2
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение.......................................................... 4
Глава 1. Вырожденный случай .................................... 15
§ 1. Некоторые вспомогательные сведения ..................... 15
§ 2. Интегральное уравнение третьего рода с коэффициентом,
имеющим нуль целого порядка в вырожденном случае.......... 25
§ 3. Расширение исходного пространства на дельта-функцию
и ее производные.......................................... 31
§ 4. Случаи производной порядка выше 1 ...................... 39
Глава 2. Случай граничной особой точки ......................... 44
§ 5. Эйлеров случай ......................................... 44
§ 6. Случай р ^ 2 ........‘................................. 49
§ 7. Случай уравнения порядка п ...:......................... 62
§ 8. Интегральное уравнение третьего рода с коэффициентом при старшей производной, имеющим нуль целого порядка
в граничной точке ........................................ 72
§ 9. Интегральное уравнение третьего рода с общим
дифференциальным оператором в главной части .............. 77
§ 10. Случай 7 = — 1 при р = 1 ............................... 86
§ 11. Случай нецелого показателя 0 < р < 1 ................... 94
Глава 3. Случай внутренней особой точки ........................ 99
§ 12. Главная часть оператора А. Случай р = 1 ................ 99
§ 13. Главная часть оператора А. Случай р ^ 2 ............... 109
§ 14. Случай уравнения порядка п ............................ 118
§ 15. Интегральное уравнение третьего рода с коэффициентом
при старшей производной, имеющим нуль целого порядка .. 124
3
§16. Случай 7 = —1 при р = 1 .................................... 131
Литература ........................................................ 137
4
Введение
Актуальность темы. Изучению вопросов разрешимости интегральных уравнений третьего рода вида а(х)1 + К, где К — интегральный оператор, а а(х) известная функция, посвящено большое число работ (обзоры теории интегральных уравнений см. в [38, 20]). Такие уравнения часто возникают в различных прикладных задачах, причем характерной их чертой является наличие у а(х) одной или нескольких особенностей в области изменения х. Это не позволяет осуществить непосредственный переход к более изученным уравнениям второго рода. Здесь, как и в случае интегральных уравнений первого рода, приходится в каждом случае разрабатывать собственные подходы. Такой общепринятый подход, как метод нормализации, широко используемый в теории уравнений типа свертки и сингулярных интегральных уравнений (см., например, [17]—[19], [25, 26, 37. 39]), позволяет осуществлять переход от уравнений с вырожденным символом к нормальным уравнениям (другие подходы, связанные с явным построением в вольтерровской ситуации регуляризации с помощью резольвенты и дальнейшем изучении ее поведения можно найти в [38, 15]). В случае уравнений третьего рода приходится разрабатывать собственные методы. Такие методы по построению теории Нетера для интегральных уравнений третьего рода в пространствах непрерывных и обобщенных функций были разработаны в работах Г. Р. Барта [2], Г. Р. Барта и Р. Л. Варнока
[3], B.C. Рогожина и Т.Н. Радченко [30], B.C. Рогожина и С. Н. Раслам-бекова [31, 32], Е. П. Баран [1], Т.Н. Габбасова [9, 10], Х.Г. Бжихатлова [7] и др. В них у а(я) допускалось либо конечное число нулей конечных
т
кратностей (а(х) = П (х ~ xjYj)> ли^° счетное множество простых нулей
j=l
(а(х) = егЬх — 1). В основе исследований этих работ лежала идея использования с одной стороны понятия союзного оператора и союзного пространства, с другой — понятия тейлоровской (точечной) производной. Все это позволило в традиционной постановке пространства непрерывных функ-
5
ций сформулировать условия нетеровости в терминах условий ортогональности правой части уравнения решениям однородного союзного уравнения в союзном пространстве. На этом же пути эффективной и плодотворной оказалась идея работ Г. Р. Барта и Р. Л. Варнока по расширению [2, 3] рассматриваемого пространства, путем присоединения к нему конечномерного пространства, либо из ^-функции и ее производных, либо построенного на основе главных частей. Отметим, что имеются и иные подходы, см., например, работу [35], где рассматривается уравнение третьего рода с сингулярным оператором (см. также [7]). Во всех перечисленных работах характер особенности определяется по существу оператором умножения а(х)1 и особенностями функции а(х). Причем наиболее полные результаты были получены для случая, когда у а(х) имеются степенные особенности.
