——Ь г— I
аг 2 \дх ду)
дифференциальный оператор Коши-Римана.
Для аналитических функций (т.е. для решений уравнения вида
= 0) краевые задачи со сдвигом впервые были исследованы
02
К.Газеманом [84].
Большой вклад в развитие теории краевых задач со сдвигом для аналитических функций внесли Б.В.Боярский [5]-[7], И.Н.Векуа [11], Н.П.Векуа [12], Э.И.Зверович [27], [28], Р.С.Исаханов [29], Д.А.Квеселава [30], [31], Г.С.Литвинчук [38]-[41], И.Б.Симоненко [65] и др.
В последние три десятилетия как в странах СНГ, так и в других станах (Китае, КНДР, Югославии), наблюдается устойчивый интерес к краевым задачам со сдвигом для аналитических функций и различных их обобщений (полианалитических, метааналитических, Е-моногенных функций), что объясняется связями этих задач с такими математическими теориями, как, например, теория дифференциальных уравнений [78], теория приближения функций [80], а также многочисленными приложениями в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны [11], в теории плоских кавитационных течений идеальной жидкости и плоской теории упру-гости [9], [10], [42], [43], [62].
Как справедливо указывал И.Н.Векуа [11], ’’дальнейшие поиски в направлении изучения такого рода задач имеют значительный интерес” .
Одним из естественных обобщений краевых задач со сдвигом для аналитических функций являются задачи со схожей структурой для более широких классов функций (полианалитических, метааналитических, Е-моногенных и др.). Исследованию таких задач для полианалитических и метааналитических функций посвящены работы
В.А.Габриновича [13-17], С.В.Левинского [34-37], В.В.Показеева [45],
д2Г\; д*2
4
[46], И.А.Соколова [67], M.Canak [79], B.Damjanovic [81-83], С.R.Shoe [85] и др. Однако в этих работах рассматривались лишь задачи так называемого "треугольного вида” (см., например, [56], с.19), которые, по сути, сводятся к последовательному решению нескольких хорошо изученных краевых задач со сдвигом в классах аналитических функций.
В то же время, наиболее важные краевые задачи с сопряжением и со сдвигом общего (не ''треугольного”) вида для метааналитических функций до настоящего времени оставались не исследованными. К таким задачам, в первую очередь, относятся следущис две задачи, обычно называемые основными краевыми задачами типа Газемана и типа Карлемана для метааналитических функций (см. [56], с. 286).
Пусть Т+ - конечная одиосвязная область на плоскости комплексного переменного 2 = x+iy, ограниченная простым гладким замкнутым контуром L, уравнение которого имеет вид: t = x(s) + iy($), 0 < s < /, где s - натуральный параметр, причем L Є С* (см. с. 9). Через Т~ обозначим дополнение Т+ U L до полной комплексной плоскости.
Задача Н2м (типа Газемана).
Требуется найти все кусочно-метааналитические функции F(z) = = {F+(z), F~(z)} класса М2{Т±)Г\Н^\Ь)1 f исчезающие на бесконечности и удовлетворяющие на L следующим краевым условиям:
F+[a(t)) = G0(t)-F-(t) + g0(t), (0.2)
= + 9і(і), (о.з)
гдед/дп+ (д/дп-) - производная по внутренней (внешней) нормали к L, t' = dt/ds, a Gk(t)>gk(t) (к = 0,1) - заданные на L функции, причем Gk(t) Є H^~k\L) (т.е. Gk(t) удовлетворяют условию Гслъдсра вместе со своими производными до порядка 3- k), gk(t) Є H^~k\L), Gk{t) Ф 0 на L; a(t) - функция сдвига, сохраняющая ориентацию контура L, причем а'(£) ф 0, а(£) Є H^(L).
Задача К2ъм (типа Карлемана).