Настоящая диссертация посвящена исследованию вопросов нетеровости и разрешимости интегральных уравнений третьего рода в том случае, когда оператор умножения заменен на линейный дифференциальный оператор
(ахр-^- + Ьхч| I в предположении, что р е К, ^ € 2+ и а: = 0 - особая V <1х )
точка. РГсследование нетеровости таких операторов ранее не проводилось и представляется актуальной задачей.
Цель работы. Работа посвящена построению теории Нетера линейных интегральных уравнений третьего рода вида Ау = /, где
где К — интегральный оператор с непрерывным ядром, а, Ь 6 М1, р Е М, у € Ъ+% п > 1. Рассмотрение ведется либо на отрезке [—1,1], либо на [0,1], так что х = 0 является особой точкой, превращающей Лу = / в уравнение третьего рода. Функция /(х) предполагается непрерывной и имеющей тейлоровские производные (см. определение 0.1 ниже) до порядка р независимо от ядро к(х, Ь) непрерывно по совокупности переменных и удовлетворяет некоторым дополнительным условиям типа точечной глад-
(0.1)
б
кости, а решение у(х) разыскивается в подклассах пространства Сп[— 1,1] (или Сп[0,1]).
Основная задача — понять:
1) как нетеровость оператора (0.1) зависит от соотношения между параметрами, входящими в (0.1); 2) какое влияние связано с наличием особенности, а что зависит от наличия оператора дифференцирования; 3) как на нетеровость влияет расположение особой точки х = 0 — внутри или на конце рассматриваемого промежутка.
Методика исследования. В работе используются общие методы функционального анализа, существенно используются теория операторов Нетера (см. [12, 13, 16, 22, 25, 29]) и теория интегральных операторов с однородным степени —1 ядром (см. [21]—[23]), при прямом построении регуля-ризаторов для особых дифференциальных операторов.
Научная новизна. В качестве основных результатов работы можно выделить следующие:
1. Построена теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода с главной частью в виде особого дифференциального оператора с особой точкой на границе рассматриваемого промежутка. Выявлено существенное различие между эйлеровой (р = <? +1) и неэйлеровой (р ф <7 +1) ситуацией.
2. Построена теория Нетера для интегральных уравнений третьего рода с коэффициентом в неинтегральном члене в виде особого дифференциального оператора с особой точкой внутри рассматриваемого промежутка. Выявлено различие со случаем, когда особая точка лежит на границе.
3. Введены и изучены специальные классы пространств и состоящие из функций, имеющих тейлоровские производные, в терминах которых строится нетеровская теория.
4. В вырожденном случае 6 = 0 построены союзные пространства и союзные операторы.
7
5. Выявлены особые случаи но параметрам. В эйлеровом случае р = <?+1 особым оказалось значение а/6 = — 1; в неэйлеровом — аЬ Ф 0.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы при исследовании разрешимости различных классов интегральных и интегро-дифференциальных уравнений третьего рода, а также использованы при чтении спецкурсов.
Апробация работы. Результаты работы докладывались: на международной школе-семинаре по геометрии и анализу, посвященной 90-летию
Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо), 5-12 сентября 2000 г.; на школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н. В. Ефимова (Абрау-Дюрсо), 5-11 сентября 2002 г. Сделаны сообщения на международной конференции АМАБЕ в Минске 15-19 февраля 2001г., Белоруссия; на VIII Белорусской математической конференции в Минске 19-24 июня 2000 г. А также неоднократно результаты докладывались на семинаре по линейным интегральным операторам в функциональных пространствах на кафедре дифференциальных и интегральных уравнений Ростовского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [43]—[53]. Постановка задачи и общие рекомендации относительно метода их решения и доказательств были предложены научным руководителем, профессором Н. К. Карапетянцем. Работа [45] выполнена при большой поддержке Т. Н. Радченко, которой принадлежат общие рекомендации относительно метода и полезные советы.
Структура и объем. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 53 наименования. Объем диссертации 142 с.
8
Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю, профессору, доктору физико-математических наук
Н. К. Карапетянцу за постановку задачи, за постоянное внимание, и оказанную им помощь и руководство работой. Автор также признателен и выражает глубокую благодарность доценту Т. Н. Радченко, заботливо помогавшей в работе во время командировки профессора Н. К. Карапетянца, за постоянное внимание, конструктивные и полезные советы.
Содержание работы
Как уже отмечалось, работа посвящена построению теории Нетера интегральных уравнений третьего рода, определяемых оператором вида (0.1).
Первая глава, состоящая из четырех параграфов, характеризуется тем, что в ней рассматривается вырожденный случай 6 = 0 и применяются классические подходы из работ Барта, Варнока, Рогожина и др. Тем самым в этой главе в основном рассматривается уравнение вида
1
(Ау){х) = ахру\х) + J к(х^)у(г)сИ = /(х), [-1,1]. (0.2)
-1
}
Мы рассматриваем (0.2) в пространстве С\г[— 1,1] функций из С[—1,1] с условием </?(—1) = 0. На известные функции /(х) и к(:г,£) помимо непрерывности накладываются условия точечной гладкости в терминах наличия тейлоровских производных. В первом параграфе в основном приводятся известные, либо легко проверяемые свойства, связанные с классами СцР\-1,1] функций, имеющих тейлоровские производные до порядкар при х = 0, необходимые в дальнейшем. В частности, вводятся пары союзных
пространств —1,1] и Р1 = [ф : ф(х) = х~рг(х) + £
1 к=0 }
уравнения (0.2), а также изучаются свойства оператора 7УР; возникающего
ниже в (0.3), где (Мр<р)(х) = £-р[^?(г) - 3^ и строится союзный
оператор
9
Определение 0.1. Функция р(х) Є С[— 1,1] в точке х = 0 имеет тейлоровскую производную до порядка р Є N, єсуш существуют последовательное при к = 1,2,... пределы
cpW(0) = к\ lim я-*
х-»0 ' 71
L j=0 '
Класс таких функций р(х) обозначаем CqP*[-1, 1].
Говорят, что k(x,t) Є CqP\— 1,1] х Cf—1,1], если k{x,t) Є C[—1,1] x C[—1,1] и имеет тейлоровские производные по переменной а; в точке (0,£) при любом t Є [—1| 1].
Основной результат для уравнения (0.2) получен в §2.
Теорема 2.5. Уравнение Ар = /, где А оператор вида (0.2), а }{х) є cf}[-1,1] разрешимо в C7i1[—1,1] тогда и только тогда, когда (/,фк) = 0, к = 1,2,..., <т(А'); где {фк} — базис пространства решений однородного союзного уравнения А'ф = 0 6 пространстве Р1.
Доказательство этого утверждения базируется на трех моментах: 1) компактности интегрального оператора в (0.2) из (7ІД—1,1] в С\р\— 1,1] в предположении, что к{х, t) Є Со^[—1,1] х С[—1,1]; 2) известной возможности формулировать нетеровость в терминах союзного (а не сопряженного) оператора; 3) получении результатов о нетеровости главной части оператора.
В §3 результаты §2 распространяются на случай, когда исходное пространство допускает конечномерное расширение на 5-функцию и ее тейлоровские производные, при этом используется сходимость по Адамару. Здесь же приведены иллюстрирующие примеры.
Наконец, в §4 рассмотрен аналог уравнения (0.2), когда особый оператор ахр^ заменен оператором ахр-£^ с т > 1. В этом случае решение уравнения разыскивается в пространстве С™ [-1,1] с условием р(—1) =
Заметим, что при получении результатов о нетеровости, подобных тео-
10
реме 2.5, мы использовали классические подходы, связанные с построением союзного пространства и союзного оператора ([9. 16], [29]—[32]). В последующих главах, когда рассматривается (невырожденный) оператор (0.1), такой подход не эффективен, и там мы в полной мере используем специфику особого оператора, его дифференциальные свойства. В частности, это позволит существенно ослабить условия на ядро, гарантирующие компактности интегрального оператора в (0.1).
Основные результаты диссертации содержат главы 2, 3.
В главе 2 основное внимание уделено модельному уравнению вида
1
(.Ау)(х) = ахру'(х) + 7у(х) + J к{х, г)у(г) <И = /(ж), х € [0,1], (0.3)
о
где особая точка х = 0 лежит на границе рассматриваемого промежутка,
В отличии от главы 1, здесь результаты о нетеровости получаются непо-
средственным построением регуляризаторов для главной части оператора (0.3), а именно, для оператора
(Ьу)(х) = хру\х) + 7 у(х) = /(ж). (0.4)
В §5 рассматривается эйлеров случай, когда р = 1, и выясняется, что нетеровская постановка А: С1[—1,1] -У С^\—1,1] возможна при всех 7, кроме 7 = -1. Это различие по существу, и этому случаю 7 = — 1 посвящен отдельный параграф. Построение регуляризатора И для оператора Ь производится конструктивно в виде интегрального оператора с однородным ядром, а проверка соотношений
11Ь = 1 - Ть ЬЯ = /-Г2 (0.5)
основывается на асимптотическом поведении интегральных операторов с однородным степени -1 ядром при х —> 0 (исследование такого поведения для операторов свертки и связанных с ними операторов с однородными ядрами можно найти в [4]—[6], [15, 23]). При этом важно, что Ть Т2 в
11
(0.5) оказываются конечномерными проекторами, что позволяет указать дефектные числа для Ь.