Требуется найти все метааналитические в Т1 функции класса М2(Г+) П H^\L), удовлетворяющие на L следующим условиям:
9F*[a(t)]
дп
+
F>(i)] = G(>(*)-F+(*)+ «*,(*),
‘Определение класса А^Т*) П Я(2)(£) см. на с. 18.
(0.4)
5
= G.(*)-^r+*«(*). {0-5)
где L E C% д/дп - производная no внутренней норм.али к L, Gk(t), 9k(t) - заданные на L функции, причем G*(t) € H^~k\L), gk{t) € #(2“*)(L) u Gk(t) ^ 0 на L; a(t) - функция сдвига, сохраняющая ориентацию контура и удовлетворяющая условию Карлемана
a[a?(t)] = t,
причем a(t) € Н(2\Ь), a'(t) ф 0.
Важно отметить, что, поскольку действительные (мнимые) части бианалитических функций (т.е. решений уравнения (0.1) при ао = а\ = 0) являются бигармоническими функциями, то задача К2,м является естественным обобщением так называемой основной би гармон и ческой задачи (см. [43], с. 138), имеющей многочисленные приложения в механике сплошной среды и математической физике.
В случае a(t) = t сформулированные выше задачи Н2 ,м И К> м в классах бианалитических функций были исследованы в работах М.П.Ганина [19], [20], В.С.Рогожина [63], К.М.Расулова [55], [56] и др. Однако в случае a(t) ф t задачи Н2,м и K2tм Д° сих пор не были исследованы. Поэтому разработка методов решения указанных задач является актуальной проблемой.
Целью настоящей работы является развитие общих методов решения краевых задач типа Газемана и типа Карлемана для метаанали-тических функций, построение теории их разрешимости и установление нетеровости, выявление частных случаев, когда они допускают решение в замкнутой форме.
Перейдем теперь к краткому изложению полученных результатов.
Первая глава ’Вспомогательные сведения и обзор литературы” состоит из трех разделов. В первом разделе вводятся наиболее часто используемые обозначения и понятия. Основными из них являются понятия метааналитической и кусочно-метааналитической функции.
Во втором разделе для удобства дальнейших ссылок приведен ряд известных фактов из теории краевых задач со сдвигом для аналитических функций.
В подразделе 1.2.1 приводится схема решения методом интегральных уравнений задачи Газемана (обычной) для аналитических функций, состоящей в отыскании всех исчезающих на бесконечности
dF+[a{t)]
дп
б
кусочно-аналитических функций с линией скачков L, удовлетворяющих следующему краевому условию:
F+ [a(f)] = G(t)F (t) + g(t), t 6 L, (0.6)
где G(t),g(t) - заданные функции точек контура, удовлетворяющие условию Гельдера, a(t) - гомеоморфное отображение кривой L на себя, сохраняющее ориентацию контура и удовлетворяющее следующим условиям:
0, а(<) € tf(,)(L). (0.7)
Подраздел 1.2.2 посвящен изложению известных результатов исследования так называемой обобщенной задачи Газемана для аналитических функций, состоящей в отыскании всех исчезающих на бесконечности кусочно-аналитических функций с линией скачков L, удовлетворяющих следующему краевому условию
F*[a(t)] - G(t)F-(t) + J A(t,T)F+[a(T)]dT + J B(t,r)F-(r)dr = g(t),
L L
(0.8)
где L 6 C^, or(£) - функция сдвига, сохраняющая ориентацию контура и удовлетворяющая условиям (0.7), G(t), g(t.) - заданные на L функции класса #(£), причем G(t) ф 0 на Ь\ А(£,т), B(t,r) - заданные фредгольмовы ядра, т.е. A(t,r), B(t,r) 6 H*(L х L).
В подразделе 1.2.3 приведена схема решения краевой задачи типа Карлемана для аналитических функций, состоящей в отыскании всех аналитических в Т+ функций по следующему краевому условию:
F+Kf)] = G(^)F+(t)+p(^), (0.9)
где <2(£),0(£) - заданные на Ь функции класса Гельдера, причем
Є(і) ф 0 при і Є Ь: а(£) - функция сдвига, сохранияюшая ориентацию
контура и удовлетворяющая условиям (0.7) и условию Карлемана
а И*)] = Г (0.10)
Раздел 1.3 посвящен обзору литературы по теме диссертации.
Вторая глава ” Основная краевая задача типа Газемана для ме-тааналитических функций’' (состоящая из трех разделов) посвящена исследованию задачи ІГ2,м-
В разделе 2.1 дается точная постановка задачи и излагается методика проведения исследования.
7
Раздел 2.2 посвящен исследованию задачи Н^.м в случае, когда контур Ь есть единичная окружность, т.е. Ь = {£ : |/| = 1}.
При этом рассматривается случай, когда характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень Ао, т.е. искомая кусочно-метааналитическая функция имеет вид
р/гч _ I Р+(г) = Ы(г) + г^(г)]ехр{А0г}, г € Т+, ,
*(2) ~ \ Р~(г) = Ьо(г) + ехр{А0^/г}, г е Т~,
С учетом (0.10а), соотношения
9 (0.106)
дп± ( dt dt
а также того факта, что для точек окружности L = {t : |t| = 1} выполняется равенство t = l/t, краевые условия (0.2) и (0.3) удается переписать в следующем виде:
W+[a(t)] = Gç>(t) • W~(t) + go(t), (0.11)
y+[«(<)] = G1(«)-F-(t) + ÿ1(t), (0.12)
где Gk{t),çjk{t) (к = 0,1) - удовлетворяющие на L условию Гель-
дера функции, определенным образом выражающиеся через заданные в условии задачи функции Gk{t),gk{t) (к = 0,1), a W(z) = = {W+(z),W~(z)} и V{z) = {V+{z), V~{z)} - исчезающие на бесконечности кусочно-аналитические функции, связанные с аналитическими компонентами искомой кусочно-метааналитической функции по следующим формулам:
W+{z) = ztpt{z)+<pï{z), W~(z) = <pô(z) + ^(pï(z), (0.13)
v+{z) = Zz d^M + ziàjfM + XoZ(pUz) + {Xo + 2)<pt{z)t
= + (0.14)
dz dz z
Таким образом, установлено, что исходная задача в рассматриваемом случае равносильна совокупности двух обычных задач Газемана (0.11) и (0.12) в классах аналитических функций.
Обозначим через æ0 = IndGo(t), æi = IndG\{t) - индексы задач (0.11) и (0.12) соответственно. Устанавливается, что æ* = æ* + к -|-1, где æjt = IndGk(t) (к = 0,1).
8
При аё0 > 0 задача (0.11) безусловно разрешима, и ее общее решение линейно зависит от аео произвольных комплексных постоянных. Если же аЬо < 0, то задача (0.11) имеет единственное решение только при выполнении |аео| условий разрешимости:
Хц(г) - каноническая функция задачи (0.11).
Аналогично, при > 0 задача (0.12) безусловно разрешима, и ее общее решение линейно зависит от ае1 произвольных комплексных постоянных, а при ас] < 0 задача (0.12) имеет единственное решение только при выполнении |ае11 условий разрешимости:
a R(t, т) - то же самое, что и в (0.15), а X*(z) - каноническая функция задачи (0.12).
По найденным функциям W(z) и V(z) можно найти аналитические
т)д0(т)(1.т = 0, к = 1,2 (0-15)
L
где
hok(r) = у+[І(т)] 1+/-R(r>Ti)T* ‘dri . (ол5а)
R(t,r) - резольвента ядра интегрального уравнения
(0.16)
L
где
Мт) = х+Р(7)] т* 1 + / К(т,гі)т^ Чтх , (0.16а)
компоненты iflQ (z) и искомой метааналитической функции:
(0.17)
(0.18)
- Київ+380960830922