В §6 рассматривается неэйлеров случай в (0.4), когда р ф 1. В отличие от эйлерова случая, здесь возникает принципиально новая ситуация и для корректной постановки, уравнение (0.4) приходится рассматривать в следующем новом классе.
Определение 6.1. Через Со’^[0,1], р ^ 5 + 1, я € %+, будем обозначать пространство функций у(х) таких, чтоу(х) Е С*[0,1] и Ву^(0), причем {№у){х)еС[0,1],з = 8 + 19...\р.
Введение этого пространства по существу поскольку оказывается, что если уравнение (Ьу)(х) = ф(х) с }{х) Е СдР^[0, 1] разрешимо, то необходимо у(х) Е Со^[0,1].
Здесь же приводится критерий компактности в пространстве Сд^[0,1].
Теорема 6.2. Множество М С Со’^[0,1], р ^ 5 + 1, относительно компактно в пространстве Сд [0,1] тогда и только тогда, когда: а)
множество М ограничено в Сд [0,1]; б) множества Ц(М) = {/^(сс),
/(т) Е М}, д = 0,1,..., $, состоят из равностепенно непрерывных функций на отрезке [0,1]; в) множество Л^Р(М) состоит из равностепенно непрерывных функций на отрезке [0,1].
Оказывается, что оператор Ь: Сд’^О, 1] -* С^[0,1] обратим при 7 > 0 и нетеров при 7 ^ 0 с индексом 1 — р при 7 = 0 и Ь: С^О, 1] —> СоР^[0,1] и индексом 1 при 7 < 0.
В §7 результаты §§5-6 распространяются на случай, когда главная часть оператора А имеет вид Ьу = хру^1\х) + 'уу^п~'х\х) = /(т), для чего выписывается явное решение простейшего дифференциального уравнения в пространстве Сд’^[—Ч Ч-
Здесь же рассматривается задача о вычислении или оценке дефектных чисел абстрактного нетерового оператора при условии, что Т\ и Т2 в (0.5) конечномерные проекторы. Известно [29], что если ос(Ь) = 0, тогда необхо-
12
димо Р(Ь) = о:(і2) = 0, /3(Я) = 0. Здесь показывается, что в общем случае возможны лишь оценки дефектных чисел и приводятся реализации различных возможностей на примерах операторов из §§ 5, 6. В §8 содержатся основные результаты этой главы.
Определение 8.1. Будель говорить, что ядро к(х,ї) удовлетворяет условию ір), если &(х, £) € СоР*[0, Ч х Ч и Я^Р° удовлетворяет
условию ]р), если С(х,г) = £ к{х,і) сИ удовлетворяет условию гр). Теорема 8.2. Пусть ядро &(х,£) удовлетворяет условию іР). Тогда оператор К вида
і
(Ку)(х) = / к(х, і)у(і) <П, х Є [0,1], о
вполне непрерывен из С1 [0, 1] в Со [0, 1] при р = 1 и из Со [0,1] в С0{р}[0,1] при р > 1.
Основной результат главы содержат теоремы.
Теорема 8.3. Пусть р = 1 и выполнено условие у{) на ядро к(хЛ). Оператор А: С*[0,1] Со^[0,1], определенный равенством (0.3), нетеров с
индексом х(А) = 0 при 7 > — 1 и х(А) = 1 при 7 < — 1.
Теорема 8.4. Пусть р ^ 2 и выполнено условие ір) на ядро к(х, £). Оператор А: С^^О, 1] —> Ср^О, і], определенный равенством (0.3), нетеров с индексом х{А) = 0 при 7 > 0 и *с(А) = 1 при 7 < 0. Наконец, х(А) = 1 —р при 7 = 0 для оператора А, рассматриваемого из Сх[0,1] в [0,1].
В этом же параграфе рассмотрен случай производной порядка выше 1, когда главная часть вместо (0.4) имеет вид Ьу = хру^(х) Н- ^у^п~1^{х) = }{х). В этом случае одно из изменений коснется результата о компактности оператора К. Пусть
і
С](Х1Т) = ~ I €) сИ, і = 0,1,..., п — 1. (0.6)
г
Определение 8.2. Будем говорить, что ядро к(х, £) удовлетворяет условию )п,р)) если удовлетворяют условию іР).
- Киев+380960830922